期望方差完美知識點試題

1、學生姓名學管師數學年級上課時間月 日教學重難占八、X來表示，并且 X是隨著試驗的結果的不同 隨機變量常用大寫字母 X , Y,川表示. 則稱 X為離散型隨機變量.目nm歸知識內容1 離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量 如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結果可以用一個變量 而變化的，我們把這樣的變量X叫做一個隨機變量.如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，離散型隨機變量的分布列教 學 過 程XX1X2XiXnPP1P2PiPn將離散型隨機變量 X所有可能的取值Xi與該取值對應的概率Pi (i =1, 2, 111, n)列表表示:X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列.我們稱這個表

2、為離散型隨機變量2. 幾類典型的隨機分布兩點分布如果隨機變量X的分布列為X10Ppq其中0 c P 1 , q =1 - P，則稱離散型隨機變量 X服從參數為P的二點分布.二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產品合格記為1,不合格記為0,已知產品的合格率為80%，隨機變量X為任意抽取一件產品得到的結果，則X的分布列滿足二點分布.X10p0.2兩點分布又稱0-1分布，由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯 努利分布.超幾何分布一般地，設有總數為 N件的兩類物品，其中一類有 M件，從所有物品中任取n件(n N)，這n件 中所含這類物品件數X是一個離散型隨機變量，它取值為m

3、時的概率為m n _mM CN JMP(X =m) =5 Cr衛(wèi)(0 w m w l , l為n和M中較小的一個).X服從參數為N , M , n的 N，M和n，就可以根據公式求出 X取不同值時的概率我們稱離散型隨機變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱 超幾何分布.在超幾何分布中，只要知道P(X =m)，從而列出X的分布列.二項分布1 .獨立重復試驗A及A，并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同的條件下，n次獨立重復試驗.n次獨立如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結果 重復地做n次試驗，各次試驗的結果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)橹貜驮囼炛?，事?A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=cn pk(1

4、-p)n (k =0, 1, 2, III，n).2.二項分布若將事件A發(fā)生的次數設為X，事件A不發(fā)生的概率為q=1 - P，那么在n次獨立重復試驗中，事 件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X=k)=Cn pkq5，其中k=0, 1, 2, II), n .于是得到X的分布列X01knP00 nCn P qCn P qkj-kCn P qn n 0Cn p q由于表中的第二行恰好是二項展開式 (q+p)n =C0 p0qn +C； pdrHI + cn pkqn上+川C： 各對應項的值，所以稱這樣的散型隨機變量X服從參數為n , P的二項分布，記作 X B(n, P). 二項分布的均值與方差： 若離

5、散型隨機變量 X服從參數為n和P的二項分布，則E(X) = np , D(x) = npq (q =1 p).正態(tài)分布1. 概率密度曲線：樣本數據的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機變量中，如果把樣本中的任一數據看作隨機變量 這條曲線稱為X的概率密度曲線.X，則曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是 1，而隨機變量X落在指定的兩個數a ,b之間 的概率就是對應的曲邊梯形的面積.2. 正態(tài)分布定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變y化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量 的概率分

6、布近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量.1r屮2正態(tài)變量概率密度曲線的函數表達式為f (X) = L e 2芒,炸R，其V2 n 0X= !-Ox中卩，O是參數，且b ：0 ,二卩：母.式中的參數 卩和b分別為正態(tài)變量的數學期望和標準差.期望為卩、標準差為b的正態(tài)分布通常記作 n(4, b2).正態(tài)變量的概率密度函數的圖象叫做正態(tài)曲線.標準正態(tài)分布：我們把數學期望為0，標準差為1的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布.重要結論：正態(tài)變量在區(qū)間 岸-b, P+cT),(卩-2cr,卩+2cr),(卩-3。，卩十3cr)內，取值的概率分別是 95.4% , 99.7% .68

7、.3% ,0.3% ,正態(tài)變量在(二，+旳內的取值的概率為1，在區(qū)間(4-3口，卩+3cr)之外的取值的概率是 故正態(tài)變量的取值幾乎都在距 x=卩三倍標準差之內，這就是正態(tài)分布的 3口原則.若N (卩，&) , f (x)為其概率密度函數，則稱F (x) =P(匕w x ff (t)dt為概率分布函數，特別的，土土N(0 ,lj，稱4)(x) = f 丄edt為標準正態(tài)分布函數. CT皿廬Px*().c標準正態(tài)分布的值可以通過標準正態(tài)分布表查得.分布函數新課標不作要求，適當了解以加深對密度曲線的理解即可.3. 離散型隨機變量的期望與方差1. 離散型隨機變量的數學期望定義：一般地，設一個離散型隨

8、機變量 X所有可能的取的值是Xi , X2 ,，Xn，這些值對應的概 率是Pi , P2 ,Pn，則E(x) =XiPi +X2P2 +IH +XnPn，叫做這個離散型隨機變量 X的均值或數學 期望(簡稱期望).離散型隨機變量的數學期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平.2. 離散型隨機變量的方差一般地，設一個離散型隨機變量 X所有可能取的值是Xi , X2 ,，Xn，這些值對應的概率是 Pi , P2，Pn ,則 D(X) =(Xi -E(x)2pi +(X2 -E(X)2 P2 +HI +(Xn -E(X)2 Pn 叫做這個離散型隨機變量 X 的方差.離散型隨機變量的方差反映了離散隨機

9、變量的取值相對于期望的平均波動的大小(離散程度).D(X)的算術平方根 何X)叫做離散型隨機變量 X的標準差，它也是一個衡量離散型隨機變量波動 大小的量.3. X 為隨機變量，a ,b 為常數，則 E(aX +b) =aE(X)+b , D(aX+b) =a2D(X);4. 典型分布的期望與方差：二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為P，在n次二點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為np .二項分布：若離散型隨機變量X服從參數為n和P的二項分布，則E(X) = np , D(x) = npq (q =1 p).超幾何分布：若離散型隨機變量X服從參數為N , M , n

10、的超幾何分布，N2(N -1)則 E(X)= , D(X)= n(N n)(N-M)MN4.事件的獨立性 如果事件A是否發(fā)生對事件 這時，我們稱兩個事件 A, 如果事件A , A ,，A相互獨立，那么這B發(fā)生的概率沒有影響，即 P(B|A)= P(B),B相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件.n個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即p(Ai riA nriAn) = p(a)x卩(民咒卩內)，并且上式中任意多個事件a換成其對立事件后等式仍成立.5.條件概率對于任何兩個事件 A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符 號P(B|A) ”來表示.把由事件

11、 A與B的交(或積)，記做D=AnB (或D = AB ).【例11【例21【例31【例41【例51【例61【例71投擲1枚骰子的點數為匕，則的數學期望為（3.5C. 4D . 4.5同時拋擲4枚均勻硬幣80次,匕，則E的數學期望是（A. 20B . 25設4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數為C. 30D. 40從1,2 ,3,4,5,6這6個數中任取兩個，則兩數之積的數學期望為一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中率為 0.6，現(xiàn)共有4顆子彈，命中后尚余子彈數目E的期望為（）A. 2.44 B . 3.376 C . 2.376 D . 2.4一個籃球運動員投籃一次得3分

12、的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為C （ a、b、C忘（0 , 1 ）,已知他投籃一次得分的數學期望為2 （不計其它得分情況），則ab的最大值為（A.48B.24C.12甲乙兩人獨立解出某一道數學題的概率依次為P1 , P2（Pl 卩2）,已知該題被甲或乙解出的概率為0.8，甲乙兩人同時解出該題的概率為 R ,2 ；解出該題的人數X的分布列及EX .0.3，求:甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合 格就簽約乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約設每人面試 合格的概率都是 丄，且面試是否合格互不影響求簽約人數 的數學期望.2【

13、例8】【例9】【例10】周銷售量234頻數205030某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結果如下表所示：根據上面統(tǒng)計結果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；已知每噸該商品的銷售利潤為 2千元，匕表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元）若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求t的分布列和數學期望.某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為 -，科目B每次考試成績合格的概率3均為-.假設各

14、次考試成績合格與否均互不影響.在這項考試過程中，假設他不放棄所有2的考試機會，記他參加考試的次數為匕，求E的數學期望EE .某同學如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外（環(huán)數記為0）的概率為0.1，飛鏢落在靶內的各個點是橢機的已知圓形靶中三個圓為同心圓，半徑分別為30cm、20cm、10cm，飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數如圖中標示設這位同學投擲一次一次得到的環(huán)數這個 隨機變量X，求X的分布列及數學期望.【例11】【例12】【例13】【例14】某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即-、2、？，且各輪555被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為

15、問題能否正確回答互不影響. 求該選手被淘汰的概率；該選手在選拔中回答問題的個數記為匕，求隨機變量 匕的分布列與數學期望.（注：本小題結果可用分數表示）在某次測試中，甲、乙、丙三人能達標的概率分別為0.4 ,乙、丙能否達標彼此間不受影響.求甲、乙、丙三人均達標的概率；求甲、乙、丙三人中至少一人達標的概率；設X表示測試結束后達標人數與沒達標人數之差的絕對值，求 ex .0.5 , 0.8，在測試過程中，甲、X的概率分布及數學期望在1, 2, 3,，9這9個自然數中，任取3個數. 求這3個數中恰有1個是偶數的概率； 設為這3個數中兩數相鄰的組數（例如：若取出的數為2和2, 3,此時匕的值是2）.求隨

16、機變量t的分布列及其數學期望3,則有兩組相鄰的數1,甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約,甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設甲面試合 格的概率為1，乙、丙面試合格的概率都是 1，且面試是否合格互不影響.求：23至少有1人面試合格的概率；簽約人數X的分布列和數學期望.電話同時打入個數012345678概率P0.130.350.270.140.080.020.0100【例15】某公司 咨詢熱線”電話共有8路外線，經長期統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在 8點到10點這段時間內，外 線電話同時打入情況如下表所示：若這段時間內，公司只安排了 2位接

17、線員（一個接線員一次只能接一個電話）. 求至少一種電話不能一次接通的概率； 在一周五個工作日中，如果至少有三個工作日的這段時間（8點至10點）內至少一路電話不能一次接通，那么公司的形象將受到損害，現(xiàn)用該事件的概率表示公司形象的損害度”求上述情況下公司形象的 損害度”.求一周五個工作日的這段時間（8點至10點）內，電話同時打入數 匕的期望.【例16】某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖.（例如:at C T D算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為 ，路段CD發(fā)生堵車事件的 10概率

18、為E(X).-）.記路線At C T F T B中遇到堵車次數為隨機變量X，求X的數學期望15112F320A 丄 C 丄 D1015【例17】【例18】【例19】如圖所示，甲、乙兩只小螞蟻分別位于一個單位正方體的可以從每一個頂點處等可能地沿各條棱向每個方向移動，A時可沿AB , AD , AA1三個方向移動，概率都是 丄3方向移動，概率都是 1.已知小螞蟻每秒鐘移動的距離為2如果甲、乙兩只小螞蟻都移動若乙螞蟻不動，甲螞蟻移動 3秒后，甲、D1(DB1丿（甲）BAiCA點和G點處，每只小螞蟻都但不能按原路線返回.女口：甲在到達B點時，可沿BC， BB1兩個1個單位.1秒，則它們所走的路線是異面

19、直線的概率是多少? 乙兩只小螞蟻間的距離的期望值是多少?某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型 受A感染的.對于C ,因為難以斷定他是受 染的概率都是1.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是1 .在這種假定之下，I23C、D中直接受A感染的人數X就是一個隨機變量.寫出 X的分布列（不要求寫出計算過程），并求X的均值（即數學期望）.H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū).B肯定是A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感A , B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A ,A2 , A3 , B隊隊員是Bi ,B2 ,B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下:對陣隊員A隊隊員

20、勝的概率A隊隊員負的概率A1 對 B12133A對B2235523A對B355的期望.【例20】連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數為a ,若存在正整數k ,使ai七2十lllak =6，則稱k為你的幸運數字.求你的幸運數字為 4的概率；若k =1，則你的得分為6分；若k =2，則你的得分為4分；若k =3，則你的得分為2 分; 若拋擲三次還沒找到你的幸運數字則記0分.求得分的分布列和數學期望.【例21】最近，李師傅一家三口就如何將手中的 10萬塊錢投資理財，提出了三種方案:將10萬塊錢全部用來買股票.據分析預測：投資股市一年可能獲利 （只有這兩種可能），且獲利的概率為丄；2將10萬塊

21、錢全部用來買基金據分析預測：投資基金一年可能獲利第一種方案:40%，也可能虧損20%第二種方案:20%，也可能損失10%，也可能不賠不賺，且三種情況發(fā)生的概率分別為第三種方案：將10萬塊錢全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款利率為 針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法,【例22】某柑桔基地因冰雪災害，種方案都需分兩年實施；倍、0.8倍的概率分別是3 11 .5 5 54%，存款利息稅率為5% . 并說明理由.使得果林嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救果林的方案, 若實施方案一，預計當年可以使柑桔產量恢復到災前的0.3、0.3、0.4 ;第二年可以使柑桔產量為上一年產量的1.0倍的概率分別是0.5、0.5