求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種策略例析0001

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種策略例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)?策略將問題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、 不動(dòng)點(diǎn)法、特征根的方法。仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，是迅速求?通項(xiàng)公式的關(guān)鍵。一、利用公式法求通項(xiàng)公式例1已知數(shù)列an滿足a

2、n十=2an +3 2n，印=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解:an2an +3 Q兩邊除以2n，得弄號(hào)+；2，則弄-蒼|anai21=2 =1為首，以-為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得2 2故數(shù)列嗎是以2 n3-=1+(n -1)2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為1)2n。2評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an +3=-，說明數(shù)2a列資是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 列an的通項(xiàng)公式。= 2an+3.2n轉(zhuǎn)化為弄-尋|n=1+(n1)-3，進(jìn)而求出數(shù)二、利用累加法求通項(xiàng)公式例2已知數(shù)列an滿足an+=an +2n+1，a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由 anHt =an +2

3、n +1得 an 十a(chǎn)n =2n +1則 an =(an -an4)+(an一and)卡+ (a3 a2) + (a2 ai)中ai=2(n 1) +1 +2(n 2) +1屮+(2 ”2 +1) +(2 ”1+1) +1 =2(n -1) +(n -2)卡+2 +1 +(n -1) +1=2 .+(n-1)+12所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =n2評(píng)注:求出(an本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 a =an +2n+1轉(zhuǎn)化為a -a2n+1，進(jìn)而 an4)+(an斗anj) +3 a2)+(a2 a1 )+a1，即得數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列an滿足an+ =an +2 ”3n +1, a3，

4、求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：由an卡=an +2 3n +1得an卡-an=2 3n +1則 an =(ana n A) +(an一an_2)屮+(a3 a2 ) +( a2 a1)+ a1=(2 .3n +1)+(2 3n +1)屮+(2 32 +1)+(2 31 +1)+3 =2(3n+3n屮+32 +31) +(n -1)+3_3n所以 3n =2 .p+n+X-J 1評(píng)注: 進(jìn)而求出 公式。本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 3卄=3n +2 3n +1轉(zhuǎn)化為3卄3n =2 3n +1，（3n 3n）+（3n32）+ Qs 3?） + 2 ?。?印，即得數(shù)列 何的通項(xiàng)已知數(shù)列an滿足an+=3

5、an +2 3n +1, a3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：3卄=3an +2 .3n +1兩邊除以3n，得宅二並+纟+13n3n 33則世_亞=2 +3n3n 33M3n3n 3n，z3 nqn Sn丿 333n3n3n/,3nd3n4.丄,3231、丄 313)+(滬-喬廠+ (尹-+三=(2+丄)+(2+丄)+(23 3n3 323因此a n3n（丄亠丄3n 3n3n知1(1 -3n4)=込1+ +11-32n 丄 11=十一一322 ”3nan十3n +_23+丄23n+a n3n題13n +關(guān)鍵是把遞本亠3+ 31，即得數(shù)列智的通項(xiàng)公式,a而求出（3n推關(guān)系式3卄=3an +2 ”3n

6、 +1轉(zhuǎn)化為 3n-2 + /3n-23n-3、-滬)+(3-3+32 +/3nJ 32)(3心33n最后再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。三、利用累乘法求通項(xiàng)公式例5 已知數(shù)列an滿足an十=2（n +1）5n3n,印=3，求數(shù)列3n的通項(xiàng)公式。a n an Ja3 a2an _1an _2丁a1a2 a1an解：因?yàn)?a” =2(n +1)5n an, % =3，所以 a0，則旦 =2(n +1)5n,求出anan J.a3an_2a2a2a11，即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(全國(guó)15題)已知數(shù)列an滿足a1 =1, an =a1+ 2a2 +3a3 十+(n1)+(n -1)an(n2)，n =1 則

7、an的通項(xiàng)an n! , n 2I2角軍：因?yàn)?an =a2a3a- +(n - 1)an(n 2)所以 an + =a1 +2a2 +3a3 +(n - 1)an_i +nan所以式一式得a卄an= nan則 an卅=(n +1)an(n 2)則an +=n +1(n 2)an所以anan an 4an4 an -2a2=n(n 1)4 ”3 a2 =n!a22=2( n -1+1)52 2(n - 2 +1)522 .(2 +1廠 52 2 心+“巧1 .3=2nn (n -1) 3 2 5(n)知)牛半* 3所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n(n)an =3.22 5 2 n!an評(píng)注：本題解題

8、的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an卅=2(n +1)5n .an轉(zhuǎn)化為 丑 =2(n +1)5n,進(jìn)而由 an =a1 +2a2 +3a3 十 +(n 1)a(n32)，取 n=2 得 a2 =a1 + 2a2，則 a2 = a1，又 知a1 =1,則a2 =1,代入得n! an =1 3 4 5 n = 一。2an評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式ah =(n +1)an(n 2)轉(zhuǎn)化為a aaan/ an-2a2進(jìn)而求出亠曰2,從而可得當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。四、利用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式例7 已知數(shù)列an滿足an卅=2an +3 .5“, a6，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：

9、設(shè) an卡 +X .5n* =2(an +x 5)將an卅=2an +3 .5n代入式，得2a3 5x 5n* =2a2x 5n，等式兩邊消去 2an，得3 5n +x 5n屮=2x 5n，兩邊除以5n，得3 +x 5 =2x，則x= 1,代入式，得 an卅5n =2(an -5n) a u _5n由aj -51 =6-5=1工0及式，得an -5工0，貝an* 5n =2 ,貝y數(shù)列an -5n是 an -5以d -51 =1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則 an -5n =1 0，故an =22 + 5n 。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1 =2an +3，5n轉(zhuǎn)化為 an+ -5

10、n =2(an 5n)，從而可知數(shù)列a. -5n是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 a. -5n的 通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。例8已知數(shù)列an滿足a卄=3an +5公 +4, a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：設(shè) a +X 2n* +y =3(an +x 公 +y)將an卅=3an +5 0+4代入式，得3an +5+4+x +y =3(an +x 2n +y)整理得(5 + 2x) 2n +4 +y =3x 2n +3y 。令F +2x =3x，則jx =5，代入式，得(4 +y =3yly =2an+ +5 仝“十 +2=3(an +5+2)由 ar +5 C1 + 2 =1 +12

11、 =13 HO 及式， 得 an +5 2 +2 H0，貝U an中中5 2=3an +5+2故數(shù)列an +5 ”2n +2是以ai +5 Q +2 =1+12 =13為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列, 因此 an +5Z+2=133n，貝Uan=13洛“，一5一2。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an+ =3an +5 2n +4轉(zhuǎn)化為 an+ +5 ”2n+ +2 =3(an +5 ”2n +2),從而可知數(shù)列a5 ”2n +2是等比數(shù)列，進(jìn)而求出 數(shù)列an +5 Z +2的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列an滿足an卡=2an +3 .n2 +4n +5,印=1，求數(shù)

12、列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an卡 +x(n +1)2 +y(n +1) +z2=2(an +x n +yn +z)將an十=2an +3，n2 +4n +5代入式，得2 22an +3 n +4n +5 +x(n +1) +y(n +1) +z=2(an +Xn 2 +yn +z)，貝U22an +(3+x)n +(2x+y+4) n+(x+y+z + 5)2=2an +2x n +2yn +2z等式兩邊消去 2an，得 (3 +x)n2 +(2x +y +4)n + (x + y + z + 5) =2xn2 +2yn +2z ,3 + X =2xfx =3則得方程組2x +y +4 =2y

13、 ，則Jy =10，代入式，得Jx+y+z+ 5=2zlz=18an+ +3 (n +1)2 +10( n +1) +18 =2(an +3 n2 +10 n +18)由 ai +3 12 +10 1 +18 =1 +31 =32 hO 及式，得an +3n2 +10n +18 工0則 3卄+3(n+1)2 +10(n+1)+18 二2、an +3 n2 +10 n+18-a3 12 +10 1 +18 =1 +31 =32 為 首項(xiàng)，以an +3n2 +10n +18 =32 ”2n-*，貝y an =2“ 3n2an +3 n2 +10 n +18 為2為公比的等比數(shù)列，因10 n 18。

14、評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an卅=2an +3、n2 +4 n +5 an+3( n+1)2+10( n+1)+18=2(an+3 n2+10 n+18) , 從而可 知 an +3n2 +10n +18是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an +3n2 +10n +18的通項(xiàng)公式, 求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。最后再五、利用對(duì)數(shù)變換法求通項(xiàng)公式例10已知數(shù)列an滿足an十=2 ”3na5，印=7，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?an十=2 JaL a1 =7，所以 a0, a 0。在 a.十對(duì)數(shù)得 lg an十=5lgan + nlg3+lg2 =2 ”3nan式兩邊取常用設(shè) Igah +x(n+1

15、)+y =5(lg an +xn +y)將式代入O 11 式，得 5lg an + nlg 3 + lg 2 +x(n +1) +y =5(lg axn + y)，兩邊消去 5lg an 并整理，得(Ig 3 +x)n +x + y + lg 2 =5xn +5y，貝Upg 3 +x =5x k+y +Ig2=5y= ig3=416代入式，得igan+ +ig3(n +1)416=5(igan Jg34nJg3/2)164由 lgai16 4=g7+齊+譽(yù)譽(yù)0及式,Jg3n Jg 3 Jg 24164 0，ig3ig 3 ig 2Igan 卅 +牛(n+1)+*+牛貝 y416=5ig3ig3 ig 2Igan +亙 ”n + + 4164所以數(shù)列ig an等比數(shù)列，+ ig3+ig3+ig2 為首項(xiàng)41644164= (lg7 +lg 34 + ig 31Jg3n Jg3 Jg2是以 ig7164+ 也 n 咗 41641 1Igan5為公比的= (ig716ig3-n41 14lg364n-ig3 -ig24 =lg(7 少 2）, 式。解：an +扎1 =2，人2 =3an -