中學(xué)數(shù)學(xué)微專題九

1、微專題九立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題解題策略立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題就變化起因而言大致可分為兩類：一是平移；二是旋轉(zhuǎn)就所求變量而言可分為三類：一是相關(guān)線、面、體的測度；二是角度；三是距離立體幾何動(dòng)態(tài)問題的解決需要較高的空間想象能力與化歸處理能力，在各省市的高考選擇題與填空題中也時(shí)有出現(xiàn)在解“動(dòng)態(tài)”立體幾何題時(shí)，如果我們能努力探尋運(yùn)動(dòng)過程中“靜”的一面，動(dòng)中求靜，往往能以靜制動(dòng)、克難致勝1去掉枝蔓見本質(zhì)大道至簡在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題時(shí)，需從復(fù)雜的圖形中分化出最簡單的具有實(shí)質(zhì)性意義的點(diǎn)、線、面，讓幾何圖形的實(shí)質(zhì)“形銷骨立”，即從混沌中找出秩序，是解決“動(dòng)態(tài)”問題的關(guān)鍵例1如圖1，直線l平面，垂足為

2、o.正方體abcda1b1c1d1的棱長為2.點(diǎn)a是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)b1在平面內(nèi)，則點(diǎn)o到線段cd1中點(diǎn)p的距離的最大值為_圖1答案22解析從圖形分化出4個(gè)點(diǎn)o，a，b1，p，其中aob1為直角三角形，固定aob1，點(diǎn)p的軌跡是在與ab1垂直的平面上且以ab1的中點(diǎn)q為圓心的圓，1從而opoqqp2ab1222，當(dāng)且僅當(dāng)oqab1，且點(diǎn)o，q，p共線時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)直線ab1與平面成45角2極端位置巧分析窮妙極巧在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題時(shí)，對于移動(dòng)問題，由圖形變化的連續(xù)性，窮盡極端特殊之要害，往往能直取答案例2在正四面體abcd中，e為棱bc的中點(diǎn)，f為直線bd上的動(dòng)點(diǎn)，則平面aef與

3、平面acd所成二面角的正弦值的取值范圍是_答案3，12解析本例可用極端位置法來加以分析aef與平面acd所成二面角最小(如圖3)，其正弦值為2.先尋找垂直：記oacd的中心，g為oc的中點(diǎn)，則bo面acd，eg面acd.如圖2，過點(diǎn)a，e，g的平面交直線bd于點(diǎn)f.此時(shí)，平面aef與平面acd所面二面角的正弦值為1.由圖形變化的連續(xù)性知，當(dāng)點(diǎn)f在直線bd的無窮遠(yuǎn)處時(shí)，看成ef和bd平行，此時(shí)平面3綜上可知，平面aef與平面acd所成二面角的正弦值的取值范圍為3，1.答案12，12h，則ah為平面a1bd的法向量，且a1ah.因?yàn)閘與直線cc1所成角的大小為，即l與64直線aa1所成角的大小為，

4、那么l與直線ah所成角的取值范圍為46，46.又因?yàn)閘與4圍是12，12.圖2圖323用法向量定平面定海神針在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題時(shí)，有關(guān)角度計(jì)算問題，用法向量定平面，可將線面角或面面角轉(zhuǎn)化為線線角例3在長方體abcda1b1c1d1中，已知二面角a1bda的大小為6，若空間有一條直線l與直線cc1所成的角為4，則直線l與平面a1bd所成角的取值范圍是_5解析如圖4，過點(diǎn)a作aebd于點(diǎn)e，連接a1e，則a1ea6.過點(diǎn)a作aha1e于點(diǎn)直線ah所成的角和l與平面a1bd所成的角互余，所以直線l與平面a1bd所成角的取值范5圖44鎖定垂面破翻折獨(dú)擋一面在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題時(shí)，

5、對于翻折或投影問題，若能抓住相關(guān)線或面的垂面，化空間為平面，則容易找到問題的核心例4如圖5，在等腰rtabc中，abac，bc2，m為bc的中點(diǎn)，n為ac的中點(diǎn)，d為線段bm上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于兩端點(diǎn))，abd沿ad翻折至b1ddc，點(diǎn)a在平面b1cd上的投影為點(diǎn)o，當(dāng)點(diǎn)d在線段bm上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說法錯(cuò)誤的是()2222222)又amoame180ameb1dk，由最小角定理知b1db2180d點(diǎn)o的軌跡是圓弧答案c解析如圖6，記b2為b1在平面adc上的射影，由b1ddc可得b2ddc.記b2d交ab于點(diǎn)k，則dc平面b1b2k.在b1dc中，作emb1d交b1c于點(diǎn)e，連接ae，則平面aem平

6、面b1b2k，平面aem平面b1dc，從而點(diǎn)a在平面b1dc上的射影o在直線em11112上取am的中點(diǎn)h，則nhmc，oham，on均為定長易知點(diǎn)o的軌1，跡是以點(diǎn)h為圓心、為半徑的圓弧，因?yàn)閏o2mo2mc2，且mo(0,1)所以co(1，得b1dkb1da，于是amob1da180.故選c.圖65覓得定值明軌跡動(dòng)中有靜在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題時(shí)，探尋變化過程中的不變關(guān)系，是解決動(dòng)態(tài)問題的常用手段例5如圖7，已知線段ab垂直于定圓所在的平面，b，c是o上的兩個(gè)點(diǎn)，h是點(diǎn)b在ac上的射影，當(dāng)點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)h運(yùn)動(dòng)的軌跡是()圖7a圓b橢圓c拋物線d不是平面圖形答案a解析如圖8，設(shè)o的半徑

7、為r，取bc的中點(diǎn)m，則圖8ombc，mhmc.因?yàn)閍b平面bcd，所以bc是ac在平面bcd上的射影，從而om平面abc，得ommh，于是oh2mo2mh2mo2mc2r2，即ohr，亦即動(dòng)點(diǎn)h在以o為球心、r為半徑的球面上又因?yàn)閎had，b為定點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)h又在過點(diǎn)b且垂直于直線ad的定平面上，故點(diǎn)h運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓6構(gòu)建函數(shù)求最值以數(shù)解形在解決立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題時(shí)，對于一些很難把握運(yùn)動(dòng)模型(規(guī)律)的求值問題，可以通過構(gòu)建某個(gè)變量的函數(shù)，以數(shù)解形例6(2016浙江)如圖，在abc中，abbc2，abc120.若平面abc外一點(diǎn)p和線段ac上一點(diǎn)d，滿足pdda，pbba，則四面體pbc

8、d的體積的最大值是_圖9答案12解析設(shè)m，n分別為ac，ap的中點(diǎn)，因?yàn)閎abpbc，pdda，所以點(diǎn)b在平面pac上的射影為pac的外心o，且點(diǎn)o在直線nd上又因?yàn)閍bbc2，abc120，所以ac23，22圖10boab2oa2ab2am21，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)o與點(diǎn)m重合時(shí)取到等號(hào)設(shè)adx，pdc，因?yàn)閍c23，所以dc23x，11則pdc2x(23x)sin2x(23x)12323，2當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)m與點(diǎn)d重合時(shí)取到等號(hào)因此，四面體pbcd的體積為1131vpbcd3pcdob3212，此時(shí)點(diǎn)o，m，d重合，即點(diǎn)d為ac的中點(diǎn)，且平面pbd與平面abc垂直相交于bd.總之，解立體幾何動(dòng)態(tài)問題的過程

9、實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)建模的過程，是創(chuàng)新的過程方程、函數(shù)和圖形變換是基礎(chǔ)，因此夯實(shí)基礎(chǔ)是解決此類問題的關(guān)鍵化整為零的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、分類討論思想等是解決立體幾何動(dòng)態(tài)問題的最佳策略真正破解動(dòng)態(tài)立體幾何問題，需要整體把握動(dòng)態(tài)變化過程，更需要深厚的空間想象之內(nèi)功如果說招式是術(shù)，那么內(nèi)功就是修行，即不斷積累知識(shí)與技巧、經(jīng)驗(yàn)與經(jīng)歷1、數(shù)論是人類知識(shí)最古老的一個(gè)分支，然而他的一些最深?yuàn)W的秘密與其最平凡的真理是密切相連的。2、數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)。3、我總是盡我的精力和才能來擺脫那種繁重而單調(diào)的計(jì)算。4、一個(gè)數(shù)學(xué)家越超脫越好。5、數(shù)學(xué)是各式各樣的證明技巧。6、數(shù)學(xué)是鍛煉思想的體操。7、整數(shù)的