畢業(yè)論文-數(shù)學分析中的反例及其應用

1、本科畢業(yè)論文數(shù)學分析中反例的應用the application of counter-examples in mathematical analysis 25目 錄摘要iabstractii一、前言1二、數(shù)學分析中反例的應用1 （一）應用反例透徹理解定義定理的條件1 （二）應用反例準確把握概念間的關系6 （三）應用反例揭示概念的內涵10 （四）應用反例糾正研究學習中的錯誤11三、數(shù)學分析中幾個特殊的反例17 （一）洛必達法則失效的極限17 （二）魏爾斯特拉斯著名反例18 （三）函數(shù)在極值點的形態(tài)18四、應用反例應注意的問題19五、“反例教學法”在教學中的重要意義19 （一）“反例教學法”的實施

2、過程20 （二）“反例教學法”在教學中的重要意義21謝辭23參考文獻24附錄25 畢業(yè)論文摘要摘 要本文的主要內容是對數(shù)學分析中反例的應用進行概括總結，以清晰介紹反例這種數(shù)學方法為目的，通過具體實例來說明。關于定義、定理，各種教材表述很詳細，篇幅原因，本文不作過多冗雜介紹，僅以數(shù)個例子代表說明反例在其中所起作用，重點放在應用反例準確把握概念間的關系和糾正學習中的錯誤兩部分。因為數(shù)學分析中概念眾多，錯綜復雜，其關系的把握是難點也是重點，文中對收斂、有界、單調、可導、可積等各種重要概念均有涉及；另外，文中對于學習過程中常見的錯誤也進行了分類，經(jīng)過細心總結歸納，簡單分析了錯誤形成的原因和結果，力圖對

3、數(shù)學分析的學習起到一定的參考意義。關鍵詞： 數(shù)學分析；反例；應用 ；概念；abstractthe main content of this thesis is a sum up of the applications of counter-examples in the mathematical analysis, in order to introduce this mathematical method clearly with some concrete examples. for many definitions and theorems have been expressed in

4、great detail in a variety of teaching materials, taking into account of the length of this thesis, this thesis does not going to give too many miscellaneous descriptions, only a few which representatively described the role of counter-cases will be mentioned. certainly the applications of counter-ex

5、amples in helping accurately grasping the relationship between concepts and correcting learning errors will be the main points. because there are so many concepts in the mathematical analysis and they are complex, grasping the relationships between them seems to be a difficult but also important wor

6、k, so in this thesis convergence, bounded, monotone, differentiable, integrable and many other important concepts are involved. the paper has also classified many common mistakes in the learning process, by carefully summarize and simple analysis the causes and consequences of these formation, tryin

7、g to form any reference value on the learning of mathematical analysis. keywords：mathematical analysis; counter-examples; application; concept 數(shù)學分析中反例的應用一、 前言數(shù)學分析的內容包含一套抽象而且形式化的嚴謹?shù)睦碚擉w系，概念的本質較為難以理解。學習過程中容易犯的一些想當然的錯誤，最常見的，我們容易將一些函數(shù)的特殊性質通過四則運算等運算引用到另一些函數(shù)上。反例是解決此類問題最有效的方法。更因為數(shù)學分析的嚴謹性，定義定理的給出以及一些常用結論一般都帶

8、有一些不可忽視的限制條件，學習時難以牢記而且容易出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象，重視和恰當?shù)厥褂梅蠢?，對于透徹理解定理的條件，準確把握概念間的關系，可以起到一般證明過程所無法比擬的重要作用。此外，反例對于數(shù)學分析整個學科的理論發(fā)展和完善也起著重要作用。它猶如一把標尺，用來衡量理論的正確與否。數(shù)學分析中的反例太多太多，篇幅有限，難以枚舉，鑒于反例在區(qū)分基礎概念、透視定理條件上的特殊作用，本文僅對數(shù)學分析的基礎部分，即函數(shù)與極限、一元函數(shù)微積分中反例的應用做相應的介紹。同時為了語言表述上的習慣和方便，本文中的例題并非都是舉反例來駁斥某個假命題，很多是否定性真命題而以特例來印證其正確性，但其實質都是一樣的，僅僅

9、是表達方式上的不同而已。如本文的“（三）、應用反例揭示概念的內涵”一節(jié)中，“并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期”，所舉狄利克雷函數(shù)是這一命題的正例，也即是“所有的周期函數(shù)都有最小正周期”的反例。反例的使用，貴在“巧妙”。反例是與正例相對立的，是教學中不可缺少的認識對象，也是學生認知建構中常常出現(xiàn)的中間形態(tài)。我們不能單靠正面示范和反復練習糾正去避免學生的錯誤。沒有反例的襯托，正確的知識不易凸現(xiàn)，學生對知識的理解就不易到位。小學數(shù)學課堂教學對于反例使用，貴在巧妙。只有巧妙使用，反例才能對學生的智力活動起到定向糾錯、提煉升華的作用?！扒伞庇梅蠢?，防患未然，能使學生激活思維，豁然開朗，形成鮮明的正確印象

10、。二、數(shù)學分析中反例的應用反例在數(shù)學分析的學習研究中的應用往往是多方面的，準確分類有些困難。這里主要就應用反例透徹理解定義、定理條件，準確把握概念間的關系，揭示概念內涵，糾正錯誤四個方面進行分類，力圖盡可能詳盡的將反例在數(shù)學分析中的重要應用呈現(xiàn)出來。（一）、應用反例透徹理解定義、定理的條件本節(jié)主要通過函數(shù)在一點極限的定義、數(shù)列收斂的柯西準則等幾個具體例子來說明反例在幫助理解定義、定理條件上的作用。另外，對定義、定理中常見的兩個限制條件“有限”和“閉區(qū)間”做簡單說明。1. 關于一個重要定義定義： 設函數(shù)在點的去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)，對于，當時，有，成立，則稱函數(shù)當時存在極限，極限是，記為

11、或.在此定義中，要求函數(shù)在點的去心鄰域內有定義，說明函數(shù)在點的極限與在點的情況無關。在點沒定義，但在點的極限仍可能存在。例1 函數(shù).分析：該函數(shù)在點沒定義，但。所以，函數(shù)在沒定義的點也可以有極限。例2 設恒成立，但在某一點處有.分析：如 。函數(shù)恒成立，但在處有： （） 說明函數(shù)在點的極限與在點的情況無關。在學習一個新的定義時，通常不會死記硬背，而是努力去理解，在頭腦中形成一個印象。如果該定義的學習到此為止，則容易忽視掉定義的某些條件，如上例中的去心鄰域。應該回過頭來仔細分析一下，為什么是去心鄰域而不是普通的呢？它們會造成什么樣的不同？舉出類似上述的例子，將會對定義的理解更加深入，而并不只是一些

12、表面印象。2. 關于兩個重要定理（1） 數(shù)列收斂的柯西準則：數(shù)列收斂的充要條件是：，當及一切，都有 （）：條件（）能否用下面的條件（）所代替？ 對，當時，有 （）條件（）中的與無關，（）中的依賴于，顯然若滿足條件（），則必滿足條件（），但反之不真。例3 解：固定自然數(shù)，要使只要，取= ，當時，有。所以滿足條件（）。但不論多么大，取，則 所以，條件（）不滿足。因此條件（）較條件（）要弱，不能作為數(shù)列收斂的充分必要條件，這里舉出的數(shù)列雖然滿足條件（）但不收斂。若條件（）改為：，當時，則數(shù)列不一定收斂。例4 分析：，當時，但不存在。（2） 積分第一中值定理：設函數(shù)，在上可積，且, ，在上不變號，則存

13、在使 定理中“在上不變號”這個條件是重要的，若去掉此條件，結論不一定成立。例5 ，分析：它們均在上可積，且，在上可正可負，而 ， .可見不存在，使得.即，去掉“在上不變號”這個條件，結論不成立。3. 關于無窮條件下的性質無窮多個無窮小之和不一定為無窮小。例6 ，分析：它們都是無窮小，但 因此上式中無窮多個無窮小之和不是無窮小。數(shù)學分析講義中關于無窮小之和仍為無窮小有一個重要的條件，那就是有限項之和，當無窮小的數(shù)目趨向無窮時，該結論不再成立。數(shù)學分析中很多定理、性質涉及有限、可列等條件，必須注意。4. 閉區(qū)間與開區(qū)間 （1） 設在上有定義，在內連續(xù)，并且，不一定存在使得。例7 分析：它在0，1上

14、有定義，在（0，1）內連續(xù)，并且，但不存在，使得。（2）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界。若改為非閉區(qū)間，結論不一定成立。例8 函數(shù)定義在無界區(qū)間顯然在上無界。 函數(shù)定義在有界非閉區(qū)間，顯然在內連續(xù)，但在上無界。 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則一定一致連續(xù)。若改為非閉區(qū)間，則結論不一定成立。例9 分析：在上連續(xù)，但它在上不一致連續(xù)。 此例也說明，若在某一區(qū)間上一致連續(xù)，一定在此區(qū)間上連續(xù)，但反之不真。只有在閉區(qū)間上反之才成立。非閉區(qū)間包含有界非閉區(qū)間和無界非閉區(qū)間，無界區(qū)間與閉區(qū)間的性質相差很大自不必說，即使是有界非閉區(qū)間，由于邊界處無限趨近于該區(qū)間的邊界，在此無限的條件下，函數(shù)性質也會變化很大。（二）

15、、應用反例準確把握概念間的關系1. 關于函數(shù)的相關性質（1） 在學習過程中，對于反函數(shù)最深的印象是：其圖像與其原函數(shù)關于直線對稱，不經(jīng)意間就畫出一對單調的連續(xù)曲線，這僅僅是幫助理解，并不是反函數(shù)必須遵守的規(guī)則。本小節(jié)以兩個例子來簡述單調與反函數(shù)之間的關系。 任何嚴格單調函數(shù)必有反函數(shù)，但單調函數(shù)不一定有反函數(shù)。例10 函數(shù)分析：該函數(shù)在上單調遞增，而非嚴格單調增函數(shù)，故，此函數(shù)沒有反函數(shù)。這一條例子比較好理解，因為該函數(shù)有無窮個對應函數(shù)值1，求反函數(shù)時導致一個自變量值可以對應無窮個因變量，不符合函數(shù)的定義。 非單調函數(shù)卻有單值的反函數(shù)。 例11 函數(shù)分析：很明顯，該函數(shù)在區(qū)間（）上不單調，但它

16、為單值的，其反函數(shù)為此函數(shù)本身。從以上兩個例子可以輕松看出函數(shù)有反函數(shù)與單調以及嚴格單調之間的關系，即嚴格單調是函數(shù)有反函數(shù)的充分不必要條件，單調是函數(shù)有反函數(shù)的不充分也不必要條件，反函數(shù)的存在僅依賴于原函數(shù)是否為一一對應。 不連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)卻是連續(xù)的。例12 ，其中 解： 的反函數(shù)為：，在其定義域上是連續(xù)的。所以，不連續(xù)的函數(shù)反函數(shù)可以連續(xù)。（2）數(shù)列、函數(shù)的有界無界性質與其收斂、無窮之間的關系是學習函數(shù)極限部分時必須注意的，利用反例幫助學習可以將他們清楚地區(qū)分，而且，特例的提出更加深印象，牢記不忘。 收斂數(shù)列必有界，但反之不真。例13 分析：顯然是有界的，但不存在。所以，有界數(shù)列不一定收

17、斂。有界是數(shù)列收斂的必要不充分條件，但要注意，函數(shù)收斂的性質與之有所不同，函數(shù)收斂僅僅能推出函數(shù)在該收斂點的鄰域內局部有界，因為，在數(shù)列收斂的條件中，確定之后，對于局部有界，同時，的取值個數(shù)是有限的，可以找出其中的最大值，而普通函數(shù)有界的局部之外，取值個數(shù)仍為無窮個，無法找出極值。 無窮大量必無界，但反之不真。 例14 分析：是無界的，但。所以，無界量不一定為無窮大。 趨向正無窮大的數(shù)列必上方無界。但反之不真。 例15 分析：上方無界，但不存在。所以，上方無界的數(shù)列不一定趨向正無窮。上述兩個例子引用的是相同的數(shù)列，它們表明，無窮大量的限制條件要強于無界量，要求函數(shù)的極限是無窮大，這樣，函數(shù)要么

18、趨向于正無窮大要么趨向于負無窮大，而無界的成立條件僅需該函數(shù)的值可以取到無窮。2. 關于導數(shù)(1) 導數(shù)與函數(shù)連續(xù)性之間的關系較難理解，應用反例可以比較方便地學習它。 在一點可導必在該點連續(xù)，但反之不真。 例16 分析：該函數(shù)處處連續(xù)，但在點不可導(在該點左右導數(shù)不相同)。所以，函數(shù)在一點連續(xù)不一定在該點可導。 函數(shù)在點，極限為，與其函數(shù)值相等，所以函數(shù)在該點連續(xù)；導數(shù)的意義是函數(shù)在該點的平均變化率的極限值，但，中，分子永遠大于零，分母在左側小于零，右側大于零，左右導數(shù)一正一負，所以導數(shù)不存在。自變量趨近點時，趨近于零，導數(shù)存在，則同時是趨近于零的，（因為其比值的極限為常數(shù)，它們?yōu)橥A無窮?。?/p>

19、，即，時，正是函數(shù)在一點連續(xù)的定義。（2）導數(shù)與函數(shù)值之間的關系 若對于任意，有，則函數(shù)在內嚴格增加。但反之不真。 例17 ，分析：在上嚴格增加，但存在一點，使得，即不恒成立。所以，嚴格增加不能得到導函數(shù)恒大于零。該點僅為孤立點，函數(shù)仍然嚴格增加，函數(shù)遞增遞減是定義在一個區(qū)間上的整體性質，在某孤立點上導數(shù)等于零，也不會有在該點函數(shù)值不變的結論，只要在其兩側仍然有導數(shù)大于零，就一定有該函數(shù)嚴格增加。 就上升函數(shù)來說，若，則一定嚴格單調上升；但若，則可能單調上升，也可能嚴格單調上升。 例18 ， 解：，。當時，但在上是嚴格單調上升的。此例與其前面的例題所說明的問題類似，表述方式上差別較大而已，在此

20、列出進一步說明一下。類似的問題還有后面例題和例題。不再做詳細的解釋。 不可導的點可能為極值點。例19 ，分析：在點不可導，但為的極小值點。所以，不可導的點也可以是極值點。 若函數(shù)在點可導，則曲線在點存在切線。但若函數(shù)在點不可導，曲線在點也可能存在切線。例20 分析：該函數(shù)在點不可導，但曲線在（0，0）處存在切線，即軸。習慣利用導數(shù)求函數(shù)在某點的切線，久而久之形成了兩者關系等價的錯誤理解。此例很好的揭示出導數(shù)是函數(shù)在某點存在切線的充分不必要條件。3. 關于積分 本節(jié)主要內容是舉幾個關于函數(shù)是否可積的反例，看一看在學習函數(shù)一般性質與可積性之間的關系時，反例所起的重要作用。（1） 函數(shù)在上可積，但不

21、一定存在原函數(shù)。例21 分析：此函數(shù)只在點間斷，其他點均連續(xù)，因此在上可積，但在上不存在原函數(shù)。 事實上，每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù)。定積分是數(shù)項和式，與不定積分有著本質的不同，可積與原函數(shù)的存在性沒有必然的聯(lián)系。 （2） 任意可積函數(shù)都有界，但反之不真。 例22 分析：此函數(shù)在上有界，但并不可積。所以，有界的函數(shù)不一定可積。 （3） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上可積，但反之不真。例23 分析：此函數(shù)在上可積，但在處間斷，即在閉區(qū)間上不連續(xù)。所以，函數(shù)在閉區(qū)間上可積，但不一定在上連續(xù)。 這樣的例子很多，因為在上，如果有有限個間斷點，且有界，則就是可積的；又閉區(qū)間上的單調函數(shù)，若有

22、可數(shù)個間斷點，它仍是可積的。（4） 若函數(shù)在上可積，則在上也可積，但反之不真。例24 分析：在上連續(xù)，因而在上可積，但在任意區(qū)間上不可積。所以，在上可積，可以有函數(shù)在上不可積。（三）、應用反例揭示概念的內涵并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期 例25 狄利克雷函數(shù)： 分析：它的周期為任何有理數(shù)，沒有最小正周期?？梢娙魏握欣頂?shù)都是它的周期，但沒有最小正周期。由于周期函數(shù)概念本身的復雜性，在很長一段時間內，人么一直認為周期函數(shù)必有最小正周期。狄利克雷關于此問題提出的著名函數(shù)狄利克雷函數(shù)，不僅糾正了以往關于周期函數(shù)理論中的偏差，也是人們對于周期函數(shù)概念的內涵有了更加深刻的認識。（四）、應用反例糾正研究

23、學習中的錯誤不能忘記,反例之所以叫做反例，是因為它最明顯的也是最根本的作用就是糾錯。數(shù)學是一門極其嚴謹?shù)膶W科，而數(shù)學分析又是經(jīng)過了嚴格理論改造的微積分學，其嚴謹性可見一斑。反例就像一面鏡子，讓我們可以站在問題的對立面去觀察和分析學習、研究過程中所遇到的問題。本論文層次較為有限，僅就數(shù)學分析的學習中所遇到的部分典型的、常見的錯誤舉出相應的反例，簡單介紹一下反例巨大的糾錯能力。1. 數(shù)學運算下函數(shù)的性質總是想當然的將函數(shù)的一些性質通過四則運算“推廣”到很多其他的函數(shù)上，就像以下這兩個例子，兩函數(shù)發(fā)散，對它們求和，不仔細思考想不到它們前后的區(qū)別，總會感覺求和并沒有改變原函數(shù)的性質。類似的錯誤在數(shù)學學

24、習中很常見，略作講述。（1）函數(shù)的斂散性 與均發(fā)散，但不一定發(fā)散 例26 ， 分析：上述兩函數(shù)它們均發(fā)散，但 ，即，是收斂的。所以，函數(shù)發(fā)散對兩函數(shù)的加法運算不封閉。 與均發(fā)散，但不一定發(fā)散 例27 ， 分析：顯然兩函數(shù)均發(fā)散，但，顯然是收斂的。所以，函數(shù)發(fā)散對乘法運算也不封閉。由于減法和除法分別可以由加相反數(shù)和乘倒數(shù)得到，即可以轉化成加法和乘法運算，所以，可以有結論：兩數(shù)列發(fā)散但其四則運算的結果斂散性未知。（2）無窮小概念 兩個數(shù)列都不是無窮小，而它們的積卻可能是無窮小。 例28 ， 分析：很顯然，它們都是發(fā)散的，但=卻是無窮小。因此，非無窮小的積可以是無窮小。 無窮小乘任意數(shù)列不一定為無窮

25、小。 例29 ，分析：是無窮小，但不是無窮小。思考：數(shù)列是無窮小，數(shù)列趨向無窮大，兩數(shù)列的乘積斂散性將會是不確定的。（3）函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)，在點處均不連續(xù)，但在點處可能連續(xù) 例30 ， 分析：例題中的兩函數(shù)，很明顯的，它們在點處均不連續(xù)，但它們的和是常數(shù)，處處連續(xù)。因此，我們可以說，不連續(xù)的兩函數(shù)之和可以是連續(xù)的。 函數(shù)，在點處均不連續(xù)，的連續(xù)性不確定。 例31 （1），；（2）， 分析：（1）兩函數(shù)在點處均不連續(xù)，但它們的乘積卻處處連續(xù)。（2）兩函數(shù)在點處均不連續(xù)，因為它們在該點沒有定義，而它們的乘積 在點=0處仍不連續(xù)。所以，不連續(xù)的兩函數(shù)的積的連續(xù)性也是不確定的。 乘積不一致連續(xù)的兩個

26、一致連續(xù)函數(shù)。 例32 ， 分析：它們均在實數(shù)范圍內一致連續(xù)，但在實數(shù)范圍內卻不一致 連續(xù)。因此有結論，兩一致連續(xù)函數(shù)的乘積不一定一致連續(xù)。（4）導數(shù)的相關問題 若，均在點不可導，但有可能在點可導。例33 ， 分析：它們均在=0點不可導，但卻處處可導。所以，不可導的兩函數(shù)之和有可能可導。 若，均在點不可導，但有可能在點可導。 例34 分析：，均在點不可導，但卻處處可導。所以，不可導的兩函數(shù)之積有可能可導。結論：以上兩個例子表明,函數(shù)的導數(shù)對四則運算不封閉。（5）積分的相關問題 若函數(shù)，在上可積，則在上可積。但反之不真。例35 ，分析： 在上可積，但函數(shù)，在上均不可積。所以，兩函數(shù)之和可積，兩函

27、數(shù)不一定可積。或者說，可積函數(shù)可以分割成兩不可積函數(shù)之和。2. 將命題的充分與必要性弄混由于數(shù)學分析的內容很多，很復雜，命題、結論的邏輯關系經(jīng)常弄混。死記硬背肯定是不行的，使用反例不僅可以找出所犯的錯誤，還能加深印象。 若，則。但反之不真。 例36 解：1，但不存在。所以，不一定有。 若h（h0的常數(shù)），則。但反之不真 例37 解：，但不存在。即，由，無法得到（0的常數(shù)）。小結：數(shù)列收斂，則在無窮遠處，鄰項的距離趨近于零，也即比值趨于一。但是滿足這種必要條件的數(shù)列很多，無窮收斂則是最典型的。 （=1,2, ）不一定有（假設極限都存在） 例38 ，（=1,2, ）解：由已知，顯然（=1,2, ）

28、，但這純粹是思考上容易出現(xiàn)的錯誤。 若存在數(shù)，使得 則稱數(shù)列具有有界變差。 凡是具有有界變差的數(shù)列都收斂，但收斂數(shù)列不一定有有界變差。 例39 分析：它是以零為極限的收斂數(shù)列，但它沒有有界變差。事實上， 而，于是是無界的，因此收斂數(shù)列沒有有界變差。所以，存在有界變差是數(shù)列收斂的充分不必要條件。具有有界變差的數(shù)列都收斂，但收斂數(shù)列不一定有有界變差。 若函數(shù)可導，則，=1，2，但反之不真。 例40 解: 當為有理數(shù)時，仍為有理數(shù)，所以 ，但在有理點不連續(xù)，當然不可導。分析：式子，=1，2，中，在函數(shù)已經(jīng)可導的情況下，用孤立的點代替連續(xù)變化的逼近于0，依然可以達到原來的效果，但是，反過來時，由于沒有

29、函數(shù)可導則連續(xù)的前提條件，就有了不連續(xù)的狄利克雷函數(shù)也能夠可導的錯誤結論。所以，滿足，=1，2，的函數(shù)，不一定可導。 若函數(shù)在內可導，并且，則，但反之非真。例41 ，解：，但不存在。所以，僅僅由這一個條件，無法得到函數(shù)在內可導，并且。 如果在閉區(qū)間上有，則。但反之不真。例42 ，解：，但在上的值卻不總是大于等于零。 所以，無法推出在閉區(qū)間上有。3. 表述不夠嚴謹錯誤 當越大時，越來越向零靠攏，則。錯誤。 例43 ，解：，當越大時，越來越向零靠攏但始終，因此不以1為極限。此例不僅證實了所給命題是錯誤的，還向我們展示了精確語言的重要性，“從右邊越來越接近一也是接近零”。三、數(shù)學分析中幾個特殊反例洛

30、必達法則失效的極限，很難界定它的應用類型，但它卻是極其重要的，是數(shù)學分析中不可忽略的重要反例，因此在本部分給出。魏爾斯特拉斯著名反例，因其極具代表性的重要作用，僅僅將其放在糾錯類別下，不免抹掉了它的功績。所以，也在本部分給出。（一）洛必達法則失效的極限洛必達法則失效的極限 例44 分析：此極限顯然為“”型不定式，但不能用羅比達法則求，因為若設，極限不存在，而。 分析：此極限雖然為“”型不定式，但如果用羅比達法則將得到錯誤的結果：首先應用法則，因為不存在，所以不存在，從而不存在。而實際上， .應用洛必達法則求解不定式的極限十分方便，但這一法則并不是萬能式，有時是失效的，必須謹記這一點。（二）魏爾

31、斯特拉斯著名反例十九世紀以前，數(shù)學界長期認為：“連續(xù)函數(shù)除個別點外總是可導的?！蔽籂査固乩褂?860年給出了一個著名反例：其中，為實數(shù)，為奇整數(shù)， ，在內處處連續(xù)但又處處不可導。這個反例對當時的數(shù)學界造成了巨大的沖擊。此后，人們又創(chuàng)造出很多這種類型的例子，這些“病態(tài)函數(shù)”的提出，使數(shù)學家們更清醒地認識到分析基礎嚴格化的必要性和重要性，推動了微積分理論的發(fā)展。（三）函數(shù)在極值點的形態(tài)若函數(shù)在點有極大值，但在此點的鄰域內不一定有在點的左側上升，右側下降。例45 解：對于且，即，所以在點取得極大值2。而，在點的任意鄰域內都時正時負，故在點的左右兩側的任意鄰域內都是震蕩的。提及極大值，腦中立即就會浮

32、現(xiàn)出在點的左側上升，右側下降的圖像，本例題指出了一個絕大多數(shù)數(shù)學分析學習者會走入的誤區(qū)。它還告訴我們，直觀感覺再怎么正確，也可能是錯的。四、應用反例應注意的問題在學習中重視和恰當?shù)倪\用反例，不僅可以調動我們學習數(shù)學的積極性，養(yǎng)成重視條件，嚴格推理的習慣，而且還可以提高我們的數(shù)學能力和學習能力。數(shù)學分析中反例的應用極多，相關的例子也是無窮無盡，想要牢固掌握、靈活運用并非易事。在數(shù)學分析的學習過程中，應該應用反例針對困難解決困難，在具體的實踐中，利用反例這種方法的各種優(yōu)勢，完成學習過程，同時用心體會應用反例的各種技巧，強化從正反兩方面分析問題的思維意識。但在學習中，運用反例還必須注意如下一些問題：

33、首先要注意主次。學習中主要學習概念、定理和方法，對于基本的命題和結論應予以嚴格的證明和推導。但舉反例重在說明結構、辨清是非，因此我們不可一味把太多的注意力放在構造或列舉反例上，反例應該作為圍繞主要內容而進行的有效的輔助學習手段。其次要注意適當。反例應是經(jīng)過挑選的，既要簡單又要能夠說明問題。學生自己構造的反例難度應適當，以免浪費很多時間和精力，而且容易產生挫敗感。不同的學習內容，對反例的運用也應有不同要求。另外，牢記一些典型函數(shù)，如狄利克雷函數(shù)(見附錄)等的各方面性質，在反例的實際應用中會有很大的幫助。 五、“反例教學法”在教學中的重要意義現(xiàn)代信息技術的飛速發(fā)展及其日益在學校教育領域的應用，給學

34、校教育帶來了發(fā)展的機遇，也使學校教育再次面臨嚴峻的挑戰(zhàn)。現(xiàn)行學校教育方式在未來社會的前景如何?信息技術的發(fā)展最終會為教學方式帶來什么樣的變革？這在今天是一件難以預料的事。目前，隨著我國基礎教育課程的逐步深入，課程理論研究正面臨極好的機遇和極大的挑戰(zhàn)，改革實踐呼喚科學的課程理論給以指導。理論是實踐的先導。數(shù)學教育工作者應該責無旁貸地擔負起排頭兵的作用，要對有關的教學方法作深入的理論研究，提出改革落后教學方法的方案，創(chuàng)造出新的教學方法。有利于扎扎實實打好基礎，努力培養(yǎng)創(chuàng)新意識和實踐能力，全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。 反例教學法是指在教師指導下，根據(jù)教學目標和內容的需要，采用典型例題的典型錯誤解法或錯誤

35、認識組織學生進行學習、尋找、探討錯誤的地方與原因，達到真正完全掌握數(shù)學基本概念、性質，并最大限度地避免解題出錯的一種教學方法。簡言之，反例教學法實質上是指教師呈現(xiàn)少數(shù)例題，引導學生進行批判的一種教學方法。這種教學方法脫胎于首創(chuàng)于哈佛大學的案例教學法，它最早被運用于19世紀后半葉的法律教學中，教師選擇個別犯罪案例進行剖析，讓學生學習法學的基本知識和理論，以后被運用于醫(yī)學、心理學、管理學等學科研究與教學之中。（一）“反例教學法”的實施過程采用反例教學法進行數(shù)學教學時，在教學過程中，教師的施教方法和學生的學習方法上都有一系列規(guī)范。主要反映在以下幾個操作步驟之中：1、選編反例。這是實施反例教學法的基礎

36、和前提，要動員教師集體編寫反例，每個教師至少要準備2030個反例，這些反例要具有一定的教學價值。編好之后，存入反例庫中，隨時供教學使用，選擇和編排反例具體要求有以下幾點：第一，反例必須從教學實踐中來，真實、生動。即使是教師自己編寫的也必須符合客觀實際。第二，反例必須精煉。選擇反例的數(shù)量不能多，運用反例的目的是為了使學生掌握抽象的數(shù)學概念、性質，不能不加選擇地大量地羅列反例。只需要選擇那些高質量的少數(shù)典型反例。因為反例教學法是使教師和學生借助分析少數(shù)有代表性的反例。從而獲得整體性、全面性的知識的方法。我們不可能在短時間里收集和列舉所有的實際反例，可以抓住與某部分知識有關的幾個典型例子加以剖析，從

37、而把握概念的本質特征。第三，反例必須典型。反例要能代表概念性質對象的特點，倘若隨手拈來幾個反例，則其意義和教育價值就有局限性。典型的反例可以是綜合知識量大的部分，也可以是概念、知識點的某個性質。第四，反例必須有針對性。應該針對所講的教學內容和教學實際和學生的接受能力來選擇和編排反例。第五，反例必須具有系統(tǒng)性。在教學中選用的反例應該相互聯(lián)系，由簡單到復雜，分層次地有序地編排。反例整體排列結構的合理化能發(fā)揮反例教學法的最大教育功效。2、呈現(xiàn)反例。反例的呈現(xiàn)應放在講授基礎知識之后，既可以在講授某一塊知識時顯現(xiàn)，也可以在講完一個單元或一個章節(jié)之后呈現(xiàn)，呈現(xiàn)的方式有以下幾種：給每個學生印發(fā)一份文字反例，

38、運用投影儀將反例投射到黑板上，教師利用多媒體技術呈現(xiàn)反例，教師利用即時刺激或環(huán)境請學生板演制造真實的反例。 3、分析反例。對于同一個反例，每個學生可以分析出不同的意義，有人只能找到淺層的信息，有人則能得到透徹的知識面，從而對癥下藥，教師要引導學生發(fā)現(xiàn)揭示反例的本質錯誤。分析反例的關鍵是學生和教師共同努力，把反例中的內容與相應的一個或幾個知識點聯(lián)系起來。為此。教師要做好啟發(fā)引導工作，讓學生綜合運用所學的知識積極地去獨立思考，大膽地交流研討，同時教師要創(chuàng)設民主和諧的教學氣氛，即使學生的思考和回答偏離了正確答案，也不要急于評判，應讓他們自己反省，自我更正，使學生在沒有壓力和顧忌的良好心態(tài)下進行創(chuàng)造性

39、的探索。 4、評價反例。這是對反例分析的總結。一般由教師來完成，教師可以指出學生分析反例的成績和不足，進行補充與提高性講授，評論反例也可以發(fā)動學生在教師指導下開展，使他們得到進一步的鍛煉。（二）“反例教學法”在教學中的重要意義反例教學法強調借助實際材料來說明教學觀點。所運用的實際材料具有較強的完整性、典型性，操作的過程具有規(guī)范性和系統(tǒng)性，又比較靈活、隨意。反例在教學中雖處于次要地位或輔助教學地位。但它是培養(yǎng)學生主動性和能力的一種手段，是教師和學生共同活動的對象。是講解知識的一種手段，它有利于學生更好地掌握各種數(shù)學理論知識。 反例教學法重視具有典型意義的教學內容，教學思路由特殊到一般，借助于精選的題材，培養(yǎng)學生主動學習、發(fā)現(xiàn)問題的獨特思考能力，發(fā)展學生的創(chuàng)造力，其意義存在于以下幾個方面：1、能豐