《計(jì)算實(shí)習(xí)》課程設(shè)計(jì)報(bào)告之線性方程組的求解

1、計(jì)算實(shí)習(xí)課程設(shè)計(jì) 報(bào) 告課題名稱：線性方程組的求解 系 （院）： 理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 指導(dǎo)教師： 開課時間： 2010-2011 學(xué)年 一 學(xué)期 摘要本文主要考慮了一類系數(shù)矩陣為正定對稱矩陣的線性方程組的求解問題，基于等價(jià)轉(zhuǎn)換可將該問題的求解轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)極小值點(diǎn)的求解?；谶@種等價(jià)性，我們可以從構(gòu)造二次函數(shù)的極小值點(diǎn)的算法入手，尋求解線性方程組的算法。這里考慮了一種基于迭代思想構(gòu)造的算法，對該算法的兩個關(guān)鍵部分給出了證明和推導(dǎo)，并給出相應(yīng)的matlab程序，從而解出線性方程組。最后用兩個實(shí)例驗(yàn)證了所給程序的正確性。關(guān)鍵字：線性方程組 matl

2、ab程序 一、問題重述：第一題是要證明線性方程組ax=b 的解等價(jià)于求解二次函數(shù)的極小值點(diǎn)，即。第二題是要給出最佳步長的推導(dǎo)過程。第三題是要給出上述算法的matlab程序（寫成函數(shù)的形式）。第四題是：設(shè)方程組為試用第三題給出的程序進(jìn)行求解，取，并作圖表示迭代結(jié)果。第五題是要借助第三題的程序計(jì)算的極小值，取，。二、問題分析：第一題：將展開得到一個n元函數(shù)，對它求一階導(dǎo)即可得到ax=b，再求二階導(dǎo)即可證明取極小值；第二題：運(yùn)用第一題的結(jié)論很容易得到第二題的答案，此為證法一； 也可以將視為關(guān)于的一元函數(shù)，對求一階導(dǎo)也能得到所需的結(jié)果，再求二階導(dǎo)大于零即可，此為證法二；第三題要求給出文中所給迭代算法的

3、程序，該算法滿足一定條件就結(jié)束迭代，可用while循環(huán)結(jié)構(gòu)表示，將迭代結(jié)果保存在一個矩陣y中，y的第k列表示第k次迭代結(jié)果；第四題 直接調(diào)用第三題的程序，把相應(yīng)的數(shù)據(jù)輸進(jìn)去就可以得到所需的答案了，再通過作圖命令即可得到所需的圖像了；第五題由于將展開有常數(shù)項(xiàng)，與上述的展開式形式不一樣；故我們可先作變量代換x3=x3-1；這樣形式上就與一樣了；再由可得ax=b的矩陣形式：再調(diào)用第三題給出的程序進(jìn)行求解，最后將結(jié)果回代。三、問題求解及程序：第一題：證明：由ax=b有： = =因?yàn)椋核裕?=由該函數(shù)的表達(dá)式可以看出：該二次函數(shù)是關(guān)于的多元函數(shù)。故：= = =令=0，=0，=0得： 此為n元線性方程組

4、，將它寫成矩陣形式有：=.（1）因?yàn)閍是對稱矩陣，所以：=故（1）式變?yōu)椋?即ax=b,又：=，.，=，=，.，=，=因?yàn)閔esse矩陣為：h=a由題知a為正定矩陣，所以h0故取極小值，也就是說：線性方程組ax=b的解等價(jià)于求解二次函數(shù)的極小值點(diǎn)，即。證畢！第二題：證法一：由第一題的結(jié)論知：滿足min的值必滿足ax=b！故.（2）由得：將它代入（2）式得：化簡之后有：因?yàn)闉橐粎?shù)，所以：=所以：證畢！證法二： 我們先證明幾個命題：a為正定對稱矩陣；(1)(2)(ax,y)=a(x,y)=(x,ay)(3)（ax，y）=（x，ay）(4)（x，y+z）=（x,y）+（x,z）(5)（x+y，z）

5、=z=z=z=（x,z）+(y,z)（6）（x+y）（z+q）=(x,z+q)+(y,z+q)=(x,z)+(x,q)+(y,z)+(y,q)由及上述公式有有：=（a+a，）-（b，） =+-此為關(guān)于的一元函數(shù)，故對求導(dǎo)，并將代入有：=-令=0有：對求二階導(dǎo)有：=因?yàn)橹灰?；就大于0；所以:0故：取極小值；所以：證畢！第三題：function y=w4(a,x,b,e)%定義一個函數(shù)以求解線性方程組；這個程序需要輸入a,x,b,e 四個參數(shù)；a表示正定對稱矩陣a；x表示初始向量；b表示矩陣b；e表示；運(yùn)行程序后得到的值y是一個矩陣；其最后一列就是線性方程組的解；r=b-a*x;% 計(jì)算；y(:

6、,1)=x;%記錄的值；l=(r*r)/(a*r)*r); %計(jì)算第0步步長 x=x+l*r;% 計(jì)算第0步迭代值；y(:,2)=x;% 記錄的值；r=r-l*a*r;% 計(jì)算第1步的；i=2;%i的初始值為2是為了方便的記錄循環(huán)過程中變化著的x的值；while sqrt(r*r)e%給出循環(huán)結(jié)束的條件； i=i+1;% 開始循環(huán)； l=(r*r)/(a*r)*r); %計(jì)算第k步長 ，其中k=i-1； x=x+l*r;% 計(jì)算第k步迭代值 r=r-l*a*r;%計(jì)算第k+1步的： y(:,i)=x;%記錄的值； end第四題：將上述程序在m文件中以w4.m命名并保存后，在主界面輸入y=w4(6 3;3 2,0;0,0;-1,0.0001)即得最終結(jié)果： x= 真實(shí)值為x=輸入plot(y(1,:),y(2,:)得到：迭代結(jié)果的圖像：第五題：在主界面輸入y=w4(8 0 0;0 2 0;0 0 4,1;1;-1,0;0;0,0.01)即得最終結(jié)果：x=，換成原來的形式得