第一章集合與簡易邏輯

1、第一章集合與簡易邏輯1.1集合的概念及其差不多運算ooH基礎自測1.2018 山東理，1滿足 Ma1,a2,a3,a4 ,且 M a1,a2,a3的集合M的個數(shù)是A1B2C3D.4答案 B2. 2018 -成都市第一次診斷性檢測設集合A= x| 1 xB. 0,1,2,3C2,x N，集合B= 2,3，那么A B等于A. 1,2,31,0,1,2,3答案 B3.設全集 U= 1,3,5,7，集合 M= 1,|a 5| , M U, fuM= 5,7，A2 或-8B.-8 或-2那么a的值為C.-2 或 8D.2 或 8答案 D4.(2018 -四川理，1)設集合 U= 1,2,3,4,5 ,A

2、 1,2,3 , B 2,3,4,那么uAA. 2,3B. 1,4,5C. 4,5B等于D.1,5答案 B5.設U為全集，非空集合A、B滿足 雄B,那么以下集合為空集的是A. A B答案 B假設a,b1,aB. A (fuBC. B (QuA典例剖析D.R 集合 1,a b,a0,b,b ,求 b-a 的值.ab,ab0,-,b可知a那么只能a+b= 0,那么有以下對應關系:由得(1)或a b b a,符合題意;無解.因此b-a=2.集合 A= x| 0 ax 1假設A B,求實數(shù)a5，集合B=的取值范疇;假設B A,求實數(shù)aA B能否相等？假設能，求出A中不等式的解集應分三種情形討論:假設a

3、=0，那么A= Rx|的取值范疇；a的值;假設不能，試講明理由x假設a 0，那么A=x|(1)當 a=0時,假設B,此種情形不存在.當a0時，假設A B,如圖,4那么a181,2-a 0時，假設那么B,如圖,2./.a2.綜上知，現(xiàn)在a的取值范疇是a2.2當a=0時,明顯A;當a0時假設B A,如圖,那么那么31.-_ a 0,假設 BA,J 4如圖，1a4-2a22,0 a2.綜上知,1A時，-22.A、知,當且僅當由1、2例3 12分設集合B兩個集合互相包含時，a=2.A= x|x2 3x 2 0 ,BA= B.2(a 1)x(a25)123假設A B 2 ,求實數(shù)a的值；假設A B=A,

4、求實數(shù)假設 U=R, A O由 x2-3x+2=0 得 x=1a的取值范疇；=A求實數(shù)a的取值范疇.或x=2,故集合A= 1,2 .代入B中的方程，B, 或 a=-3;1TA B 2 , 2得日2+4 a+3=0, /a=-11分當 a=-1 時，B= xlx2當 a=-3 時，B= xlx2綜上，a的值為-1或-3.2關于集合B,=4 a+12-4(a2-5)=8( a+3).B= A, /.B A, 0,即a 0，即a -3時，B=A= 1,2才能滿足條件,4 02,2 ,滿足條件；4x 4 02,滿足條件;: A 當 當 當那么由根與系數(shù)的關系得72(a 1)即 aa 52a52,矛盾;

5、綜上， 3Aa的取值范疇是uB=A，假設B=，那么a -3.:.A uB,.A B ; -3，現(xiàn)在需1 B且2 B.將2代入B的方程得a=-1或a=-3 舍去；將1代入B的方程得a2m 1, m ,即m15m+2a-2=0a 111分12分綜上，a 的取值范疇是a-3或-3 a -1-J3或-1-J3 a-1 或-1 a-1+ 託.例4 假設集合A、A滿足A A=A那么稱A，A2為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當且僅當A=A時，A，A與A，A1為集合A的同一種分拆，那么集合 A= 1,2,3的不同分拆種數(shù)是A27B.26C.9D.8答案 A知能遷移q.1.設含有三個實數(shù)的集合可表示為a,a d,a

6、 2d ,也可表示為a,aq,aq2 ,其中a, d, q R,求常數(shù)解依元素的互異性可知，a#0,d #0，q工0,q工1 .由兩集合相等，有1a d aq,2或2a d aq ,a 2d aqa 2d aq.1q=1 或 q=-?.由1得 a+2 a q-1= aq2, -a 工0,.弋2-? q+1=0, .q=1(舍去).由2得 a+2a(q2-1)= aq,Ta工0, 2q2-q-1=0,q 工 1,7=-1 1-綜上所述,q=- 22. 1假設集合2假設集合解1P=P= X |x2 X 6 0, Sx| axA= X | 2 X 5 , B x|m 1 x3,2.當a=0時，S=，

7、滿足S10,且S P,求a的可取值組成的集合；1 ,且B a ,求由m的可取值組成的集合2mP；當a工0時，方程ax+1=0的解為1x=- a1為滿足S P,可使-12,即 a=或 a=-31 1 1?故所求集合為0, 一2當 n+1 2m-1，即 m 2 時,B= ，滿足b a；假設B#，且滿足B A,如下圖,m那么m2m23, 2 mC3.3m的取值范疇為X2(2 a)x 1綜上所述，3.集合A= X |假設存在，求出a的值；假設不存在，請講明理由m2或2mC3,即所求集合為 m| m0- X R,B X R |x 0，試咨詢是否存在實數(shù)a,使得A B解方法一假設存在實數(shù)a滿足條件A B

8、,那么有1當A工時，由A B設方程x2+(2+(2 a)2X1 X2(2X1X21 0,B x R |x 0，知集合A中的元素為非正數(shù),a)x+1=0的兩根為X1,X2,那么由根與系數(shù)的關系，得4 0a)0,解得 a 0;2當A= 時，那么有綜上1、2，知存在滿足條件 A B 方法二假設存在實數(shù)a滿足條件A B工=(2+ a)2-4 0，解得-4 a 0，因此兩根X1,X2均為正數(shù).(2 a)2 4 0 ,解得 X1 x2(2 a) 0那么由根與系數(shù)的關系，得4,即 a4.又T集合a|a 4的補集為a|a 4, 存在滿足條件4.設集合S= a,a,A2,A3，在S上定義運算 為：AA2=A0的

9、x(x S)的個數(shù)為B.2B= 的實數(shù)a,其取值范疇是-4 , + 8AA=A,其中k為i +j被4除的余數(shù)，i , j =0, 1, 2,3,那么滿足關系式x xA.1C.3D.4答案 B* =活頁作業(yè)= 一、選擇題1.(2018 江西理，2)定義集合運算：A*B= z|z xy,x A, y B .設A= 1,2 , B 0,2 ,那么集合A*B的所有元素之和為A.0B.2C3D.6答案 D2.2018 武漢武昌區(qū)調研測試設集合M x|x1|1 ,Nx|x(x 3)0 ,那么A. MB. MC. MD.答案OR,集合 M=x|x3,集合 P= x|k3.設全集范疇是A k 3答案B.1 k

10、 21,k R，且CuM P工 ，那么實數(shù)k的取值C.0 k 3D.-1 k 34.(2018C安徽理，2)集合 A= y R|y 1gx,x 1 , B2,A. AC. AB 2, 1B=(0,+ 8D1,1,2 ,那么以下結論中正確的選項是B.( 10 RA)BD.|rAB(-8,02, 1答案5.集合 P=x ,y| x|+| y|=1 , Q=x, y| x2+y2w 1，那么A. PQB. P=Q(D. pn Q=Q答案6.(2018長沙模擬)集合 A=x|y=J1 x2,x e Z , B=y|y=x2+1,x e A,那么 An B 為A.B. 0, +8C.1D. 0,1答案二

11、、填空題7.集合 A=x| x-3|0，B= x| x A中至多只有一個元素包含A中只有一個元素和 -3 x+20，且 B A，那么實數(shù) a 的取值范疇是答案 2, +d8. (2018 -福建理，16)設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，假設對任意a、bE P，都有a+b、a-b、ab、旦E P除b數(shù)b工0,那么稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集F= a+b捉I a, b EQ也是數(shù)域.有以下命題： 整數(shù)集是數(shù)域； 假設有理數(shù)集Q M那么數(shù)集M必為數(shù)域； 數(shù)域必為無限集；.(把你認為正確的命題的序號都填上 ) 存在無窮多個數(shù)域. 其中正確的命題的序號是 答案三、解答題9.集合 A=x|

12、 mx-2x+3=0,1m R.m的取值范疇;23假設A是空集，求假設A中只有一個元素，求 m的值；假設A中至多只有一個元素，求m的取值范疇.集合A是方程m*-2x+3=0在實數(shù)范疇內的解集.(1) .A是空集，方程mx2-2x+3=0無解.1 =4-12 n .32TA中只有一個元素，方程mX2-2x+3=0只有一個解.3 假設m=0，方程為-2x+3=0，只有一解x=21 假設 m0，那么 =0，即 4-12 m=0, m= .3、 1rn=0 或 n=.3A是空集兩種含義，依照1、 2的結果,1得 m=0 或 m .310. 1A=a+2， a+12，a+3a+3且 1 E A， 2M=

13、2，a，b，N=2a，2，b2且 M=N 解1由題意知：a+2=1 或(a+1) 2=1 或 a2+3 a+3=1 ，依照元素的互異性排除a=-1 或-2 或 0 ,a2由題意知，b2ab2或b22a求實數(shù)a的值;b的值.-1，-2,/.a=0即為所求.丄4丄2依照元素的互異性得10或丄4即為所求.丄11集合A= x| 1,xx 1R , B= x | x2 2x m 0 ,12當n=3時，求A假設AB x|CrB；x 4，求實數(shù)m的值.1,得-0. -1 x3; q:34,那么以下選項正確的選項是A. p q為假，p q為假，p為真B. P q為真，Pq為假，P為真C. P答案q為假，P q

14、為假， P為假DD. P q為真，P q為假， P為假5.(2018-廣東理，6)命題p:所有有理數(shù)差不多上實數(shù)；命題q :正數(shù)的對數(shù)差不多上負數(shù)，那么以下命題中為真命題 A.B.C. P qD.答案Pq典例剖析一例1把以下命題改寫成假設 P,那么q的形式，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題1正三角形的三內角相等;2全等三角形的面積相等;3a, b, c, d 是實數(shù)，假設 a=b, c=d,那么 a+c=b+d.1原命題：假設一個三角形是正三角形，那么它的三個內角相等逆命題：假設一個三角形的三個內角相等，那么那個三角形是正三角形或寫成：三個內角相等的三角形是正三角形.否命題：假設一個三角形

15、不是正三角形，那么它的三個內角不全相等逆否命題：假設一個三角形的三個內角不全相等，那么那個三角形不是正三角形或寫成：三個內角不全相等的三角形不是正三角形(2) 原命題:假設兩個三角形全等，那么它們的面積相等逆命題：假設兩個三角形面積相等，那么這兩個三角形全等或寫成：面積相等的三角形全等否命題：假設兩個三角形不全等，那么這兩個三角形面積不相等或寫成：不全等的三角形面積不相等逆否命題：假設兩個三角形面積不相等，那么這兩個三角形不全等3原命題：a,b,c,d是實數(shù)，假設 a=b,c=d，那么a+c=b+d.逆命題：a,b,c,d是實數(shù)，假設a+ c= b+d，那么a與b，c與d都相等.否命題：a,b

16、,c,d是實數(shù)，假設a與b,c與d不都相等，那么a+c工b+d.逆否命題：a,b,c,d是實數(shù)，假設a+cb+d,那么a與b,c與d不都相等.例2指出以下命題中，p是q的什么條件在 充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件中選出一種作答1在 ABC中，P：/ A=Z B，q： sin A=sin B;2關于實數(shù)x、y，p： x+y工8, q: x工2或y工6;3非空集合 A B 中，p : xe AU B, q : xE B；2 24x、y e R, p： x-1+y-2=0, q：x-1 y-2=0.解 1在ABC中，/A= ZBsinA=sin B,反之，假設sinA

17、=sin B,因為A與B不可能互補因為三角形三個內角和為180 ,因此只有A=B.故P是q的充要條件.(2) 易知：P:x + y=8,q:x=2且y=6,明顯 q p但 妙| q,即 q是 p的充分不必要條件，依照原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不必要條件.(3) 明顯X e AU B不一定有x e B,但x e B 定有x e AU B,因此p是q的必要不充分條件.(4) 條件 p:x=1 且 y=2,條件 q:x=1 或 y=2,因此p q但qHp,故p是q的充分不必要條件.例3ab工0,求證：a+b=1的充要條件是 a3+b3+ab- a2- b2=0.證明必要性-a+b=1，

18、a+b-1=0 ,二 a3+b3+ab-a2-b2= a+b a2-ab+b2- a2-ab+b22 2=a+b-1 a - ab+b=0.充分性=0 ,3 b20,4/ a3+b3+ab-a2- b2=0,即a+b-1 a2-ab+b2又 ab 丸，.a工0 且 b工0, . a - ab+b=a- b)22/. a+b-1=0,即 a+b=1.綜上可知，當 ab工0時,a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-8=0.例4 12分兩個命題r(x):sin x+cosxm s(x): x2+mx+10.假如對x R,r( x)與s(x)有且僅有一個是真命題.求實數(shù)m的取值范疇.解 Tsi

19、nx+cos x=湮sin(x+玄)血,當r(x)是真命題時 血-42 ,又T對 x R, s(x)為真命題，即x2 + mxM0 恒成立,有=m*2-40,/-2 m2,二當r(x)為真,s(x)為假時，m -72,同時m2，即 mC-2 ;當r(x)為假，s(x)為真時，丘且-2 m2,即-J2 n2.12分綜上，實數(shù) m的取值范疇是 mC-2或-72 m1 ，即 a-.即q真2命題正確時a的取值范疇是01.2一、選擇題1.以下命題:的Q-活頁作業(yè)4或45;9 3;命題 假設 逆ab,那么a+cb+c的否命題；命題 矩形的兩條對角線相等中 假 命 題 的 個 數(shù)1否命題是： 假如一個三角形

20、的三條邊不都相等，那么那個三角形的三個角也不都相等原命題為真命題，否命題也為真命題 .2否命題是：”假如四邊形不是矩形，那么對角線不互相平分或不相等原命題是真命題，否命題是假命題 .3否命題是：”不相似的三角形一定不是全等三角形.原命題是假命題，否命題是真命題.2. 2018 -湖南理，2 |x-1|2 成立是 x(x-3) !.假設P真q假，那么01,因此命題p和q有且只有一個2 2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac0.證明 充分性：假設ac0,且0, X1X2= 0, /.ac0.a綜上所述，一元二次方程 ax2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac0,設命題P：函數(shù)y

21、=aX在R上單調遞減，q :不等式x+|x-2a|1的解集為R,假設p和q中有且只有一個命題為真命題, 求a的取值范疇.解 由函數(shù)y= a在R上單調遞減知0 a1，因此命題p為真命題時a的取值范疇是0 a1D既不充分也不必要條件x2x不等式x+| x-2 a|1的解集為R只要ymin1即可，而函數(shù)y在R上的最小值為2a，因此 2a).2.A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件答案 A4.假設命題p:x AB,那么 P是A. x A 且x BB. x A 或 x BC. x A 且 xD. x A B答案 B5.假設 P、 qA.p真q真答案 B是兩個簡單命題

22、，且B.p假q假p q 的否定C.p真q假真命題，D.p假q真6.2018 -安徽理， av0” 是方程ax2+2x+1=0 至A必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 B二、填空題4x 3 0,那么集合x|x7. 設集合 A= x|x| 4,b x|x2答案 x 11 x 38. （2018 全國n理，16）平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分不平行間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件.類似地，寫出空充要條件充要條件（寫出你認為正確的兩個充要條件）答案 兩組相對側面分不平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行

23、四邊形等 三、解答題9.求關于x的方程x2- m）+3n-2=0的兩根均大于1的充要條件.（答案不唯獨）解設方程的兩根分不為xi、X2，那么原方程有兩個大于 1的根的充要條件是m2 4(3m 2) 0,(X11) (X21)0,(X11)(X21)0,(X1m2 12m 8 0,X2)20,(X1 X2)10.又Txi+X2= mxix2 = 3m2.62, 丄221/7 或 m 6 277,故所求的充要條件為 m6+2J7.10. x, y e R求證：| x+y|=| x|+| y|成立的充要條件是 xy 0.證明充分性假設xy0,那么x,y至少有一個為0或同號.|x+y|=| x|+|

24、y| 一定成立., 2 2 2 2 2 2必要性假設 | x+y|=| x|+| y|,那么（x+y） =（| x|+| y|） , x +2xy+y =x +2| xy|+y ,二xy=|xy |, /. xy0. 綜上，命題得證.11. 命題p:方程x2+mxF1=0有兩個不等的負實數(shù)根；命題 q:方程4x2+4 m2x+1=0無實數(shù)根.假設p或q為真命題,p且q為假命題，求 m的取值范疇.m24 0,那么m2.0解由p得：m由 q 知： =16 ( IT”p或q為真，m 2那么十m 1 或 m 3m2) 2-16=16( m?-4n+3)0,那么 1m3.” P且q為假，.P為真，q為假

25、，或P為假,q為真.pm2或1 m 3,解得時3或1*2.12.(1)是否存在實數(shù)P,使4X+P0 ”的充分條件？假如存在，求出P的取值范疇；2是否存在實數(shù)P,使” 4X+P0 的必要條件？假如存在，求出P的取值范疇.解 1當 x2 或 x0,由 4X + p0,得 x-,故-衛(wèi) 0 ” . :.p4 時，” 4x+ p0 的充分條件.2不存在實數(shù)P滿足題設要求.章末檢測一、選擇題本大題共12小題，每題5分，共60分1.(2018 北京理，1)全集 U=R,集合 A=x|-2 X 3,B=x|x4,那么集合 A n ( D 等于A. x| 2 X 4C. x| 2 X1B. x| X 3或X

26、4D. x| 1 X 3答案 D2. P是r的充分不必要條件,A充分不必要條件s是r的必要條件,q是s的必要條件，那么 P是q成立的B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件答案 A3.2018 合肥模擬條件P: X+124,條件q:xa,且P是q的充分而不必要條件，那么a的取值范疇是A a 1C. a -3D a2，P=x|xb2”是 ab的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 D8. （2018 天津理，6）設集合 S=x| x-2|3,T= x| axa+8，SU T=R,那么 a 的取值范疇是A.-3 a-1B.-3 a-1D.

27、 a-1C. a-1答案 A9. 2018 北京海淀模擬假設集合A=1，m2，集合B=2，4，那么m=2”是An B=4的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 A210. 假設數(shù)列an滿足-an =pP為正常數(shù)，ne N*，那么稱 an為等方比數(shù)列 a甲：數(shù)列an是等方比數(shù)列； 乙：數(shù)列anB.A甲是乙的充分條件但不是必要條件甲是乙的必要條件但不是充分條件甲是乙的充要條件D.答案11.2018 浙江理，2U=R，A=x|x0, B=x| x-1，那么An。uBA.B. x|x-1甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件BU BuA等于D. x| x0

28、或 x1是| a+b|1的充分而不必要條件.命題q:函數(shù)y=J|x 1| 2的定義域是，13，那么A.” p或q為假 C. p真q假答案 D二、填空題本大題共4小題，每題13.設集合 A=5,log 2 a+3，集合 答案1，2，514. 條件 P： |x+1|2,條件 q:5x-6x2，答案充分不必要15. 不等式|x|a的一個充分條件為 0 116. 以下四個命題：a是正數(shù)；b是負數(shù)；a+b是負數(shù)；ab是非正數(shù).選擇其中兩個作為題設，一個作為結論，寫出一個逆否命題是真命題的復合命題 答案三、解答題B.、p且q為真D. p假q真4分，共16分B=a, b，假設 An B=2，那么 AU B=

29、那么非p是非q的.條件.17. 12 分假設那么或假設那么或假設那么本大題共6小題，共74分設命題p： 4x-31;命題q:x2-(2 a+1)x+a(a+1) 0,假設 p是 q的必要不充分條件，求實數(shù) a的取值范疇.解 設 A= x|(4x-3) 21, B= x| x2-(2 a+1)x+a( a+1) 0,易知 A=x| - x1,B=x|axa+1.121 12a由p是 q的必要不充分條件，從而P是q的充分不必要條件，即 屋B,./a1故所求實數(shù)a的取值范疇是0，丄:.18. 12 分集合 U=R,Cua= x|x2 解/A=0，-6，AUB= A，26x 0，B=x| x2+3a+

30、1x+a2-1=0，且 AU B=A，求實數(shù) a 的取值范疇A. B20. 12分求關于x的方程ax2-( a2+a+1)x+a+1=0至少有一個正根的充要條件.1當B=A時，由00(6) a2 13(a1),得 a=1,2當假設吐A時，B=，那么方程 x2+3( a+1) x+ a2-1=0 無實根.13即0,得 9(a+1) 2-4(a2-1)0,解得a-1.5假設B工，那么方程x2+3( a+1) x+ a2-1=0有相等的實根,13 即 4=0,即 a=-1 或 a=-.5由a=-1得B=0,有 壓A;由a=-,得B= 不滿足B仝A,舍去,5513綜上可知，-va -1或a=1.519. 12分p: |1-二| 2, q : x2-2x+1-m0，且 p是 q的必要而不充分條件，求實數(shù) m的取值范疇. 3解 方法一 由 x2-2 x+1- n20，得 1- mKx 1+ m或 x0,由 |1-| 2，得-2 x9.10p是 q的必要而不充分條件