奧數(shù)圖形問題解題十八招(三)

1、 -10 - 奧數(shù)圖形問題解題十八招(三) 吳乃華 七、代換。 能代換的先決條件是必須相等，只有兩個量在某個度量方面相等才能代換，俗稱等量代換。我國古代 故事“曹沖稱象”就是依據(jù)了這個道理， 以稱石頭的重量，代替了大象的重量。 在解答幾何圖形的問題中, 還要善于發(fā)現(xiàn)圖形中部分之間的關(guān)系，有時還得用作輔助線的辦法來牽線搭橋。 例22、如右圖，圓周上的 A、C兩點，把圓周分成相等的兩段弧，圓的 周長為12. 56cm，面積等于面積，求平行四邊形ABCD的面積。 解：A、C兩點把圓周分成相等的兩段弧， 說明A、C兩點是圓的直徑的兩個端點。 直徑也是平行四邊形的對角線。 既然陰影的面積等于陰影的面積，

2、那么空白的面積也應(yīng)等于空白的面積。如果將和 代換，和代換，平行四邊形的面積等于圓的面積。 本題算出圓的面積，也就是算出平行四邊形的面積了。 12.56 氷2.56 ( 4 X12.56)= 12.56 (cm2) 例23、右圖中，ABCD是個直角梯形(/ DAB=Z ABC= 90)。以AD為一邊 向外作長方形 ADEF ,其面積為6.36平方厘米.連接BE交AD于P,再連接PC.則 圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？(第十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽 試題) 解：連接AE、BD. 三角形PBD的面積=三角形 PCD的面積； ED, 三角形PBD與三角形PDE面積的和，是個鈍角三角形，可以

3、看作是底為 高為EF的三角形，所以 三角形EAD的面積=三角形 EBD的面積=陰影部分的面積 =長方形ADEF的一半 所以，陰影部分的面積是：6.36十2= 3.18 (平方厘米)。 例24、如圖，正方形 ABCD的邊長為10,形BEFG的邊長為6，那么陰影部分的面積是多少? Ab D 解：連接正方形CHIJ的對角線IC 由于DF和IC都是正方形的對角線， 可知，IC / DF , 再連接FC,這樣，DFCI就是個梯形。 在梯形DFCI中，由于同底、同高， 所以，陰影部分的面積是： SA DFI = SA DFC = 10X（ 10-6）十 2= 20 例25、正方形ABCD的面積為9平方厘米

4、，正方形 EFGH的面積為64平方厘米，如圖所示，邊BC 落在EH上，已知三角形 ACG面積為6.75平方厘米，則三角形 ABE的面積為多少平方厘米？（第 17屆 D “華羅庚金杯”邀請賽初賽試題） 解：連接EG。 因為EG與AC都為正方形的對角線 所以，EG/ AC 在平行四邊形ACGE中， 則三角形ACE與三角形ACG為同底（AC）、等高 的兩個三角形，則兩者面積相等 即 SA ACE = SA ACG = 6.75, 因為正方形 ABCD的面積為9平方厘米，則 SA ABC= 9十2 = 4.5 （平方厘米） 所以，三角形 ABE的面積為：SA ACE- SA ABC = 6.75- 4

5、.5 = 2.25 （平方厘米） 八、借算 在憑題中的已知條件解題遇到困難的時候，我們就要留意觀察問題要求的部分，與題中哪些相關(guān)部分 圖形相似或面積相等，這時，采用“借算”的辦法，問題就迎刃而解了。 “借算”這個提法是否有問題，在語法上是否有毛病，我想，既然能說“代言”、“代書”，我想“借 算”應(yīng)當(dāng)是可以存在的。 題26、右圖中，ABCD是長方形，已知 BC= 8.4厘米，AB= 5厘米，ABEF是平行四邊形，DH= 4厘米, 那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？ 解：觀察圖形可知：圖中平行四邊形底 AB,即長方形的寬，長方形的長 BC,即平行四邊形的高。因 F 大圓半徑為R，則大正方形邊長為 2R 陰影面積可表示為：（2R） 2-（ 2r） 2= 200 化簡：4R2 4呂=200，得 R2- r2= 50 因此，兩個圓之間的環(huán)形的面積為： nR2- nr= 50 n= 50X3.14 = 157 （平方厘米）. 例36、已知圖中陰影部分的面積是 解：小三角形的面積可以表示為： 大三角形的面積可以表示為： 25平方厘米，求圓環(huán)的面積。 r2 R2 則