(通用)2020年中考數學重點突破(附答案與解析)：相似

1、2020 年數學一輪復習之針對訓練：相似的突破1如圖，在abc 中，abac，ad 是abc 的角平分線，e，f 分別是 bd，ad 上的點，取 ef 中點 g，連接 dg 并延長交 ab 于點 m，延長 ef 交 ac 于點 n（1） 求證：fab 和b 互余；（2） 若 n 為 ac 的中點，de2be，mb3，求 am 的長2如圖，在abc 中，點 o 在邊 ac 上，o 與abc 的邊 bc，ab 分別相切于 c，d 兩點， 與邊 ac 交于 e 點，弦 cf 與 ab 平行，與 do 的延長線交于 m 點（1）求證：點 m 是 cf 的中點；（2）若 e 是的中點，bca，1 求2

2、求的弧長；的值3如圖，在平面直角坐標系中，點 b（12，10），過點 b 作 x 軸的垂線，垂足為 a作 y 軸的垂線，垂足為 c點 d 從 o 出發(fā)，沿 y 軸正方向以每秒 1 個單位長度運動；點 e 從 o出發(fā)，沿 x 軸正方向以每秒 3 個單位長度運動 ；點 f 從 b 出發(fā)，沿 ba 方向以每秒 2 個單位長度運動當點 e 運動到點 a 時，三點隨之停止運動，運動過程中ode 關于直線 de 的對稱圖形是de，設運動時間為 t（1） 用含 t 的代數式分別表示點 e 和點 f 的坐標；（2） 若ode 與以點 a，e，f 為頂點的三角形相似，求 t 的值； （3）當 t2 時，求 o點

3、在坐標4如圖 1，在菱形 abcd 中，ab ，bcd120，m 為對角線 bd 上一點（m 不與點 b、 d 重合），過點 mncd，使得 mncd，連接 cm、am、bn（1） 當dcm30時，求 dm 的長度；（2） 如圖 2，延長 bn、dc 交于點 e，求證：amdebecd；（3） 如圖 3，連接 an，則 am+an 的最小值是 3 5如圖，在矩形 abcd 的邊 ab 上取一點 e，連接 ce 并延長和 da 的延長線交于點 g，過點 e 作 cg 的垂線與 cd 的延長線交于點 h，與 dg 交于點 f，連接 gh（1） 當 tanbec2 且 bc4 時，求 ch 的長；（

4、2） 求證：dffghfef；（3） 連接 de，求證：cdecgh6如圖，在rtabc 中，a90，ab20cm，ac15cm，在這個直角三角形內有一個內 接正方形，正方形的一邊 fg 在 bc 上，另兩個頂點 e、h 分別在邊 ab、ac 上（1） 求 bc 邊上的高；（2） 求正方形 efgh 的邊長7如圖 1，abc 內接于o，點 d 是 e的 中點，且與點 c 位于 ab 的異側，cd 交 ab 于點（1） 求證：adecda（2） 如圖 2，若o 的直徑 ab4，ce2，求 ad 和 cd 的長8如圖，abc 中，abac，am 為 bc 邊的中線，點 d 在邊 ac 上，聯(lián)結 b

5、d 交 am 于點 f，延長 bd 至點 e，使得 ，聯(lián)結 ce求證：（1） ecd2bam；（2） bf 是 df 和 ef 的比例中項9如圖，在梯形abcd 中，adbc，bcbd10，cd4，ad6點 p 是線段 bd 上的動點， 點 e、q 分別是線段 da、bd 上的點，且 dedqbp，聯(lián)結 ep、eq（1） 求證：eqdc；（2） 當 bpbq 時，如果epq 是以 eq 為腰的等腰三角形，求線段 bp 的長；（3） 當 bpm（0m5）時，求peq 的正切值（用含 m 的式子表示）10如圖，已知平行四邊形 abcd 中，ad ，ab5，tana2，點 e 在射線 ad 上，過點

6、e 作 efad，垂足為點 e，交射線 ab 于點 f，交射線 cb 于點 g，聯(lián)結 ce、cf，設 aem （1）當點 e 在邊 ad 上時，求cef 的面積；（用含 m 的代數式表示）當4dcebfg時，求 ae：ed 的值；（2）當點 e 在邊 ad 的延長線上時，如果aef 與cfg 相似，求 m 的值11在abc 中，acb90，ab20，bc12（1）如圖 1，折疊abc 使點 a 落在 ac 邊上的點 d 處，折痕交 ac、ab 分別于 q、h，若9abc，則 hq 4 dhq（2） 如圖 2，折疊abc 使點 a 落在 bc 邊上的點 m 處，折痕交 ac、ab 分別于 e、f

7、若 fmac，求證：四邊形 aemf 是菱形；（3） 在（1）（2）的條件下，線段 cq 上是否存在點 p，使 cmp 和hqp 相似？若存在， 求出 pq 的長；若不存在，請說明理由12如圖，在 abc 中，c90，cdab 于 d，（1） 若 ac：cb3：2，求 ad：db 的值；（2） abc 的角平分線分別交 ac，dc 于 e，f 兩點求證： + ；（3） 延長 cd 至 g，使 dg cg，連接 ag，f 為 ag，cb 延長線上的交點，ag5，sin agd ，直接寫出 cf 的長13如圖，在 abc 中，acb90，acbc6cm，點 p 從點 a 出發(fā)，沿 ab 方向以每秒

8、cm 的速度向終點 b 運動，同時，動點 q 從點 b 出發(fā)沿 bc 方向以每秒 1cm 的速度向終點 c 運動，將pqc 沿 bc 翻折，點 p 的對應點為點 p，當其中一個動點到達終點時 另一個點隨著停止，設 q 點運動的時間為 t 秒（1） 當 t 為何值時，pqbc；（2） 在運動過程中，設pbq 的面積為 s（cm2），求 s 與 t 的函數關系式（不要求寫出 自變量取值范圍），并求出其面積 s 的最大值；（3） 在運動過程中，是否存在四邊形 qpcp為菱形，若存在，請求出 t 的值；若不存在， 請說明理由14如圖， abc 中，acb90，acbc，d 是線段 ab 上一點（0ad

9、 ab）過點b 作 becd，垂足為 e將線段 ce 繞點 c 逆時針旋轉 90，得到線段 cf，連接 af，ef設 bce 的度數為 （1）依題意補全圖形若 60，則caf 30 ； ；（2）用含 的式子表示 ef 與 ab 之間的數量關系，并證明15如圖，已知等腰abc 中，abac，adbc，ac 與 x 軸交于點 e，d（2，0），a（5，3） （1）求點 b 的坐標；（2） 求 de 的長；（3） 探究：在 x 軸上是否存在點 p，使以 a、d、p 為頂點的三角形 cde 相似？若存 在，請求出點 p 的坐標；若不存在，請說明理由答案與解析1如圖，在abc 中，abac，ad 是ab

10、c 的角平分線，e，f 分別是 bd，ad 上的點，取 ef 中點 g，連接 dg 并延長交 ab 于點 m，延長 ef 交 ac 于點 n（1） 求證：fab 和b 互余；（2） 若 n 為 ac 的中點，de2be，mb3，求 am 的長解：（1）abac ad 為bac 的角平分線adbc，fab+b90，即fab 和b 互余；（2）過點 n 作 bc 平行線交 dm 延長線于點 q 交 ab 于點 p，交 ad 于點 kde2be n 為 ac 的中點，nqbc， nk ，ap ab，令 de4k，eb2k 所以 nk3k 又nqbc又g 為 fe 中點，egfg ef，nq10k p

11、q10k6k4k，bcdqdbmqpm，又bm3，pm2，ap5，am5+272如圖，在abc 中，點 o 在邊 ac 上，o 與abc 的邊 bc，ab 分別相切于 c，d 兩點， 與邊 ac 交于 e 點，弦 cf 與 ab 平行，與 do 的延長線交于 m 點（1）求證：點 m 是 cf 的中點；（2）若 e 是的中點，bca，1 求2 求的弧長；的值證明：（1）o 與abc 的邊 bc，ab 分別相切于 c，d 兩點， acbodb90，cfab，omfodb90，omcf，且 om 過圓心 o，點 m 是 cf 的中點；（2）連接 cd，df，of，o 與abc 的邊 bc，ab 分

12、別相切于 c，d 兩點， bdbc，e 是 的中點，dcefce，abcf，aecfacd，adcd，a+b90，acd+bcd90， bbcd，bdcd，且 bdbc，bdbccd，bcd 是等邊三角形，b60，a30ecfacd，dcf60，dof120，bca，a30，ab2a，aca，ada，aa，adoac b90， adoacb， ，doa，的弧長 a；a30，odab，ao2doa，aeaooe 1aa，3如圖，在平面直角坐標系中，點 b（12，10），過點 b 作 x 軸的垂線，垂足為 a作 y 軸的垂線，垂足為 c點 d 從 o 出發(fā)，沿 y 軸正方向以每秒 1 個單位長度運

13、動；點 e 從 o出發(fā)，沿 x 軸正方向以每秒 3 個單位長度運動 ；點 f 從 b 出發(fā)，沿 ba 方向以每秒 2 個單位長度運動當點 e 運動到點 a 時，三點隨之停止運動，運動過程中ode 關于直線 de 的對稱圖形是de，設運動時間為 t（1） 用含 t 的代數式分別表示點 e 和點 f 的坐標；（2） 若ode 與以點 a，e，f 為頂點的三角形相似，求 t 的值； （3）當 t2 時，求 o點在坐標解：（1）bax 軸，cby 軸，b（12，10），ab10，由運動知，odt，oe3t，bf2t（0t4），af102t，e（3t，0），f（12，102t）；（2）由（1）知，odt

14、，oe3t，af102t， ae123t，bax 軸，oab90aoc，ode 與以點 a，e，f 為頂點的三角形相似， doeeaf 或doefae，當doeeaf 時，t ，當doefae 時，t6（舍），即：當ode 與以點 a，e，f 為頂點的三角形相似時，t（3）如圖，當 t2 時，od2，oe6，秒；在 doe 中，根據勾股定理得，de2 連接 oo交 de 于 g，oo2og，oode， odoe deog， doeogoo2og ，aoc90，hoo+aoo90， oode，oed+aoo90，hoooed，過點 o作 ohy 軸于 h，oho90doe，ohoeod， ， ，

15、oho（，oh， ），4如圖 1，在菱形 abcd 中，ab ，bcd120，m 為對角線 bd 上一點（m 不與點 b、 d 重合），過點 mncd，使得 mncd，連接 cm、am、bn（1） 當dcm30時，求 dm 的長度；（2） 如圖 2，延長 bn、dc 交于點 e，求證：amdebecd；（3） 如圖 3，連接 an，則 am+an 的最小值是 3 解：（1）如圖 1，連接 ac 交 bd 于 o， 四邊形 abcd 是菱形，acbd，bd2ob，cdbcab bcd120，cbd30，oc bc，oboc ，bd3，bcd120，dcm30， bcm90，cmbc1，bm2cm

16、2，dmbdbm1；（2）四邊形 abcd 是菱形，abcd，abcd，mncd，mncd，abmn，abmn，四邊形 abnm 是平行四邊形， ambn，ambebd，abcd，abmedb，abmedb， ，amdebeab，abcd，amdebecd；（3）如圖 2，四邊形 abcd 是菱形，abd abc，cdab， bcd120，abc60，a bd30，連接 cn 并延長交 ab 的延長線于 p，cdmn，cdmn，四邊形 cdmn 是平行四邊形，當點 m 從點 d 向 b 運動時，點 n 從點 c 向點 p 運動（點 n 的運動軌跡是線段 cp），apc abd30，由（2）知，

17、四邊形 abnm 是平行四邊形，ambn，am+anan+bn，而 am+an 最小，即：an+bn 最小，作點 b 關于 cp 的對稱點 b，當點 a，n，b在同一條線上時，an+bn 最小，即：am+an 的最小值為 ab，連接 bb，bp，由對稱得，bpbpabbbp 是等邊三角形，bp 過點 b作 bqbp 于 q，bpb2apc60，bq bp，bqbq ，aqab+bq，在 rtaqb中，根據勾股定理得，ab 即：am+an 的最小值為 3，故答案為 33，5如圖，在矩形 abcd 的邊 ab 上取一點 e，連接 ce 并延長和 da 的延長線交于點 g，過點 e 作 cg 的垂線

18、與 cd 的延長線交于點 h，與 dg 交于點 f，連接 gh（1） 當 tanbec2 且 bc4 時，求 ch 的長；（2） 求證：dffghfef；（3） 連接 de，求證：cdecgh（1）解：在 bce 中，當 tanbec2， 2，即 2，解得，be2，由勾股定理得，ce四邊形 abcd 為矩形， abcd，echbec， 2 ，tanech2，即 2，eh4，ch10；（2）證明：fegfdh90，efgdfh， efgdfh， ，dff ghfef；（3）證明：efgdfh，cgdche，又gcdhce，gcdhce， ，又gcdhce，cdecgh，cdecgh6如圖，在 a

19、bc 中，a90，ab20cm，ac15cm，在這個直角三角形內有一個內 接正方形，正方形的一邊 fg 在 bc 上，另兩個頂點 e、h 分別在邊 ab、ac 上（1） 求 bc 邊上的高；（2） 求正方形 efgh 的邊長解：（1）作 adbc 于 d，交 eh 于 o，如圖所示：在 rtabc 中，a90，ab20cm，ac15cm， bc 25（cm）， bc ad abac，ad 12（cm）；即 bc 邊上的高為 12cm；（2）設正方形 efgh 的邊長為 xcm，四邊形 efgh 是正方形，ehbc，aehb，ahec，aehabc ，即 ，解得：x，即正方形 efgh 的邊長為

20、cm7如圖 1，abc 內接于o，點 d 是 e的 中點，且與點 c 位于 ab 的異側，cd 交 ab 于點（1） 求證：adecda（2） 如圖 2，若o 的直徑 ab4，ce2，求 ad 和 cd 的長解：（1）點 d 是 acdbad，adecdaadecda（2）連結 bd，的中點，點 d 時的中點，adbdab 是o 的直徑，adb90，adb 為等腰直角三角形， ，由（1）得adecda，即 ad2cd ed，cd22cd480，解得 cd8 或6 cd88如圖，abc 中，abac，am 為 bc 邊的中線，點 d 在邊 ac 上，聯(lián)結 bd 交 am 于點 f，延長 bd 至

21、點 e，使得 ，聯(lián)結 ce求證：（1） ecd2bam；（2） bf 是 df 和 ef 的比例中項證明：（1）abac，am 為 bc 邊的中線， bac2bam， ，adbcde，adbcde，bacecd，ecd2bam；（2）如圖，連接 cf，abac，am 為 bc 邊的中線，am 是 bc 的垂直平分線，bfcf，且 abac，afaf，abfacf（sss）abfacf，由（1）可知：adbcde，abfe，acfe，且efcdfc，dcfcef， ，且 bfcf，bf2df ef，bf 是 df 和 ef 的比例中項9如圖，在梯形abcd 中，adbc，bcbd10，cd4，a

22、d6點 p 是線段 bd 上的動點， 點 e、q 分別是線段 da、bd 上的點，且 dedqbp，聯(lián)結 ep、eq（1） 求證：eqdc；（2） 當 bpbq 時，如果epq 是以 eq 為腰的等腰三角形，求線段 bp 的長；（3）當 bpm（0m5）時，求peq 的正切值（用含 m 的式子表示） 解：（1）adbc，edqdbc，dedq，bdbc，1，deqbcd，dqebdc，eqcd；（2）設 bpx，則 dqx，qp2x10， deqbcd，eq x，epq 是以 eq 為腰的等腰三角形，、當 eqep 時，eqpepq， dedq，eqpqed，epqqed，eqpdeq， ，e

23、q2deqp，（ x）2（2x10）x，解得，x0（舍）或 x即：bp ，6，、當 qeqp 時，x2x10，解得，x6，此種情況不存在，即：bp ；（3）如圖，過點 p 作 pheq，交 eq 的延長線于點 h，過點 b 作 bgdc，垂足為點 g，bdbc，bgdc，dg2，bg6 bpdqm，pq102m，eqdc，pqhbdg，phqbgd90，phqbgd，hqeh，ph2，tanpeq 2 m10如圖，已知平行四邊形 abcd 中，ad ，ab5，tana2，點 e 在射線 ad 上，過點e 作 efad，垂足為點 e，交射線 ab 于點 f，交射線 cb 于點 g，聯(lián)結 ce、c

24、f，設 aem （1）當點 e 在邊 ad 上時，求cef 的面積；（用含 m 的代數式表示）當4dcebfg時，求 ae：ed 的值；（2）當點 e 在邊 ad 的延長線上時，如果aef 與cfg 相似，求 m 的值解：（1）efad，aef90，在 rtaef 中，tana2，aem， efaetana2m，根據勾股定理得，afab5，bf5m，四邊形 abcd 是平行四邊形，bcad ，adbc， gaef90，aefbgf，bgm，m，cgbc+bg+ m2 m， efcg 2m（2 cefm）2mm2；由知，aefbgf，fg，ef2m2（m），egef+fg2m+2（m）2， de

25、eg （ cdem）25m， bgfg （ m）2（ m）（ bfgm）2，4dcebfg時，5m4（ m）2，m（舍）或 m，deadae，ae：ed：3，即：ae：ed 的值為 3；（2）四邊形 abcd 是平行四邊形，bcad，adbc，efad，efbc，aefcgf90， aef 與cfg 相似，當aefcgf 時，如圖 1， afecfg，efbc，bg bcadbc，cbfa，tana2，tancbf2，在 bgf 中，fgbgtancbf 根據勾股定理得，bf， ，afab+bf5+ bcad，bgfaef， ， ，m ；當aefcgf 時，如圖 2， eafgfc，eaf+a

26、fe90，gfc+afe90，afc90，adbc，cbfa，tancbftana2，在 bfc 中，cfbf cbf2bf，根據勾股定理得，bf2+cf2bc2，bf2+4bf2（）2，bf1，afab+bf6，在 bgf 中，同理：bg adbc，bgfaef， ， ，m ，即：如果aef 與cfg 相似，m 的值為或 11在abc 中，acb90，ab20，bc12（1）如圖 1，折疊abc 使點 a 落在 ac 邊上的點 d 處，折痕交 ac、ab 分別于 q、h，若9abc，則 hq 4 dhq（2） 如圖 2，折疊abc 使點 a 落在 bc 邊上的點 m 處，折痕交 ac、ab

27、分別于 e、f若 fmac，求證：四邊形 aemf 是菱形；（3） 在（1）（2）的條件下，線段 cq 上是否存在點 p，使 cmp 和hqp 相似？若存在， 求出 pq 的長；若不存在，請說明理由解：（1）如圖 1 中，在abc 中，acb90，ab20，bc12，ach qbc，16，設 hqx， ，aq x，9abc，dhq 16129 x x， x4 或4（舍棄），hq4，故答案為 4（2）如圖 2 中，由翻折不變性可知：aeem，affm，afemfe， fmac，aefmfe，aefafe，aeaf，aeafmfme，四邊形 aemf 是菱形（3）如圖 3 中，設 aeemfmaf

28、4m，則 bm3m，fb5m， 4m+5m20，m ，aeem ，ecacae16，cmqh4，aq，qc當 ，設 pqx，時，hqpmcp， ，解得：x當 ，時，hqppcm，解得：x8 或 ，經檢驗：x8 或 是分式方程的解，且符合題意，綜上所述，滿足條件長 qp 的值為或 8 或 12如圖，在 rtabc 中，c90，cdab 于 d， （1）若 ac：cb3：2，求 ad：db 的值；（2） abc 的角平分線分別交 ac，dc 于 e，f 兩點求證： + ；（3） 延長 cd 至 g，使 dg cg，連接 ag，f 為 ag，cb 延長線上的交點，ag5，sin agd ，直接寫出

29、cf 的長解：（1）cdab，adcbdc90acb，acd+a90，acb90，acd+dcb90，adcbadccdb，adccdb， ，ad cd，cd db，ad db，ad：db9：4（2）如圖 2，過點 e 作 egab 于 g，連接 fg， cdab，egcf，be 平分cba，cbegbe，eceg， egcd， ，aegacd，+， + 1，ceeg，+1， ；（3）如圖 3，在 adg 中，ag5，sinagd ， adag sinagd3，根據勾股定理得，dg4，dg cg，cg dg6，cd2，在 adc 中，根據勾股定理得，ac 由（1）知，adccdb， ， ，db

30、 ，cb，過點 g 作 ghcf 于 h，chgcdb90，bcdgch，bdcghc， ， ，gh ，ch ，acb90fhg， fhgfca， ，cf18 ，13如圖，在 rtabc 中，acb90，acbc6cm，點 p 從點 a 出發(fā)，沿 ab 方向以每秒cm 的速度向終點 b 運動，同時，動點 q 從點 b 出發(fā)沿 bc 方向以每秒 1cm 的速度向終點 c 運動，將pqc 沿 bc 翻折，點 p 的對應點為點 p，當其中一個動點到達終點時 另一個點隨著停止，設 q 點運動的時間為 t 秒（1） 當 t 為何值時，pqbc；（2） 在運動過程中，設pbq 的面積為 s（cm2），求

31、s 與 t 的函數關系式（不要求寫出自變量取值范圍），并求出其面積 s 的最大值；（3）在運動過程中，是否存在四邊形 qpcp為菱形，若存在，請求出 t 的值；若不存在， 請說明理由解：（1）由勾股定理得，ab6 ，由題意得，ap則 bp6 t，bqt， t，當 pqac 時，pqbc，則 ，即 ， 解得：t3，則當 t3 秒時，pqbc；（2）過點 p 作 pdbc 于 d， 則 pdac， ，即 ，解得，pd3s bqpd t（3 t2+t，t）t （t）2+ ，當 t時，面積 s 的最大值為 ；（3）如圖 2，過點 p 作 peac 于點 e，連接 pp 由題意知，點 p、p關于 bc 對稱，bc 垂直平分 ppqpqp，pdpd四邊形 qpcp是菱形，則 cdqd， c90，acbc，a45apt，pet，易得，四邊形 pecd 是矩形，cdpet，即 cdqdt又 bqt，bc6，3t6，解得，t2若四邊形 qpcp為菱形，則 t 的值為 214如圖， abc 中，acb90，acbc，d 是線段 ab 上一點（0ad ab）過點b 作 becd，垂足為 e將