走向混沌的道路-Read

1、1 ，表示擾動(dòng)項(xiàng)很小。(3-5-21)(3-5-22)(3-523)(3-5-24a)(3-5-24b)第三章 走向混沌的道路第五節(jié) 保守系統(tǒng)中的不規(guī)則運(yùn)動(dòng) 1可積與不可積系統(tǒng) 2擾動(dòng)與 KAM 定律 現(xiàn)在研究如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)以后， 它的環(huán)面將會(huì)發(fā)生些什么變化？設(shè)未受擾動(dòng)的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 是可積的，其哈密量為 H 0 (I ) 。受擾動(dòng)的系統(tǒng)的哈密量為：H = H0(I) + V(I, ,t)式中 是一無量綱的參數(shù)，它的大小決定了擾動(dòng)的強(qiáng)度。如果 假定擾動(dòng)是周期的， T 為擾動(dòng)周期，則有：V(I, ,t)= V(I, ,t+T)將 V(I, ,t) 展開成級(jí)數(shù)V( I, ,t) = Vnm(I )

2、 exp(i nim t)n,m為擾動(dòng)頻率，這里 n,m 是某整數(shù)。把式 (3-5-23)代入運(yùn)動(dòng)方程 (3-5-12)得：HI =0 inVnm (I)expi(nm t)n,mH = (I)dVnm(I) expi (nm t)I n,m dI方程 (3-5-24)解寫成一般形式為：I I (0) I (1)(0) (1)其中零級(jí)近似為：I (0) const(0) (I (0)t const代入式 (3-5-24) 得一級(jí)近似：I(1) i nVnm(I (0)expin (I (0) m tn,m(3-5-25)(1)d (I(0) I(1)dI IdVnm ( I ) exp in

3、(I (0) m t n,m dI(3-5-26)式(3-5-25)中， Vnm與 Vnm相差一相位常因子。式 (3-5-25)的右邊只是時(shí)間的函數(shù)，很容易積 分：I (1)nVnm expi (nm )t const(35-27)n,m n -m將式 (3-5-27)代入式 (3-5-26) 得：(1)n,mnVnm dn -m dIdVdInm expin (I(0) m t積分得：(1)nVnmd 1dVnm(1) i nm 2 nm expi (nm )tn,m (n -m )2 dI n m dI(3-5-28)我們已經(jīng)知道，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)頻率與 I 有關(guān)，當(dāng)在某個(gè) I r 值上出現(xiàn)擾動(dòng)

4、頻率與系統(tǒng)頻率(I r )間的公度時(shí)，這有：n (Ir) m = 0或nm(I r )因?yàn)?(Ir) 與I r有關(guān)，稱為非線性共振。于是可以看到，當(dāng)發(fā)生非線性共振時(shí)，(3-5-27)和(3-5-28)兩式中分式的分母等于零，得到發(fā)散得結(jié)果，這就是著名的小分母發(fā)散問題。由此可見， 擾動(dòng)將對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生兩種不同的影響。 一是當(dāng)出現(xiàn)非線性共振時(shí)， 一個(gè)很小的擾動(dòng) 可將導(dǎo)致有理環(huán)面發(fā)生重大改變， 因?yàn)閺南嗫臻g來看， 共振相應(yīng)于有理環(huán)面。 這是一個(gè)非常 復(fù)雜的變化，我們將在下一小節(jié)作專門討論。二是非共振情況。 非共振相應(yīng)于無理環(huán)面， 這時(shí)擾動(dòng)會(huì)對(duì)無理環(huán)面產(chǎn)生怎樣的影響呢？這是 動(dòng)力學(xué)的一個(gè)基本問題，雖然歷史

5、上很多人企圖回答這個(gè)問題，但是直到 1954 年才由前蘇 聯(lián)數(shù)學(xué)家哥爾摩格洛夫 (Kolmogorov) 提出了一個(gè)環(huán)面不變定理，這一定理后來為阿諾德 (Arnold) 所證明，而美國數(shù)學(xué)家莫瑟 (Moser) 在某些條件下也證明了該定理。因此現(xiàn)在常稱該定理為 KAM 定理。 不變環(huán)面守恒定理考慮的是一個(gè)近可積系統(tǒng)， 即對(duì)一完全可積系統(tǒng)施加了一個(gè)很小的完全不 可積擾動(dòng)。 KAM 定理說：如果擾動(dòng)很小，大多數(shù)非共振的不變環(huán)面并不消失，只是發(fā)生一 些微小的變形。滿足 KAM 定理的絕大多數(shù)軌道，其運(yùn)動(dòng)仍然限制在 N 維環(huán)面上，環(huán)面上 的運(yùn)動(dòng)仍然是準(zhǔn)周期的。這些未被破壞的環(huán)稱為 KAM 環(huán)。3. 有

6、理環(huán)面破裂與同(異)宿結(jié)構(gòu)現(xiàn)在回到非線性共振對(duì)有理環(huán)面的影響上來。實(shí)際上 (3-5-27)和(3-5-28) 兩式?jīng)]有直接回答擾動(dòng)是如何影響有理環(huán)面的。這個(gè)問題可以用數(shù)學(xué)的方法來解決，為此需要利用圖 3-34 中的龐加萊截面。 先說未受擾動(dòng)時(shí)的情況。 在給定能面中取 2 = 常數(shù)的龐加萊截面上，諸軌線與 該截面的交點(diǎn)處在以 I 1 =常數(shù)的圓上。一條軌線相繼兩次穿越截面的時(shí)間間隔為：t 2 / 2因此， 1 每次的改變量為：1 t 2 w 于是就得龐加萊截面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是一二維映射，稱為扭轉(zhuǎn)映射：1 2 wI1I1(3-5-29)當(dāng) 0 存在擾動(dòng)時(shí)，扭映射 T0 變成 T ，略去下標(biāo)后有：2 w

7、(I) g( ,I )TI I f ( ,I) (3-5-30)式中 f與g由擾動(dòng)項(xiàng) V 確定，但它的具體形式并不重要。圖 3-34 在 T 的作用下有理面發(fā)生破裂我們考察扭映射T0 與 T 對(duì)有理環(huán)面的作用。 為確定起見， 我們研究繞卷數(shù) W (I ) n /m 的有理環(huán)面，這里，n與 m為不可約整數(shù)。記該有理環(huán)面為0 ，它是一個(gè)由映射 T0 的不動(dòng)點(diǎn)組成的圓。為了便于討論，除 0 以外，我們?cè)倏紤]兩條不變曲線， 與 ，它們分別位 于 0 的兩邊。在 T0 的作用下， 0 圓上的點(diǎn)剛好轉(zhuǎn)動(dòng) 2 ，曲線 上的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)小于 2 ， 曲線 的點(diǎn)就轉(zhuǎn)動(dòng)大于 2 。因此看起來 0 圓上的點(diǎn)是不動(dòng)的，而

8、圓上的點(diǎn)會(huì)在順時(shí)針m轉(zhuǎn)動(dòng)， 圓上的點(diǎn)則在反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)在看 T 的作用。可以設(shè)想，在擾動(dòng)項(xiàng) V 很小的情 況下， T 的作用不會(huì)改變 與 圓上點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)情況，順時(shí)針仍作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，反時(shí)針的仍 作反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。 于是可以想見， 在每個(gè) 常數(shù)的圓半徑上， 總存在著這樣的點(diǎn)，它轉(zhuǎn)動(dòng)的m 角度剛好 2 ，它們只有徑向運(yùn)動(dòng)而沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，將這些點(diǎn)連結(jié)起來，就構(gòu)成了在 T 的作用 下的曲線 。除了 的閉合曲線以外，還有 的映像的閉合曲線 T ( ) 。由于這是保守 系統(tǒng)， 與T ( )曲線兩者不僅保圍的面積相等，而且相交，共有2m 個(gè)交點(diǎn)。根據(jù)這些相交點(diǎn)附近點(diǎn)移動(dòng)的走向，可以看到，其中一半是橢圓點(diǎn)，另一半是雙曲點(diǎn)，

9、它們相間地分 布著如圖 3-34 所示。 現(xiàn)在注意一下繞那些橢圓不動(dòng)點(diǎn)附近的一些較小有理環(huán)面，這里是一些區(qū)域較小的規(guī)則運(yùn) 動(dòng)。在擾動(dòng)作用下， 它們也將受到破壞。 情況與上面討論的相類似，擾動(dòng)使其產(chǎn)生更高一級(jí) 的橢圓不動(dòng)點(diǎn)及圍繞它們更較小一級(jí)的規(guī)則運(yùn)動(dòng)區(qū)。 如此的破壞過程還會(huì)繼續(xù)發(fā)展下去， 以 至產(chǎn)生規(guī)則與不規(guī)則運(yùn)動(dòng)交織在一起的無窮堪套的自相似結(jié)構(gòu)。 再注意一下擾動(dòng)對(duì)雙曲不動(dòng)點(diǎn)附近產(chǎn)生出的影響。 我們回憶一下無阻尼單擺或負(fù)線性恢復(fù)力 的杜芳方程的相圖， 在這些相圖上可以發(fā)現(xiàn)， 通常有四條流線通過雙曲不動(dòng)點(diǎn)， 其中兩條流 向雙曲點(diǎn)，另兩條則背離雙曲點(diǎn)。在數(shù)學(xué)上這些流線稱為不變曲線或流形 (mani

10、fold) 。值得 注意， 在那些相圖上的流線是真正的相軌線， 與那些相圖上的情況稍有差別， 現(xiàn)在這些雙曲 點(diǎn)出現(xiàn)在環(huán)面的截面上， 它們由截面上的點(diǎn)構(gòu)成。 因?yàn)橥ㄟ^雙曲點(diǎn)的是不變曲線， 所以線上s 的點(diǎn)無論經(jīng)過多少次映射都不會(huì)跑出該線。 人們將兩條背離雙曲點(diǎn)的流線稱為穩(wěn)定流形ws ，us兩條流向雙曲點(diǎn)的流線稱為不穩(wěn)定流形wu 。如果我們沿著一條穩(wěn)定流形 ws從雙曲不動(dòng)點(diǎn) O出發(fā)，將會(huì)連接到的一條不穩(wěn)定流形wu 進(jìn)入雙曲點(diǎn) O。如果前后兩個(gè)是不同的雙曲點(diǎn)，則這樣的雙曲點(diǎn)稱為異宿點(diǎn) (Heteroclinic point) ，這是圖 3-34 上的情況。如果前后兩個(gè)曲點(diǎn)是 同一個(gè)點(diǎn)，則該雙曲點(diǎn)稱為

11、同宿點(diǎn) (Homoclinic point) ，如圖 3-35 所示； 現(xiàn)在考察系統(tǒng)受到小幅度周期性擾動(dòng)時(shí)的同宿點(diǎn)情況， 其實(shí)異宿點(diǎn)情況與此相似。 一般來說su 代表點(diǎn)沿著穩(wěn)定流形 ws 離開雙曲點(diǎn)后，不太可能連接到的不穩(wěn)定流形wu 而進(jìn)入雙曲點(diǎn)，可能性最大的時(shí)與不穩(wěn)定流形發(fā)生相交。一旦發(fā)生相交，則從交點(diǎn)的流線方向上可以看出， 它們具有與同宿點(diǎn)或異宿點(diǎn)相同的特點(diǎn)： 即出現(xiàn)兩條流入流線與兩條流出流線， 但是它們不 m是不動(dòng)點(diǎn)。 由于映射 T 是連續(xù)的， 于是在雙曲不動(dòng)點(diǎn) O 外，會(huì)產(chǎn)生一系列的新同宿點(diǎn)， 而 ms且，T 必然要反復(fù)作用無限次數(shù)才能沿著 ws 接近到雙曲不動(dòng)點(diǎn) O。因此，在到達(dá)雙曲

12、不 動(dòng)點(diǎn) O 以前，流線 ws與 wu交叉產(chǎn)生的異宿點(diǎn)會(huì)越來越密，總共會(huì)出現(xiàn)無限多個(gè)。再者，s u s 由于是保守系統(tǒng)， ws 與 wu相繼兩次交叉所包圍的面積應(yīng)該是一個(gè)定值，這使得 ws 越趨近 雙曲不動(dòng)點(diǎn) O ，在新產(chǎn)生的同宿點(diǎn)會(huì)越來越密的同時(shí)振蕩幅度越來越大，如圖 3-35b 所示。 另一方面， 不穩(wěn)定流形 w 在負(fù)映射 T 作用下趨向雙曲不動(dòng)點(diǎn)， 同樣由于與穩(wěn)定流形 w 的 交叉而產(chǎn)生一系列的同宿點(diǎn)，也會(huì)在接近雙曲不動(dòng)點(diǎn) O 時(shí)出現(xiàn)幅度越來越大的振蕩，如圖s s s u3-35c所示。當(dāng)我們同時(shí)考慮 T 對(duì)ws，T 對(duì)wu的作用時(shí)，我們將得到雙曲不動(dòng)點(diǎn)O 附近異常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，這種復(fù)雜結(jié)

13、構(gòu)被稱為同宿結(jié)構(gòu)，如圖 3-35d 所示。圖 3-36 為異宿結(jié)構(gòu) 圖，圖中的 G 為 G兩個(gè)異宿點(diǎn)。同宿結(jié)構(gòu)圖 3-36 異宿結(jié)構(gòu)4. 阿諾德擴(kuò)散現(xiàn)在綜合考慮擾動(dòng)對(duì)二維環(huán)面運(yùn)動(dòng)的影響。 在不可積的擾動(dòng)作用下， 假定擾動(dòng)足夠小， 則那 些無理環(huán)面仍然可以保持，稱為 KAM 環(huán)面，而有理環(huán)面則會(huì)發(fā)生破裂，產(chǎn)生出一系列新的 橢圓不動(dòng)點(diǎn)與雙曲不動(dòng)點(diǎn)。 新產(chǎn)生橢圓不動(dòng)點(diǎn)在擾動(dòng)的連續(xù)作用下， 又繼續(xù)產(chǎn)生出更小一級(jí) 的橢圓不動(dòng)點(diǎn)與雙曲不動(dòng)點(diǎn)； 而在雙曲不動(dòng)點(diǎn)附近， 則由通過不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定的與不穩(wěn)定的流 形形成復(fù)雜無比的異宿結(jié)構(gòu)，如圖 3-37 所示。這些復(fù)雜的異宿結(jié)構(gòu)是二維環(huán)面上的非規(guī)則 運(yùn)動(dòng)區(qū)。由圖可見，

14、 KAM 環(huán)面將環(huán)面上的規(guī)則的與非規(guī)則的運(yùn)動(dòng)區(qū)域分隔開來，因此在整 個(gè)環(huán)面上共存了規(guī)則的與非規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。圖 3-37 不可積系統(tǒng)相空間的規(guī)則與非規(guī)則運(yùn)動(dòng)但是，二維環(huán)面上 KAM 環(huán)面將規(guī)則的與非規(guī)則的運(yùn)動(dòng)分隔開來的結(jié)論能否適用于高維空 間？如果能夠，則 KAM 環(huán)面將可成為等能面的邊界，它們對(duì)那些不滿足 KAM 定理的導(dǎo)致 不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的少數(shù)軌道（即不穩(wěn)定軌道） 起限制作用，使其不能擴(kuò)散到整個(gè)空間， 于是不規(guī) 則運(yùn)動(dòng)將限制于一個(gè)局部區(qū)域之內(nèi)。 只要擾動(dòng)足夠小， 系統(tǒng)在整體上仍是穩(wěn)定的。 我們知道， N個(gè)自由度的系統(tǒng)具有 2N維的相空間和 2N1維的等能面。 因此等能面的邊界應(yīng)是 2N2 維的超曲

15、面。 N 維環(huán)面要成為等能面的邊界，需要滿足：N2N2可見只有 N 2 的系統(tǒng)，它們的環(huán)面才有可能把等能面包圍起來或分割成幾個(gè)部分。對(duì)于N3 的系統(tǒng)， 不會(huì)滿足這樣條件。 如圖 3-38 所示， 在高維相空間里 KAM 環(huán)面不會(huì)被等能面 隔離，那些不穩(wěn)定的軌道將有可能在各個(gè) KAM 環(huán)面之間來回穿行。它們將會(huì)彌散開來，并 逐步擴(kuò)散到整個(gè)等能面上去，這種現(xiàn)象被稱為阿諾德擴(kuò)散。圖 3-38 阿諾德擴(kuò)散5. 標(biāo)準(zhǔn)映射現(xiàn)在我們研究當(dāng)保守的單自由度系統(tǒng)受到周期性外力作用時(shí)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)問題， 這是與耗散 系統(tǒng)中兩個(gè)耦合的系統(tǒng)間的同步與鎖模相對(duì)應(yīng)的問題。由式(3-5-21) ，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)描寫：H =

16、H 0(I)+ V(I, ,t)由此哈密頓產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)方程為：(3-5-31)dI H V dt ；(3-5-32)dHV(I )VIdtI(3-5-33)如果選出一時(shí)間系列：t0,t1,t2 ，則方程 (3-5-32)與(3-5-33) 退化為離散映射：In 1 I n(In, n)n 1n(I n, n)該離散映射給出 I 和 的依次兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上間的關(guān)系。它們又可以寫成如下的形式：(I)T TV( I, )I(3-5-34)(3-5-35)式中 T 為表征擾動(dòng)的特征時(shí)間。設(shè)擾動(dòng)勢(shì)只與廣義坐標(biāo) 有關(guān)：V( ) V0 cos(I) 0 (I)T則式 (3-5-34)與(3-5-35)改寫為：I

17、I TV0 sin0T0T II0(3-5-36)式中 I0 V0T ，I0 / 0 ，式(3-5-36)是一個(gè)二維映射。為了尋找系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)性的條件，需要求式 (3-5-36) 的雅可比矩陣的本征值。式 (3-5-36)的本 征值可由特征值方程1(I )TTV( ) 1 (I )T2 V( )(3-5-37)求出。由式 (3-5-37) 得本征值方程：2 (2 (I)T2 V( ) +1= 02 設(shè) K (I )T V( )，K 是一個(gè)與擾動(dòng)勢(shì)有關(guān)的量，得：2(2 K) 1 0 (3-5-38) 設(shè) V( ) = cos ， 則：K K0 cosK0 Kmax0T式(3-5-37) 的特解：

18、1 1 2 11,2 1 12K (1 12K )2 12 由此得到的不穩(wěn)定條件為：K 0 ( 1 1)K 0 ( 11)(3-5-39)如果式 (3-5-36)采用無量綱作用量：0TI / I0 I ，并略去常數(shù)相位因子0T ，由(3-5-36)式得：I I K sinI (3-5-40) 式(3-5-40)是常見的標(biāo)準(zhǔn)映射的形式。在強(qiáng)耗散條件下，標(biāo)準(zhǔn)映射將演變?yōu)樯闲」?jié)討論的圓 映射。求出式 (3-5-40) 的不動(dòng)點(diǎn)， I I, ：K0 cos0(3-5-41)I I K 0 sin 2 m m 0,1因此我們得到奇點(diǎn)：r1 (2 m,0); r2 (2 m, )與耗散系統(tǒng)的圓映射情況有點(diǎn)

19、相似，在保守系統(tǒng)中，由標(biāo)準(zhǔn)映射(3-5-40) 所給出的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)行為與參數(shù) K 的取值有關(guān)，因此需要對(duì)不同參數(shù) K 值進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并畫出其 ( ,I) 相圖。圖3-39給出了 K 0.5與K 1.0兩個(gè) K值下的標(biāo)準(zhǔn)映射相圖， 可見該圖是相當(dāng)復(fù)雜的。 首 先我們看上下兩條邊線， 可以發(fā)現(xiàn)，下邊線上與上邊線可以粘合到一起的， 因?yàn)?I 值是以 2 為周期的。 這樣，在下邊線上的中點(diǎn) 坐標(biāo) ( ,I ) ( ,0) 與上邊線的中點(diǎn) ( ,I) ( ,2 )構(gòu)成了標(biāo)準(zhǔn)映射1 區(qū)。再看圖中的是同一個(gè)橢圓點(diǎn)。 此外， 該圖的四個(gè)角附近在下邊線上與上邊線粘合后， 的兩個(gè)雙曲點(diǎn)。 通常將這一個(gè)橢圓點(diǎn)與兩個(gè)

20、雙曲點(diǎn)所在的附近區(qū)域稱為周期I 的中間線附近， 可以發(fā)現(xiàn)存在坐標(biāo) ( ,I) (0, )，( , ) ，(2 , ) 附近是三個(gè)橢圓 點(diǎn)，在坐標(biāo) ( ,I) ( /2, ) ，(2 /3, )附近是兩個(gè)雙曲點(diǎn)，因此將 I 中間線附近的 區(qū)域稱為周期 2 區(qū)。周期 2 區(qū)的出現(xiàn)應(yīng)該看作為這里的一條有理線破裂的結(jié)果。bb. K 1.0圖 3-39 標(biāo)準(zhǔn)映射 ( ,I) 相圖， a. K 0.5 ，由圖可見， 在 K 0.5(圖 3-39a)時(shí)，在周期 1 區(qū)與周期 2 區(qū)之間，除了有一些橫貫左右兩側(cè) 的點(diǎn)線外， 還存在一些光滑的曲線。 那些點(diǎn)線是破裂了的有理線， 而那些光滑曲線則是沒有 破裂的 K

21、AM 不變線。 而當(dāng) K 1.0(圖 3-39b)時(shí)，那些在周期 1 區(qū)與周期 2區(qū)之間的光滑曲 線消失了，代之以一片彌散開來的點(diǎn)， 說明原來的 KAM 線破裂的。上述結(jié)果說明， 在K 0.5 的情況下，隨機(jī)性受 KAM 不變線的約束而存在于局部的區(qū)域內(nèi)；而在 K 1.0 的情況下， 隨機(jī)性隨 KAM 不變線的破裂， 局部的隨機(jī)區(qū)逐步向全局?jǐn)U散， 匯成一片廣泛彌散開的大海 隨機(jī)海 (Stochastic sea)。這是一種全局性的混沌形態(tài)。 從局部隨機(jī)向全局區(qū)域過渡的臨界參數(shù)Kc 是多大呢？顯然它應(yīng)由最后產(chǎn)生破裂的那條軌線所相應(yīng)的 K 值決定。實(shí)際上，最后破裂的軌線是由黃金數(shù) G ( 5 1)

22、/2 決定的 KAM 線， 如上節(jié)所述，黃金數(shù)是逐次有理逼近時(shí)收斂最慢的無理數(shù)。因此 G 為旋轉(zhuǎn)數(shù)的橫貫左右兩 側(cè)的 KAM 不變線是標(biāo)準(zhǔn)映射相平面上最后破裂的一條不變線。 所以臨界參數(shù) Kc 可以從 GKc= 0.971635406。為旋轉(zhuǎn)數(shù)的 KAM 不變線由失穩(wěn)而破裂的推算出來。具體的計(jì)算結(jié)果是第六節(jié) 電子混沌電路 電子混沌電路基本上可以分成三類： 一是外激勵(lì)的非線性 LC 諧振電路； 二類是模擬微分方 程的電子電路；三是實(shí)際動(dòng)力體系的電子模擬電路，現(xiàn)在分別加以介紹。 因?yàn)椴捎秒娮与娐啡菀讓?shí)現(xiàn)各類非線性動(dòng)力學(xué)體系， 而且電子測(cè)量比其它物理量的測(cè)量更為 方便， 如果采用示波器可以直接獲得被

23、測(cè)量數(shù)據(jù)的圖形， 如果將數(shù)據(jù)采用計(jì)算機(jī)處理， 可以 計(jì)算出各類非線性動(dòng)力學(xué)參數(shù)， 因此電子混沌電路的研究在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌研究中 占有重要的地位。1. 1. 外激勵(lì)非線性 LC 諧振電路 在外激勵(lì)的非線性 LC 諧振電路中，通常使用一些非線性電子元件，即非線性電阻、非線性 電容、非線性電感等，這里介紹兩個(gè)有代表性的電路。1.1 單結(jié)晶體管混沌電路單結(jié)晶體管也稱雙基極二極管，它有兩個(gè)基極b1、b2 和一個(gè)發(fā)射極 e，所以應(yīng)是一個(gè)三端元件。如果將基極 b2 和發(fā)射極 e聯(lián)結(jié)在一起，它便成了一個(gè)二端元件。b1 、 b2 間的電壓也是 e和 b1間的電壓 ueb E 。如在單結(jié)晶體管兩端加一電壓

24、 u ( ueb / 0.6V)時(shí)( 為單結(jié) 晶體管的分壓比 ) ，則單結(jié)晶體管的電流隨所加的電壓增加而增加，其伏安特性表現(xiàn)為正電 阻特性。此時(shí)晶體管的電流主要是 b1 、 b2間的電流。當(dāng)所加電壓 u 逐步增大，并達(dá)到 u (ueb / 0.6V)時(shí)，晶體管的 PN結(jié)開始正向?qū)?，電流開始由發(fā)射極e流向 b1 。隨著電流的增大， 單結(jié)晶體管兩端的電壓也開始下降， 這時(shí)單結(jié)晶體管的伏安特性表現(xiàn)為負(fù)電阻， 這 樣我們可以將一只單結(jié)晶體管看成為一個(gè)非線性電阻。 將單結(jié)晶體管作為非線性電阻使用的混沌電路如圖 3-40 所示。這是一個(gè)由非線性電阻 (R2 )、 電感 L 和電容 C串聯(lián)的強(qiáng)迫振蕩電路，

25、圖中 R1、R3、L、C 都是線性元件。電阻 R3和電源 Ec 構(gòu)成了單結(jié)晶體管 ( R2 )的偏置電路， R3 也是電流取樣電阻。選電容器兩端的電壓 uc和流過電感的電流 iL 作為狀態(tài)參量，則電路的狀態(tài)可由下列方程組表示：LdiLR1iLgiLuCu0 cos(2ft+ )dt1 LLC 0C duC iL(3-6-1)(3-6-2) g(iL ) 是單結(jié)晶(3-63)dt L將式(3-6-1)寫成關(guān)于 uC 的二階形式2d 2uCduCduCL 2C R1C C g C C uC u0 cos(2 ft+ ) dt 2dtdt式中 u0 是驅(qū)動(dòng)電壓的振幅， f 是驅(qū)動(dòng)電壓的頻率， 是驅(qū)動(dòng)

26、電壓的初相角。體管伏安特性的近似表達(dá)式。我們?nèi)∷?jí)數(shù)展開的前三項(xiàng)，即：uR2 g(i L ) a0 a1iL a2giL a3i L式中展開的常數(shù) ai (i 0,1,2,3)由單結(jié)晶體管的特性和偏置電路決定。實(shí)驗(yàn)中取 L30mH，C0.03 F， R1125 ， R333.8k ， Ec 28V 。單結(jié)晶體管選 用 BT33D 。f 與 u0 為該電路的兩個(gè)可變參數(shù)，取不同的數(shù)值可得該系統(tǒng)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓的幅度 u0 0 時(shí)，電路處于單穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)固定驅(qū)動(dòng)電壓的幅度，改變驅(qū)動(dòng)信號(hào)的頻率f 使其逐步接近電路的固有頻率f 0 1/2 LC 時(shí)，電路出現(xiàn)突變的鎖頻狀態(tài)； 當(dāng)固定驅(qū)動(dòng)電壓的頻

27、率 f，將驅(qū)動(dòng)電壓的幅度 u0 由小到大的增加，可以發(fā)現(xiàn)在 u0 的一定的變化范圍內(nèi)出現(xiàn)倍周期分岔與混沌運(yùn)動(dòng)， 但是在不同的頻率 f 下，出現(xiàn)倍周期分岔與混沌運(yùn)動(dòng)的 u0 值范圍不同，倍周期分岔與混沌運(yùn)動(dòng)的過程也不一樣； 而當(dāng) f 遠(yuǎn)離 f0 時(shí)，隨輸入信號(hào)幅 度 u0 值的逐步升高電路出現(xiàn)倍周期分岔混沌反倍周期的過程；當(dāng) u0 值進(jìn)一步升高時(shí)，倍周期分岔與混沌現(xiàn)象消失，電路表現(xiàn)出一般非線性電路所共有的畸變波形的特征。1.2 二極管電感混沌電路這是一個(gè)廣泛研究過的電路，通常它由電阻R，電感 L 與一只硅二極管 D 阻成。電路中，取 R 100 ，L 0.25H。硅二極管在反向偏置時(shí)作為一個(gè)小電

28、容使用，正向偏置時(shí)為一直流電壓源。電路的方程如下：L u iR u dtCduC i dt 0（二極管導(dǎo)通時(shí) ）（二極管截止時(shí) ）3-6-4)式中 i 是回路中的電流， u 是外加驅(qū)動(dòng)電壓， uC 是二極管上的電壓， C 為二極管的反向電容。 因?yàn)閷?duì)二極管上電壓的測(cè)量要求用高輸入電阻電路， 因此測(cè)量示波器通過由場(chǎng)效應(yīng)管組成源 極輸出器接入到二極管兩端。實(shí)驗(yàn)時(shí)，電路圖如圖 3-41 所示，在電路上加上正電壓，并使外加電壓的頻率與由電感和二 極管反向電容組成的回路的共振頻率相接近， 即接近共振狀態(tài)。 實(shí)驗(yàn)中輸入電壓由小到大逐 步改變， 同時(shí)用 我示波器檢測(cè)二極管上的整流波形電壓。 當(dāng)輸入電壓很小時(shí)

29、， 輸出電壓為 高度相等的整流波形。 但是， 隨著外加電壓的增加， 二極管上出現(xiàn)一串高度不等的整流波形 電壓。這時(shí)二極管電壓經(jīng)歷了倍周期分岔，并最終進(jìn)入混沌。表 3-1 列出了實(shí)驗(yàn)測(cè)得的各項(xiàng) 常數(shù)與理論值的對(duì)比圖 3-41 電感與二極管混沌電路圖表 3-1各項(xiàng)數(shù)值理論值實(shí)驗(yàn)值費(fèi)根鮑姆第一常數(shù)4.669204.26 0.1費(fèi)根鮑姆第二常數(shù)2.502.4 0.1噪聲指數(shù)6.6196.3 0.3功率譜中平均峰高比13.2db1115db2. 非線性微分方程混沌特性的模擬電子電路2.1 非線性常微分方程我們知道， 能產(chǎn)生混沌行為的典型非線性常微分方程是由三個(gè)獨(dú)立變量的一階微分方程， 例 如熟知的洛倫茲

30、方程或羅斯勒方程。 在研究一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的相圖時(shí)， 我們常將一個(gè)二階微分 方程化為兩個(gè)一階方程。 同樣地， 我們可以通過數(shù)學(xué)上的變換， 可將三個(gè)一階微分方程化為 一個(gè)三階微分方程來。 因此一般地， 我們可以將產(chǎn)生混沌行為的非線性微分方程寫成一個(gè)三 階方程：x a1x a2f (x) a3x a4f (x) a5x a6f (x) a73-6-5)式中 a1,a2, a7為各項(xiàng)系數(shù)， f ( x)為一非線性函數(shù)，在電路上 f ( x)常用一些二極管及線 性放大器通過適當(dāng)?shù)穆?lián)接來實(shí)現(xiàn)。系數(shù)a1,a2, a7可以選取包括 0 在內(nèi)的各種正負(fù)常數(shù)，因此從方程( 3-6-5 )可以變換出許多形式的非線性方

31、程，但不是所有的方程都具有混沌行 為。一個(gè)用三階方程描述的系統(tǒng)有三個(gè)李雅普諾夫指數(shù) 1,2,3 ，它是否具有混沌行為要求其 中至少有一個(gè)是正值。因此為了研究一個(gè)系統(tǒng)的混沌行為，就要事先計(jì)算出它的三個(gè)指數(shù)1,2,3 ，并找到其中有一個(gè)是正值，通常這需要進(jìn)行工作量很大的計(jì)算。表 3.2 列出了一些 能產(chǎn)生混沌的三階非線性常微分方程及其李雅普諾夫指數(shù)。由于一個(gè)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù) 之和代表了相體積沿軌道的平均變化速率， 因此如果三個(gè) 指數(shù)之和小于零， 1 2 3 0 ，則該系統(tǒng)的相體積在運(yùn)動(dòng)中會(huì)逐漸減小，這是耗散系 統(tǒng)；如等于零， 1 2 3 0 ，相體積不變，此為保守系統(tǒng)。如上所述，在混沌的耗散

32、系統(tǒng)中應(yīng)存在奇怪吸引子， 而在保守系統(tǒng)則將出現(xiàn)隨機(jī)海。 此外， 如果我們研究的是相空間 的連續(xù)流體， 與流體方向相應(yīng)的指數(shù) 應(yīng)為零。對(duì)于耗散系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)是混沌的， 其中最大 一個(gè)李雅普諾夫指數(shù) 1 必須為正，由于 2 為零， 3就必須為負(fù)。表 3.2 產(chǎn)生混沌的三階非線性常微分方程及其李雅普諾夫指數(shù)微分方程初始條件 ( x,x,x)李雅普諾夫指數(shù)(以 e 為底)x 20017x x7 x(0, 0, 1)0.055, 0, 2.072x 2.8x x x2( 0.5, 0, 1)0.002, 0, 0.0022x 0.44x 2x (x2 1)(0, 0, 0)0.105, 0, 0.5452

33、x 0.5x x x x2(0, 1,0)0.094, 0, 0.594x 2x ( x 1)( 1, 1, 1)0.003, 0, 0.003x 0.6x x ( x 1)(0, 0, 0)0.036, 0, 0.636x 0.3x 0.3x D(x) 1(0, 0, 0)0.042, 0, 0.342x 0.3x 0.3x R(x) 1(0, 0, 0)0.042, 0, 0.342x 2.9x (0.7x D(x) 1)(0, 0.5, 0.5)0.003, 0, 0.003x 2.9x (0.7x R(x) 1)(0, 0.5, 0.5)0.003, 0, 0.003x 0.5x x

34、x sgn(x)(0, 1, 0)0.152, 0, 0.652x 0.5x x x sgn(x)(0, 1, 0)0.601, 0, 1.101x 0.7x x x H(x)(0, 1, 0)0.085, 0, 0.785x 0.4x x x 2S(x)(0, 1, 0)0.072, 0, 0.472x 0.4x x x 2S(x)(0, 1, 0)0.091, 0, 0.491x 0.19x x x 2 tanh(x)(0, 1, 0)0.128, 0, 0.318x 0.19x x x 2tanh(x)(0, 1, 0)0.067, 0, 0.2573x 3.7x (x x )(0, 0

35、.5, 0)0.002, 0, 0.002x 0.6x 2.8x x3 x(0, 1, 0)0.034, 0, 0.634x 0.7x x x x3(0, 1, 0)0.138, 0, 0.8383x 0.35x x x x(0, 1, 0)0.082, 0, 0.432x 0.2x x sin( x)(0, 1, 0)0.123, 0, 0.323在用電子電路來模擬非線性微分方程時(shí)， 需要解決一個(gè)如何實(shí)現(xiàn)微分運(yùn)算的問題。 這個(gè)任務(wù) 通常采用由運(yùn)算放大器組成的有源積分電路來完成。 一個(gè)常見的有源積分電路， 其輸入電壓ui 與輸出電壓 uo 之間存在關(guān)系：u01R1C uidt因?yàn)椋篸t1R1C

36、 dui因此，輸入電壓比例于輸出電壓的一階導(dǎo)數(shù)：uiRCduodt關(guān)于式( 3-6-5)中的非線性函數(shù) f (x) ，在電路上可以用二極管電路或二極管 運(yùn)放電路來實(shí)現(xiàn)。圖 2-42 中列出了幾種用二極管與運(yùn)算放大器電路以及所具有的非線性函數(shù)特性：圖2-42a是輸入變量 x的絕對(duì)值 f(x) x ；圖2-45b與 c是利用二極管的正反向?qū)щ娞匦裕?因 此 f (x)分別等于 D(x)和R(x)；圖 2-45d是利用開環(huán)運(yùn)算放大器放大倍數(shù)為極大值 (106以 上)的特性，因此運(yùn)算放大器總是處在正的或負(fù)的飽和狀態(tài)，當(dāng)輸入電壓從負(fù)過零變正時(shí)，f (x)H(x) 。輸出電壓從正飽和狀態(tài)躍變?yōu)樨?fù)飽和狀態(tài)，

37、 f(x) sgn(x) ，這里 sgn(x)表示是變量 x的 躍變函數(shù)；圖 2-42e 是用一反向二極管對(duì)運(yùn)算放大器作反饋，當(dāng)輸入電壓為負(fù)時(shí)，輸出電壓 為零，當(dāng)從輸入電壓為正時(shí)，輸出電壓躍變?yōu)轱柡蜖顟B(tài)，這時(shí)圖 3-42 幾種用二極管與線性放大器實(shí)現(xiàn)的非線性函數(shù)電路2.2 幾個(gè)電子混沌電路下面介紹幾個(gè)展示非線性常微分方程混沌特性的電子電路。 f(x)= x的混沌電路這種情況的微分方程可以如下構(gòu)成：x Ax x ( x 1)( 3-6-6)式中只有一個(gè)控制參數(shù) A。為了得到合適的參數(shù) A 的取值范圍，我們可以計(jì)算方程( 3-6-6) 解 x(t) 對(duì)參數(shù) A 的分岔圖。取方程右邊的正負(fù)號(hào)為負(fù)號(hào)，

38、初始條件為 x x x 0，得0.8 A 0.5 的分岔圖，計(jì)算得到如圖 3-43 所示。由圖可見，當(dāng)參數(shù) A 由 0.8 向 0.64085 逼近時(shí)，系統(tǒng)以倍周期分岔進(jìn)入混沌。 A值小于 0.64085 后，出現(xiàn)類似于平方映射那樣的帶 有大大小小窗口的典型的混沌帶，而在 A 0.547 附近出現(xiàn)的周期 3 是不穩(wěn)定的。方程 (3-6-6)在這里的長時(shí)間演化是對(duì)無窮大發(fā)散的。圖 3-43 f (x)= x 混沌電路的分岔圖由此可見，為了研究方程( 3-6-6)的混沌動(dòng)力學(xué)，可以取參數(shù)A 0.6 ，具體的電路如圖3-44 所示。由圖可見， 該電路以 x 為電壓驅(qū)動(dòng)， 用了三個(gè)串接的反向積分器以產(chǎn)

39、生 x ， x 和 x 等三個(gè)量， 并一定比例將三個(gè)信號(hào)及一個(gè)由電池產(chǎn)生的直流電壓相加起來，再反饋到第一個(gè)積分器的輸入端。 因此該電路可以看成一個(gè)由三個(gè) 90 相移器與一個(gè)非線性正反饋組成 的振蕩器。當(dāng)電路中的電阻取值為 1k ，電容為 0.1 F 時(shí)，電路給出首次霍夫分岔的基頻 振蕩頻率為 f 104 /2 1592Hz 。這個(gè)頻率在音頻范圍，對(duì)于用示波器觀察、用音響檢 測(cè)或用計(jì)算機(jī)作處理它的倍周期、 周期窗口、 和混沌信號(hào)都比較方便。 該電路顯示的奇怪吸 引子如圖 3-45 所示，可見該吸引子具有與羅斯勒吸引子相類似的結(jié)構(gòu)。如表 3.2 所列，該圖 3-45 f(x)= x 混沌電路的奇怪

40、吸引子 單二極管非線函數(shù)電路 用單二極管完成非線性函數(shù)的簡(jiǎn)單微分方程為：3-6-7)x 0.3x 0.3x D(x) 13-6-8)x 0.3x 0.3x R(x) 1式中的非線性函數(shù) D(x)與 R(x)如圖 3-42(b)與 (c)，差別在兩個(gè)二極管正反向不同。其實(shí)方程 (3-6-7 )與( 3-6-8 )與方程( 3-6-6)的基本形式相同，因此在電路形式也有相同的地方， 圖 2-46 是針對(duì) R(x)設(shè)計(jì)的電路， 可見它的幾個(gè)積分器的形式與圖 2-44 也相象， 不同之處是 以一個(gè)阻容積分電路代替了圖 2-44 中的第二個(gè)有源積分器。圖 2-46 中的各個(gè)電阻值均為1k 。圖 3-46

41、 以單二極管為非線性函數(shù)的混沌電路電壓過零時(shí)理想放大器的輸出將從負(fù)飽和值躍變到正飽和值，如圖的以躍變非線性函數(shù)的微分方程為：2-42(d)所示。一個(gè)簡(jiǎn)單x 0.5x x x sgn(x)(3-6-9) 躍變非線性函數(shù)的混沌電路躍變非線性函數(shù)是利用了運(yùn)算放大器的內(nèi)在非線性特性， 既理想放大器的開環(huán)特性。 當(dāng)輸入式中 sgn(x) 為表示躍變特性的符號(hào)函數(shù)：1,sgn( x ) 0,1,x0x0x0對(duì)方程( 3-6-9 )的不同正負(fù)號(hào)，奇怪吸引子的形式很不相同。圖3-47 是方程( 3-6-9)中取正號(hào)時(shí)電路。圖中的電阻 R 的選取是使運(yùn)算放大器正向飽和電流為1mA，圖中的其它電阻均為 1k 。

42、當(dāng)取正號(hào)時(shí)，奇怪吸引子是一種單折帶形式，有點(diǎn)象羅斯勒吸引子(見第二章第三節(jié)) ，當(dāng) 取負(fù)號(hào)時(shí)，奇怪吸引子是一種雙旋結(jié)構(gòu)，類似于洛侖茲吸引子。對(duì)方程(3-6-9 )取負(fù)號(hào)，并設(shè) x 項(xiàng)的系數(shù)是可調(diào)參數(shù) B，則方程( 3-6-9)變?yōu)椋簒 0.5x x Bx sgn(x)3-6-10)圖 3-48 是對(duì)不同參數(shù) B 時(shí)在 x x 平面內(nèi)的吸引子形式。圖 3-47 躍變非線性函數(shù)的混沌電路圖 3-48 躍變非線性方程的奇怪吸引子 蔡氏混沌電路 這是一個(gè)具有非線性電阻的混沌電路電路， 是由美籍華人蔡少棠首先發(fā)起研究的。 它是一個(gè) 三階自治電路，如圖 3-49a所示， 3-49b 是其中的非線性元件是電

43、阻 R的特性，它屬分段線 性電阻。圖 3-49 蔡氏混沌電路及其分段線性電阻特性電路的狀態(tài)方程可以寫成：duc1dtduc2dtdiL(G / C1 )(uc2(G /C2 )(uc1uc1) (1/ C1 )g( uc1 )uc2) (i L /C2 )dt(1/ L)uC 2(3-6-11)設(shè) x uc1 ， y uc2 ， z= i L / G ，C 2 / C1 ，C2 /LG ，則式 (3-6-11)可以寫為：dt y h(x)dy x y z dtdzdt(3-6-12)h(x) 對(duì)應(yīng)于分段線性電阻的特性。它可以寫為：h(x) x g(x) m1x(m0 - m1) x 1 x 1

44、2(3-6-13)若將分三段來考慮，即有m1x (m0 m1) h(x) m0 xm1x (m0 m1)實(shí)現(xiàn)圖 3-49 混沌電路的實(shí)際電路圖如圖x1x1x1(3-6-14)3-50 所示。圖中的虛線框?yàn)榉蔷€性電阻的等效電路。圖 3-50 實(shí)際蔡氏混沌電路(x,y,z) 換成 ( x,對(duì)方程 (3-6-12) 分析可見，該方程對(duì)相平面的原點(diǎn)是對(duì)稱的，即當(dāng)式中坐標(biāo)y,z)時(shí)，方程保持不變。令9，28， m0 1/7， m1 2 / 7 ，則有三個(gè)平衡點(diǎn)，它們分別位于 (3/2,0,-3/2) 、(-3/2,0,3/2) 和 (0,0,0)。這三個(gè)平衡點(diǎn)均為鞍點(diǎn)。 在上述參數(shù)下， 取下面的初始值：

45、 x0 0.15264 ， y00.02281， z0 0.38127 ，可得吸引子的三個(gè)二維投影如圖 3-51 所示。這種形式的奇異吸引子稱為雙漩 (Double Scroll) 結(jié)構(gòu)。圖 3-51 實(shí)際蔡氏混沌電路的奇異吸引子3. 彈跳運(yùn)動(dòng)的電子模擬設(shè)一個(gè)剛性小球在桌面上作彈跳運(yùn)動(dòng)， 假如桌面又可作垂直上下的振動(dòng)， 研究表明， 這樣的 小球的動(dòng)力學(xué)行為將是非常復(fù)雜的。 當(dāng)桌面作的簡(jiǎn)諧振運(yùn)動(dòng)時(shí)， 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)有兩個(gè)控制參 量：桌面對(duì)小球的加速度與重力加速度之比 和表征小球在彈跳中的能量耗損的恢復(fù)系數(shù)。改變控制參數(shù)，該系統(tǒng)可以表現(xiàn)出從規(guī)則到混沌的種種動(dòng)力學(xué)行為。 一個(gè)小球在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程可

46、表達(dá)為下式：d2x2gdt 2 (3-6-15)它的一次積分為：(3-6-16)v gt v0 dt 0式中 v0為初速度，說明小球速度隨時(shí)間t 線性增長。對(duì) (3-6-15)式二次積分：x 12 gt2v0t x0(3-6-17)式中， x0為初始位置。 (3-6-17)式說明小球的位置是時(shí)間的二次函數(shù)。當(dāng)小球從x00 的位置以 v0 的初速度上拋時(shí)，小球?qū)r(shí)間的軌跡是一條拋物曲線?，F(xiàn)在需要根據(jù)這些關(guān)系式設(shè) 計(jì)的電路如圖 3-52 所示。該電路為一個(gè)由二級(jí)運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分電路。R11M ， R2 R5=10K ，C1= 0.01 F，C2= 0.1 F，Rf =1K ，Cf =0.047

47、. F圖 3-52 彈球運(yùn)動(dòng)的電子模擬電路圖設(shè)在運(yùn)放 A1的輸入端 S1點(diǎn)接入負(fù)直流電壓 ug ，用以模擬小球所受的重力加速度， 再在此輸 入端接入正脈沖 up 用以反映小球從彈面上跳運(yùn)動(dòng)。設(shè)在t1時(shí)刻，當(dāng) u p到來且較大時(shí)，在電容 C1 充上左正右負(fù)的電荷。 當(dāng) t2 時(shí)刻， up 過去后， 運(yùn)放 A1 在輸入負(fù)壓 ug 的作用下， 電容 C1 放電，放電電流 i 為：ugR1(3-6-18)du1dt一次積分可得：u1ugC1R1t u10(3-6-19)u10為積分常數(shù)， u1隨時(shí)間 t 線性增長。運(yùn)放 A2的輸出 u2由u1的積分可得：u2C R u1(t) dtC2 R2ug2R1

48、C1R2C2t2u10t u20(36-20)式(3-6-20)式說明運(yùn)放 A2 的輸出 u2是時(shí)間 t 的二次函數(shù)，為拋物曲線。在拋物曲線頂點(diǎn)時(shí)，C1和 C2上的電壓極性將反轉(zhuǎn)。因此可把u1模擬為小球的運(yùn)動(dòng)速度， u2模擬為小球位置，在正脈沖電壓驅(qū)動(dòng)下，二級(jí)積分電路完成小球的一次上拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球是剛性的， 小球與桌面作完全彈性碰撞。 碰撞時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)方向?qū)l(fā)生反轉(zhuǎn)， 當(dāng)小球 以速度 v 降落到桌面時(shí)，將以 v 的速度反彈上拋。在電路上這一現(xiàn)象可以看作為輸入正向 電壓到來時(shí)發(fā)生的現(xiàn)象。如果輸入電壓突然上升很高且時(shí)間很短，C1和 C2上的電壓極性又快速反轉(zhuǎn)到原來狀態(tài)。為反映小球在桌面上周而復(fù)始彈

49、性，在運(yùn)放A2 的輸出端接一級(jí)反相器，將 u2反相后通過二極管(運(yùn)放 A4 與二極管 D 構(gòu)成一個(gè)等效理想二極管) 反饋到運(yùn)放 A1 輸入端， 當(dāng)小球與桌面 碰撞時(shí)受到反彈， C1和C2 上的電壓極性快速反轉(zhuǎn)。此后二極管截止，小球又進(jìn)入上升與下 落運(yùn)動(dòng)的拋物體運(yùn)動(dòng)方式，如此周而復(fù)始。實(shí)際小球與桌面的碰撞不是完全彈性的， 第二次達(dá)到的高度不會(huì)超過第一次。 為此， 在反饋 電路中串聯(lián)進(jìn) RC 電路。 RC 電路可使二極管延遲導(dǎo)通，減弱反饋信號(hào)強(qiáng)度，使小球經(jīng)若干 周期彈跳后停止在桌面上。此后若正脈沖up 再次到來，則開始一個(gè)新的從彈跳過程。當(dāng)在運(yùn)放 A3的輸入端 VT點(diǎn)加入正弦電壓 ua 反映桌面振

50、動(dòng)， 表明桌面上下振動(dòng)時(shí)， 小球與桌 面的相對(duì)速度在變化。ua Ua sin( t )式中 Ua 相當(dāng)于桌面振動(dòng)的振幅，為振動(dòng)頻率。由 (3-6-17)和(3-6-20)兩式比較可知重力加速度 g 為：ugg(3-6-21)R1C1 R2C2桌面振動(dòng)加速度與重力加速度的比值 ：2U2UugR1C1R2C2(3-6-22)恢復(fù)系數(shù) 可由下式估算1/ 2hn hn(3-6-23)式中： Vn 為小球在第 n 次碰撞時(shí)的速度， Vn 1 為第 n+1 次的速度， hn 為小球在第 n 次上拋 的高度， hn 1 為第 n+1 次的高度。實(shí)驗(yàn)時(shí)， 將 u2接入雙蹤示波器的 Y1軸， u1接入 Y2軸，

51、在示波器上顯示出表示小球位置的拋 物線簇，和速度線性變化的直線。通過測(cè)量相鄰二拋物線的高度 或速度，可估算出恢復(fù)系 數(shù) 值，改變 C 值， 隨之變化，拋物線簇衰減情況也發(fā)生變化。當(dāng)電路的 VT點(diǎn)接入正弦電信號(hào) ua模擬桌面上下振動(dòng)時(shí)，須將 ua 接入雙蹤示波器 Y1，u2 仍接入 Y2。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)桌面振動(dòng)振動(dòng)頻率與小球彈跳頻率相近，調(diào)節(jié)幅度 ua 或頻率 可得單周期、倍周期、四倍周期等的振動(dòng)，然后進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，直至混沌狀態(tài)。圖 3-53 給出了幾個(gè)典型的彈跳運(yùn)動(dòng)示波圖， 其中最上面的為單周期運(yùn)動(dòng)， 中間的為雙周期運(yùn)動(dòng)， 下 圖示出的為混沌運(yùn)動(dòng)。a. 彈跳波形圖 b 相圖圖 3-53 彈球在振

52、動(dòng)桌面上的彈跳運(yùn)動(dòng)第七節(jié) 控制混沌與同步混沌 控制混沌與同步混沌是近年在混沌運(yùn)動(dòng)研究中取得的重大進(jìn)展。 混沌控制是使一個(gè)系統(tǒng)從處 于隨機(jī)狀態(tài)的走向規(guī)則運(yùn)動(dòng)，從而使混沌從理論研究發(fā)展到了具有重大經(jīng)濟(jì)價(jià)值的應(yīng)用研 究。例如，如果一臺(tái)激光器處于混沌工作狀態(tài)，則激光器的各項(xiàng)輸出性能（輸出功率、單色 性、相干性等） 不會(huì)很高， 但是如果混沌狀態(tài)可以得到控制，激光的各項(xiàng)性能指標(biāo)將會(huì)得到 大幅度的提高， 激光的應(yīng)用價(jià)值將隨之大幅度增加。 再如， 在混沌狀態(tài)中蘊(yùn)藏著巨大的信息 量，如果在產(chǎn)生混沌的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)間能得到同步， 就可以開發(fā)用來作最高保密通信， 這一資源得到開發(fā)與利用，由此帶來的效益將是不可估量的。本

53、節(jié)將就這兩方面作些簡(jiǎn)單的介紹。11控制混沌控制混沌所要達(dá)到的目的， 就是把非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為轉(zhuǎn)化為事先確定的平 衡態(tài)、周期運(yùn)動(dòng)或條件周期運(yùn)動(dòng)。最早提出的控制方案是 1989 年由 Munich 工業(yè)大學(xué)的 Hubler 和 Luscher 提出的輸送控制， 也稱遷移控制， 并由 Illinois 大學(xué) Urbana 分校的 Jackson 所完善 輸送控制的基本思想是給定一個(gè)周期函數(shù)為控制目標(biāo)， 根據(jù)這個(gè)目標(biāo)構(gòu)造出一個(gè)外激勵(lì)并施 加于被控制的系統(tǒng)。 通過施加控制， 把系統(tǒng)輸送到給定一個(gè)周期性軌道， 或者在不同的周期 性軌道間遷移。能夠?qū)嵤┹斔涂刂频南到y(tǒng)要求原系統(tǒng)存在著收斂域，即系

54、統(tǒng)必須是耗散的， 具有吸收性， 使得附近的軌道沿著某個(gè)特征方向收斂于該區(qū)域。 輸送控制的機(jī)理是非線性共 振，在適當(dāng)?shù)耐饨鐥l件下，施加周期的外激勵(lì)可得到同周期的系統(tǒng)響應(yīng)。 另一個(gè)研究和應(yīng)用較多的方法是 OGY 方法。該方法由奧托 (Ott) 、格里包革 (Grebogi)和約克 (Yorke)三人于 1990 年提出。OGY 方法基本出發(fā)點(diǎn)是混沌吸引子的幾何結(jié)構(gòu)和混沌動(dòng)力學(xué)對(duì) 初值具有高度的敏感性，通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整動(dòng)力學(xué)的可控參數(shù)，將不穩(wěn)定的軌道穩(wěn)定下來。 從前面的討論知道， 在混沌吸引區(qū)存在無窮多個(gè)不穩(wěn)定的周期軌道， 在龐加萊截面上， 這些 軌道是一些不動(dòng)點(diǎn)。 由于周期軌道是不穩(wěn)定的， 所以實(shí)際的相軌跡線只有少數(shù)幾次回到龐加 萊截面上的這些不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)附近。 在具體實(shí)施混沌控制時(shí)， 可以選定其中任一軌道為控制 目標(biāo)， 然后調(diào)整系統(tǒng)的某個(gè)可控參數(shù)， 根據(jù)混沌對(duì)初值的敏感性， 系統(tǒng)可對(duì)所施加的任意小 擾動(dòng)將