高考專題突破一高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題講義

1、1若函數(shù) f(x)在 R 上可導(dǎo)，且滿足f( x) xf (x)0，則 ()A 3f(1) f(3)C3f(1) f(3)D f(1) f(3)答案B解析由于 f(x) xf (x)，則f x f x x f xf x在 R 上是單調(diào)遞減函數(shù)，xx20 恒成立，因此x f 3 f(3) 故選 B. 3 12若函數(shù) f(x)kx ln x 在區(qū)間 (1， )上單調(diào)遞增，則k 的取值范圍是 ()A (， 2B (， 1C2， )D 1， )答案D解析由于 f (x) k1，f(x) kx ln x 在區(qū)間 (1， )上單調(diào)遞增 ? f (x) k10 在(1，xx )上恒成立由于 k1，而 01x

2、0 時(shí)， f(x)在 (0， 3 )上單調(diào)遞減，1/ 11在 (2a， )上單調(diào)遞增，32a所以由題意知f( 3 )3，故選 D.4(2016 國(guó)甲卷全 )若直線 ykx b 是曲線 y ln x 2 的切線， 也是曲線y ln(x 1)的切線，則 b_.答案1 ln 2解析y ln x 2的切線為 y 1x ln x1 1(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為 x1 )x1y ln(x 1)的切線為 y1xln( x2 1) x2(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x2)，x2 1x2 111x1x2 1，ln x1 1 ln x2 1 x2，x21解得 x11， x21， b ln x1 1 1 ln 2.2222212e x 1

3、e x5設(shè)函數(shù) f(x)， g(x) ， x (0， )，不等式g xf x恒成立，xkxe ，對(duì)任意x12k 1則正數(shù) k 的取值范圍是 _答案1， )解析因?yàn)閷?duì)任意x1， x2 (0， )，不等式 g x1 f x2恒成立，所以k g x1 max.kk1k 1 f x2min因?yàn)?g( x)e2 xx，e所以 g (x) e2 x(1x)當(dāng) 0x0；當(dāng) x1 時(shí)， g (x)0) x當(dāng)且僅當(dāng) e2x 1，即 x1時(shí)取等號(hào)，故f(x)min 2e.xe所以 g x1 max e 1，應(yīng)有k 1，f x2 min2e 2k 12又 k0，所以 k 1.2/ 11題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)例

4、1(2015 課標(biāo)全國(guó) )已知函數(shù) f(x) ln x a(1 x)(1)討論 f(x) 的單調(diào)性；(2)當(dāng) f( x)有最大值，且最大值大于2a 2 時(shí)，求 a 的取值范圍解 (1)f(x)的定義域?yàn)?(0， )， f (x) 1 a. x若 a0，則 f (x) 0，所以 f(x)在 (0， )上單調(diào)遞增若 a0，則當(dāng) x 0， 1 時(shí)， f (x) 0；當(dāng) x1， 時(shí)， f (x) 0.所以 f(x)在0，1上單aaa調(diào)遞增，在1， 上單調(diào)遞減a(2)由 (1)知，當(dāng) a0 時(shí)， f(x)在 (0， )無最大值；1111當(dāng) a0 時(shí)， f(x)在 x a取得最大值，最大值為f a lna

5、 a 1 a ln a a1.1因此 f a 2a 2 等價(jià)于 ln a a1 0.令 g(a) ln a a 1，則 g(a)在 (0， )上單調(diào)遞增，g(1) 0.于是，當(dāng)0 a 1 時(shí)， g(a) 0；當(dāng) a 1 時(shí)， g(a) 0.因此， a 的取值范圍是(0,1)思維升華利用導(dǎo)數(shù)主要研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值已知f(x)的單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為不等式 f (x) 0 或 f( x)0 在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題；含參函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)題型，解此類題的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與給定區(qū)間位置關(guān)系的討論，此時(shí)要注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行分析已知 a R，函數(shù) f(x) ( x2 ax)ex (x R

6、， e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng) a 2 時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù) f(x)在 ( 1,1)上單調(diào)遞增，求a 的取值范圍解 (1) 當(dāng) a2 時(shí)， f(x) ( x2 2x)ex，所以 f (x) ( 2x 2)ex ( x2 2x)ex ( x22)ex.2xx，令 f (x)0，即 ( x 2)e 0，因?yàn)?e 0所以 x220 ，解得2x0，所以 x (a 2)x a0即 ax22xx 1 2 1x 1x 1 (x 1) 1 對(duì) x ( 1,1)都成立x 1令 y (x1) 1 ，則 y 1 1 20.x 1x 11所以 y (x 1)在(1,1)上單調(diào)遞增，所以

7、 y0.(1)求 f( x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若 f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間 (1， e上僅有一個(gè)零點(diǎn)(1)解 函數(shù)的定義域?yàn)?(0， )由 f(x)x2k x2 k kln x(k0) ，得 f (x) x x.2x由 f (x) 0，解得 x k(負(fù)值舍去 )f(x) 與 f (x)在區(qū)間 (0 ， )上隨 x 的變化情況如下表：x(0 ， k)k(k， )f (x)0f(x)k 1 ln k2所以， f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0， k)，單調(diào)遞增區(qū)間是 (k， )f(x) 在 x k處取得極小值 f(k 1 ln k.k)2(2)證明 由(1) 知， f(x)在區(qū)間

8、(0， )上的最小值為 f(k)k 1 ln k2.4/ 11k 1 ln k因?yàn)?f(x)存在零點(diǎn)，所以0，從而 ke，當(dāng) ke 時(shí)， f(x) 在區(qū)間 (1， e上單調(diào)遞減且 f( e) 0，所以 x e是 f(x)在區(qū)間 (1， e上的唯一零點(diǎn)當(dāng) ke 時(shí)， f(x)在區(qū)間 (0， e)上單調(diào)遞減且f(1)1e)e k0， f(20，2所以 f(x)在區(qū)間 (1， e上僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，若 f(x)存在零點(diǎn)，則 f(x) 在區(qū)間 (1， e上僅有一個(gè)零點(diǎn)思維升華函數(shù)零點(diǎn)問題一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式

9、)組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一已知函數(shù) f(x)x33x2 ax 2，曲線 y f(x)在點(diǎn) (0,2)處的切線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2.(1)求 a；(2)證明：當(dāng) k0.當(dāng) x0 時(shí)， g (x) 3x2 6x 1 k0，g( x)單調(diào)遞增，g( 1) k 10 時(shí)，令 h(x) x3 3x2 4，則 g(x) h(x) (1 k)xh(x)2h (x) 3x 6x3x( x 2)， h(x)在 (0,2)上單調(diào)遞減，在(2， )上單調(diào)遞增，所以 g( x)h(x) h(2) 0.所以 g( x) 0 在 (0， )上沒有實(shí)根綜上， g(x)0 在 R 上有唯一實(shí)根，即曲線 y f(x)

10、與直線 y kx 2 只有一個(gè)交點(diǎn)題型三利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題例 3 已知 f(x)xln x，g(x) x2 ax 3.(1)對(duì)一切 x(0， )， 2f(x) g(x) 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；5/ 11(2)證明：對(duì)一切1 2成立x (0， )，都有 ln xex ex(1)解? x(0， )，有2xln x x2 ax 3，則 a 2ln x x 3x，3設(shè) h(x) 2ln x x x(x0) ，則 h( x)x 3 x 1，2xx (0,1)時(shí)， h (x)0 ，h(x)單調(diào)遞增，所以 h( x)min h(1) 4.因?yàn)閷?duì)一切x (0， )，2f(x)g(x)恒成立，所以

11、a h(x)min 4.(2)證明問題等價(jià)于證明x2xln xex e(x(0， )1f(x) xln x(x (0， ) 的最小值是e，當(dāng)且僅當(dāng) x 1時(shí)取到，設(shè)m(x) xx2(x (0， )，ee e則 m (x)1 x1，x ，易知 m(x)max m(1) ee當(dāng)且僅當(dāng)x 1 時(shí)取到從而對(duì)一切x (0， )，都有 ln xe1x ex2成立思維升華 求解不等式恒成立或有解時(shí)參數(shù)的取值范圍問題，一般常用分離參數(shù)的方法，但是如果分離參數(shù)后對(duì)應(yīng)的函數(shù)不便于求解其最值，或者求解其函數(shù)最值煩瑣時(shí)，可采用直接構(gòu)造函數(shù)的方法求解329已知函數(shù)f(x) x 2x x a， g(x) 2x x，若對(duì)任

12、意的x1 1,2，存在x2 2,4 ，使得 f(x1) g(x2)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _ 答案73 ， 42解析問題等價(jià)于f(x)的值域是 g(x)的值域的子集，1顯然， g(x)單調(diào)遞減， g(x)max g(2) ，6/ 1123g(x)min g(4)；對(duì)于 f(x)， f (x)3x2 4x 1，令 f (x) 0，解得 x 13或 x1，當(dāng) x 變化時(shí)， f (x)， f(x)的變化情況列表如下：x 11)11， 1)1(1,2)2( 1，3(33f (x)00f(x)a 4遞增4 a遞減a遞增a 227 f(x) max a 2， f(x)min a4，1a 2 2，23a

13、 4 4 ，7 3 a 4， 2.x a ln x 3，其中 a R，且曲線 y f(x)在點(diǎn) (1，f(1) 處的切線垂直于直1已知函數(shù) f(x) 4 x2線 y1x.2(1)求 a 的值；(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間1a 1解(1) 對(duì) f(x)求導(dǎo)得 f (x) 4 x2 x，由 f(x)在點(diǎn) (1， f(1) 處的切線垂直于直線135y x，知 f (1)a 2，解得 a .244x53(2)由 (1)知 f(x) 44x lnx 2，2x 4x 5令 f (x) 0，解得 x 1 或 x 5.因?yàn)?x 1 不在 f(x)的定義域 (0， )內(nèi)，故舍去當(dāng) x (0,5)時(shí)， f (

14、 x)0，故 f(x)在(5， )內(nèi)為增函數(shù)綜上， f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(5 ， )，單調(diào)減區(qū)間為(0,5)2 (2015 重慶 )設(shè)函數(shù) f(x)3x2 ax(a R)xe(1)若 f( x)在 x0 處取得極值， 確定 a 的值，并求此時(shí)曲線y f(x)在點(diǎn) (1 ，f(1) 處的切線方程；(2)若 f( x)在 3， )上為減函數(shù)，求a 的取值范圍解 (1) 對(duì) f(x)求導(dǎo)得6x a ex 3x2 ax exf (x) ex 2 3x2 6a x ax，e因?yàn)?f(x)在 x 0 處取得極值，所以 f (0) 0，即 a 0.當(dāng) a0時(shí)， f(x)3x2 3x2 6x33，從而 f(

15、x)在點(diǎn) (1，f(1)處的x ，f (x)x，故 f(1) ，f (1)eeee33切線方程為y (x 1)，化簡(jiǎn)得3x ey0. 3x2 6 a x a(2)由 (1)知 f (x)ex.令 g(x) 3x2 (6a)x a，由 g(x) 0 解得 x1 6 a a2 36， 66 aa2 36x2.6當(dāng) x x1 時(shí)， g(x) 0，即 f( x) 0，故 f(x)為減函數(shù)；當(dāng) x1 xx2 時(shí)， g(x) 0，即 f( x) 0，故 f(x)為增函數(shù)；當(dāng) x x2 時(shí)， g(x) 0，即 f( x) 0，故 f(x)為減函數(shù)6 aa2 369由 f(x)在3， )上為減函數(shù)，知x26

16、3，解得 a 2，故 a 的取值范圍為9， .23已知函數(shù)f(x) xln x， g(x) ( x2ax 3)ex(a 為實(shí)數(shù) )(1)當(dāng) a 5 時(shí)，求函數(shù)y g(x)在 x 1 處的切線方程；(2)求 f( x)在區(qū)間 t， t 2(t0)上的最小值解 (1) 當(dāng) a5 時(shí)， g(x) ( x2 5x3)ex， g(1) e.又 g( x) ( x2 3x2)ex，故切線的斜率為 g (1) 4e.8/ 11所以切線方程為y e 4e(x 1)，即 4exy 3e 0.(2)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?(0， )， f (x) ln x 1，當(dāng) x 變化時(shí)， f (x)， f(x)的變化情

17、況如下表：x(0， 1)1(1， )eeef (x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增1 當(dāng) t 時(shí)，在區(qū)間 t， t 2 上 f(x)為增函數(shù)，所以 f(x)min f(t) tln t. 當(dāng) 0t1 時(shí)， f( 2b) f(2b) 4b2 2b14b 2b1 b，f(0) 11 時(shí)曲線 y f(x)與直線 yb 有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)綜上可知，如果曲線y f(x)與直線 yb 有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么 b 的取值范圍是 (1， )5 (2016 四川 )設(shè)函數(shù) f(x) ax2 a ln x，其中 a R.(1)討論 f(x) 的單調(diào)性；(2)確定 a 的所有可能取值，使得f(x)1 e1x在區(qū)間 (1， )內(nèi)恒成立 (e 2.718 為自然對(duì)x數(shù)的底數(shù) )解 (1)f (x) 2ax 12ax2 1(x0)xx當(dāng) a0 時(shí)， f (x)0 時(shí)，由 f (x) 0，有 x 1 .2a此時(shí)，當(dāng)x 0，1時(shí)， f (x)0 ，f(x)單調(diào)遞增2a11x 1(2)令 g(x) x 1， s(x) e x.x 1則 s (x) e 1.而當(dāng) x1 時(shí)， s (x)0，又由 s(1) 0，有 s(x)0 ，從而當(dāng) x1 時(shí)， g(x)0.當(dāng) a0， x1 時(shí)