圓錐曲線極點極線問題[參照分析]

1、圓錐曲線的極點與極線在高考中的應(yīng)用劉定勇（安徽省寧國中學(xué) ，242300） 圓錐曲線的極點與極線理論在高考中應(yīng)用較多，原因有二：其一，有高等數(shù)學(xué)背景，結(jié)論非常完美；其二，運用高中知識解決問題，能夠考查學(xué)生思維、計算多方面能力.文1給出了兩個較為簡潔的結(jié)論：命題1 橢圓，點對應(yīng)的極線. 雙曲線，點對應(yīng)的極線.拋物線，點對應(yīng)的極線.命題 2 圓錐曲線中極線共點于P，則這些極線相應(yīng)的極點共線于點P相應(yīng)的極線.反之亦然.稱為極點與相應(yīng)極線對偶性. 以上結(jié)論在文2中有證明.如圖給出橢圓的極點與對應(yīng)極線的簡圖：P在橢圓內(nèi)P在橢圓外題1、（2010湖北文15）.已知橢圓的兩焦點為,點滿足,則|+|的取值范圍

2、為_，直線與橢圓C的公共點個數(shù)_.解析：第一個問題，依題意知，點P在橢圓內(nèi)部.畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得范圍為.第二個問題，其實是非常容易做錯的題目.因為在橢圓的內(nèi)部，所以很多學(xué)生誤以為直線與橢圓一定有兩個交點，但直線并不經(jīng)過.還有學(xué)生看到這樣的結(jié)構(gòu)，認(rèn)為是切線，所以判斷有一個公共點.事實上，是對應(yīng)的極線，在橢圓的內(nèi)部，由命題2畫出相應(yīng)極線，此直線與橢圓不可能有交點，故交點數(shù)為0個.如果能夠用極點與極線理論，本題能夠快速解決.而常規(guī)方法只能聯(lián)立方程用判別式判斷了.題2、（2010重慶文21）已知以原點為中心，為右焦點的雙曲線的離心率.（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（）如題圖，已知過點的直

3、線：與過點（其中）的直線：的交點在雙曲線上，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，求的值. 解析：（I）C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C的漸近線方程為 （II）如圖，直線和上顯然是橢圓的兩條切線，由題意點在直線和上，MN即是由E點生成的橢圓的極線.因此直線MN的方程為 MN的方程求出后剩下工作屬常規(guī)計算.設(shè)G、H分別是直線MN與漸近線及的交點，由方程組解得故因為點E在雙曲線所以分析：如果是常規(guī)方法求直線MN的方程，只能是觀察：由題意點在直線和上，因此有故點M、N均在直線上，因此直線MN的方程為應(yīng)該說很難觀察，所以很多學(xué)生只能不了了之.題3、（2010江蘇18）、在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點

4、為A、B，右焦點為F.設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m0,.（）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；（）設(shè)，求點T的坐標(biāo)；（）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）.解析：（）（）很簡單，略.（）我們先看看常規(guī)做法：點T的坐標(biāo)為直線，與橢圓聯(lián)立得直線，與橢圓聯(lián)立得當(dāng)時，直線MN方程為： 令，解得：.此時必過點D（1，0）；當(dāng)時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）.所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）.分析：怎么樣？目瞪口呆吧.應(yīng)該說，一點也不難，但是很難算對.如果知道點T的坐標(biāo)為，事實上T的軌跡是，可以看成是一條極線：，所以它一定過定點D（1，0）

5、. 題4、已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點分別為，。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點，直線與交于點S。試問：當(dāng)m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。解法一：（）設(shè)橢圓的方程為。1分，。4分橢圓的方程為。5分（）取得，直線的方程是直線的方程是交點為7分,若，由對稱性可知交點為若點在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則。9分設(shè)與交于點由得設(shè)與交于點由得10，12分，即與重合，這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上。13分解法二：（）取得，直線的方程是直線的方程

6、是交點為7分取得，直線的方程是直線的方程是交點為若交點在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上。解法三：（）由得即。記，則。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上。13分2006高考全國卷（21）（本小題滿分為14分）已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M。（I）證明為定值；（II）設(shè)的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。（21）（本小題滿分13分）設(shè)，點的坐標(biāo)為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程。（20）（本小題滿分13分）點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.（I）證明: 點是橢圓與直線的唯一交點；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列。我們知道，各省市專家在命制有關(guān)圓錐曲線高考題時，一定會站在一個比較高的位置出發(fā)，比較新穎的角度來考慮.而往往他們能夠一眼看穿的結(jié)論、一招制敵的辦法卻不為高中同學(xué)所熟知.所以，如果我們能夠了解一些圓錐曲線的極點極線知識，可以