新數(shù)學考點不等式

1、2009屆新課標數(shù)學考點預測-不等式 不等式是高中數(shù)學的重點和難點內(nèi)容，它滲透到了中學數(shù)學課本的各個章節(jié)，在實際問題中被廣泛應用，可以說是解決其它數(shù)學問題的一種有利工具單純考查不等式的考題，一般是中低檔難度題，內(nèi)容多涉及不等式的性質(zhì)、解法、均值不等式的應用以及含有參數(shù)的不等式，在解答題中一般與函數(shù)、數(shù)列、導數(shù)等知識結(jié)合，屬于中高檔難度題預側(cè)2009年高考不等式的命題趨向：仍會繼續(xù)保持2008年的命題特點，淡化獨立性，突出工具性，以客觀題考查不等式的性質(zhì)和不等式的解法，解答題突出不等式與函數(shù)、數(shù)列、導數(shù)等知識的綜合考查，深人考查不等式的證明和邏輯演繹推理能力一、考點分析(一) 考試內(nèi)容：不等式的

2、基本性質(zhì)；不等式的證明；不等式的解法；含絕對值的不等式(二)不等式知識要點1不等式的基本概念不等（等）號的定義：不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.同向不等式與異向不等式.同解不等式與不等式的同解變形.2不等式的基本性質(zhì)（1）（對稱性）（2）（傳遞性）（3）（加法單調(diào)性）（4）（同向不等式相加）（5）（異向不等式相減）（6）（7）（乘法單調(diào)性）（8）（同向不等式相乘）（異向不等式相除）（倒數(shù)關系）（11）（平方法則）（12）（開方法則）3幾個重要不等式（1）（2）（當僅當a=b時取等號）（3）如果a，b都是正數(shù)，那么 （當僅當a=b時取等號）極值定理：若則：如果p是定值，那么當x

3、=y時，s的值最??； 如果s是定值，那么當x=y時，p的值最大 利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等. （當僅當a=b=c時取等號）（當僅當a=b時取等號）（7）4幾個著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正數(shù)，那么 （當僅當a=b時取等號）即：平方平均算術平均幾何平均調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：特別地，（當a = b時，）冪平均不等式：注：例如：.常用不等式的放縮法：（2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x)，對于定義域中任意兩點有則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù)5不等式證明的幾種常用方法 比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法

4、、放縮法、構(gòu)造法.6不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解特例 一元一次不等式axb解的討論；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的討論（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則（3）無不等理式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 （4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對值不等式應用分類討論思想去絕對值；應用數(shù)形思想；應用化歸思想等價轉(zhuǎn)化注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）： 類似于，(三)高考考綱對不等式的要求：（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明；（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何

5、平均數(shù)的定理及其變形，并會簡單的應用；（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式；切實掌握上述三種方法證明不等式的方法步驟及使用范圍,提高數(shù)學式的變形能力；（4）掌握簡單不等式的解法；掌握含參數(shù)不等式的解法及它在函數(shù)等方面的應用；（5）理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|對不等式重點考查的有四種題型：解不等式、證明不等式、不等式的應用、不等式的綜合(四)高考對不等式的考查側(cè)重以下幾個方面：1不等式性質(zhì)的考查常與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查結(jié)合起來，一般多以選擇題的形式出現(xiàn)，有時與充要條件的知識聯(lián)系在一起解答此類題目要求考生要有較好、較全面的基礎知識，一般難度不大2高考試

6、卷中，單純不等式的考題，一般是中檔難度題，內(nèi)容多涉及不等式的性質(zhì)和解法，以及重要不等式的應用解不等式的考題常以填空題和解答題的形式出現(xiàn)在解答題中，含字母參數(shù)的不等式問題較多，需要對字母參數(shù)進行分類討論，這類考題多出現(xiàn)在文科試卷上3證明不等式近年來逐漸淡化，但若考試卷中出現(xiàn)不等式證明，則往往不是單獨的純不等式證明，而是與函數(shù)、三角、解析幾何、數(shù)列、導數(shù)等知識綜合考查，這時有可能是壓軸題或倒數(shù)第二題此類考題區(qū)分度高，綜合性強，與同學們平時聯(lián)系的差距較大，考生要有較強的邏輯思維能力和較高的數(shù)學素質(zhì)才能取得較好的成績這類考題往往是理科試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的題型4應用問題是近年數(shù)學高考命題的熱點，近些年高考試

7、題帶動了一大批“以實際問題為背景，以函數(shù)模型，以重要不等式為解題工具”的應用題問世解此類考題在合理地建立不等關系后，判別式、重要不等式是常用的解題工具 5含有絕對值的不等式經(jīng)常出現(xiàn)在高考試卷中，有關內(nèi)容在教材中安排較少，考生解此類問題大多感覺困難，這與平時練習量不足有關，對此應有所加強6解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化，解題思路是利用不等式的性質(zhì)及結(jié)合有關函數(shù)的性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元二次不等式、含有基本初等函數(shù)的最基本不等式，然后求解在這里著重強調(diào)的是，解不等式是在不等式有意義的前提下求出滿足不等式的未知數(shù)取值的集合，在解無理不等式、對數(shù)不等式時，要注意其定義域二應試對策與考題展望1在復

8、習不等式的解法時，要加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓練，以便快速、準確求解在解或證明含有參數(shù)不等式的過程中，一般要對參數(shù)進行分類討論，因此，還要加強分類討論思想的訓練，做到分類合理、不重不漏由于不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化，所以，強化函數(shù)與方程思想在不等式中的應用訓練十分必要2高考中，對不等式的考查不是單一的，所以此類考題往往綜合性強，難度也較大，應用極其廣泛，諸如求最值、比較大小、函數(shù)性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、有界性、最值)的研究、方程解的討論、曲線類型和兩曲線位置關系的判定等等因此，復習時應強化理解不等式的應用，注意多知識點的相互滲透3在復習不等式時，一要注意強化含參數(shù)不等式的

9、解法與證明的訓練，尤其是理科考生更應注意到這一點；二要加強以函數(shù)為載體的不等式練習，如果以函數(shù)為背景考題出現(xiàn)在試卷上，一定與高等數(shù)學知識及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高；三要靈活處理以導數(shù)為載體的導數(shù)、不等式、函數(shù)大型綜合問題，這類代數(shù)推理考題在復習時一定要倍加關注三經(jīng)典例題剖析考點一：不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)是解不等式與證明不等式的理論根據(jù)，必須透徹理解，且要注意性質(zhì)使用的條件；比較兩個實數(shù)的大小，一般用作差法，有時也可用作商法，其實質(zhì)上是不等式性質(zhì)的應用，當然它也是不等式證明的一種方法例1設實數(shù)滿足下列三個條件：；。請將按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論。解： 又因為 ，所以 .點

10、評：正確找到一個合理的解題程序，可大大提高解題速度例2設，求的取值范圍解：因為 ，所以，則又因為,，所以, 故點評：嚴格依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運算法則是正確解答此類題目的保證例3(寧夏銀川一中2008屆高三年級第三次模擬考試)設ar且a-,比較與-a的大小解：-()=,當且時, , 當時, ,= 當時, ,.點評：比較大小的常用方法是：作差比較與作商比較在數(shù)的比較大小過程中，要遵循這樣的規(guī)律，異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分，再去比較它們剩余部分，就會很輕易啦一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法，前者和零比較，后者和1比較大??；(2)找中間量,往往是1，

11、在這些數(shù)中，有的比1大，有的比1??；(3)計算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫出相應的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等考點二：含參數(shù)的不等式問題含有參數(shù)的不等式問題是高考?？碱}型，求解過程中要利用不等式的性質(zhì)將不等式進行變形轉(zhuǎn)化，化為一元二次不等式等問題去解決，注意參數(shù)在轉(zhuǎn)化過程中對問題的影響例4(福建德化一中2008年秋季高三第二次質(zhì)量監(jiān)控考試)已知對一切實數(shù)都有，且當時，（1）證明為奇函數(shù)且是上的減函數(shù)；（2）若關于的不等式對一切恒成立，求m的取值范圍.（1）證明：依題意取，.又取可得， 由x的任意性可知為奇函數(shù)，又設 ，在r上減函數(shù)（2）解：函數(shù)是奇函數(shù)，由得即，又是上的減函數(shù)，

12、恒成立，當時，故此時的最小值為，點評：在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時，需要在函數(shù)思想的指引下，靈活地進行代數(shù)變形、綜合地運用多科知識，方可取得較好的效益，因此此類問題的求解當屬學習過程中的難點.對于不等式恒成立問題，除了運用分類討論的方法外，還可采用分離參數(shù)的方法，即對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M行同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關于參數(shù)的不等式的問題例5(山東省泰安市2008年高三11月教學質(zhì)量檢測)設命題p：函數(shù)的定義域為r；命題q：不等式對一切正實數(shù)均成立，（1）如果p

13、是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍解：（1）若命題p為真，即恒成立 當a=0時，不合題意， 當時，可得即，（2）令，由得，的值域為，若命題q為真，則由命題“p或q”為真且“p且q”為假，得命題p、q一真一假， 當p真q假時，a不存在； 當p假q真時， 點評：對于含參數(shù)問題，常常用分類討論的方法在解答有關不等式問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、各個擊破的解題策略有關分類討論思想

14、的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置解答分類討論問題的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論例6(廣東省深圳中學20082009學年度高三第一學段考試)已知函數(shù)，（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；（2）當恒成立時，求實數(shù)a的取值范圍解：（1）函數(shù)的定義域為r，函數(shù)在r上是增函數(shù)，設是r內(nèi)任意兩個值，并且則，即，是r上的增函數(shù)（2），即，當點評

15、：一般地對不等式恒成立有下列幾種情形：f(x)g(k) f(x)ming(k)f(x) g(k) g(k) f(x) minf(x)g(k) f(x) maxg(k)，f(x)g(k) f(x) max g(k)例7(福建省八閩高中2008年教學協(xié)作組織聯(lián)考)設，且 （e為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求p與q的關系；（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求p的取值范圍；（3）設且，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)p的取值范圍解：（1） 由題意得 f （e） = pe2ln e = qe2 （pq） （e + ） = 0.而 e + 0 ， p = q，（2）由 （1） 知 f （x） = px2l

16、n x，f1（x） = p + = ，要使 f （x） 在其定義域 （0,+） 內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需 f1（x） 在 （0,+） 內(nèi)滿足：f1（x）0恒成立.即對（0,+） 恒成立,因此（3） g（x） = 在 1,e 上是減函數(shù)，x = e時，g（x）min = 2，x = 1 時，g（x）max = 2e即g（x） 2,2e0 p 1 時，由x 1,e x0，f （x） = p （x）2ln xx2ln x，當 p = 1 時，f （x）= x2ln x在 1,e 遞增f（x）x2ln xe2ln e = e2 2，不合題意 p1時，由（2）知f （x）在 1,e 連續(xù)遞增，f （1）=

17、0 g（x）min = 2，x 1,e， f（x）max = f（e） = p（e）2ln e 2 p ，綜上，p 的取值范圍是 （,+）.考點三：解不等式問題例8解不等式解：（第一步）將不等式左邊分解為幾個一次因式（每個因式的系數(shù)為正），得（第二步）如圖1，在實數(shù)軸上標出每個因式為0的實根的對應點圖1（第三步）這四個實數(shù)根將實數(shù)軸分為五個區(qū)間在從右到左的第一個區(qū)間內(nèi)，每個因式均為正，故其積為正；在從右到左的第二個區(qū)間內(nèi)，只有一個因式為負，其余因式均為正，故其積為負；在從右到左的第三個區(qū)間（1，2）內(nèi)，有兩個因式同時為負，其余因式為正，故其積為正；在從右到左的第四個區(qū)間（1，1）內(nèi)，有三個因式

18、均為負，其余因式為正，故其積為負；在從右到左的第五個區(qū)間內(nèi)，四個因式同時為負，故其積為正因此，可將其解集直觀地標在數(shù)軸上，即用弧線從右到左（第一個區(qū)間內(nèi)弧線恒在數(shù)軸上方），將這五個區(qū)間連結(jié)起來，弧線經(jīng)過數(shù)軸上方的區(qū)間就是這些因式的積大于0的解集；弧線經(jīng)過數(shù)軸下方的區(qū)間就是這些因式的積小于0的解集故原不等式的解集為點評：解實系數(shù)一元高次不等式，可先把最高次項的系數(shù)化為正數(shù)，并使右邊為0，再通過因式分解，將左邊變形，最后用數(shù)軸標根法求解集對于分式不等式也可采類似的方法例9(廣東省深圳中學20082009學年度高三第一學段考試) 解不等式解：，即，得，所以原不等式的解集為 點評：本題是指數(shù)型的不等式

19、，盡可能化同底例10已知且 試解關于的不等式解： 令 () , 則原不等式. 即， 故當時，原不等式的解集是當時，原不等式的解是 .點評：本題是利用換元法求解換元法是指解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關鍵是構(gòu)造元和設元換元法是一種重要的解題方法，它可以化高次為低次、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，它不僅在中學數(shù)學中有廣泛應用，而且在高等數(shù)學中也有廣泛應用復習中必須給予充分的重視，有意識、有目的地加強這方面的訓練和運用考點四：均值不等式問題(一)知識梳理1把稱為a、b的算術平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù)。因而，二元均值定理可以敘述為

20、：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么二元均值定理還可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項2一般的數(shù)學中的定理、公式揭示了若干量之間的本質(zhì)關系，但不能定格于某一種特殊形式，因此不等式ab2ab的形式可以是a2abb，也可以是ab，還可以是a2b (a0)，2ba等。解題時不僅要利用原來的形式，而且要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，以便靈活運用3盡管二元均值定理的應用范圍極廣，推論和相關結(jié)論也很多，但其本身終究是由不等式的意義、性質(zhì)推導出來的凡是用它可以獲證的不等式，均可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)證得因此

21、，在算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的應用中，不可忽視不等式的意義、性質(zhì)等概念在處理有關不等式論證方面的根本作用4二元均值不等式不但可以處理兩個正數(shù)的和與積結(jié)構(gòu)的不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)還可以處理兩個正數(shù)的平方和、倒數(shù)和與其它變形式的結(jié)構(gòu)，由公式ab2ab和可以得到以下幾個重要結(jié)論： ab2ab (當且僅當a = b時取“=”號)； ab2|ab| (當且僅當| a | = | b |時取“=”號)； ab2|ab| (當且僅當a = b= 0時取“=”號)； (a、b都是正數(shù)，當且僅當a = b時等號成立)5二元均值不等式還能處理幾個正數(shù)的平方和與和結(jié)構(gòu)，倒數(shù)和與和結(jié)構(gòu)，根式和與和結(jié)構(gòu)及兩兩之積與

22、和結(jié)構(gòu)等不等式問題，但在處理這些結(jié)構(gòu)型的不等式時，要注意與其它依據(jù)相結(jié)合來處理。常見結(jié)構(gòu)的不等式的處理方法歸納如下：abbcca與abc型利用(abc)= abc2ab2bc2ca與abcabbcca相結(jié)合；abc與abc型利用abcabbcca乘以2再加上abc即可；與abc型只要在中每個字母開方代換即可6利用均值定理可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題：當a，b都為正數(shù)，且ab為定值時，有ab (定值)，當且僅當a = b時取“=”號，此時ab有最小值；當a，b都為正數(shù)，且ab為定值時，有ab (定值)，當且僅當a = b時取“=”號，此時ab有最大值以上兩類問題可簡稱為“積大和小”問題7創(chuàng)設應用

23、算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理使用的條件，合理拆分項或配湊因式是經(jīng)常用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條件(兩數(shù)都為正)；二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號成立的條件(當且僅當a = b時取“=”號)，它具有一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設計為一個難點8二元均值定理具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，若所證不等式可變形成一邊為和，另一邊為積的形式，則可以考慮使用這一定理把問題轉(zhuǎn)化其中“一正二定三相等”在解題中具有雙重功能，即對條件的制約作用，又有解題的導向作用(二)特別提示：1在使用公式ab2ab和時，要注意這兩者成立的條件是不相同的，前者只

24、要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)2在使用二元均值定理求最值時，必須具備三個條件：在所求最值的代數(shù)式中，各變數(shù)均應是正數(shù)(如不是，則進行變號轉(zhuǎn)換)；各變數(shù)的和或積必須為常數(shù)，以確保不等式一邊為定值(如不是，則進行拆項或分解，務必使不等式的一端的和或積為常數(shù))；各變數(shù)有相等的可能(即相等時，變量字母有實數(shù)解，且在定義域內(nèi)，如無，則說明拆項、分解不當，此時，應重新拆項、分解或改用其它方法，比如，已知x 2，3，求函數(shù)y = x的最小值，從形式上看可以使用二元均值定理，但等號成立的條件不具備，因此，要考慮函數(shù)的單調(diào)性把問題解決)3在使用均值定理證明問題時，要注意它們反復使用后，再相加相乘時

25、字母應滿足的條件及多次使用后等號成立的條件是否一致，若不一致，則不等式中的等號不能成立例11有一組數(shù)據(jù)：它們的算術平均值為10，若去掉其中最大的一個，余下的數(shù)據(jù)的算術平均值為9；若去掉其中最小的一個，余下數(shù)據(jù)的算術平均值為11（）求出第一個數(shù)關于n的表達式及第n個數(shù)關于n的表達式，（）若都是正整數(shù)，試求第n個數(shù)的最大值，并舉出滿足題目要求且取到最大值的一組數(shù)據(jù)解：依條件：（）由（1）（2）得： 再（1）（3）得：x1=11n（）x1是正整數(shù)，x1=11n1，xn=n+919當n=10時，此時，取即可，當n=10時，xn的最大值是19點評：注意掌握均值不等式成立的條件及其變形；注意掌握“湊”的技

26、巧，創(chuàng)造應用均值不等式的情境；注意掌握均值不等式等號成立的條件例12(山東省聊城市20072008學年度第一學期高三期末統(tǒng)考)某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元.設表示前n年的純利潤總和（f（n）=前n年的總收入一前n年的總支出一投資額）（1）該廠從第幾年開始盈利？（2）若干年后，投資商為開發(fā)新項目，對該廠有兩種處理方案：年平均純利潤達到最大時，以48萬元出售該廠；純利潤總和達到最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案更合算？解：由題意知（1）由，由知，從經(jīng)三年開始盈利（2）方案：年平均純利潤，當且僅

27、當n=6時等號成立故方案共獲利616+48=144（萬元），此時n=6方案：當n=10，故方案共獲利128+16、144（萬元）比較兩種方案，獲利都是144萬元，但由于第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案更合算點評：不等式的應用問題，綜合性強，是高考應用命題的重點之一，不等式的應用題大部分以函數(shù)的面目出現(xiàn)，在解決范圍問題或求最值時，均值不等式為主要工具，從而解決實際問題。解題步驟：1、先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最值的變量定為函數(shù)；2、建立相應的函數(shù)關系，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題；3、在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；4、正確寫出答案考點五：不等式證明問題作差比較法的

28、程序是:作差-變形-判斷差的正負；作商比較法的程序是:作商-變形-判斷商與1的大小(商式的分子分母均要為正)綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的方法。分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述例13(山東省濰坊市2008年5月高三教學質(zhì)量檢測) 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an，公比q1，且滿足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中項（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設，試比較an與bn的大小，并證明你的結(jié)論解：（1）的等差中項，解得q=2或（舍去）， （2）由（1）得，當n=1時，a1=2，b1=（1+1）2=4，a1b1；當n=2時，a

29、2=6，b2=（2+1）2=9，a2b2；當n=3時，a3=14，b3=（3+1）2=16，a3b4；由上可猜想，當1n3時，anbn下面用數(shù)學歸納法給出證明：當n=4時，已驗證不等式成立假設n=k（k4）時，akbk成立，即,即當n=k+1時不等式也成立，由知，當綜上，當時，an0，b0，c0，abc=1，試證明：證明：由，所以同理： ， 相加得：左點評：本題是用的基本不等式的變形來處理的例15(山東省文登三中2009屆高三第三次月考試題)已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點（）若、成等差數(shù)列，求的值；（）若，三個正數(shù)、成等比數(shù)列，證明：（）由，得，又成等差數(shù)列， 即：即：，解之得：或，經(jīng)檢驗，是增根，

30、（）證明： ，時等號成立此時即：。例16(福建德化一中2008年秋季高三第二次質(zhì)量監(jiān)控考試)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時, (其中e是自然界對數(shù)的底, ),(1) 求的解析式；(2) 設，求證：當，時，；（3）是否存在負數(shù)a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由解：（1）設，則，所以，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以 故函數(shù)的解析式為（2）證明：當且時，設，因為，所以當時，此時單調(diào)遞減；當時，此時單調(diào)遞增，所以，又因為，所以當時，此時單調(diào)遞減，所以所以當時，即（3）解：假設存在負數(shù)，使得當時，有最小值是3，則當，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)所以，解得（

31、舍去）當時，則當時，此時函數(shù)是減函數(shù)；當時，此時函數(shù)是增函數(shù)所以，解得滿足題意。綜上可知，存在負數(shù)，使得當時，有最小值點評：本題是利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)知識來解決的函數(shù)和不等式是密切相關的，不等式可視為兩個函數(shù)值大小的比較，在處理不等式的有關問題時，注意運用函數(shù)思想作指導，即研究題設所提供的信息，通過觀察分析，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，然后利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以研究，往往能是問題獲得新穎別致，簡捷明快的解答例17(浙江省余姚中學08-09學年上學期高三第三次質(zhì)量檢測)設函數(shù)求證：（1）；（2）函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點；（3）設是函數(shù)的兩個零點，則證明：（1），又 ，又2c=3a2b 由

32、3a2c2b 3a3a2b2b，a0 （2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=ac當c0時，a0，f（0）=c0且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點當c0時，a0 函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個零點，綜合得f（x）在（0，2）內(nèi)至少有一個零點（3）x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個零點，則的兩根，點評：本題是利用不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的有關性質(zhì)來求解考點五：與不等式交匯的問題不等式幾乎能與所有數(shù)學知識建立廣泛的聯(lián)系，通常以不等式與函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、解析幾何、數(shù)列的綜合問題的形式出現(xiàn)，尤其是以導數(shù)或向量為背景的導數(shù)（或向量）、不等式、函數(shù)的綜合題和有關不等式的證明或性

33、質(zhì)的代數(shù)邏輯推理題，問題多屬于中檔題甚至是難題，對不等式的知識，方法與技巧要求較高，下面舉例說明：1以集合為背景的不等式以集合為背景的不等式，以考查不等式的解法和集合的有關概念與運算為目的，解題時應注意將不等式的解法與集合的有關概念和運算相結(jié)合，準確解題例17(廣東省深圳中學20082009學年度高三第一學段考試)已知集合，全集為實數(shù)集r（1）求； （2）如果的取值范圍解：（1），（2）如圖當a3時，a點評：本題重點考查集合的運算及數(shù)形結(jié)合的思想2以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式例18(山東省萊蕪市2008屆高三年級期末考試)電視臺某廣告公司特約播放兩部片集，其中片集甲每片播放時間為20分鐘，廣告時

34、間為1分鐘，收視觀眾為60萬；片集乙每片播放時間為10分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為20萬，廣告公司規(guī)定每周至少有6分鐘廣告，而電視臺每周只能為該公司提供不多于86分鐘的節(jié)目時間（含廣告時間），（1）問電視臺每周應播放兩部片集各多少集，才能使收視觀眾最多，（2）在獲得最多收視觀眾的情況下，片集甲、乙每集可分為給廣告公司帶來的a和b（萬元）的效益，若廣告公司本周共獲得1萬元的效益，記為效益調(diào)和指數(shù)，求效益調(diào)和指數(shù)的最小值（?。┙猓海?）設片集甲、乙分別播放x、y集設片集甲、乙分別播放x、y集則有，要使收視觀眾最多，則只要z=60x+20y最大即可.如圖作出可行域，易知滿足題意的最優(yōu)解為（2，

35、4），故電視臺每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收視人觀眾最多，7分 （2）由題意得：2a+4b=1=11.64所以效益調(diào)和指數(shù)的最小值為11.64點評：以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式，重在考查數(shù)形結(jié)合的解題能力這種題目解題時要注意根據(jù)已知不等式組作出圖形分析求解3以簡易邏輯為背景的不等式以簡易邏輯為背景的不等式,解題時往往以不等式為工具，來確定命題，用簡易邏輯知識解決問題例19（2006 年山東卷）設，則是的a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解： 由題設可得： 故選a點評：本題主要考查利用不等式和簡易邏輯知識解決問題的能力4與函數(shù)知識結(jié)合的不等式例20(200

36、8年泉州一中高中畢業(yè)班適應性練習)已知函數(shù).（1）求f (x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若當時，不等式f (x)0；由，得. f (x)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（-1, 0）.（2） 由，得x=0,x=-2（舍去）由（）知f (x)在上遞減，在上遞增. 又 ， , 且. 當時，f (x)的最大值為.故當時，不等式f (x)1或x-1（舍去）. 由, 得. g(x)在0,1上遞減, 在1,2上遞增. 為使方程在區(qū)間0, 2上恰好有兩個相異的實根， 只須g(x)=0在0,1和上各有一個實數(shù)根,于是有 , 實數(shù)a的取值范圍是 . 點評：與函數(shù)知識結(jié)合的不等式，解題時往往以不等式為工具，結(jié)合函數(shù)知識，通過推理

37、來解決問題5.與平面向量知識結(jié)合的不等式與平面向量知識結(jié)合的不等式,解題時往往以不等式為工具, 結(jié)合平面向量知識和坐標運算,通過和坐標運算和推理來解決問題.例21在abc中，o為中線am上的一個動點，若am2，則的最小值是 .解法一：如圖, = 即的最小值為:2.解法二：選取如圖等腰直角三角形abc，由斜邊上的中線am=2，c(0,2 m( b(2 o(x,y)a(0,0)yx 則a(0,0) ,b(2,0), c(0,2, m(, 設o(x,y), (且x=y, x)，則 =( = =. 設f(x)=4x2-4,結(jié)合二次函數(shù)圖像知:當x=時, f(x)min=4點評：本題考查了向量與解析幾何

38、知識交匯問題，可利用向量的性質(zhì)結(jié)合均值不等式知識綜合求解；或者選取特殊三角形，把向量式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)求出其最小值6與函數(shù)的導數(shù)知識結(jié)合的不等式與函數(shù)的導數(shù)知識結(jié)合的不等式，解題時往往以不等式和函數(shù)的導數(shù)為工具， 結(jié)合函數(shù)知識,通過推理來解決問題例22(山東省淄博市2008年5月高三模擬試題)已知函數(shù)在是增函數(shù),在(0,1)為減函數(shù)（i）求、的表達式；（ii）求證:當時,方程有唯一解；(iii）當時,若在內(nèi)恒成立,求的取值范圍解：（i），依題意在上恒成立即 在上恒成立， （， 又依題意在時恒成立, 即,恒成立（）， ，由、得 （ii）由(1)可知,方程,設, 令,并由得 解得

39、 令由 列表分析: -+遞減遞增知在處有一個最小值0，當時,0在(0,+)上只有一個解即當x0時,方程有唯一解（iii）設 則 在上為減函數(shù)， 又 所以為所求范圍 點評：本小題考查函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)，函數(shù)極值的判定，給定區(qū)間上二次函數(shù)的最值等基礎知識的綜合運用，考查就數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想分析問題，解決問題的能力7與數(shù)列知識結(jié)合的不等式與數(shù)列知識結(jié)合的不等式,解題時往往以不等式和數(shù)列知識結(jié)合為工具, 結(jié)合函數(shù)知識,通過計算和推理來解決問題.例23(安徽省皖南八校2008屆高三第三次聯(lián)考)數(shù)列的首項=1，前項和為滿足（常數(shù)，）（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）設數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，（2，3，4，

40、），求數(shù)列的通項公式；（3）設，若存在，且；使（），試求的最小值解：（1），當時，得，即 由， ，,又符合上式，是以1為首項，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）知，（），.又，即，數(shù)列是為1首項，為公比的等比數(shù)列，（3）由（2）知，則.= ，.，.又，的最小值為7點評：本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力8與立幾知識結(jié)合的不等式例25在中，分別為邊上的點，且。沿將折起（記為），使二面角為直二面角當點在何處時，的長度最小，并求出最小值；當?shù)拈L度最小時，求直線與平面所成的角的大??；當?shù)拈L度最小時，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑解法一：連接，設，則。因

41、為，所以，故，從而，故。又因為，所以，當且僅當取等號。此時為邊的中點，為邊的中點。故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；連接，因為此時分別為的中點，故，所以均為直角三角形，從而，所以即為直線與平面所成的角。因為，所以即為所求；因，又，所以又，故三棱錐的表面積為。因為三棱錐的體積，所以。法二：因，故設，則所以，當且僅當取等號。此時為邊的中點。故當為的中點時，的長度最小，其值為；因，又，所以。記點到平面的距離為，因，故，解得。因，故；同“法一”法三：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，則，所以，當且僅當取等號。此時為邊的中點，為邊的中點。故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；設為面的法向量，因，

42、故取，得。又因，故。因此，從而，所以；由題意可設為三棱錐的內(nèi)切球球心，則，可得。與同法可得平面的一個法向量，又，故，解得顯然，故點評：本題是將立幾問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題轉(zhuǎn)化與化歸的思想是中學數(shù)學最基本的思想方法，就是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或者已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體直觀的問題，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題9與概率統(tǒng)計知識結(jié)合的不等式問題(山東省濰坊市2008年5月高三教學質(zhì)量檢測)為宣傳2008年北京奧運會，某校準備成立由4名同學組成的奧運宣傳隊，經(jīng)過初選確定5男4女共9名同學成為候選人，每位候選人當選奧運會宣傳隊隊員的機會是相同的.（1）記

43、為女同學當選人數(shù)，求的分布列并求e；（2）設至少有n名男同學當選的概率為時n的最大值.解：（1）的取值為0、1、2、3、4.的分布列為01234pe=+2+3+4= （2）的最大值為2點評：此題是利用分類討論思想求解的實際上大部分概率分布列問題在解答時需要用到分類討論思想一、選擇題：1、不等式解集是（）a(0,2)b(2,+)cd(,0)(2,+)2函數(shù)的定義域為（ ）a（1，2）（2，3）bc（1，3）d1，33設命題甲為:;命題乙為:;則甲是乙的( )a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件.4若函數(shù)是定義在r上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得 的取

44、值范圍是（ ）abcd（2，2）5設a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（）（a）（b）（c）（d）6. 不等式組的解集為(c ) (a) (0,)；(b) (,2)；(c) (,4)；(d) (2,4)。7、若不等式|x-1|a成立的充分條件是0x4，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） a、a1b、a3c、a1d、a38集合ax|0，bx | x -b|a，若“a1”是“ab”的充分條件， 則b的取值范圍是（ ）a2b0b0b2c3b1d1b29設實數(shù)，滿足，當0時，的取值范圍是（ ） a， b， c， d，10若動點（）在曲線上變化，則的最大值為（ ）abcd211若關于的不等式4

45、的解集是m，則對任意實常數(shù)，總有（ ）a.2m，0m； b.2m，0m； c.2m，0m； d.2m，0m12若關于x的不等式x2ax6a0有解，且對于任意的解x1，x2恒有|x1x2|5，則實數(shù)a的取值范圍為( )a25a24或0a1b25a24或1a1c25a20或0a1 d25a24或0a2二、填空題：13設函數(shù)，若，則x1與x2的關系為_14若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為 15、已知點（x0，y0）在直線ax+by=0，(a，b為常數(shù))上，則的最小值為.16、設a，b r，且a+b =1，則的最大值是_.三、解答題：17、已知函數(shù)的圖象與軸分別

46、相交于點a、b，（分別是與軸正半軸同方向的單位向量），函數(shù).（1）求的值；（2）當滿足時，求函數(shù)的最小值.18、(浙江省重點中學2008年5月)已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，且（）求的最大值；（）證明：；（）探究：數(shù)列是否單調(diào)？19設f(x)是定義在的奇函數(shù)，g(x)的圖象與f(x)的圖象關于直線x=1對稱，而當 時，（1）求f(x)的解析式；（2）對于任意的求證：（3）對于任意的求證：（14分）20已知，點p是函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點，點p關于原點的對稱點q的軌跡是函數(shù)y=g(x)的圖象.（1）當0a1，x時，總有2f(x)+g(x)m恒成立，求m的范圍.21解關于的不等式：22(陜西師大

47、附中2008年高三第八次)（）已知函數(shù),求證:函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；（）已知函數(shù),若在上至少存在一點, 使得成立,求實數(shù)的取值范圍. 參考答案：1c提示：原不等式轉(zhuǎn)化為，解此不等式組可得x的范圍.2a提示：由題意可知，.3因為甲成立,乙不一定成立,但乙成立,甲也成立,所以,選(b).4d提示：函數(shù)是定義在r上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且,f(2)=0, 在上的x的取值范圍是,又由對稱性,在r上f(x)b時，恒成立，ab時，不成立；（d）中，分子有理化得恒成立，故選（c）.6c7b提示：t=|x1|在x0,4的最大值為3，故a3.8d提示：由題意得：a：1x1,b:baxa+b由”a=1”是“”的

48、充分條件.則a：1x1與b: b1x1+b交集不為空.所以2b g(x),得x+2x2-x-6,即(x+2)(x-4)0, 得-2x0,則-3,其中等號當且僅當x+2=1,即x=-1時成立 的最小值是-3.18（），=，（2分）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減在區(qū)間內(nèi)，（2分）（）用數(shù)學歸納法證明： 當時， ，成立； 假設當時，成立當時，由及，得，（2分）由() 知，在上單調(diào)遞增，所以，而， 故19(1)由題意知f(x+1)=g(1-x) 當當，由于f(x)是奇函數(shù)（2）當 （3）當20設點q的坐標為（x,y），由點p、q關于原點對稱，得p點坐標為（x,y）.又點p在函數(shù)y=f(x)的圖象上，y=，即y=得g(x)= .（1） 由2f(x)+g(x)0得，0a1，且x時恒成立.記，則問題等價于而令t（1x），t，可證得h（x）上單調(diào)遞減.h(t)的最小值為h（1）1，又a1，f（x）的最小值為0，故m的取值范圍為m021. 解