05 測量誤差的基本知識(shí)

1、第五章第五章 測量誤差的基本知識(shí)測量誤差的基本知識(shí) 5.1 測量誤差概述測量誤差概述 5.2 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 5.3 誤差傳播定律及其應(yīng)用誤差傳播定律及其應(yīng)用 5.4 等精度觀測值的算術(shù)平均值及精度評定等精度觀測值的算術(shù)平均值及精度評定 2021年6月7日星期一2 5.1 測量誤差概述測量誤差概述 5.1.1 測量誤差的概念與來源測量誤差的概念與來源 測量誤差測量誤差 X 真值真值 L 觀測值觀測值 =L-X 觀測誤差產(chǎn)生的三個(gè)原因觀測誤差產(chǎn)生的三個(gè)原因 儀器誤差儀器誤差：儀器設(shè)計(jì)、制作，或經(jīng)檢驗(yàn)校正還存在 殘余誤差 觀測者觀測者：人的感覺器官鑒別能力的限制 外界條件的影響外界條

2、件的影響：測量時(shí)外界自然條件如溫度、濕 度、風(fēng)力等的變化。 以上三方面統(tǒng)稱為以上三方面統(tǒng)稱為觀測條件觀測條件 觀測成果的精確度稱為觀測成果的精確度稱為“精度精度” 等精度觀測等精度觀測 不等精度觀測不等精度觀測 2021年6月7日星期一3 2021年6月7日星期一4 5.1.2 測量誤差的分類測量誤差的分類 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差： 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果誤差在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果誤差 出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同或按一定的規(guī)律變化出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差，這種誤差 稱為系統(tǒng)誤差。稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差具有累積性具有累

3、積性?？梢栽谟^測前采取有效的預(yù)防措施、?？梢栽谟^測前采取有效的預(yù)防措施、 觀測時(shí)采用合理的方法，觀測后對觀測結(jié)果進(jìn)行必要的計(jì)觀測時(shí)采用合理的方法，觀測后對觀測結(jié)果進(jìn)行必要的計(jì) 算改正，來盡量消除或減小系統(tǒng)誤差的影響。算改正，來盡量消除或減小系統(tǒng)誤差的影響。 2021年6月7日星期一5 系統(tǒng)誤差的消除系統(tǒng)誤差的消除： （1）采用）采用觀測方法消除觀測方法消除：如水準(zhǔn)儀置于距前后水準(zhǔn)尺等距的 地方可以消除i角誤差和地球曲率的影響。 通過盤左盤右觀測水平角和豎直角可以消除經(jīng)緯儀的橫 軸誤差、視準(zhǔn)軸誤差、照準(zhǔn)部偏心差和豎盤指標(biāo)差的影響。 （2）加改正數(shù)加改正數(shù)：如精密鋼尺量距中的尺長改正、溫度改正和

4、高差改正。 光電測距儀的加常數(shù)和乘常數(shù)的改正。 （3）檢校儀器檢校儀器：將儀器的系統(tǒng)誤差降低到最小限度或限制在 一個(gè)允許的范圍內(nèi)。 2021年6月7日星期一6 偶然誤差：偶然誤差： 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果 單個(gè)誤差單個(gè)誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均沒有一定規(guī)律性出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均沒有一定規(guī)律性，這，這 種誤差稱為偶然誤差。種誤差稱為偶然誤差。 雖然單個(gè)的偶然誤差沒有規(guī)律雖然單個(gè)的偶然誤差沒有規(guī)律 但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 學(xué)習(xí)誤差理論知識(shí)的目的：學(xué)習(xí)誤差理論知識(shí)的目的： 根據(jù)一組帶有偶

5、然誤差的觀測值根據(jù)一組帶有偶然誤差的觀測值 求出未知量的最可靠值求出未知量的最可靠值 評定觀測成果的精度評定觀測成果的精度 任何觀測值都會(huì)包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，有時(shí)還任何觀測值都會(huì)包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，有時(shí)還 包含粗差（錯(cuò)誤）。包含粗差（錯(cuò)誤）。 當(dāng)觀測值中的粗差被剔除，系統(tǒng)誤差被消除或削弱當(dāng)觀測值中的粗差被剔除，系統(tǒng)誤差被消除或削弱 到最小限度，可以認(rèn)為觀測值中僅含偶然誤差，從到最小限度，可以認(rèn)為觀測值中僅含偶然誤差，從 而把觀測值和偶然誤差都當(dāng)作隨機(jī)變量，用概率統(tǒng)而把觀測值和偶然誤差都當(dāng)作隨機(jī)變量，用概率統(tǒng) 計(jì)的方法來研究。計(jì)的方法來研究。 2021年6月7日星期一7 粗差：粗差： 也

6、稱錯(cuò)誤，在嚴(yán)格意義上，粗差也稱錯(cuò)誤，在嚴(yán)格意義上，粗差的范圍。的范圍。 即，本章關(guān)注的內(nèi)容是偶然誤差即，本章關(guān)注的內(nèi)容是偶然誤差 2021年6月7日星期一8 5.1.3 測量誤差的特性測量誤差的特性 從單個(gè)偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒有一定的從單個(gè)偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒有一定的 規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā) 現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯?，F(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。 例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了358個(gè)三角形的全個(gè)三角形的全 部內(nèi)角。由于觀

7、測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之部內(nèi)角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之 和不一定等于真值和不一定等于真值180(表表5-1) 負(fù)誤差 正誤差 合計(jì) 誤差區(qū)間 d 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 個(gè)數(shù)k 頻率k/n 03 36 69 912 1215 1821 2124 24 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 91

8、 81 66 44 33 26 11 6 0 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 181 0.505 177 0.495 358 1.00 用用圖示法圖示法可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表5-1的數(shù)據(jù)，的數(shù)據(jù)， 以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間與區(qū)間d的比值為縱坐標(biāo)，如圖的比值為縱坐標(biāo)，如圖 5-1所示。這種圖稱為所示。這種圖稱為頻率直方圖頻率直方圖。 可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n，同時(shí)又無限縮小誤差區(qū)間，同時(shí)又無限縮小誤差區(qū)間d，圖，圖 5

9、-1中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖5-2所示。該所示。該 曲線稱為曲線稱為誤差分布曲線誤差分布曲線。 其函數(shù)式為：其函數(shù)式為： 2 2 2 2 1 )( efy 即正態(tài)分布曲線上任一點(diǎn)即正態(tài)分布曲線上任一點(diǎn) 的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo)y均為橫坐標(biāo)均為橫坐標(biāo)的函的函 數(shù)。數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差大小反映觀測精大小反映觀測精 度的高低，定義為：度的高低，定義為： n n 2 lim 上式可知，上式可知，的大小決定于的大小決定于 一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕 對值的大小。對值的大小。 2 2 2 2 1 e 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性偶然誤差的

10、統(tǒng)計(jì)特性 有限性：有限性： 在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值超過一定限度的在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值超過一定限度的 概率為概率為0 0； 單峰性：單峰性： 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大； 對稱性：對稱性： 絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等；絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等； 抵償性：抵償性： 當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值 2021年6月7日星期一13 5.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)評定精度的標(biāo)準(zhǔn) 5.2.1 中誤差中誤差 2021年6月7日星期一14 222

11、12 n m nn 2021年6月7日星期一15 用真誤差計(jì)算中誤差：用真誤差計(jì)算中誤差：必須知道真值必須知道真值 兩組觀測值中誤差：兩組觀測值中誤差： 2021年6月7日星期一16 1 47 2.17 10 m n 2 132 3.63 10 m n 中誤差和真誤差都是絕對誤差，中誤差和真誤差都是絕對誤差， 在有些情況下，中誤差并不能全面反映觀測精在有些情況下，中誤差并不能全面反映觀測精 度。度。 分別丈量兩段不同距離，一段為分別丈量兩段不同距離，一段為100m，一段為，一段為 200m，中誤差都是，中誤差都是 0.02m。此時(shí)是否能認(rèn)為兩。此時(shí)是否能認(rèn)為兩 段距離觀測結(jié)果的精度相同？段距離

12、觀測結(jié)果的精度相同？ 必須引入必須引入的概念，目的是為了更客觀的概念，目的是為了更客觀 地反映實(shí)際測量精度。地反映實(shí)際測量精度。 2021年6月7日星期一17 5.2.2 相對誤差相對誤差 2021年6月7日星期一18 中誤差的絕對值與觀測值之中誤差的絕對值與觀測值之 比，用分子為比，用分子為1的分?jǐn)?shù)形式表示。分母越大，相對誤差越的分?jǐn)?shù)形式表示。分母越大，相對誤差越 小，精度越高。小，精度越高。 1m K l l m 1 1 1 0.021 1005000 m K l 2 2 2 0.021 20010000 m K l 5.2.3 允許誤差允許誤差 根據(jù)偶然誤差的第一個(gè)特性，在一定觀測條件下

13、，偶然誤根據(jù)偶然誤差的第一個(gè)特性，在一定觀測條件下，偶然誤 差的絕對值差的絕對值不會(huì)超過一定的限值不會(huì)超過一定的限值，該限值稱為極限誤差，該限值稱為極限誤差， 簡稱限差。也說是測量的簡稱限差。也說是測量的 允許誤差。由誤差理論及分布曲允許誤差。由誤差理論及分布曲 線可知，在一組等精度觀測中，線可知，在一組等精度觀測中， 表示真誤差落在表示真誤差落在(-，+)內(nèi)的概率等于內(nèi)的概率等于0.683。同理可得：。同理可得： (5-11) 683. 0 2 2 2 2 1 deP (5-12) 2 2 2 1 955. 022 2 2 2 deP (5-13) 3 3 2 1 997. 033 2 2

14、2 deP 5.2.3 允許誤差允許誤差 2021年6月7日星期一20 上列三式結(jié)果的概率含義是，上列三式結(jié)果的概率含義是，大于兩倍中誤差大于兩倍中誤差的偶然的偶然 誤差個(gè)數(shù)約占總數(shù)的誤差個(gè)數(shù)約占總數(shù)的5%，大于三倍中誤差的偶然誤差個(gè)數(shù)，大于三倍中誤差的偶然誤差個(gè)數(shù) 約占總數(shù)的約占總數(shù)的0.3%。測量上通常取二倍或三倍中誤差作為允測量上通常取二倍或三倍中誤差作為允 許誤差：許誤差： 允允=22m(5-7) 或或 允允=33m(5-8) 前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測值中出現(xiàn)了前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測值中出現(xiàn)了 大于容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測值不可靠，應(yīng)舍大于容許誤差的偶

15、然誤差，則認(rèn)為該觀測值不可靠，應(yīng)舍 去不用，并重測。去不用，并重測。 2021年6月7日星期一21 5.3 誤差傳播定律及其應(yīng)用誤差傳播定律及其應(yīng)用 例如，欲測量不在同一水平面上兩例如，欲測量不在同一水平面上兩 點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離D，可以用光電測距儀測量斜距，可以用光電測距儀測量斜距S，并用經(jīng)，并用經(jīng) 緯儀測量豎直角緯儀測量豎直角，以函數(shù)關(guān)系，以函數(shù)關(guān)系D=Scos來推算。來推算。 5.3.1 觀測值的函數(shù)觀測值的函數(shù) 5.3.2 誤差傳播定律誤差傳播定律 2021年6月7日星期一22 111 222 ()() nnn zxy zxy zxy zxy zxy Zxy 兩式相減： 2 yyxy

16、 xxzz nnnn 平方、求和、除以平方、求和、除以n得：得： 由于由于x、y是是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的， 2021年6月7日星期一23 0 xy 222 zxy mmm 22 zxy mmm 推廣到推廣到n個(gè)獨(dú)立觀測值代數(shù)和差：個(gè)獨(dú)立觀測值代數(shù)和差： 當(dāng)當(dāng)n個(gè)獨(dú)立觀測值是等精度觀測時(shí)：個(gè)獨(dú)立觀測值是等精度觀測時(shí)： 2021年6月7日星期一24 22 zx mnm zx mnm 12n Zxxx 12 2222 n zxxx mmmm 2021年6月7日星期一25 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z=Kx，x為直接觀測值，中誤差為為直接觀測值，中誤差為mx，K為常為常 數(shù)，數(shù)，Z為觀測值為觀測值x的函數(shù)。如果

17、對的函數(shù)。如果對x作作n次等精度觀測，真次等精度觀測，真 誤差分別為誤差分別為 x1、 x2、. xn，對應(yīng)的函數(shù)真誤差為，對應(yīng)的函數(shù)真誤差為 Z1、 Z2、. Zn，觀測值與函數(shù)間的真誤差存在如下關(guān)系，觀測值與函數(shù)間的真誤差存在如下關(guān)系 11 22 nn zx zx zx K K K 將上述關(guān)系式平方、求和、除以將上述關(guān)系式平方、求和、除以n得：得： 2021年6月7日星期一26 222 zx mK m zx mKm 2 xxzz K nn 2 zz z m n 2 xx x m n 2021年6月7日星期一27 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) 1 122nn ZK xK xK x 2222 1122 (

18、)()() znn mK mK mK m 2021年6月7日星期一28 設(shè)有非線性函數(shù)設(shè)有非線性函數(shù)Z=f (x1,x2xn)，式中，式中x1, x2 xn為獨(dú)立觀為獨(dú)立觀 測值，相應(yīng)的中誤差為測值，相應(yīng)的中誤差為m1、 m2. mn。 由于非線性函數(shù)的真誤差關(guān)系式難于表達(dá)，考慮到真由于非線性函數(shù)的真誤差關(guān)系式難于表達(dá)，考慮到真 誤差是個(gè)小量，真誤差關(guān)系式可用全微分近似表達(dá)：誤差是個(gè)小量，真誤差關(guān)系式可用全微分近似表達(dá)： 12 12 ff dZdxdx xx 全微分：= 12 12 ff Zxx xx 真誤差形式：= 2021年6月7日星期一29 其中誤差分別為其中誤差分別為m1、m2、mn，

19、則函數(shù)，則函數(shù)z的中誤差按的中誤差按 上述推導(dǎo)，可得誤差傳播定律的一般形式：上述推導(dǎo)，可得誤差傳播定律的一般形式： 222 222 12 12 zn n fff mmmm xxx = 一般方法如下一般方法如下 1 列出函數(shù)式（要根據(jù)題意）列出函數(shù)式（要根據(jù)題意） 2 對可直接觀測的未知量求偏微分，即寫出真誤差的關(guān)系對可直接觀測的未知量求偏微分，即寫出真誤差的關(guān)系 式式 3 寫出中誤差的關(guān)系式寫出中誤差的關(guān)系式 2021年6月7日星期一30 設(shè)有函數(shù)關(guān)系設(shè)有函數(shù)關(guān)系h=Dtg 已知已知D=120.250.05m =124730 (0.05及及30為中誤差為中誤差) 求中誤差求中誤差mh 列出函數(shù)

20、式列出函數(shù)式 h=Dtg 寫出微分式寫出微分式 寫出中誤差形式寫出中誤差形式 2 sec d dhtg dDD 2 2 2 222 2 222 4 sec 30 0.22690.05126.44 206265 4.67 10 0.02 hD h m mtgmD m mm 5.4 等精度觀測值的平差等精度觀測值的平差 算術(shù)平均值算術(shù)平均值 算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差 觀測值的中誤差觀測值的中誤差 由觀測值的真誤差計(jì)算中誤差由觀測值的真誤差計(jì)算中誤差 改正數(shù)的概念改正數(shù)的概念 由觀測值的改正數(shù)計(jì)算中誤差由觀測值的改正數(shù)計(jì)算中誤差 實(shí)例實(shí)例 2021年6月7日星期一32 在等精度直接觀測平

21、差中，觀測值的算術(shù)平均值是未知量的在等精度直接觀測平差中，觀測值的算術(shù)平均值是未知量的最最 或是值或是值。 即即x=(l1+l2+ln)/n=l/n 1 求求 最最 或或 是是 值值 2 2 觀測值的改正數(shù)觀測值的改正數(shù) 觀測值觀測值與與最或是值之差最或是值之差，稱為，稱為“改正數(shù)改正數(shù)”，用符號(hào)，用符號(hào)v vi i(i=1,2,n) 來表示。來表示。 Vi=li-x (i=1,2,n) 將將n 個(gè)個(gè)改正數(shù)改正數(shù)vi相加，有：相加，有： v=l-nx=0 即改正數(shù)的總和為即改正數(shù)的總和為0 0，可以用作計(jì)算中的檢核，若，可以用作計(jì)算中的檢核，若vi值計(jì)算無值計(jì)算無 誤，其總和必然為誤，其總和必然為0 0。 3 觀測值中誤差觀測值中誤差 由于獨(dú)立觀測中單個(gè)未知量的由于獨(dú)立觀測中單個(gè)未知量的真值真值X X是無法確知的，是無法確知的， 因此因此真誤差真誤差i i也是未知的，所以不能直接應(yīng)用也是未知的，所以不能直接應(yīng)用(5-28)(5-28)求求 得得中誤差中誤差。但