空間向量與立體幾何

1、w/x題型專題(十)空間向量與立體幾何主要考查麹出知識(shí)、基本技能.應(yīng)用所學(xué)分析解決冋題的能力考點(diǎn)一：利用空間向量證明空間位置關(guān)系一-一“一-一“一-二二掘啟確隔面貳祛面直庇貳新羅珮題 MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 設(shè)直線(的方向向屋為a =(G，b，q).平而a, B的法向量分別為u=a2, b2 c2)，”=(6 H C3)(1) 線而平行：l/aa 丄 uQau=0oaia2+bib2+ciC2=0.(2) 線面垂直:(丄 aoauoa = kuoai=ka2， b尸 畑，c、=kc2(3) 而而平行：a / 8u/ vu=

2、kvaikaz, b2 = kb3, ci=kC3(4) 而而垂直：a 丄 8u 丄 #oi/#=0Qa2a3+b2b3+c2C3=0典例如圖所示，在底而是矩形的四棱錐P-ABCD中，必丄底 而 ABCD, E, F 分別是 PC, PD 的中點(diǎn),RA=AB=1. BC=2.(1) 求證：EF平面P4B：(2) 求證：平而P4D丄平而PDC.證明以為原點(diǎn)9AB9AD9AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則4(0,0,0) , B(1,0,0),C(1,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,1),所以 eQ , 1 ,剳,F(0 , 1 ,號(hào),EF = (

3、- j , 0,0) , AP =(0,0,1) , AD = (0,2,0) , DC =(1,0,0) , AB =(1,0,0).(1)因?yàn)?EF 二 AB ,所以 EF /AB ,即 EF/AB.又4BU平面PAB , EFQ平面PAB ,所以平面PAB.(2)因?yàn)閱倘f(wàn)花=(0,0,1)-(1,0,0) = 0 ,命藥=(0,2,0)-(1,0,0) = 0 ,所以麗丄萬(wàn) ,荷丄辰,即 APDC , ADDC又因?yàn)?APC AD = A , 4PU平面 PAD , 4DU平面 PAD , 所以DC丄平面PAD因?yàn)镈CU平面PDC ,所以平面A4D丄平面PDC.名師說(shuō)“蔭”!(1)建立空

4、間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；0I:(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、直線、i平面的要素；:I|(3)通過(guò)空間向屋的運(yùn)算求出平面向雖或法向雖，再研究平行、垂直關(guān)系；(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題即時(shí)應(yīng)用在直三棱柱 4BC仙BC 中，ZABC=90 BC=2, CCi=4，點(diǎn) E 在線段BBi上，且EBi = 1, DF, G分別為CG, GBi, CMi的中點(diǎn).求證:丄平而ABD；(2)平而EGF平而4BD證明：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)f BA 9BC 9 BBi所在的直線分別為x軸，y軸，2軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,則 8(0

5、,0,0) , D(0,2,2),Bi(0,0,4) , G(0,23).則 A(a,OfO) 9所以麗二(0,0) , BD 二(0,2,2),BJ) = (0,2 , -2),BJ) BA = 0= 0 + 4-4 = 0 ,即BiD丄BA , BQ丄BD又 BM1 BD = B 9 BA , BDU平面 4BD ,因此BQ丄平面ABD.由知，E(0,0,3) , G , 1 , 4； , f(0,1,4).則而=(j , 1 , 1), EF =(0,1,1),BJ) EG =0 + 2-2 = 0 ,麗 麗=0 + 2-2 = 0 ,即BQxEG , BQ丄礦.又 EGA EF=E 9

6、 EG f EFu平面 EGF,因此BQ丄平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EG平面ABD.考點(diǎn)二：利用空間向呈求線線角、線面角 aa aa ana aa -遵循解題四步驟，關(guān)鍵是把坐標(biāo)求 * * * * * 1 向量法求異面直線所成的角若異而直線G b的方向向量分別為G b,異而直線所成的角為8,則COS0=|COSGb、I _!腫!_b l-|a| |b|-2.向量法求線面所成的角求出平面的法向量；?，直線的方向向量G設(shè)線面所成的角為 0,則 sin 0= |cos I PC -n3IPC l-lnl53所以PC與平面PDE所成角的正弦值為彳考點(diǎn)三：利用空間向呈求二面角一一兩角（法向量夾角、二

7、面角）時(shí)同時(shí)異應(yīng)辨清 q向量法求二面角求出二而角Q-/-B的兩個(gè)半平而a與B的法向Mnn n2,若二而角atB所成的角&為銳角，則cos 0= |cos ni, m） I =：； :;:若二而角a-/-B所成的角。為鈍角，則cos八.,、.Gele= |cos葉血1 = 一|山| |血|典例（2015還慶高考）如圖，三棱錐P-ABC中，PC丄平而ABC. PC=3, ZACB=.D.E分別為線段4B, BC上的點(diǎn)，且CD=DE=逗,CE=2EB=2.證明：DE丄平而PCD：（2）求二而角A-PD-C的余弦值.解證明：由PC丄平面ABC , DEU平面ABC ,得 PC1DE.由CE二2 , C

8、D二DE二逞,得YDE為等腰直角三角形，故CD丄DE.由PCA CD二C , DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE丄平面PCD.由知,“DE為等腰直角三角形,zDCE = .如圖，過(guò)D作DF垂直CE于F,易知DF二FC二FE二1由zACB二號(hào),/BDF FB 2得 DF/AC, = =,33故ACpDF二以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以百fCBtCP的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 C(0,0,0) , P(0,0,3) , 4(扌,0,0), E(0,2,0) , 0(1,1,0) , ED = (1 , - 1 ,0) , DP = ( - 1-1,3) , DAG，-1

9、,0設(shè)平面PAD的法向量為ni = (xi , yi , zi),由 nr DP =0DA = 0 9I - xi - yi + 3zi = 0 f1故可取ni = (2,1,1)xi - yi = 0 ,由(1)可知DE丄平面PCD ,故平面PCD的法向量門2可取為藥，即n2=(1 , - 1,0),從而法向量m,血的夾角的余弦值為,、 nrf?2 /3C0S Sm6，J3故所求二面角八PDC的余弦值為*-名師說(shuō)“蔭”(1) 待定系數(shù)法：設(shè)出法向星坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)的方程求解.(2) 先確定平面的垂線，然后取相關(guān)線段對(duì)應(yīng)的向雖，即確定了平面的法向屋說(shuō)明兩平面的法向屋的夾角不一定是所求

10、的二面角.即時(shí)應(yīng)用(2015-貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)考試)如圖，已知四棱錐P-ABCD中，以丄平而ABCD. AD/BC, AD丄CD,且 4B丄AC, AB=AC=PA=2. E 是 BC 的中點(diǎn)-2).cosAE丘著僥I即據(jù),PC)二60，故異面直線4E與PC所成的角為60(1)求異而直線4E與PC所成的角:(2)求二而角D-PC-4的平面角的余弦值.解：如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系4xyz ,則B(2,0,0) , C(0,2,0),P(0,0,2).故 E(1,1,0) , AE =(1,1,0) , PC =(0,2 ,在四邊形ABCD中，MB二4C二2,4BUC ,z4BC 二 zAC

11、B 二 45 ,4D|BC , :.zDAC = zACB = 45 ,又 ADCD , :,AD二 CD 二逗,/.D(-1J,0),又 C(0,2,0),:CD =( - 1 , - 1,0) , PC =(0,2 , - 2).設(shè)n = (x , y , z)是平面PCD的法向量,則CD丄門,PC ui ,即CD n = 0 f PC n = 0 ,二0,令 x二-1 W t y= 1 , z= 1 ,2y- 2z = 0 ,即 n = ( - 1,1,1) , n =y3 , 又丄平面P4C rAB =(2,0,0)是平面P4C的一個(gè)法向量r cos2一3 1所以平面4EF與平面BEC

12、所成銳二面角的余弦值為|.名師說(shuō)“蔭”建立空間直為坐標(biāo)系的基*思蘋是尋找其中的線線垂直關(guān)系(上題是作出BQME)，若圖中存在交于一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，則以該點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.在沒(méi)有明顯的 垂直關(guān)系時(shí)，要通過(guò)其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個(gè)合理的位置建立空間 直角坐標(biāo)系，注意建立的空間直角坐標(biāo)系是右手系，正確確定坐標(biāo)軸的名稱即時(shí)應(yīng)用(2015府山一棋)如圖，在斜三棱柱zlBC-4iBiCi中，側(cè)面4CC仙 與側(cè)面CBBQ都是菱形，Z4CCi = ZCCiBi=60, AC=2.求證：ABiCCi：(2)若M尸護(hù)，求二面角C-AB.-A,的余弦值.解：證明：連接4G , C

13、fii ,則SCG和二BiCG皆為正三角形取CG的中點(diǎn)O ,連 接 OA , OBi ,貝 lj CCi 丄 04 , CG 丄 OB、, OAC 0B=0 9 貝 lj CC丄平面 OAB.,貝 lj CCyiABy.(2)由知，OA = OB=y3 ,又 AB、二承,所以0A0B,如圖所示，分別以O(shè)B，0G , 04為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐 標(biāo)系,則 C(0 , -1,0), ei(3 , 0,0) , 4(0,0 , 3) , Z11(O,2 ,心),設(shè)平面CAB的法向量為m- (xi , yi f zi),V3xi + 0 -羽zi 二 0 ,所以廠取巾二（1，羽，1）0 -

14、yi -収、=0 ,設(shè)平面AABy的法向量為n =（X2 , y2 , Z2）, 因?yàn)樨蕉ㄓ穑? , 護(hù)），丸二（0,2,0）,羽 X2 + 0 -羽 Z2 = 0 , 所以Bn = （1,0,D .0 + 2旳 + 0 二 0 ,nI z . mn2 JlO則cosS二麗而二時(shí)二5 因?yàn)槎娼荂4BiA為鈍角，所以二面角C-AB.-A.的余弦值為-睜.夯實(shí)囹一步.成績(jī)步步高W91 已知三棱柱ABCJCC的側(cè)棱與底而垂直，體積為亍底而是邊長(zhǎng)為羽的正三角形若P為底而xliBiCi的中心，則必與平而ABC所成角的大小為（）5nnA12B3解析：選B如圖所示，P為正三角形4ifiiCi的中心，設(shè)O

15、為7BC的 中心，由題意知，PO丄平面ABC ,連接OA ,則zP4O即為PA與平面ABC所 成的角在正三角形4BC中,AB = BC = AC = y3 , 則S尋W)2 =學(xué)，畑-中心=SxPO =譯,:.PO = a/3.tan為。二霜二羽,:.zPAO = .2(2015-貴陽(yáng)市監(jiān)測(cè)考試)如圖，點(diǎn)E, F分別是正方體ABCDB.C 的棱4B, 4A的中點(diǎn)，點(diǎn)用，N分別是線段6E與GF上的點(diǎn)，則與平而ABCD垂直的直線A1N的條數(shù)有A. 0條C. 2條解析：選B假設(shè)存在滿足條件的直線MN ,如圖，建立空間直 角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則Di(2,0,2) ,E(1,2,0)，設(shè)川

16、(x , y , z) , DA7 = mDE (0my=2m,z = 2-2m 1(2 - m,2m,2 - 2m) 9 同理,若設(shè) =nClF (0n 1),可得 N(2n , 2n,2 n) , MN = (m + 2n - 2,2n - 2m,2m - n)又:MN平面 ABCD.m + 2n-2 = 0 ,m = 3f解得o2n - 2m = 0 ,1門-3,即存在滿足條件的直線AIN ,且只有一條3.在正方體4eCD-4iBiGDi中，點(diǎn)E為BBi的中點(diǎn)，則平而AED與平而ABCD所成的銳二而角的余弦值為解析：以4為驚點(diǎn)，aA , A0 ,分別為X軸，y軸，z建立如圖所示的空間直角

17、坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1 ,則A(0,0,D ,aV5 = (oj , -1),設(shè)平面AED的法向雖為m = (1 f y , z),y=2.z二25 二2,2),平面ABCD的一個(gè)法向量為n2= (0,0,1) t2 2/cos =377=3-2故所成的銳二面角的余弦值為亍答案：I4. (2015-沈陽(yáng)市質(zhì)母監(jiān)測(cè))在直三棱柱ABCABiCi中，若BC丄AC, ZBAC=y AC=4.點(diǎn)Al為如h的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BAI的中點(diǎn)，Q在線段CA上，且AQ=3QC,則異而直線PQ與AC所成角的正弦值為解析：由題意，以C為原點(diǎn)，以4C邊所在直線為x軸，以BC邊所在直線為y軸，以CG邊所在直線為z軸建立空間直角坐

18、標(biāo)系，如圖所示設(shè)棱柱的高為a，由zBAC二# ,4C二4，得BC二壞,所以 4(4,0,0) , 8(0,43 , 0) , C(0,0,0),如(4,0 , a) , Bi(0,4/3 ,a) , Ci(0,0 , a) , A(4,0 ,另，彳2 , 2 彳), 0 ,另.所以西=(1,2/3,0) , CA =(4,0,0).設(shè)異面直線QP與CA所成的角為e ,所以| cos e = 吟 巳 ,QP-CAQP -CA= 1x4 + 2羽x0 + 0x0 = 4 , | QP | | C4 | = /13x4 = 4/13，得 | cos 01 =由 sin20 + cos20 = 1得，

19、sin20 = |,所以sin &二士轡，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的正弦值為正，所以答案普5. (2015山西省考対質(zhì)好檢測(cè))如圖，四棱錐P ABCD中，底而ABCD為梯形，PD丄底而 ABCD, AB/CD, AD丄CD,w(1) 求證：平而PBD丄平而PBC；(2) 設(shè)H為CD上一點(diǎn)，滿足CH=2HD.若直線PC與平而PBD所成的角的正切值為 晉，求二面角H-PB-C的余弦值.解:(1)證明:由 ADCD 9 ABCD 9 AD = AB= ,可得 BD二逗.BC丄BD.PD丄底面ABCD , PD丄BC ,又 vPDA BD 二 D ,.BC丄平面PBD 9平面PBD丄平面PBC.由(1)Rl

20、JzfiPC為PC與平面PBD所成的角，.tan/BPC 二西，PB二也,PD=1., 42由 CH = 2 HD 及 CD 二 2 ,可得 CH 二 , DH 二 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4 , DC , DP分別為x軸，丫軸，z軸建立 空間直角坐標(biāo)系則 8(1,1,0) , P(0,0,1) , C(0,2,0) , H IO , | , 0).-| . HB =(1 , |, oj ,PB =(1,1 , -1) , C=(-1J,0) 設(shè)平面HPB的法向量為n = (xi f yi f zi),HP n = O 9 嘰心,X1 + 尹二 0 ,取 yi = - 3 ,則門二(1 , -3

21、, -2).設(shè)平面PBC的法向量為m =(X2 , y2 , Z2),PB -m = 0 ,則丫X2 + y2 - Z2 = 0 , 即-x2 + y2 = o ,取 X2二 1，則 m= (1,1,2)E /、 mnV21又8s二而帀r八尸故二面角H-PB-C的余弦值為弓.6. (2015-蘭州市診斷考試)如圖，在四棱柱6CD-4iBiCiDi中，底而ABCD是等腰梯形,AB/CD. AB=2, 8C=CD=1,頂點(diǎn)0在底而ABCD內(nèi)的射影恰為點(diǎn)C.(1) 求證:4DBC；(2) 若直線DD與直線AB所成的角為扌，求平面ABC與平而ABCD所成角(銳角)的余 弦值.解：證明：連接DiC ,則

22、0C丄平面ABCD ,.DiCBC.在等腰梯形ABCD中，連接AC ,AB = 2 , BC = CD=1 , ABCD ,:.BCAC ,又.Tien DiC = c, BC丄平面ADaC ,丄BC由知，AC , BC , DC兩兩垂直， 叮azDiDC = 3 ,CD = 1 , DiC二羽在等腰梯形ABCD中，MB二2,6C = CD=1 , AB/CD ,:AC = y3 ,以C為原點(diǎn)，馮，西，CD；分別為x軸，丫軸，z軸建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系，則 c（o,o,o）,4（羽.0,0）,e（o,i,o）,6（0,0 ,羽），nA 二（羽丄0）,血;二（羽，0,設(shè)平面ABCiDi的

23、法向量n = (x , y , z),n AB =0 t由為口可得平面4BCQ的一個(gè)法向Sn = （1，羽，1）又CD； = （0,0 ,羽）為平面ABCD的一個(gè)法向量，CD -n J5因此 cos =5 ,I CD, | |n|5.平面ABCQ與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為習(xí).7（2015-陜西髙考）如圖，在直角梯形ABCD中，AD/BC. ZBAD=號(hào)，4B=BC=1,2=2, F是4D的中點(diǎn)，0是AC與BF的交點(diǎn).將/XABE沿BE折起到ZMiBE的位置，如圖.W圖A】(1) 證明：CD丄平而4iOC：(2) 若平而ABE丄平而B(niǎo)CDE,求平而A.BC與平而A.CD夾角的余弦值.

24、解：證明：在題圖中，因?yàn)槎﨎C二1 , AD = 2 , E是2的中點(diǎn)，zB4D二號(hào)，所以 BE1AC.即在題圖中，BE丄0人,BE丄0C , OxliA 0C二0 ,從而B(niǎo)E丄平面A.OC.又 CDBE ,所以CD丄平面4iOC.(2)由已知，平面ABE丄平面BCDE ,又由(1)知，BEOA, , BE丄0C ,所以zAOC為二面角ArBE的平面角，所以zAOC二歲如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，麗,OC , OA；為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)?4ifi = 4iE=eC = ED=1 , BC|ED ,所以彳乎,0,0)，& 當(dāng),0,0), A(o , 0 ,乎),c(o，當(dāng),o

25、),得陽(yáng)=(一羋普,0),亂=(0普,普)，CD - BE = ( - /2 , 0,0)設(shè)平面ABC的法向量r?i = (xi , yi , Zi),平面ACD的法向量n2 = (x2 , y2 , z2),平面ABC與平面A,CD的夾角為0 ,nr BC = 0 ,n2- CD = 0 ,X2 二 0 , 得72 - Z2 = 0 ,從而 cos & 二 | cos ni , n2)2二心書(shū)x羽3即平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值為晉.8. (2015-北京海淀模擬)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底而四邊形ABCD是菱形, ACC BD=O. APAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PB

26、=PD=. AP=4AF.w求證：P0丄底而ABCD.(2) 求直線CP與平而B(niǎo)DF所成角的大小.(3) 在線段PB上是否存在一點(diǎn)AI,使得C川平而B(niǎo)DF? 如果存在，求曙的值：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：證明：因?yàn)榈酌?BCD是菱形，ACCIBD二0,所以0為AC , BD的中點(diǎn)又因?yàn)?PA = PC , PB 二 PD ,所以 POiAC 9 P0丄BD ,所以P0丄底面ABCD.p.(2)由底面4BCD是菱形可得ACBD，又由可知POAC ,POBD.如圖所示，以0為原點(diǎn)，丙，面，帀分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz由aPAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PB二PD二爭(zhēng)f可

27、得P0二羽,0B二0D二心所以 4(1,0,0) f C( - 1,0,0) , B(0 , V3 f 0) , P(0,0 , V3) 所以CP =(1,0 , 3) , AP = (- 1,0 , 3).由已知可得0?二丙+冷“二,0晉).設(shè)平面BDF的法向量為n = (x , y , z)n- OB =0 , 則n-OF =0.令 x= 1，則 z二羽，所以 n = (1,0 , - y3)因?yàn)?cosCP , n) =竺=I CP-n2所以直線CP與平面BDF所成角的正弦值為*.所以直線CP與平面BDF所成的角的大4、為30.BA 1設(shè) gp=A(0Z0)至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.g，5)B. (1,5)D(1,5C.g, 5.解析：選C如圖，若使以(4,1)為圓心的圓與陰影部分區(qū)域 至少有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖形，