常系數(shù)非齊次線性微分方程的算子解法畢業(yè)論文

1、分類號(hào) 編 號(hào) 畢業(yè)論文題 目 常系數(shù)非齊次線性微分方程的算子解法 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 姓 名 xxx 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào) 291010132 研究類型 理論研究 指導(dǎo)教師 xxx 提交日期 2013年5月 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明:本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名: 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名:常系數(shù)非齊次線性微分方程的算子解法 摘要 本文討論了求常系

2、數(shù)非齊次線性微分方程特解的算子解法,結(jié)果說明當(dāng)非齊次項(xiàng)是指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)及其混合函數(shù)時(shí),用這種方法可以直接求出一個(gè)特解,運(yùn)算簡(jiǎn)單.關(guān)鍵詞 線性微分方程;算子方法;特解differential operator method of inhomogeneous linear differential equation with constant coefficientwang dongyun(school of mathematics and statistics, tianshui normaluniversity,gansu,tianshui,741000)abstract this

3、 paper discusses the differential operator method for special solution of inhomogeneous linear differential equation with constant coefficient, the results show that when the inhomogeneous term is exponential function, trigonometric function, power function or their mixed function, this method can b

4、e used to directly derive a special solution, simple operation.keywords linear differential equation;operator method;special solution1 引言 微分方程在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用,例如單擺運(yùn)動(dòng)、傳染病的預(yù)防等方面都要用到常微分方程.教材中一般只介紹用待定系數(shù)法和常數(shù)變易法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程,然而用上述的兩種方法需經(jīng)大量的運(yùn)算,甚至涉及到求解線性方程組.基于上述的情況,本文討論求解線性微分方程的算子解法.2 基本概念 對(duì)于常系數(shù)非齊次線性微分方程 (1

5、) 其中均為常數(shù). 令表示對(duì)求微商的運(yùn)算,稱它為微分算子;表示對(duì)求次微商的運(yùn)算.于是方程(1)化為 (2)記,稱為算子多項(xiàng)式.所以(2)的一個(gè)解可簡(jiǎn)單的表示為,稱為逆算子.特別地,.3 算子多項(xiàng)式 3.1 性質(zhì) 設(shè)是上述定義的算子多項(xiàng)式,都是可導(dǎo)函數(shù),則有如下的結(jié)論: 1) 2)以上兩式的證明均可以由簡(jiǎn)單的積分來完成,從略.有關(guān)其他的性質(zhì)可根據(jù)普通多項(xiàng)式的性質(zhì)來類似給出,也可參見文獻(xiàn)1,2,3. 3.2 運(yùn)算公式 設(shè)是上述定義的算子多項(xiàng)式,是可導(dǎo)函數(shù),都是常數(shù),則有如下的結(jié)論: 1) 2) 3)4)證明 1) 2) 因?yàn)?， 所以 3) 由2)式證明可類似推之.4) 根據(jù)萊布尼茨公式,有 3.

6、3 逆算子運(yùn)算公式 設(shè)是上述定義的算子多項(xiàng)式,是可導(dǎo)函數(shù),都是常數(shù),則有如下的結(jié)論: 1) (3) 2) (4) 3) (5) 4) (6) 5)設(shè),則 (7)其中是將按的升冪排列后去除1在第步得到的結(jié)果. )當(dāng)時(shí),（為重?cái)?shù)） (8) )當(dāng)時(shí),不妨設(shè),而.則 (9) (10) )當(dāng)時(shí),此時(shí)而則 (11)證明 以上1)、2)、3)式的推導(dǎo)可參見文獻(xiàn)1. 4) =5)用1除以得到的商是次多項(xiàng)式時(shí),余式中的各項(xiàng)最起碼是次的,即1=其中,上式兩邊同時(shí)作用得 由于上式中的至少是次的,故. )不妨設(shè),而.由(6)可得 )由于,所以 而 = = 故有 同理有 )顯然成立.4 題例 類型 當(dāng)時(shí),可采用公式(3

7、)或(8)求得(2)式的特解.例1 求的特解.解 若采用常數(shù)變易法,需先求出特征值,寫出通解,然后再解方程組得出變易系數(shù),進(jìn)而得到特解.而用算子法可簡(jiǎn)單求解如下:由于,.故特解為=.例2 求的特解.解 ,故,從而特解為 = 類型 當(dāng)時(shí),可以用公式(4)或(9)求得(2)式的特解. 例3 求的特解.解 若用文獻(xiàn)4中提供的解法,我們需將分開來求解,然后由解的性質(zhì)可得到原方程的特解.而采用算子解法則可直接求出特解,具體如下:,故特解 例4 求的特解.解 （算子解法）由于,故方程轉(zhuǎn)為解,它的特解為=故原方程的特解為. (常數(shù)變易法)特征方程為,特征根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)非齊次方程的特解為,則有

8、以下方程組解得積分得 故特解為. 類型 當(dāng)時(shí),可以用公式(5)或(10)求得(2)式的特解. 例5 求的特解.解 不管是采用待定系數(shù)法還是用常數(shù)變易法都可以求出方程的解,但是求解過程比較復(fù)雜,采用算子解法可簡(jiǎn)解如下 = = 例6 求的特解. 解 （算子解法） = = =(待定系數(shù)法)特征方程,故特征根為,所以對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)解為.由于,故可設(shè)特解的形式,帶入方程后整理得比較兩邊的同次項(xiàng)系數(shù)有解得,所以特解為. 類型 當(dāng)是指數(shù)、三角、冪函數(shù)的混合函數(shù)時(shí),可采用上述恰當(dāng)?shù)墓角蟮茫?）式的特解.例7 求的特解.解 若用待定系數(shù)法,必須先求出方程的特征根,此外方程是三階的,計(jì)算待定系數(shù)比較麻煩,用算子

9、法可簡(jiǎn)化計(jì)算. = = = 例8 求的特解. 解 先考慮方程 = = =故原方程的特解為. 例9 求的特解. 解 先考慮方程的特解 故原方程的特解為. 例10 求的特解. 解 先考慮方程 故原方程的特解為.以上的例8,例9,例10,不管是用待定系數(shù)法還是常數(shù)變易法計(jì)算都比較復(fù)雜,用算子解法卻相對(duì)簡(jiǎn)便.5 小結(jié) 由以上的題例可以明顯的看出,若是指數(shù)、三角、冪函數(shù)及其混合函數(shù)時(shí),不管采用常數(shù)變易法還是待定系數(shù)法,都需先求出方程的特征根.若用常數(shù)變易法還會(huì)涉及到求解方程組;若用待定系數(shù)法,當(dāng)階數(shù)比較高時(shí)計(jì)算比較復(fù)雜,而用算子解法卻比較方便快捷.參考文獻(xiàn)1葉彥謙.常微分方程講義m.北京:人民教育出版社,1982:188-203 2王懷柔,伍卓群.常微分方程講義m.北京:人民教育出版社,1979:122-1333李紹