高中數(shù)學(xué)解題方法之構(gòu)造法(含答案)

1、十、構(gòu)造法解數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下,經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。歷史上有不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題。數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的藝術(shù)，蘊含著豐富的美,而靈活、巧妙的構(gòu)造令人拍手叫絕，能為數(shù)學(xué)問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價值。近幾年來，構(gòu)造法極其應(yīng)用又逐漸為數(shù)學(xué)教育界所重視，在數(shù)學(xué)競賽中有著一定的地位。構(gòu)造需要以足夠的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，較強的觀察能力、綜合運用能力和創(chuàng)造能力為前提，

2、根據(jù)題目的特征，對問題進(jìn)行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶，使解題另辟蹊徑、水到渠成。用構(gòu)造法解題時，被構(gòu)造的對象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對應(yīng)、數(shù)學(xué)模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實現(xiàn)是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：在運用構(gòu)造法時，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點，以便依據(jù)特點確定方案，實現(xiàn)構(gòu)造。再現(xiàn)性題組1、求證： （構(gòu)造函數(shù)）2、若x 0, y 0, x + y = 1，則（構(gòu)造函數(shù)）3、已知，求證：（構(gòu)造圖形、復(fù)數(shù)）4、求證：

3、，并指出等號成立的條件。（構(gòu)造向量）5、已知：a0、b0、c0 ,求證：當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。（構(gòu)造圖形）6、求函數(shù)的最大值（構(gòu)造三角函數(shù)）再現(xiàn)性題組簡解：1、解：設(shè) 則，用定義法可證：f (t)在上單調(diào)遞增，令：3 則2、解：左邊 令 t = xy，則，在上單調(diào)遞減 3、解：構(gòu)造單位正方形，o是正方形內(nèi)一點，o到ad, ab的距離為a, b， 則|ao| + |bo| + |co| + |do|ac| + |bd|， 其中， 又： 另解：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)z1=x+y i , z2 = x +（1 y）i ，z3 = 1 x + y i ，z4 = 1 x

4、+（1 y）i 模的和，又注意到z1z2z3z422 i ，于是由 可得4、解：不等式左邊可看成與 x 和與兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將左邊看成向量=(,)與=( x, )的數(shù)量積，又，所以 當(dāng)且僅當(dāng)= (0)時等號成立，故由得：x=,=1，即 x =時，等號成立。 5、解：從三個根式的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形：作oaa，obb，occ，aob=boc=60 如圖（1）則aoc120，ab=，bc=,ac= 由幾何知識可知：abbcac+當(dāng)且僅當(dāng)a、b、c三點共線時等號成立，此時有，即ab+bc=ac故當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。6、解：由根號下的式子看出且故可聯(lián)想

5、到三角函數(shù)關(guān)系式并構(gòu)造 所以 ， 當(dāng)即時，示范性題組一、構(gòu)造函數(shù)理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個認(rèn)識上的飛躍。很多數(shù)學(xué)命題繁冗復(fù)雜，難尋入口，若巧妙運用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味?！纠?】、已知x,y,z（0，1），求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1 （第15屆俄羅斯數(shù)學(xué)競賽題）分析：此題條件、結(jié)論均具有一定的對稱性，然而難以直接證明，不妨用構(gòu)造法一試。證：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1)y,z(0,1),f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)0，f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz0，而f(x)

6、是一次函數(shù)，其圖象是直線，由x(0,1)恒有f(x) 0，即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)0，整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) 1二、構(gòu)造方程：方程是解數(shù)學(xué)題的一個重要工具，許多數(shù)學(xué)問題，根據(jù)其數(shù)量關(guān)系，在已知和未知之間搭上橋梁，構(gòu)造出方程，使解答簡潔、合理?！纠?】、已知a,b,c為互不相等的實數(shù)，試證：+=1 (1)證：構(gòu)造方程+=1 (2)顯然a,b,c為方程的三個互不相等的實根。從而對任意實數(shù)x均滿足（2）式。特別地，令x=0，即得（1）式?！纠?】、設(shè)x,y為實數(shù)，且滿足關(guān)系式：則x+y= .（1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）分析：此題用常規(guī)方法，分別求出x和

7、y的值后再求x+y則既繁又難，三次方程畢竟不熟悉。若將兩方程聯(lián)立構(gòu)造出方程，利用函數(shù)f(t)=t3+1997t的單調(diào)性，易得，自然、簡潔。三、構(gòu)造復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)是實數(shù)的延伸，一些難以解決的實數(shù)問題通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題，雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會變復(fù)雜，但常使問題簡明化，正所謂“退一步海闊一空”。【例4】、a,b,x,y正實數(shù),且x2+y2=1,求證：+=a+b證：設(shè)z1=ax+byi， z2=bx+ayi，則+=z1+z2z1+z2=(a+b)x+(a+b)yi=(a+b)=a+b，不等式得證：四、構(gòu)造代數(shù)式代數(shù)式是數(shù)學(xué)的重要組成要素之一，有許多性質(zhì)值得我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和應(yīng)用?！纠?】、當(dāng)時，求的值.解：由條件得

8、所以 ，構(gòu)造的因式y(tǒng)=1五、構(gòu)造數(shù)列相當(dāng)多的數(shù)學(xué)問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構(gòu)造數(shù)列”能產(chǎn)生意想不到的效果?！纠?】證明:(n=1,2,3)分析此命題若直接證明，頗具難度，倘若構(gòu)造數(shù)列x1=x2=xn=1+,xn+1=1利用平均值不等式 ，頓使命題明朗化。六、構(gòu)造向量新教材的一個重要特點是引入向量,代數(shù)、幾何、三角中的很多問題都可以利用向量這一工具來解決.【例7】已知a,b,c為正數(shù),求函數(shù)y=的最小值.解: 構(gòu)造向量=(x,a),=(c-x,b),則原函數(shù)就可化為:y=+ ， ymin=七、構(gòu)造幾何圖形一般來講，代數(shù)問題較為抽象，若能通過構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用“數(shù)形結(jié)合”這一

9、重要思想方法，往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心?！纠?】、（見【例1】）證：構(gòu)造邊長為1的正abc，d，e，f為邊上三點，并設(shè)bd=x，ce=y， af=z，如圖1顯然有sbde+scef+sadf 0，求證： （構(gòu)造函數(shù)）2、若，且，則（構(gòu)造函數(shù)）3、記，則（構(gòu)造圖形）4、求證：（構(gòu)造向量）5、正數(shù)滿足，求證：（巧用均值不等式）6、求證：如果，那么（構(gòu)造函數(shù)）7、已知數(shù)列, , 求（構(gòu)造數(shù)列）8、求證：(其中nn+)（構(gòu)造數(shù)列）9、求函數(shù)的值域（構(gòu)造圖形）10、求函數(shù)的最值（構(gòu)造圖形）構(gòu)造法鞏固性題組答案1、解：構(gòu)造函數(shù) 則， 設(shè)2ab 由2a 0, ab - 1 0, ab

10、 0 上式 0在上單調(diào)遞增，左邊2、解：令，又，在上單調(diào)遞增3、解：構(gòu)造矩形abcd, f在cd上，使|ab| = a, |df| = b, |ad| = 1, 則（注：本題也可用分析法）4、解：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標(biāo)表示，將左邊看成 =(1y , x+y3 , 2x+y6)模的平方，又 ,為使為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造于是=所以即5、分析：條件式中次數(shù)是3次，而結(jié)論式中是1次，所以需要降冪。又結(jié)論式是不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時成立。于是考慮構(gòu)造均值不等式。 解：由均值不等式得： （1）同理（2） 由（1）+（2）變形整理得：6、證明：構(gòu)造函數(shù) 易證在r上是奇函數(shù)且單調(diào)

11、遞增 + =lg1 = 0 即： 又是增函數(shù) 即7、分析：我們希望化為 即 +b=1 解：由已知 設(shè)則 即是公比為2的等比數(shù)列且 則 對于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決8、分析：構(gòu)造數(shù)列模型，則有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列又因，故 (其中n n+)，即原不等式得證評注 欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的和的不等式f(n)g(n)，可以構(gòu)造數(shù)列模型，只需證明數(shù)列是單調(diào)遞增，且另外，本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但用構(gòu)造數(shù)列模型證明簡潔9、解： 其幾何意義是平面內(nèi)動點p（，0）到兩定點m（2，3）和 n（5，-1）的距離之和（如圖1）為求其值域只要求其最值即可， 易知當(dāng)m，n，p三點共線（即p在