非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與迭代法結(jié)合使用的算法

1、非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與迭代法結(jié)合使用的算法 貴州工業(yè)大學(xué) 碩士學(xué)位論文 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與迭代法結(jié)合使用的 算法 姓名：王湘美 申請學(xué)位級別：碩士 專業(yè)：運籌學(xué)與控制論 指導(dǎo)教師：曹素元;周國利 20040430 621518 Y 摘要 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與選代法結(jié)合使用的算法 摘 要 非線性方程組的求解是一個古老而困難的問題，時至今日，除了Gauss的代 數(shù)基本定理和群論證明的五次和五次以上方程不能根式解這兩個指導(dǎo)性定理外，并 無特別的新近展自計算機問世以后，非線性方程組的求解，幾乎全部集中在算法 研究上就目前而論，這方面的文獻(xiàn)已浩如煙海

2、，不能一一涉及下面提供幾本經(jīng) 過概括整理的書籍，以窺全貌李慶揚21，蔡大用，白峰杉31，【4l， MichaelTHeath 151通過這些文獻(xiàn)可以看出，算法可以分為幾類： 第一類：局部收斂算法這一類算法是以Newton法為基礎(chǔ)的迭代算法眾 所周知，它的優(yōu)點是收斂快，但對初值依賴性很強一般只能求出方程組的某一解 第二類：大范圍收斂算法這一類算法對初值沒有本質(zhì)要求，而且能求出方程 組的多個解以基于Brouwer不動點定理構(gòu)造性證明的單純形剖分算法和同倫算 法為代表對于單純形算法，可參閱文獻(xiàn)f21，其致命的弱點是工作量太大，特別 當(dāng)問題規(guī)模比較大時，計算量的增加相當(dāng)顯著，同時算法程序?qū)崿F(xiàn)比較困難而

3、同 倫算法的重要弱點也是計算量比較大 基于對目前非線性方程組的數(shù)值求解方法的分析，求方程組全體解的問題是一 個相當(dāng)困難的問題，目前仍沒有成熟的算法，因此蔡大用在31中說，求非線性代 Pl 數(shù)方程組全部解是當(dāng)今的前沿性課題 【3l 19 本論文就是從這里作為切入點進(jìn)行討論的 一個求箍體解的算法，可以看作一個集值映射即：輸入方程組專 I翻輸出該方程組的全體解因為機器計算時方程組中蘊含的常數(shù)可能產(chǎn) 生小擾動因此首先必須考慮求整體解算法的穩(wěn)定性問題本文定義兩類性質(zhì)的算 法： I ?+貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文+?+ 未經(jīng)；：者、導(dǎo)師同蒯 h一一，、 摘要 非線性方捏組解集的穩(wěn)定性以及敷逢凡輅與迭代法結(jié)

4、合使用的囂i去 1 算法A它輸出方程組的精確解集； 2 算法B它輸出方程組的近似解集 并用集值映射的方法得出了下面結(jié)論： l，對于算法A有： a 算法A在Baire分類意義下，具有通有穩(wěn)定性 b 在算法A下，存在不可整體逼近的情況，并給出了一個充分條件在此條 1，I：F指出有些文章中建議把方程組求解化為晟優(yōu)化問題求解是不妥當(dāng)?shù)囊驗榇藭r 若方程組的解若不唯一則方程組的解都是最優(yōu)化問題的非本質(zhì)解， 2對于算法B有： a 算法B在Baim分類意義下，同樣具有通有穩(wěn)定性并且在此算法下所有 精確解都是本質(zhì)的，因而不斷減少精度指標(biāo)，可整體逼近精確解 b 利用算法B，可建議基于數(shù)論網(wǎng)格算法去求較多的近似解從

5、而逼近精確解 文章最后繪出了一個數(shù)論網(wǎng)攝與迭代法結(jié)合使忍的算法，此算法實際上是為迭 代法提供較好的初值點，然后用迭代法逐個求解通過幾個算例的計算說明該算 法是十分有效的 關(guān)鍵字：數(shù)論網(wǎng)格，序貫算法上半連續(xù)，下半連續(xù)，通有穩(wěn)定性 II l貫州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文?t? 非錢性方程姐鬟的穩(wěn)定性以廈教論括與選代法婊音使用的洼 Abstract nonlinear isoldand of eq齟tions difficultproblem Solving system and famousGauss with Upto now，except theory fivedegree or equation

6、 be thanfive s01red degree cannot theories higher byformuas，directed are the smallSince used very is to computer find widelycalculation，to outnumericsolutionisthe center studying asaset takeeach viewWe algorithm withthis this We paper begin isanaccurate algorithm twoclass and algorithms：one suggest

7、mappiug， all called is algorithmalgorithm called A：another approximate algorithm cobtainsomeconclusionsas themethodofset using mapping，we BBy accuratesolutionsetof of system algorithmA，the following： 1 For iswith andthereexists鋤ecannot nonlinear equationsgenericstability be onthis the of approximate

8、d： 2 Basedview，turningproblemsolving ofnonlinear tothe be may imperfect system equationsoptimizingproblem is becauseifthesolutionnot isnot essentialtothe unique。each Bthe optimizing pmbl鈕； 3 Foralgorithm solutionsetof approximate of nonlinear is system alsowith equations andall generic stability acc

9、urate solutions23e essentialThisshowsthat approximate algorithms are thanaccurate super thelast of aIgorithmsThen this we part paper an numbertheoretic suggestalgorithmcombining netand method approximate for the of nonlinear Usingsolvingsystems resultsof equations，numerical these shewthe and example

10、s ofthis feasibility efficiency algorithm K斜Wards：N岫婦州he搴Iic嗽SNIo，Upp盯continuous,Lowefco“曲， Ge腿疵詒由ni哆 ?+?貴州工業(yè)大學(xué)研究生硬士論文? 前言 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以投數(shù)論網(wǎng)格與迭代法結(jié)合使用的算法 前 言 基于對目前非線性方程組的數(shù)值求解方法的分析，求方程組全體解的問題是一 個相當(dāng)困難的問題，目前仍沒有成熟的算法，因此蔡大用在【3】中說，求非線性代 數(shù)方程組全部解是當(dāng)今的前沿性課題 嘲Pll9 本論文就是從這里作為切入點進(jìn)行討論的本文首先將討論非線性方程組的解 集的穩(wěn)定性，然后給出一個數(shù)

11、論網(wǎng)格與迭代法結(jié)合使用的算法 一個求方程組整體解的算法，可以看作一個集值映射即：輸入方程組jl算I 闊?輸出該方程組的全體解因為機器計算時方程組中蘊含的常數(shù)可能產(chǎn)生小擾 動因此首先必須考慮求整體解算法的穩(wěn)定性問題本文定義兩類性質(zhì)的算法：算 法A，它輸出方程組的精確解的解集；算法B，它輸出方程組的近似解的解集 在第二章的第一節(jié)中，將研究算法A，即求非線性方程組整體解的一個精確 算法這個算法的輸入是非線性方程組，輸出是該方程組的全體解將它看成一個 集值映射由于機器求解時，方程組中的數(shù)據(jù)會出現(xiàn)小擾動，因而在機器上求解實 際上是求原方程組解的近似問題，自然要考慮穩(wěn)定性和是否會丟失原方程組的某些 解定理

12、211說明在Baire綱的意義下，“大多數(shù)”方程組的解都可以被整體 逼近而不會被丟掉定理213說明某些方程組的解 非本質(zhì)解 可能不能被逼 近這就表明設(shè)計一個求方程組全體解的算法是一個較難的問題，即使設(shè)計出這樣 的算法，也不能保證對區(qū)域D上所有有解的方程組都能實現(xiàn)整體解的逼近這種 現(xiàn)象并非算法設(shè)計的過失，而是方程組本身的結(jié)構(gòu)屬性所造成的從這個意義上來 說，本節(jié)是對這類問題算法的一個宏觀而抽象的說明同時，還得出有些文章中建 議把方程組求解化為最優(yōu)化聞題求解是不妥當(dāng)?shù)摹｀餅榇藭r若方程組的解不唯一， 則方程組的解都是最優(yōu)化問題的非本質(zhì)解，即不穩(wěn)定解 在第二章的第二節(jié)中，將研究算法B，即求方程組所有近似

13、解的近似算法首 先定義了方程組的口-近似解以及本質(zhì)o近似解口可以是看作在機器求解時預(yù)先 l ?+貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文?+ 前言 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與選代法結(jié)合使用的算法 給定的精度，近似算法中，達(dá)到此精度即停機定理221及其推論指出非線性 方程組的6一近似解構(gòu)成的解集在一個剩余集上是穩(wěn)定的也就是說，在Baire分 類的意義下，大多數(shù)方程組的G近似解集是通有穩(wěn)定的定理222及推論指 出原方程組的精確解都是本質(zhì)o近似解定理223表明，當(dāng)給定的精度趨于 零時，近似解集依Hausdorff距離收斂于精確解解集，所以可以用近似解解集來 整體逼近精確解解集比較21節(jié)的結(jié)論，可知這和

14、精確算法有本質(zhì)的區(qū)別，因 此本文建議采用近似算法解非線性方程組，例如用數(shù)論網(wǎng)格算法去求較多的近似解 從而逼近精確解本文將在第四章將給出一個數(shù)論網(wǎng)格與選代法結(jié)合使用的算法 本文在第二章的第三節(jié)中，給出了這樣的函數(shù)列：定義在-1，l】的函數(shù)列 -1， 當(dāng)x【-l，一； fax sin nnx ，當(dāng)x小五1，奇； 1， 當(dāng)x 去1】 容易驗證，在一致拓?fù)湟饬x下fn x 不收斂，但在圖像拓?fù)湟饬x下fn x 收斂到集 r |-l，x-1，o ； 值映射f x 卜1，l】，X o；，所以說圖像拓?fù)湎碌氖諗枯^一致拓?fù)湎碌氖諗?ll， x o，1】 弱本章就是在較前兩節(jié)弱的拓?fù)湎卵芯考涤成浒獾姆€(wěn)定性首先

15、定義了集 值映射的包含解，實際上是方程解的個拓展定理232的推論指出，在圖像 拓?fù)湟饬x下集值映射的包含解構(gòu)成的集合具有通有穩(wěn)定性 第三章討論最優(yōu)化問題的近似最優(yōu)解設(shè)X是一個緊度量空間，C x 是X上 連續(xù)函數(shù)的全體K X 是x中非空緊子集的全體記乘積空間 Y K X c x ，Y中任意點 A，f 都對應(yīng)著一個最優(yōu)化問題：求xA，使 ?+貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文?+ 2 前言 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與選代法結(jié)臺使用的算法 f x minf y 此類最優(yōu)化問題已有如下結(jié)論：在Bake分類意義下，大多數(shù) M 最優(yōu)化問題只有唯一解，此時最優(yōu)解是本質(zhì)最優(yōu)解若最優(yōu)解問題的解不唯一，則 所有

16、最優(yōu)解均不是本質(zhì)晟優(yōu)解本章定義了最優(yōu)化問題的6一近似最優(yōu)解 其中6可 以是預(yù)先給定的任一精度 以及本質(zhì)6一近似最優(yōu)解然后在此基礎(chǔ)上研究近似最優(yōu) 算法的穩(wěn)定性，得出了不一樣的結(jié)論定理31的推論指出6一近似最優(yōu)解構(gòu)成 的解集具有通有穩(wěn)定性定理32的推論表明最優(yōu)解一定是本質(zhì)6一近似最優(yōu)解， 可以被近似最優(yōu)解整體逼近，這一結(jié)論顯然優(yōu)于已有結(jié)論，也說明了近似算法的優(yōu) 越性 分析以上結(jié)論，不管是對方程組求解而畝，還是對非線性規(guī)劃而言，近似算 法優(yōu)于精確算法，所以數(shù)論網(wǎng)格算法不失為一個好算法本文的第四章，給出一個 數(shù)論網(wǎng)格與迭代法結(jié)合使用的算法這一算法結(jié)合了數(shù)論網(wǎng)格算法的穩(wěn)定性和迭代 算法的收斂速度快的特點

17、此算法實際上是為迭代法提供較好的初值點，然后用迭 代法逐個求解通過幾個算例的計算，說明該算法是十分有效的本文算法條件寬 松，應(yīng)用廣泛，具有通用性和穩(wěn)健性；同時因為與迭代法的結(jié)合，其計算量小，具 有高效性 ”+貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文?+ 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與選代法結(jié)臺使用的算法 預(yù)備知識 第一章 11關(guān)于集值映射的一些基礎(chǔ)知識 111集值映射的連續(xù)性和USCO映射 設(shè)X和Y是兩爪Hausdorff空間，F(xiàn)：X專2。是一個集值映射xDX， 3 如果對Y中的任意開集G，G 對任意 r x。 ，一定存在Xo的鄰域U x。 ， XU xo 有GF x ，則稱F在Xo是上半連續(xù)的如果

18、對Y中的任意開集O， OnF x。 +，一定存在xD的鄰域U xo ，對任意XU xo 有 0nF x 巾，則稱F在x。是下半連續(xù)的如果F在xo既上半連續(xù)又下半連續(xù)， 則稱F在xD是連續(xù)的 如果F在X上上半連續(xù)，且對VxX，F(xiàn) X 是非空緊集，則稱F是一個USCO 映射 上半連續(xù)和下半連續(xù)是兩個不同的概念，不能由其中一個成立推出另一個也成 立。但是有以下Fort定理 112剩余集、Fort定理及通有性 Set 剩余集 Residual 稱拓?fù)淇臻gx中集Q為x的剩余集，是指Q為一列在X中稠密開集的交集 引理111 Fort定理 設(shè)X是一個H卸sdorfr空間，Y是一個度量空間，F(xiàn)：X斗27是一個

19、USCO 映射，則存在X中的一個剩余集Q，使VxQ，F(xiàn)在Q上是下半連續(xù)的，從而 是連續(xù)的 ?”貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文?4 非線性療程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與選代法結(jié)臺使用的算法 證明：見參考文獻(xiàn)5】 注意到如果X是Balm空間 特別地，X是完備度量空問 ，則引理111中 集Q是稠密剩余集 通有性 Generic ： 如果存在X中的一個稠密剩余集Q，使VxQ，依賴于x的性質(zhì)P都成立 則稱性質(zhì)P在X上是通有的 Genetic 根據(jù)本文需要，以下均在X是完備度量空間下討論 113閉映射與usco映射 集，則稱F是閉映射 引理112設(shè)F：X斗2。是閉的，則： 定義閉映射 ； 2 VxX，F(xiàn) x

20、 是閉集 證明： x，y Graph F ，YF x 2 由1 HP得 引理113設(shè)F：X- 2Y是閉映射，Y是緊集，則F在X上是一個usco 映射，反之亦然 證明： 先證充分性由引理122，XCVxX，F(xiàn) x 亡Y是閉集，Y是緊集，所 ”貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文?+ 5 第一章預(yù)備知識 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論阿格與選代法結(jié)合使用的算法 以是緊集下面證明對VxX，F(xiàn)在X是上半連續(xù)的 用反證法，如果F在x不是上半連續(xù)的，則存在，Y中開集G，G3F x 3x。X，X。斗x，3y。F x。 ，而Y。萑G因Y。YG，YG是緊集，不 妨設(shè)y。_YYG因F是閉的，由引理12，必有yF“ cG，

21、矛盾F 在X上是一個USCO映射 Y，下要證 下證必要性設(shè)Vx。X，X。一x，Vy。EF x。 ，Y。-4 YF x 用反證法，設(shè)y匹F x ，因F x 緊，由緊集分離定理，存在y的鄰域 Y。0另一方面，Y。斗Y，存在N2 0，當(dāng)0【 N2時，Y。U y 這 樣當(dāng)當(dāng)a N N_l，M 時， Y。EU y nO，此與U y nO 巾矛盾， 故F是閉映射 114兩個集合的Hausdorff距離及引理 A，B是完備度量空間X中的兩個集合，記九+A xX：d x，A 九 ， 稱這樣定義的距離為集合AB的Hausdorff距離 引理114 設(shè)x完備度量空間，K x 是x中的所有非空閉子集構(gòu)成的空間，則K

22、 x 是 Hausdorff度量下的完備度量空間 證明：見參考文獻(xiàn)28】 6 ?貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文? 第一章預(yù)蕃知識 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與迭代法結(jié)合使用的算法 12數(shù)論網(wǎng)格和序貫算法 Theoritc net簡稱NTnet 121均勻散布和數(shù)論網(wǎng)格 Number 定義121一致分布及數(shù)論網(wǎng)格 C S為一正整數(shù)， 5表示S維空間的單位立方體，即 c sXl1,0x21，-一，0s 5 x xl，x2，?，Xs 10 Xs1 Pj ：l表示 5， C8中的一點列，其中圪 x?，x；，x： 對于任意7 Yj，k C j !I N。 Y 表示 Pn 中適合諸不等式0X? 丫j

23、 1iS 的個數(shù)若 布，或稱點列 Pn 為C8上的一個數(shù)論網(wǎng)格 NT_net 引理121數(shù)論網(wǎng)格是s維立方體中的稠密集 證明： 以S 2為例，設(shè)s Pn 二為二維單位立方體c2中數(shù)論網(wǎng)格，要證s在C2 中稠密，只需證對VYC2，及其任一方鄰域u y，6 ，必有u y，6 Nsm若 7S，結(jié)論顯然成立，下證_y盛S的情形記落在鄰域U T，6 的點數(shù)記為 N。 U Y，6 ，其頂點如下圖所示分別記為T，Y：，扎，y。顯然有以下關(guān)系式： 翌!唑!：塑：旦盟一必一必。必 n n n 且 n 由數(shù)論網(wǎng)格的定義知s在c2中一致分布，所以liras，。uplNnn Yj 一I訓(xùn)f 。，對 任意i 1,2，3

24、，4均成立 “+貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文? 7 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與迭代i去結(jié)合使用的算法 當(dāng)n m時，右邊趨于IY。llY：I一卜。I+IY，I 0，所以當(dāng)n_m時 稠密當(dāng)s 2時同理可證，所以數(shù)論網(wǎng)格是s維立方體中的稠密集J 122一些常用的數(shù)論網(wǎng)格 在實際使用時，我們推薦下面的數(shù)論網(wǎng)格 以下 代表取小數(shù)部分 ： a Dirichlet網(wǎng)格： 取Y _，i ，所生成的點列為： 1石 ll厄h l厄， If-I“2 其中弓 1js 為互不相同的素數(shù)，例如前s個素數(shù) b 等冪和網(wǎng)； 設(shè)p為素數(shù)及q p舡”取7 q，q2，q5 ，生成點列為： nqk鈾2卜， nq8 ， 1“

25、2- b 華 羅庚 一王 元 網(wǎng)： 這一方法是華羅庚與王元 1964 建議的：此處p為2s+3的素數(shù)， V 2cos并卜書， 2cos銣 生成的點列為； 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與迭代法結(jié)合使用的算法 2ncos備卜s昝?，卜s剝，cn乩z， 123序貫算法 SNTO 王元、方開泰著數(shù)論在統(tǒng)計中的應(yīng)用一書中已有詳細(xì)說明，在此不作 說明 +”+貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文 9 第二章非線性方程組的解集的穩(wěn)定性 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與姥代法結(jié)臺使用的算法 第二章 非線性方程組的解集的穩(wěn)定性 21非線性方程組的精確解解集的穩(wěn)定性 在本節(jié)中，我們將用集值分析的方法討論非線性方

26、程組的精確解解集的穩(wěn)定 性，即研究用精確算法求非線性方程組的精確解時的穩(wěn)定性為此，視求解非線 性方程組的精確算法為一個集值映射，即下文中的集值映射A 設(shè)R“為歐氏空間，n為維數(shù)DR“為一緊集F：D_R“F x1 0定 義_：r個D上非線性方程組記T F x ：F x ：D斗R“為一連續(xù)映射，且 F x 0在D中的所有解構(gòu)成的集合則A：T20 20為D中一切子集所成的 集 定義了一個集值映射 在T中定義距離如下 p,ff,，E 為： p- F1，F(xiàn)2 蹬罌幟 x 一中乳x I 習(xí)知T在pl下為一度量空間 引理211 T在pJ下完備 證明： 因p1定義的收斂是一致收斂，因此任給 Fm cT b-C

27、auchy列。則一定存 在連續(xù)的F x ，使Fm_F，今證方程F x O在D上有解因FmT，故在D ”“+貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文*ratio 10 第二章非線性方程組的解集的穩(wěn)定性 菲線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與選代法結(jié)臺使用的算j圭 不妨設(shè)x。斗XD 否則可選一子列 ，從而 愀x+ 一F Xm 卜p。 F，F(xiàn)m 對任給5 0，上不等式右端第一項由F的連續(xù)性；第二項由一致收斂性，對充分 大m皆可任意小故對充分大m，有忙 x+ ，llt示F x o，即FT，完 螯tl：已證 I 定理211集值映射A：T哼20在D上是useo映射 證明： D是緊集，由引理112，只需證明A是閉映射即對

28、 j VFmT，F(xiàn)m FVx。A F皿 一。寸X，要證xA F 由引理211的 推論211 由Fort定理，在T中存在一個稠密剩余集R，集值映射A對VFER都是 連續(xù)的這就是說對VFR，F(xiàn) x 0在D中所有解構(gòu)成的解集是穩(wěn)定的，因 而可以被整體逼近，沒有一個會被漏掉 對于VFT，F(xiàn)硭R時，A F 在F處可能不下半連續(xù)，這時情況較為復(fù)雜，討 論如下 定義211 +“貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文? 非線性方程組解集的穩(wěn)定性以及數(shù)論網(wǎng)格與選代法結(jié)臺使用的算法 第二章非線性方程組的解集的穩(wěn)定性 A Fm nU xo 巾即Xo是一個可被任意逼近的解 定理212當(dāng)F x 0只有唯一解時，這個解一定是本質(zhì)解

29、證明： 設(shè)F x o只有唯一解x。，即A F Xo 任給xo鄰域u X。 3x。 由A上半連續(xù)， V Fm cT且F皿斗F時，一定存在M 0，當(dāng)m M時 對n，程組的解，沒有唯一性的相關(guān)結(jié)論，所以由定理212基本不能判斷 本質(zhì)解r而給出非本質(zhì)解的充分條件 對VFT記 X X 吼 |I FX xD X ，J_1-_。_-_-_L 定理213 VFT，A F 中的點x。如果滿足： 1 xD不是方程F x 0的唯一解； 2 xo是某一吼 x 的極小 或極大 點； 則Xo是方程F x 0的非本質(zhì)點 證明： 為證明xo是非本質(zhì)點，我們只要證明存在x。的鄰域U x。 ，存在一個序列 Ill Fm cT F

30、jF，但A k nU X。 巾即可下面的證明是構(gòu)造性的不 ”+貴州工業(yè)大學(xué)碩士研究生論文?+ ?+ 塑三蘭j壁竺!塑!望墮壁壘墮塑星竺 !些生查矍里堅叁塑整塞堡墜璺塑堡塑堅蘭些垡苧壟盒堡里塑莖鯊 妨設(shè)x。是吼 x 的極小值點因xo不是唯一解，jxlA F 且xlx。?存在開 nGo m又因xo是紀(jì) 曲的解，同時又是極小 3 ，RGl 集G1 而 ，Go VxO xo ，幣 x 0用P表R“中歐氏 點，因此存在鄰域U cGD， 距離，構(gòu)造函數(shù)fI x 如下： f1 x， 麗案卷麗，撕。 這個函數(shù)具有如下性質(zhì)：a 距離函數(shù)p x 關(guān)于X連續(xù)，因此f1 x 在D上連續(xù) 卜： fl x 0 m 1,2， Fm x ：F x 十一1 m O Iu