1994考研數(shù)三真題及解析

1、1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上）(1)已知 f (x) = -1,則 limf (x。- 2x) - f (x。 x)設(shè)方程eXy + yI 2dy=COSX確定y為x的函數(shù)，則aidx0a2,其中 Q H0,i =1,2丄，n，則 A-=|_an(C) r=r1(D)r與1的關(guān)系由C而定設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=嚴(yán) 0瓷 h以丫表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件0,其他，二、選擇題（本題共5小題，每小題3分,滿分 合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符.

2、)(1)曲線y =e丄arctan(x+1)(x-2)X2 +x +1的漸近線有(A) 1 條(B) 2(C) 3(D) 4 設(shè)常數(shù)A 0 ,而級(jí)數(shù)送a；收斂，則級(jí)數(shù)送（-1）n（A） 發(fā)散(B)條件收斂(C)anJn2 + 扎絕對(duì)收斂（D）收斂性與幾有關(guān) 設(shè)A是mx n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣B = AC的秩為r1,則(B)(A) r 1（2）兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx. 設(shè) 0 P( A) 1,0 C P(B) c1 ,P(A B) + P(AB) =1,則(A)事件A和B互不相容(C)事件A和B互不獨(dú)立(B)(D)事件A和B相互對(duì)立事件A

3、和B相互獨(dú)立(5)設(shè)Xi,X2,L ,Xn是來自正態(tài)總體N (巴CT2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X是樣本均值，記21nS2=5： (Xi n -1y21nS2S(Xin -1 i 呂-X)2,2 1 ns；=5： (Xin y2 1 nSj 2 (Xin y-X)2,則服從自由度為n -1的t分布的隨機(jī)變量是(A) tX -卩=SJn -1(B)X -4GSEJn -1(C) t(D)S4石三、(本題滿分6分)計(jì)算二重積分JJ(x + y)dxdy,其中D= (x, y)D四、(本題滿分5分)設(shè)函數(shù)y = y(x)滿足條件pfF,(0)=2,y(0)=-4,求廣義積分，y(x)dx.五、(本題滿分5分

4、)八、(本題滿分5分)F(x)2nxx設(shè)函數(shù) f (x)可導(dǎo)，且 f (0) =0,F(x) = JjZf (xn -tn)dt,求 lim七、(本題滿分8分)已知曲線y=ajx(a：0)與曲線y=l nJ?在點(diǎn)(x0, y0)處有公共切線，求:(1)常數(shù)a及切點(diǎn)(Xo,yo)；八、（本題滿分6分）假設(shè)f（X）在a,+OC）上連續(xù)，f”（x）在（a,xc）內(nèi)存在且大于零，記F(x)=空亠(xg,X a證明F（x）在（a,垃）內(nèi)單調(diào)增加.九、（本題滿分11分） 設(shè)線性方程組；X1 +盼2 +a；X3 a；,lxa2xa|x = a2,23X +43X2 +a3X3 =a3,Z +44X2 aXs

5、 =a4.(1)證明：若ai,a2,a3,a4兩兩不相等,則此線性方程組無(wú)解; 設(shè)a= = k,a2 - = k（k H 0）,且已知附，打是該方程組的兩個(gè)解,其中1 1p 1,P2 =1L1-1”寫出此方程組的通解.十、（本題滿分0設(shè)A =8分)0 111有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,求X和y應(yīng)滿足的條件.L1卜一、（本題滿分8分）假設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2,X3,X4相互獨(dú)立，且同分布P伙=0 = 0.6,PXj =l = 0.4(i =1,2,3,4),X1X3X2X4的概率分布.十二、（本題滿分8分）假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X （毫米）服從正態(tài)分布 N（A,1）,內(nèi)徑小于10或大于12

6、的為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損.已知銷 售利潤(rùn)T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑 X有如下關(guān)系：1-1, X10,I T =20,10 X 12.問平均內(nèi)徑卩取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.)(1)1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析【答案】In 30；【解析】利用被積函數(shù)的奇偶性，當(dāng)積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，被積函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，積分為 被積函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，可以化為二倍的半?yún)^(qū)間上的積分 .所以知原式=2 X 2kdX + L】_2X2+x22 Xdx = 2.0277dx2 1, 2dx2+x22

7、=ln 6 ln 2 = ln 3.02=ln (2 +x )【答案】1【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有f x0H 螞f(X0中:)0).所以由此題極限的形式可構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義的形式，從而求得極限值.由于lim f(X0 -2x) -f(X0 -x)7Xf(X0 -2x)-f(X0)- f (Xo -X)+ f(X0)= lim XTXf (x0 -2x) - f (Xo)f (x0-x) - f (x0),=(-2)l四+四-= -2 fx0f-(x01.-2x-Xx 1所以 原式=lim =- =1.T f(X02x)-f(X0X) 1(3)【答案】y一弓需【解析】將方程e + y2 = cosx看

8、成關(guān)于x的恒等式,即y看作x的函數(shù).方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得xy丄 eXy(y+xy)+2yy=si nx= y，= SinXxexy +2y【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】?jī)珊瘮?shù)乘積的求導(dǎo)公式:f(X)0X)4(X)Q(X)+f(X)g(X).11【答案】Hianaia2IIIIIIL0IIIan J.【解析】由分塊矩陣求逆的運(yùn)算性質(zhì)a2an,有公式【BB;所以，本題對(duì)A分塊后可得A=1aia2a2IIIIIIIIIIIIanan9【答案】 64【解析】已知隨機(jī)變量X的概率密度，所以概率P j X 11.2j12 = 4,求得二項(xiàng)分2布的概率參數(shù)后，故YB(3, )4由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式,所求概率為龍【相關(guān)知

9、識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式:二、選擇題(1)【答案】【解析】由于1lim , arctanXI 2 +x+1(x+1)(x-2)k =0,1,川，n,若丫 “B(n, p),則 p丫 =k=C：Pk(1-P)n(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(B)本題是關(guān)于求漸近線的問題.丄兀故為該曲線的一條水平漸近線1lim e arctan0X +x+1 (x+1)(x-2) 故X = 0為該曲線的一條垂直漸近線，所以該曲線的漸近線有兩條 故本題應(yīng)選(B).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】水平漸近線：若有l(wèi)im f(X)= a ,則y = a為水平漸近線;鉛直漸近線：若有吧f(x2&則x = a為鉛直漸近線;,

10、b=xmf(x)ax存在且不為處,則y = ax+b為斜漸斜漸近線：若有a=lim f (x)F x近線.【答案】(C)【解析】考查取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)(-1)n|an|Jn2 +扎弓an2+1丄2 n2 +扎a2(第一個(gè)不等式是由+ b2)得到的.)1-收斂,(此為P級(jí)數(shù):n 二 2nCnzi 7當(dāng)P1時(shí)收斂；當(dāng)P1時(shí)發(fā)散.) n二 nPc+丄收斂，由比較判別法，得送2n2n#(T)n|an收斂.故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,因此選(C).(3)【答案】(C)【解析】由公式r(AB) min(r(A),r(B),若 A可逆,則r(AB) r(B) =r(EB) =rAd(AB) r(AB).從而r(AB)

11、=r(B),即可逆矩陣與矩陣相乘不改變矩陣的秩,所以選(C).(4)【答案】(D)【解析】事實(shí)上,當(dāng)OcP(B)1時(shí),P(A|B) = P(A|B)是事件A與B獨(dú)立的充分必要條件,證明如下:若 P(A|B) = P(A|B),則P(AB) - P(AB)P(AB)-P(B)P(AB) = P(B)P(AB),P(B)1-P (B)P(AB) = P(B) P(AB) +P(AB) = P(B)P(A),由獨(dú)立的定義，即得A與B相互獨(dú)立.若A與B相互獨(dú)立，直接應(yīng)用乘法公式可以證明P(A|B)= P(A|B).P(A| B) =1 - P(A| B) =P(A|B).(D).(B)由于事件B的發(fā)生

12、與否不影響事件 A發(fā)生的概率，直觀上可以判斷 A和B相互獨(dú)立. 所以本題選【答案】【解析】由于X1,X2|,Xn均服從正態(tài)分布N(巴CT2),根據(jù)抽樣分布知識(shí)與t分布的應(yīng)用模式可知XF N(O,1),%n其中XXi ,n y-X)2L 尸(n-1),(x)VnX -AX-AJ*括嚴(yán)一刃2S2 t( n-1).因?yàn)閠分布的典型模式是：設(shè)X LI N(O,1), 丫口 72( n),且X,Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量T =服從自由度為n的t分布，記作TLIt( n). JY/n因此應(yīng)選(B).三、(本題滿分6分)I解析】方法1 :由心2*配完全方得(込仁|.11令x=rcosT,y=rsin日，引入極坐

13、標(biāo)系(r,0),則區(qū)域?yàn)?2I(31D 斗(r,e)|09 271,0 r .ff(x +y)dxdy= f兀d9 護(hù)(1 + rcos0 +rsin9) TdrD2兀1/32兀I d9 + - J- Jo (cos日 +sin0)d9L兀d0 +-(sin0 cos日)0=兀f 1方法2：由x2+y2x + y+1,配完全方得IX-丨+I 2丿11引入坐標(biāo)軸平移變換：u = x- ,v= y-,則在新的直角坐標(biāo)系中區(qū)域 D變?yōu)閳A域22r 2 2 3D1屮恥討+ y =u +v +1,則有 dxdy =dudv，代入即得ff(x + y)dxdy = ff(u +v + 1)dudv = ff

14、ududv + ffvdudv + ffdudv .DDID1D1DI由于區(qū)域D1關(guān)于v軸對(duì)稱，被積函數(shù)u是奇函數(shù),從而JJududv = 0.D13同理可得JJvdudv=0,又D；dudv = D1 =-兀，D23故仃(X+ y)dxdy =兀.D2四、(本題滿分5分)【解析】先解出y(x),此方程為常系數(shù)二階線性齊次方程，用特征方程法求解.方程yU4y+4y =0的特征方程為a2 +4幾+ 4=0,解得人=二2=2故原方程的通解為 y= (C, +C2X)edx.由初始條件 y(0) = 2, y (0) = 4 得 G = 2,C 0,因此，微分方程的特解為 y = 2e-x.再求積分

15、即得L y(x)dx= j0 22xdx-2x=b虬計(jì) xd(2x)弋m-h【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】用特征方程法求解常系數(shù)二階線性齊次方程y”+ py + qy =0 :首先寫出方程y”+py + qy =0的特征方程：r2 + pr +q = 0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特征根1,2 ；分三種情況:(1)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根r,2,則通解為y = Ge內(nèi)+C2e護(hù);(2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根rxr, =2,則通解為 y=(G +C2x)e1;(3) 一對(duì)共軛復(fù)根r1,2=a iP ,則通解為 y =eE (G cosPx + C2 sin Px).其中Ci,C2為常數(shù).五、(本題滿分5分)【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

16、Pf,首先求 f,由題設(shè)可得excfy=2xarcta n +exy21再對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)即得x 1+p I xy x y yy= 2xarctan丄-22 - = 2x arctan丄-y .x x +y x +yx2x22 2X -ylx丿【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù)U =(x, y),v=(x,y)都在點(diǎn)(x,y)具(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)Z = f (u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) z = f(W(x, y)V(x,y)在點(diǎn)(X, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有excz cu& cv+cu excv ex宀fF ；exex0(x A a),（x）在（a,

17、邑）上單調(diào)上升，于是W（X）A9（a） =0 .所以F（x）在（a,址）內(nèi)單調(diào)增加.方法2： F(x)(x)(x-a)-呼)-f(a)L 1 f(x)f(x)-f(a)l(X-a )2由拉格朗日中值定理知f（X）- f（a） = f徉），（ 0.于是F(x)在(a,址)內(nèi)單調(diào)增加.V2【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.分式求導(dǎo)數(shù)公式：伯=u v -uv32.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f (x)滿足在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b )內(nèi)可導(dǎo),那么在(a,b )內(nèi)至少有一點(diǎn) 匕(av2仍是Ax =0的0-1aE - A =-xA-1-y=仏-1)-10得到A的特征值為為=ip =1,為=一1.十、(本題滿分

18、8分)【解析】由 A的特征方程，按照第二列展開，有:=(兀1)2仏+1) = 0,-1 九解；如果是Ax =b的一個(gè)解，n是Ax = 0的一個(gè)解，則E 仍是Ax = b的解.由題設(shè)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此，幾=1必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 從而r(E -A) =1.這樣才能保證方程組(E -A)X =0解空間的維數(shù)是2,即有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.由初等行變換,將E -A第一行加到第三行上，第一行乘以x后加到第二行上有-x 0-yTL-1 0 1 0-11-X y0由r(E A) =1,得 x和y必須滿足條件卜一、(本題滿分8分) 【解析】記Y, = X1X4,% = X2X3,則X =Y -冷隨機(jī)變量Y,和Y相互獨(dú)立且同分布， 由A與B獨(dú)立可得出P(AB) = P(A)P(B),故P 儀=1 = pX1