均值不等式八法

1、.運(yùn)用均值不等式的八類拼湊方法利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)。在運(yùn)用均值不等式解題時,我們常常會遇到題中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用題設(shè)條件，此時需要對題中的式子適當(dāng)進(jìn)行拼湊變形。均值不等式等號成立條件具有潛在的運(yùn)用功能。以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，為解題提供信息，可以引發(fā)出種種拼湊方法。筆者把運(yùn)用均值不等式的拼湊方法概括為八類。一、 拼湊定和通過因式分解、納入根號內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，均分系數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。例已知 0x1，求函數(shù) yx3x2x1 的最大值。解： yx2 x 1x 1x 1 1 x2

2、2x 1 1 xx1x 13x1 x11 x324224 ? 1 x3。2227當(dāng)且僅當(dāng) x 11 x ，即 x1時，上式取“ =”。故 ymax32。2327評注：通過因式分解，將函數(shù)解析式由“和”的形式，變?yōu)椤胺e”的形式，然后利用隱含的“定和”關(guān)系，求“積”的最大值。例 2求函數(shù) yx21x2 0x1 的最大值。解： yx4 1 x24 ? x2 ? x2? 1 x2。22x2x23x221x2122x? 1x2因?3，2227當(dāng)且僅當(dāng) x21 x2，即 x6時，上式取“ =”。故 ymax2 3。239評注：將函數(shù)式中根號外的正變量移進(jìn)根號內(nèi)的目的是集中變元，為“拼湊定和”創(chuàng)造條件。例

3、3已知 0x 2 ，求函數(shù) y6x 4x2的最大值。解： y236 x2 4 x2 218 2x2 4 x24 x22x24 x24 x238318183。27當(dāng)且僅當(dāng) 2 x24x2 ，即 x23 時，上式取“ =”。3.故 y218 83，又 y 0, ymax32 3。max273二、 拼湊定積通過裂項、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问?，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，配項湊定積，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件例 4設(shè) x 1，求函數(shù) yx5x2x1的最小值。解： yx 14x11x 145 2 x 1 g45 9 。x11x1x當(dāng)且僅當(dāng) x1 時，上式取“ =”。故 ymin

4、9 。評注：有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項，變?yōu)楹偷男问剑缓蟆捌礈惗ǚe”，往往是十分方便的。例 5已知 x1 ，求函數(shù) y24x 1的最大值。x23解： Q x1,x 1 0 ，y24x1242424x 1443。x 1x 142 2 4x1當(dāng)且僅當(dāng) x1 時，上式取“ =”。故 ymax3 。評注：有關(guān)的最值問題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變原式的結(jié)構(gòu)，將分子化為常數(shù)，再設(shè)法將分母“拼湊定積”。例 6已知 0 x2cos x的最小值。，求函數(shù) ysin x解： 因為 0x，所以 0x2，令 tan xt ，則 t0 。22所以 y11 cosx1t

5、2t13t21 g3t3 。sin xsin x2t2t22t 2當(dāng)且僅當(dāng) 13t，即 t3 , x3時，上式取“ =”。故 ymin3 。2t23評注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數(shù)，從而化繁為簡，化難為易，創(chuàng)造出運(yùn)用均值不等式的環(huán)境。三、 拼湊常數(shù)降冪例 7若 a3b32, a,bR ，求證： ab2。分析：基本不等式等號成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能，它能在“等”與“不等”的互化中架設(shè)橋梁，能為解題提供信息，開辟捷徑。本題已知與要求證的條件是與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。ab1，為解題提供了信息，發(fā)現(xiàn)應(yīng)拼湊項，巧妙降次，迅速促成“等”.證明： Q a3131333a3g13 g133a,

6、 b313133 3 b3 g13 g133b 。a3b3463 a b ,a b2.當(dāng)且僅當(dāng) a b1 時，上述各式取“ =”，故原不等式得證。評注：本題借助取等號的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡潔明了。例 8若 x3y32, x, yR，求 x2y25xy 的最大值。解： Q 3 1 x x 1 x3x3 ,3 1 y y 1 y3y3 ,3 1 x y 1 x3y3 ,x2y25xy1 x3x31 y3y35 1 x3y37 7 x3y37 。33當(dāng)且僅當(dāng) ab1 時，上述各式取“ =”，故 x2y25xy 的最大值為 7。例 9已知 a,b, c0, abc1，求證： a3b3c3a

7、bbcca 。證明： Q 1a3b33 1?a ?b,1b3c331?b ? c,1c3a331?c ? a ，3 2 a3b3c33 ab bc ca ，又 Q ab bc ca3 3 a2 b2c23 ，3 2 a3b3c32 ab bc ca 3, a3b3c3ab bc ca 。當(dāng)且僅當(dāng) abc1時，上述各式取“=”，故原不等式得證。四、 拼湊常數(shù)升冪例 10 若 a,b, cR，且 ab c1，求證a5b5c543 。分析：a,b, c的輪換對稱式， 容易發(fā)現(xiàn)等號成立的條件是abc，故應(yīng)拼湊16 ，已知與要求證的不等式都是關(guān)于133巧妙升次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明：

8、 Q 2g16 g a516a5 , 2g 16 g b516b 5,2g 16 g c516c5，3333332g16a5b5c 531abc32.a5b5c543 。31當(dāng)且僅當(dāng) abc時，上述各式取“=”，故原不等式得證。3例 11若 ab 2, a,b,R ，求證： a3b32 。證明： Q 311ga1313a3 ,31 1gb1313b3,3 a b 4 a3b3 。又Q ab2,a3b32 。當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，上述各式取“ =”，故原不等式得證。五、 約分配湊通過“ 1”變換或添項進(jìn)行拼湊，使分母能約去或分子能降次。.例 12已知 x, y,0, 281，求 xy 的最小值。xy

9、xyg 2824 y64x4 y g64 x解： xy xyg123223264。xyxyxy當(dāng)且僅當(dāng) 281時，即 x4.y16 ，上式取“ =”，故 xy min64 。xy2例 13已知0 x1，求函數(shù) y411的最小值。xx解： 因為 0x1，所以 1x0 。所以 y41x1x4154 1xx9 。x1xx1xx1x4 1 xxx29 。當(dāng)且僅當(dāng)x1時，即，上式取“ =”，故 yminx3例 14若 a,b, cR，求證a2cb2c2b1abc。b caa2分析：注意結(jié)構(gòu)特征：要求證的不等式是關(guān)于a,b, c 的輪換對稱式，當(dāng)abc 時，等式成立。a2a此時c，b2設(shè) m bca ，解

10、得 m1，所以a2應(yīng)拼湊輔助式 b4c 為拼湊的需要而添，經(jīng)此一添，解題可見眉目。24b ca2b c2a2b cb2c a2b2c ac2a bc2a bc 。證明： Q4ga,4gb,2gb cb c 4c ac a 4a b4a b 4a2b2c21bc。當(dāng)且僅當(dāng) ab c 時，上述各式取“ =”，故原不等式得證。bcc aaba2六、 引入?yún)?shù)拼湊某些復(fù)雜的問題難以觀察出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數(shù)，可開辟解題捷徑。例 15已知 x, y, zR ，且 xyz1149，求y的最小值。xz解： 設(shè)0，故有xyz10。149149xyz 11x4x9xy

11、zxyzxyxz24612。當(dāng)且僅當(dāng)1x, 4y, 9z 同時成立時上述不等式取“ =”，xyz.即 x1 , y2 , z3，代入 xy z 1，解得36 ，此時 1236 ，故149的最小值為 36。xyz七、 引入對偶式拼湊根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個與之對偶的式子，然后一起參與運(yùn)算，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件。例 16設(shè) a1, a2 ,a1a2a3an1 1 11, an 為互不相等的正整數(shù)，求證2232n21 2 3。12n證明： 記 bna1a2a3an，構(gòu)造對偶式dn1 111，122232n2a1a2a3an則 bndna11a21a31an12 1 1 11

12、，12a122a232a3n2an1 2 3n當(dāng)且僅當(dāng) aii iN , in時，等號成立。又因為a1, a2 , an 為互不相等的正整數(shù)，11111111所以dn23，因此 bn123。1nn評注：本題通過對式中的某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造對偶式。八、 確立主元拼湊在解答多元問題時，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變元個數(shù)，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。1例 17 在 ABC 中，證明 cos A cos B cosC。8分析： cos AcosB cosC 為輪換對稱式，即A, B,C 的地位相同，因此可選一個變元為主元，將其它變元看作常量（固定），減少變元個數(shù)，化陌生為熟悉。證明： 當(dāng) cos A0 時，原不等式顯然成立。當(dāng) cos A0 時， cos Acos B cosC1 cos A cos BCcos BC21Ccos Acos A cos B211 cos A1 cos A21cos A 1 cos A22。28cos(B C ) 1ABC 為正三角形時，原不等式等號成立。當(dāng)且僅當(dāng)，即cos A1cos A綜上所述，原不等式成立。評注：cos( BC ) ，然后