點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的一般證明方法及梅涅勞斯定理、塞瓦定理的應(yīng)用答案

1、平面幾何培訓(xùn)專題-點(diǎn)共線，線共點(diǎn)問題1點(diǎn)共線的證明點(diǎn)共線的通常證明方法是：通過鄰補(bǔ)角關(guān)系證明三點(diǎn)共線；證明兩點(diǎn)的連線必過第三點(diǎn)；證明三點(diǎn)組成的三角形面積為零等。n(n4)點(diǎn)共線可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線。例1如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C,以AC和CB為對(duì)角線作平行四邊共線H, C, K三點(diǎn)A形AECDBFCG又作平行四邊形 CFHDCGKE求證:例2 如圖所示，菱形 ABCD,Z A=120,OABC外接圓，M為其上一點(diǎn)，連接 MC交AB于 E, AM交 CB延長線于F。求證：D, E, F三點(diǎn)共線FE2AD例3四邊形ABCD接于圓，其邊AB與DC的延長線交于點(diǎn)P, AD與BC的延長線交于點(diǎn) Q由Q作該圓

2、的兩條切線 QE和QF切點(diǎn)分別為E, F。求證：P, E，F(xiàn)三點(diǎn)共線P例4以圓0外一點(diǎn)P,引圓的兩條切線PA PB A，B為切點(diǎn)。割線PCD交圓0于C, D又由B作CD的平行線交圓0于巳若F為CD中點(diǎn)，求證：A, F，E三點(diǎn)共線A2.線共點(diǎn)的證明證明線共點(diǎn)可用有關(guān)定理（如三角形的3條高線交于一點(diǎn)），或證 明第3條直線通過另外兩條直線的交點(diǎn)，也可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)共線的問題給 予證明。例5 以厶ABC勺兩邊AB AC向外作正方形 ABDEACFG ABC勺高為AH求證：AH BF, CD交于一點(diǎn)。ME例 6 設(shè) PABC一點(diǎn)，/ APB-Z ACBZ APG/ABC 又設(shè) D, E分別是 APBR APC

3、勺心。證明：AP BD CE交于一點(diǎn)。AT例7 GO與外切于P點(diǎn)，QF為兩圓的公切線，其中 Q R分別為O,O上的切點(diǎn)，過 Q且垂直于QO勺直線與過R且垂直于RO的直線交于點(diǎn)I , IN垂直于OO,垂足為N IN與QR交于點(diǎn)M證明：PM RO, QO三條直線交于一點(diǎn)I3.塞瓦定理、梅涅勞斯定理及其應(yīng)用定理1(塞瓦(Ceva)定理):設(shè)P, Q R分別是 ABC的BC CA AB邊上的點(diǎn)。若AR BQCR相交于一點(diǎn)M則BP CQ AR ,1。 PC QA RB證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有ARS AMCBPS AMBCQS BMCRBJS BMCPCJS AMCQAS AMB以上三式相乘,得騎

4、鴛1.定理2 （定理1的逆定理）:設(shè)P, Q R分別是 ABC勺BC, CA AB上的點(diǎn)。若更竺竺1,PC QA RB則AP BQ CF交于一點(diǎn)。證如圖，設(shè)AP與 BQ交于M連CM交AB于 R。由定理1有Bp C2空i.而聖C2空i，所以PC QA R BPC QA RBAR ARRB RB .于是R與R重合，故AP BQ CR交于一點(diǎn)。定理3 （梅涅勞斯（Menelaus）定理）:一條不經(jīng)過 ABC任 一頂點(diǎn)的直線和三角形三邊 BC CA AB或它們的延長線）分別交于P, Q R,則BP CQ AR iPC QA RB證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有ARS ARPBPS BRPRBS BRP

5、PCS CPRCQQAS CRPS ARP將以上三式相乘，得i.定理4 （定理3的逆定理）:設(shè)P, Q R分別是 ABC勺三邊BC CA AB或它們延長線上的3J A EB點(diǎn)。若BP CQ ARPC QA RB則P, Q R三點(diǎn)共線。定理4與定理2的證明方法類似。例8如圖，在四邊形 ABC中，對(duì)角線AC平分/ BAD在CD上取一點(diǎn)E, BE與AC相交于F，延長DF交BC于 G 求證：/ GACZ EAC證 如圖，連接BD交AC于 H,過點(diǎn)C作AB的平行線交AG勺延長線于I ,過點(diǎn)C作AD的平行線交AE的延長線于J。恥BCD用塞瓦定理，可得器器|因?yàn)锳H是Z BAD勺角平分線，由角平分線定理知B

6、D1 鬻。代入式得CG AB DE GB AD EC 因?yàn)镃I / ABi代入式得則空2 DEGB AB ECCL少如1.從而CI=CJo AB AD CJCJ/ ADAD。CJ又由于Z AC=18OZBAC18O ZDACZ ACJ所以 ACIAACJ 故Z IAC=Z JAC 即Z GACZ EAC例9 ABC兎一個(gè)平行四邊形，E是AB上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)AF交ED于 G EC交FB于H。連接線段GH并延長交AD于 L, 交 BC于 M 求證：DL=BMDF C I例10在直線I的一側(cè)畫一個(gè)半圓T, C, D是T上的兩點(diǎn)，T上過C 和D的切線分別交I于B和A,半圓的圓心在線段BA上,

7、 E 是線段AC和BD的交點(diǎn)，F(xiàn)是I上的點(diǎn)，EF垂直I。求證： EF平分/ CFDpSD例11如圖，四邊形ABC接于圓，AB, DC延長線交于E, AD BC延長線交于F, P為圓上任意一點(diǎn),PE PF分別交圓于R, S若對(duì)角線AC與 BD相交于T.求證：R T, S三點(diǎn)共線。先證兩個(gè)引理。引理1:ABCDEFi為圓接六邊形，若 AD, BE, C1F1交于一點(diǎn)，則有A| B G Di Ei Fi1.B1C1 D1E1 F1A如圖，設(shè)AD, BE, CF交于點(diǎn)O,根據(jù)圓接多邊形的性質(zhì)易知A1CE1D1 OABs OED , OECs OFE, OCDOAF,從而有C1D1D1OF1A1F1OA

8、 B1B1OE1F1F1OD1E1D1OB1C1B1O將上面三式相乘即得鵲器叢1, 引理2:圓接六邊形ABCDER，若滿足A1B1 C1D1 E1F1B1C1D1E1F1A1則其三條對(duì)角線 AD, B1E1, CF1交于一點(diǎn)。該引理與定理2的證明方法類似，留給讀者例11之證明如圖，連接 PD AS RC BR AP SD由厶 EBSA EPA FDSA FPA 知BR EB PA FPPA EP，DS FD .兩式相乘，得BR EB FPDS EP FD .又由 ECSA EPD FPDh FAS知 空 旦，且 廿.兩PD EP AS FA式相乘，得CRASEC FPEPFA由，得BRASEB

9、FA.故DSCRECFDBRCDSAEB AF DCRCDSABBA FD CE對(duì)厶EAD應(yīng)用梅涅勞斯定理，有EB AF DC1BA FD CE由，得BR CD SA 1.RC DS AB由引理2知BD RS AC交于一點(diǎn)，所以R T, S三點(diǎn)共線A組1. 由矩形ABC的外接圓上任意一點(diǎn)M向它的兩對(duì)邊引垂線M/口 MP 向另兩邊延長線引垂線 MR MT證明：PR與QT垂直，且它們的 交點(diǎn)在矩形的一條對(duì)角線上。2. 在厶ABC勺BC邊上任取一點(diǎn)P,作PD/ AC PE/ AB PR PE和以AB AC為直徑而在三角形外側(cè)所作的半圓的交點(diǎn)分別為D, E。求證：D, A, E三點(diǎn)共線。3. 一個(gè)圓和

10、等腰三角形ABC的兩腰相切，切點(diǎn)是D, E,又和 ABC 的外接圓相切于F。求證： ABC勺心G和D, E在一條直線上。4. 設(shè)四邊形ABCD等腰梯形，把厶ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)某一角度變成 A B C。證明：線段A D BC和B C的中點(diǎn)在一條直線上。5. 四邊形ABCDg于圓Q對(duì)角線AC與 BD相交于P。設(shè)三角形ABPBCP CDP和 DAP勺外接圓圓心分別是Q, Q, Q, O。求證：QPQQ , QQ三直線交于一點(diǎn)。6. 求證：過圓接四邊形各邊的中點(diǎn)向?qū)吽鞯?4條垂線交于一點(diǎn)7. ABC為銳角三角形，AH為BC邊上的高，以AH為直徑的圓分別 交AB AC于 M N M N與A不同。過A作直線I A垂直于MN類 似地作出直線I B與I C。證明：直線I A, | B, | C共點(diǎn)。8. 以厶ABC勺邊BC CA AB向外作正方形，A，B，C是正方形的邊 BC CA AB的對(duì)邊的中點(diǎn)。求證：直線 AA , BB , CC相交于一點(diǎn)。9. 過厶ABC的三邊中點(diǎn)D, E, F向切圓引切線，設(shè)所引的切線分別 與EF, FD DE交于I , L, M求證：I , L, M在一條直線上。B組10. 設(shè)A, Bi, C是直線li上的任意三點(diǎn)，A2, B, O是另一條直線I 2上的任意三點(diǎn)，AB和BA交于L, AG和AC交于