橢圓焦半徑公式及應(yīng)用

1、橢圓焦半徑公式及應(yīng)用橢圓上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn) F的長稱為此曲線上該點(diǎn)的焦半徑，根據(jù)橢圓 的定義，很容易推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式。在涉及到焦半徑或焦點(diǎn)弦的 一些問題時(shí)，用焦半徑公式解題可以簡化運(yùn)算過程。一、公式的推導(dǎo)設(shè)P（,）是橢圓上的任意一點(diǎn)，亠1丄分別是橢圓的左、 y1 ho）右焦點(diǎn)，橢圓_ -求證-_，丄 -r。證法1：I PF11=掩o + *十戸 Xq h- 2cxo + a2=| a +因?yàn)?: “二二，所以l = u J公式的應(yīng)用由橢圓的第二定義知|P片 |= d 1 -e = （J 4 ） = a. + esccc. |PF |- a -f exco. |PFi 1= a + ex0

2、又因?yàn)閬A1二亠，所以I1- j. |PFi 1= a + ex0 岸耳 | = -esd證法2:設(shè)P到左、右準(zhǔn)線的距離分別為1IP剛戶-ndj =|-，所以弘，又而k2 ya9例1橢圓二上三個(gè)不同的點(diǎn)A（D）、B （ ： ）、C （匕廠）到焦點(diǎn)F （4，0）的距離成等差數(shù)列，求的值。_ 25解：在已知橢圓中，右準(zhǔn)線方程為、4 ,設(shè)A、B、C到右準(zhǔn)線的距離為.25.25.25*!1di = Ki 】 = 4= 2x -(x1 + xj評(píng)析：涉及橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，一般采用焦半徑公式求解，即 利用焦半徑公式可求出 A、B、C三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，再利用等差數(shù)列的性 質(zhì)即可求出心勺的值。例2設(shè)為橢

3、圓-的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上。已知P、一、IPFJ是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且.L ，求廠二的值。解：由橢圓方程可知 a=3，b=2，并求得：人，離心率 。由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè) P（心，門）（“丄二L）是橢圓上的一點(diǎn)， 則由題意知-應(yīng)為左焦半徑，1應(yīng)為右焦半徑。（7斤|PF；卜 3 亠蘭一可 |PF3 H3-由焦半徑公式，得-，-。（1）若z r-.為直角，則 I1 I-. ，即IPFJ 7亠。下尸，解得坯忑，故世I 。（2）若Z二亠為直角，則丨，即（坯知尸+（了-坯尸J =lPFil/ ；,解得，故丨匸 1 -。評(píng)析：當(dāng)題目中出現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離時(shí)，常利用焦半徑公式把問題轉(zhuǎn)化，此例就利用焦半徑公式成功地求出值。蘭斗疋=1例3已知橢圓C:-，】.為其兩個(gè)焦點(diǎn)，問能否在橢圓 C上找 一點(diǎn)M使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離|MN|是：】與J一的等比中項(xiàng)。若存 在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：設(shè)存在點(diǎn)M（衍），使，由已知得a=2，=右，c=1，左準(zhǔn)線為x二一4，貝乂冷號(hào)坯 十48=0,解得 竊二心卜策 因此，點(diǎn)M不存在。