完全平方公式的幾何背景專(zhuān)題訓(xùn)練試題精選附答案

1、完全平方公式的幾何背景專(zhuān)題訓(xùn)練試題精選一選擇題（共 6 小題）1（2010丹東）圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為（m+n）的正方形，小穎將圖中 的 陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的式子是（ ）a（ m+n）2 （mn）2=4mnb（ m+n）2 （m2 +n2 ） =2mnc（ mn）2+2mn=m2+n2d（ m+n（m=m2 2利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式例如，根據(jù)圖甲，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a+b ）2=a2+2ab+b2你根據(jù) 圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是（ ）a（ a+b）（a b）=a 2 b2b（ ab） 2ab+b22=a2c a（a+b） =a2+abd a（ab）

2、=a2ab3如圖，你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（ ）a a2b（ a+b）2=a2+2ab+b2c（ ad a（a+b）b2=（a+b ） （ab）b）2=a2ab+b22 =a2+ab4如圖（1），是一個(gè)長(zhǎng)為 2a 寬為 2b（ab）的矩形，用剪刀沿矩形的 兩條對(duì)角軸剪開(kāi)，把它分成四個(gè)全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一 個(gè)新的正方形，則中間空白部分的面積是（ ）a ab b（ a+b）2c（ ab）2d a2b25如圖的圖形面積由以下哪個(gè)公式表示（ ）a a2b（ ac（ a+b ）2 =a2+2ab+b2 d a2b2=a（a b）+b（ab）b）2=a2 22ab+bb2 =（a+b

3、） （ab）6如果關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 x2mx+16 是一個(gè)完全平方式，那么 m 的值 是（ ）a 8 或8 b 8c 8 d 無(wú)法確定二填空題（共 7 小題）7（2014玄武區(qū)二模）如圖，在一個(gè)矩形中，有兩個(gè)面積分別為 a2、 b2（a0，b0）的正方形這個(gè)矩形的面積為 _ （用含a、b 的代數(shù)式表示）8 如圖，邊長(zhǎng)為（m+2）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為 m 的正方形之 后，剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），若拼成的矩形一邊 長(zhǎng)為 2，則另一邊長(zhǎng)是 _ （用含 m 的代數(shù)式表示）9 有兩個(gè)正方形 a，b，現(xiàn)將 b 放在 a 的內(nèi)部得圖甲，將 a，b 并列放置 后構(gòu)造新的正方形得圖

4、乙若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為 1 和 12，則正方形 a，b 的面積之和為 _ 10如圖 1 和圖 2，有多個(gè)長(zhǎng)方形和正方形的卡片，圖 1 是選取了 2 塊不 同 的卡片，拼成的一個(gè)圖形，借助圖中陰影部分面積的不同表示可以 用來(lái)驗(yàn)證等式 a（a+b）=a2+ab 成立根據(jù)圖 2，利用面積的不同表示方法， 寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式 _ 11如圖，正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)為 a 米，中央有一個(gè)正方形的水池，水池 四周有一條寬度為的環(huán)形小路，那么水池的面積用含 a、b 的代數(shù)式可表示為_(kāi) 平方米12如圖，請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（ a+b）2 、（ab）2、ab 之間的等量關(guān) 系是 _ 13如圖，長(zhǎng)為 a，寬為

5、b 的四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，且大正方 形的面積為 64，中間小正方形的面積為 16，則 a= _ ，b= _ 三解答題（共 10 小題） 14閱讀學(xué)習(xí)： 數(shù)學(xué)中有很多等式可以用圖 形的面積來(lái)表示如圖 1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3mn+2n2，（1）觀察圖 2，請(qǐng)你寫(xiě)出（ a+b）2，（ab）2，ab 之間的關(guān)系_ （2）小明用 8 個(gè)一樣大的長(zhǎng)方形，（長(zhǎng)為 a，寬為 b），拼成了如圖甲乙 兩種圖案，圖案甲是一個(gè)正方形，圖案甲中間留下了一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正 方形；圖形乙是一個(gè)長(zhǎng)方形a2 4ab+4b2 = _ ab= _ 15【學(xué)習(xí)回顧】我們已經(jīng)知道，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系

6、可以說(shuō)明完 全平方公式，說(shuō)明如下：如圖 1，正方形 abcd 的面積=正方形 ebnh 的面積+（長(zhǎng)方形 aehm 的面積+長(zhǎng)方形 hncf 的面積）+正方形 mhfd 的面積即：（a+b）2=a2+2ab+b2 【思考問(wèn)題】還有一些等式也可以用上述方式加以說(shuō)明，請(qǐng)你嘗試完成如圖 2，長(zhǎng)方形 abnm 的面積=長(zhǎng)方形 ebcf 的面積+長(zhǎng)方形 aefd 的面積 長(zhǎng)方形 hncf 的面積 _ 的面積，即：（ 2ab）（a+b） = _ 【嘗試實(shí)踐】計(jì)算（2a+b）（a+b）= _ 仿照上述方法， 畫(huà)圖 并說(shuō)明16閱讀下列文字，我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等

7、式，例如由圖 1 可以得到（a+2b）（a+b） =a2+3ab+2b2 請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1） 寫(xiě)出圖 2 中所表示的數(shù)學(xué)等式 _ ；（2） 利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知 a+b+c=11 ， ab+bc+ac=38 ，求 a2+b2 +c2 的值；（3） 圖 3 中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為 a 和邊長(zhǎng)為 b 的小正方形紙片若干個(gè)長(zhǎng) 為 a 和寬為 b 的長(zhǎng)方形紙片，利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形，使得計(jì) 算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式：2a2 +5ab+2b2 =（2a+b）（a+2b）17如圖 1，將一個(gè)長(zhǎng)為 4a，寬為 2b 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線均勻分成 4 個(gè) 小長(zhǎng)方形，然后按

8、圖 2 形狀拼成一個(gè)正方形（1） 圖 2 的空白部分的邊長(zhǎng)是多少？（用含 ab 的式子表示）（2） 若 2a+b=7，且 ab=3，求圖 2 中的空白正方形的面積（3） 觀察圖 2，用等式表示出（ 2ab）2，ab 和（2a+b）2 的數(shù)量關(guān) 系18動(dòng)手操作：如圖是一個(gè)長(zhǎng)為 2a，寬為 2b 的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線剪開(kāi)分成四個(gè)大 小相等的長(zhǎng)方形，然后按照?qǐng)D所示拼成一個(gè)正方形提出問(wèn)題：（1） 觀察圖，請(qǐng)用兩種不同的方法表示陰影部分的面積；（2） 請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（ab）2，ab 之間的一個(gè)等量關(guān) 系 問(wèn)題解決：根據(jù)上述（2）中得到的等量關(guān)系，解決下列問(wèn)題：已知：x+y=6，xy=3

9、求：（xy）2 的值19圖是一個(gè)長(zhǎng)為 2a，寬為 2b 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線剪開(kāi)，可分成四 塊小長(zhǎng)方形（1）將圖中所得的四塊長(zhǎng)為 a，寬為 b 的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形 （如圖）請(qǐng)利用圖中陰影部分面積的不同表示方法，直接寫(xiě)出代數(shù)式（a+b）2、（ab）2、ab 之間的等量關(guān)系是 _ ；（2） 根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：已知 m+n=8 ， mn=7，則 mn= _ ；（3） 將如圖所得的四塊長(zhǎng)為 a，寬為 b 的小長(zhǎng)方形不重疊地放在長(zhǎng)方 形 abcd 的內(nèi)部（如圖），未被覆蓋的部分（兩個(gè)長(zhǎng)方形）用陰影表 示若左下角與右上角的陰影部分的周長(zhǎng)之差為 4，且小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng) 為 8，則每

10、一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為 _ 20把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)圖形面積的計(jì)算，常?？梢?得到一些有用的式子，或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積（1）如圖 1，是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c 的正方形，試用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)（2）如圖 2，是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a 和 b 的正方形拼在一起，b、c、g 三 點(diǎn)在同一直線上，連接 bd 和 bf，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足 a+b=10 ， ab=20，你能求出陰影部分的面積嗎？21閱讀材料并填空： 我們知道，完全平方式可以用平面幾何圖形的 面積來(lái)表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式樣也可以用這種

11、形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用圖（1），或圖（2）等 圖形的 面積表示請(qǐng)你寫(xiě)出圖（3）所表示的代數(shù)恒等式 請(qǐng)你寫(xiě)出圖（4）所表示的代數(shù)恒等式_ _ 22圖 1 是一個(gè)長(zhǎng)為 2x、寬為 2y 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀剪成四個(gè) 完全相同的小長(zhǎng)方形，然后按圖 2 所示拼成一個(gè)正方形（1）你認(rèn)為圖 2 中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于 _ （2）試用兩種不同的方法求圖 2 中陰影部分的面積 方法 1： _ ；方法 2： _ （3）根據(jù)圖 2 你能寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（x+y）2 ，（xy）2 ，4xy _（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決

12、如下問(wèn)題：若 x+y=4，xy=3，則（xy）2 = _ 23已知圖甲是一個(gè)長(zhǎng)為 2m，寬為 2n 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均 勻分成四小塊長(zhǎng)方形，然后按圖乙的形狀拼成一個(gè)正方形 （1）你 認(rèn)為圖乙中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于多少？_ （2）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖乙中陰影部分的面積方法一： _ ；方法二： _ （3） 觀察圖乙，你能寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？ （m+n）2；（mn）2 ； mm（4） 根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若 a+b=8，ab=5，求（ab）2的值完全平方公式的幾何背景專(zhuān)題訓(xùn)練試題精選參考答案與試題解析一選擇題（共 6 小題）1（2010丹東）圖是

13、一個(gè)邊長(zhǎng)為（m+n）的正方形，小穎將圖中 的 陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的式子是（ ）a（ m+n）2 b（ m+n）2 c（ m （m （m2+n2 ）d（ m+n）n）=m2n）2+2mn=m2+n2（m n）2=4mn=2mnn2考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)計(jì)算題；壓軸題題：分 根據(jù)圖示可知，陰影部分的面積是邊長(zhǎng)為 m+n 的正方形減去中間 析： 白色的正方形的面積 m2+n2，即為對(duì)角線分別是 2m，2n 的菱形的面積據(jù)此即可解答解答：點(diǎn)評(píng)：解：（m+n）2（m2+n2 ）=2mn故選 b本題是利用幾何圖形的面積來(lái)驗(yàn)證（m+n）2（m2+n2）=2mn， 解題

14、關(guān)鍵是利用圖形的面積之間的相等關(guān)系列等式2利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式例如，根據(jù)圖甲，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a+b ）2=a2+2ab+b2你根據(jù) 圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是（ ）a（ a+b）（a b）=a2 b2b（ ab） 2ab+b22=a2c a（a+b） =a2+abd a（ab） =a2ab考點(diǎn)：分完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有根據(jù)圖形，左上角正方形的面積等于大正方形的面積減去兩個(gè)矩析： 形的面積，然后加上多減去的右下角的小正方形的面積解答：點(diǎn)解：大正方形的面積=（ab）2，還可以表示為 a22ab+b2，（ab）2=a2 2ab+b2 故選 b正確列

15、出正方形面積的兩種表示是得出公式的關(guān)鍵，也考查了對(duì)評(píng)： 完全平方公式的理解能力3如圖，你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（ ）a a2b（ a+b）2 =a2+2ab+b2 c（ ad a（a+b）b2=（a+b ） （ab）b）2=a2 2ab+b2=a2+ab考點(diǎn)：分析：解答：點(diǎn)完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有根據(jù)圖形得出陰影部分的面積是（ab）2 和 b2，剩余的矩形面積 是（ab）b 和（ab）b，即大陰影部分的面積是（ ab）2，即 可得出選項(xiàng)解：從圖中可知：陰影部分的面積是（ab）2 和 b2，剩余的矩形 面積是（ab）b 和（ab）b，即大陰影部分的面積是（ab）2，（ab）2

16、=a2 2ab+b2 ，故選 c本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和轉(zhuǎn)評(píng)： 化能力，題目比較好，有一定的難度4如圖（1），是一個(gè)長(zhǎng)為 2a 寬為 2b（ab）的矩形，用剪刀沿矩形的 兩條對(duì)角軸剪開(kāi)，把它分成四個(gè)全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一 個(gè)新的正方形，則中間空白部分的面積是（ ）a ab b（ a+b）2c（ ab）2d a2b2考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 先求出正方形的邊長(zhǎng)，繼而得出面積，然后根據(jù)空白部分的面積= 析： 正方形的面積矩形的面積即可得出答案解解：由題意可得，正方形的邊長(zhǎng)為（a+b），答： 故正方形的面積為（a+b）2 ，又原矩形的面積

17、為 4ab，中間空的部分的面積=（a+b ）2 4ab=（ab）2 故選 c點(diǎn)此題考查了完全平方公式的幾何背景，求出正方形的邊長(zhǎng)是解答評(píng)： 本題的關(guān)鍵，難度一般5如圖的圖形面積由以下哪個(gè)公式表示（ ）a a2b（ a考點(diǎn)：分析：c（ a+b）2=a2+2ab+b2 d a2 b）2=a2 b2=a（ab）22ab+b+b（ab）完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有通過(guò)圖中幾個(gè)圖形的面積的關(guān)系來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)b2 =（a+b） （ab）解答：點(diǎn)解：根據(jù)圖形可得出：大正方形面積為：（a+b）2，大正方形面 積=4 個(gè)小圖形的面積和=a2+b2+ab+ab，可以得到公式：（a+b）2 =a2+2ab+b2

18、 故選：c本題考查了完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，運(yùn)用圖形的面積表示是解評(píng)： 題的關(guān)鍵6如果關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 x2 mx+16 是一個(gè)完全平方式，那么 m 的值是（ ）a 8 或8 b 8 c 8 d 無(wú)法確定考點(diǎn)：分完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)列式求解即析： 可解答：解：x2 mx+16 是一個(gè)完全平方式， mx=24x，解得 m=8故選 a點(diǎn) 本題是完全平方公式的考查，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們 評(píng)： 積的 2 倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式注意積的 2 倍的符號(hào)，避免漏解二填空題（共 7 小題）7（2014玄武區(qū)二模）如圖，在一個(gè)矩形中

19、，有兩個(gè)面積分別為 a2、b2（a0，b0）的正方形這個(gè)矩形的面積為 （a+b）2（用含a、b 的代數(shù)式表示）考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 求出大正方形的邊長(zhǎng)為 a+b，再利用正方形的面積公式求 解 析：解 解；兩個(gè)小矩形的長(zhǎng)為 a，寬為 b， 答： 正方形的邊長(zhǎng)為：a+b它的面積為：（a+b）2故答案為：（a+b）2點(diǎn) 本題主要考查完全平方公式的幾何表示，運(yùn)用不同方法表示陰影 評(píng)： 部分面積是解題的關(guān)鍵8如圖，邊長(zhǎng)為（m+2）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為 m 的正方形之 后，剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），若拼成的矩形一邊 長(zhǎng)為 2，則另一邊長(zhǎng)是 2m+2 （用含 m

20、 的代數(shù)式表示）考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)幾何圖形問(wèn)題題：分 由于邊長(zhǎng)為（m+2）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為 m 的正方形之 析： 后，剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），那么根據(jù)正方形的面積公式，可以求出剩余部分的面積，而矩形一邊長(zhǎng)為 2， 利用矩形的面積公式即可求出另一邊長(zhǎng)解 解：依題意得剩余部分為答： （m+2）2m2=m2+4m+4m2=4m+4，而拼成的矩形一邊長(zhǎng)為 2，另一邊長(zhǎng)是（4m+4）2=2m+2故答案為：2m+2點(diǎn)本題主要考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題關(guān)鍵是熟悉除法法則評(píng)：9有兩個(gè)正方形 a，b，現(xiàn)將 b 放在 a 的內(nèi)部得圖甲，將 a，b 并列放置

21、后構(gòu)造新的正方形得圖乙若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為 1 和 12，則正方形 a，b 的面積之和為 13 考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 設(shè)正方形 a 的邊長(zhǎng)為 a，正方形 b 的邊長(zhǎng)為 b，由圖形得出關(guān)系式 析： 求解即可解 解：設(shè)正方形 a 的邊長(zhǎng)為 a，正方形 b 的邊長(zhǎng)為 b，答：由圖甲得 a2b22（ab）=1 即 a2+b22ab=1，由圖乙得（a+b）2a2b2=12，2ab=12，所以 a2+b2=13，點(diǎn)故答案為：13本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖評(píng)： 形得出數(shù)量關(guān)系10如圖 1 和圖 2，有多個(gè)長(zhǎng)方形和正方形的卡片，圖 1 是選取

22、了 2 塊不 同 的卡片，拼成的一個(gè)圖形，借助圖中陰影部分面積的不同表示可以 用來(lái)驗(yàn)證等式 a（a+b）=a2+ab 成立根據(jù)圖 2，利用面積的不同表示方法，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式 （a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)計(jì)算題題：分 表示陰影部分的面積有兩種方法：大長(zhǎng)方形的面積=（a+b） 析： （a+2b），3 個(gè)正方形的面積加上 3 個(gè)矩形的面積a2 +ab+ab+ab+b2+b2 ，推出即可解 解：由圖 2 可知：陰影部分的面積是：（a+b）（a+2b），答：點(diǎn)a2 +ab+ab+ab+b2+b2=a2+2b2 +3ab，（a+b）（a+2b

23、）=a2+2b2+3ab，故答案為：（a+b）（a+2b）=a2+2b2 +3ab本題考查了完全平方公式的幾何背景的應(yīng)用，關(guān)鍵是檢查學(xué)生能評(píng)： 否正確表示圖形中陰影部分的面積，題目具有一定的代表性，考 查了學(xué)生的理解能力、觀察圖形的能力等11如圖，正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)為 a 米，中央有一個(gè)正方形的水池，水池 四周有一條寬度為的環(huán)形小路，那么水池的面積用含 a、b 的代數(shù)式可表示為a2 4ab+4b2 或（a2b）2平方米考點(diǎn)：專(zhuān)題：分完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有幾何圖形問(wèn)題根據(jù)圖示計(jì)算出中央正方形的水池的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的面析： 積公式來(lái)計(jì)算水池的面積解 解：水池的邊長(zhǎng)是：a2b，答：

24、 所以，正方形水池的面積是（a2b）（a2b）=a 2 4ab+4b2 或 （a2b）（a2b）=（a2b）2 故答案是：a2 4ab+4b2 或（a2b）2 點(diǎn)本題考查對(duì)完全平方公式幾何意義的理解解題時(shí)，主要圍繞圖評(píng)： 形面積展開(kāi)分析12如圖，請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（ a+b）2 、（ab）2、ab 之間的等量關(guān)系是 a+b）2=（ab）2+4ab考點(diǎn)：分析：完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有通過(guò)觀察圖形知：（a+b）2 ，（ab）2，ab 分別表示的是大正方 形、空白部分的正方形及小長(zhǎng)方形的面積解 解：由圖可以看出，大正方形面積=陰影部分的正方形的面積+四 答： 個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，即：（a+b

25、）2=（ab）2+4ab，故答案為：（a+b）2 =（ab）2+4ab點(diǎn)此題考查了學(xué)生觀察、分析圖形解答問(wèn)題的綜合能力，關(guān)鍵是通評(píng)： 過(guò)觀察圖形找出各圖形之間的關(guān)系13如圖，長(zhǎng)為 a，寬為 b 的四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，且大正方形的面積為 64，中間小正方形的面積為 16，則 a= 6 ，b= 2 考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 先求出大正方形的邊長(zhǎng)為：a+b，小正方形的邊長(zhǎng)為：ab，再列 析： 出方程組求解解 解：大正方形的邊長(zhǎng)為：a+b，小正方形的邊長(zhǎng)為：ab 答：即：解得故答案為：6，2點(diǎn)本題的關(guān)鍵是求出大正方形的邊長(zhǎng)和小正方形的邊長(zhǎng)列出方程評(píng)： 組三解答題（共 10

26、 小題） 14閱讀學(xué)習(xí)： 數(shù)學(xué)中有很多等式可以用圖 形的面積來(lái)表示如圖 1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3mn+2n2，（1）觀察圖 2，請(qǐng)你寫(xiě)出（ a+b）2，（ab）2，ab 之間的關(guān)系（a+b）2（ab）2=4ab （2）小明用 8 個(gè)一樣大的長(zhǎng)方形，（長(zhǎng)為 a，寬為 b），拼成了如圖甲乙 兩種圖案，圖案甲是一個(gè)正方形，圖案甲中間留下了一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正 方形；圖形乙是一個(gè)長(zhǎng)方形a2 4ab+4b2 = 4 ab= 60 考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合分析：解答：點(diǎn)根據(jù)圖形的面積公式來(lái)進(jìn)行分析即可得到解：（1）（a+b ）2（ab）2=4ab；（2）4

27、 ab=60該題目考查了利用圖形的面積來(lái)得到數(shù)學(xué)公式，關(guān)鍵是靈活進(jìn)行評(píng)： 數(shù)學(xué)結(jié)合來(lái)分析15【學(xué)習(xí)回顧】我們已經(jīng)知道，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說(shuō)明完 全平方公式，說(shuō)明如下：如圖 1，正方形 abcd 的面積=正方形 ebnh 的面積+（長(zhǎng)方形 aehm 的面積+長(zhǎng)方形 hncf 的面積）+正方形 mhfd 的面積即：（a+b）2 =a2+2ab+b2 【思考問(wèn)題】還有一些等式也可以用上述方式加 以說(shuō)明，請(qǐng)你嘗試完成如圖 2，長(zhǎng)方形 abnm 的面積=長(zhǎng)方形 ebcf 的面積+長(zhǎng)方形 aefd 的面積 長(zhǎng)方形 hncf 的面積 正方形 mhfd 的面積，即：（2ab）（a+b）= 2a2abb

28、2【嘗試實(shí)踐】計(jì)算（2a+b）（a+b）= 2a2 畫(huà)圖并說(shuō)明考完全平方公式的幾何背景+3ab+b2仿照上述方 法，點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 （1）利用長(zhǎng)方形 abnm 的面積=長(zhǎng)方形 ebcf 的面積+長(zhǎng)方形 aefd 析： 的面積長(zhǎng)方形 hncf 的面積正方形 mhfd 的面積計(jì)算（2）利用長(zhǎng)方形 abcd 的面積=正方形 gbhf 的面積+正方形 fhqn 的面積+長(zhǎng)方形 agfe 的面積+長(zhǎng)方形 efnm 的面積+長(zhǎng)方形 nqco 的面積+正方形 mnod 的面積計(jì)算解 解：（1）長(zhǎng)方形 abnm 的面積=長(zhǎng)方形 ebcf 的面積+長(zhǎng)方形 aefd 答： 的面積長(zhǎng)方形 hncf 的面積正方

29、形 mhfd 的面積，即：（2ab）（a+b）=2a2 abb2故答案為：正方形 mhfd ，2a2abb2 （2）（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 如圖，點(diǎn)故答案為：2a2 abb2本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是通過(guò)幾評(píng)： 何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)公式做出幾何解釋16閱讀下列文字，我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形 的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖 1 可以得到（a+2b）（a+b） =a2+3ab+2b2 請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出圖 2 中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c ）2 =a2 +b2+c2 +2ab+2ac+2bc ；（2） 利用（1）

30、中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知 a+b+c=11 ， ab+bc+ac=38 ，求 a2+b2 +c2 的值；（3） 圖 3 中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為 a 和邊長(zhǎng)為 b 的小正方形紙片若干個(gè)長(zhǎng) 為 a 和寬為 b 的長(zhǎng)方形紙片，利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形，使得計(jì) 算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式：2a2 +5ab+2b2 =（2a+b）（a+2b）考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 （1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫(xiě)出 析： 等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫(xiě)出等式作為整式代入即可求出（3）找規(guī)律，根據(jù)公式畫(huà)出圖形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，

31、使它滿足所 給的條件（2）根據(jù)利用（1）中所得到的結(jié)論，將 a+b+c=11 ，ab+bc+ac=38解 解：（1）根據(jù)題意，大矩形的面積為：（a+b+c）（a+b+c）答：=（a+b+c）2，各小矩形部分的面積之和=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，等式為（a+b+c ）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （2）a2+b2+c2 =（a+b+c）2 2ab2ac2bc =112 238=45（3）如圖所示點(diǎn)本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據(jù)矩形的面積公式分整評(píng)： 體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據(jù)同一個(gè)圖形的面積相等即可解答17如圖 1，將一個(gè)長(zhǎng)為 4a，寬為 2b

32、 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線均勻分成 4 個(gè) 小長(zhǎng)方形，然后按圖 2 形狀拼成一個(gè)正方形（1）圖 2 的空白部分的邊長(zhǎng)是多少？（用含 ab 的式子表示） （2）若 2a+b=7，且 ab=3，求圖 2 中的空白正方形的面積 （3）觀察圖 2，用等式表示出（ 2ab）2，ab 和（2a+b）2 的數(shù)量關(guān) 系考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 （1）觀察由已知圖形，得到四個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 2a，寬為 b，那 析： 么圖 2 中的空白部分的正方形的邊長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去小長(zhǎng)方形的寬（2） 通過(guò)觀察圖形，大正方形的邊長(zhǎng)為小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的和 圖 2 中空白部分的正方形的面積為大正方形的面積減去四個(gè)

33、小長(zhǎng)方 形的面積（3） 通過(guò)觀察圖形知：（2a+b）2 （2ab）2 8ab分別表示的 是大正方形、空白部分的正方形及小長(zhǎng)方形的面積解 解：（1）圖 2 的空白部分的邊長(zhǎng)是 2ab答： （2）由圖 212 可知，小正方形的面積 =大正方形的面積4 個(gè)小 長(zhǎng)方形的面積，又4 個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和=大長(zhǎng)方形的面積=4a2b=8ab=83=24，小正方形的面積=（2ab）2 =4924=25（3）由圖 2 可以看出，大正方形面積=空白部分的正方形的面積 +四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積即：（2a+b）2（2ab）2=8ab大正方形的邊長(zhǎng)=2a+b=7 ，大正方形的面積=（2a+b）2=49，點(diǎn)此題考查了學(xué)生觀察

34、、分析圖形解答問(wèn)題的綜合能力，以及對(duì)列評(píng)： 代數(shù)式、代數(shù)式求值的理解與掌握關(guān)鍵是通過(guò)觀察圖形找出各圖形之間的關(guān)系18動(dòng)手操作：如圖是一個(gè)長(zhǎng)為 2a，寬為 2b 的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線剪開(kāi)分成四個(gè)大 小相等的長(zhǎng)方形，然后按照?qǐng)D所示拼成一個(gè)正方形提出問(wèn)題：（1） 觀察圖，請(qǐng)用兩種不同的方法表示陰影部分的面積；（2） 請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（ab）2，ab 之間的一個(gè)等量關(guān) 系 問(wèn)題解決：根據(jù)上述（2）中得到的等量關(guān)系，解決下列問(wèn)題：已知：x+y=6，xy=3求：（xy）2 的值考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)幾何圖形問(wèn)題題：分 （1）第一種方法為：大正方形面積4 個(gè)小長(zhǎng)方形面積

35、，第二種 析： 表示方法為：陰影部分正方形的面積；（2）利用（a+b ）24ab=（ab）2 可求解解 提出問(wèn)題： 答： 解：（1）（a+b ）24ab 或（ab）2（2）（m+n）2 4mn=（mn）2 問(wèn)題 解決：（3）（xy）2=（x+y）24xyx+y=6，xy=3點(diǎn)（xy）2 =369=25本題考查了完全平方公式的幾何背景解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題評(píng)： 意，找到所求的量的等量關(guān)系本題更需注意要根據(jù)所找到的規(guī) 律做題19圖是一個(gè)長(zhǎng)為 2a，寬為 2b 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線剪開(kāi)，可分成四 塊小長(zhǎng)方形（1）將圖中所得的四塊長(zhǎng)為 a，寬為 b 的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形 （如圖）請(qǐng)利用圖中陰影部分

36、面積的不同表示方法，直接寫(xiě)出代 數(shù)式（a+b）2 、（ab）2、ab 之間的等量關(guān)系是 （ab）2=（a+b）2 4ab ；（2）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：已知 m+n=8，mn=7，則 mn= 6 ；（3）將如圖所得的四塊長(zhǎng)為 a，寬為 b 的小長(zhǎng)方形不重疊地放在長(zhǎng)方形 abcd 的內(nèi)部（如圖），未被覆蓋的部分（兩個(gè)長(zhǎng)方形）用陰影表示若左下角與右上角的陰影部分的周長(zhǎng)之差為 4，且小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為 8，則每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為3 考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 （1）利用大正方形的面積減 4 個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于小正方形的析： 面積求解；（2）利用公式（mn）2=（

37、m+n）24mn 求解即可；（3）由左下角與右上角的陰影部分的周長(zhǎng)之差為 4，得出 b 的值即可求出小長(zhǎng)方形的面積8b+4a=4，由小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為 8，得出 2（a+b）=8，聯(lián)立得出 a，解解：（1）（ab）2=（a+b）24ab答： 故答案為：（ab）2 =（a+b）24ab （2）m+n=8，mn=7，（mn）2=（m+n）24mn=6428=36， mn=6 故答案為：6（3）設(shè)長(zhǎng)方形 bc 為 m，cd 為 n， 右上角部 分的陰影周長(zhǎng)為：2（na+m a）左下角部分的陰影周長(zhǎng)為：2（m2b+n2b） 左下角與右上角的陰影部分的周長(zhǎng)之差為 4，8b+4a=4， 又2（a+b）=8，

38、 解得 a=3， b=1， 每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為 ab=31=3 故答案為：3點(diǎn)本題考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是通過(guò)幾何圖評(píng)： 形之間的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題20把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)圖形面積的計(jì)算，常?？梢?得到一些有用的式子，或可以求出一些不規(guī)則圖形的面積（1）如圖 1，是將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c 的正方形，試用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)（2）如圖 2，是將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a 和 b 的正方形拼在一起，b、c、g 三點(diǎn)在同一直線上，連接 bd 和 bf，若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足 a+b=10 ， ab=20，

39、你能求出陰影部分的面積嗎？考完全平方公式的幾何背景點(diǎn)：菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分 （1）此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法一 析： 種可以是 3 個(gè)正方形的面積和 6 個(gè)矩形的面積，種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c ）2=a2+b2 +c2+2ab+2bc+2ac ，（2）利用 s 陰影 =正方形 abcd 的面積+正方形 ecgf 的面積三 角形 bgf 的面積三角形 abd 的面積求解解答：（1）（a+b+c ）2 =a2 +b2+c2 +2ab+2bc+2ac （2）a+b=10，ab=20，s 陰影 =a2+b2 （a+b）ba2 =a2+點(diǎn)b2ab=（a+b）2ab=10

40、2 20=5030=20本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分評(píng)： 割與拼合，會(huì)用不同的方法表示同一圖形的面積21閱讀材料并填空： 我們知道，完全平方式可以用平面幾何圖形的 面積來(lái)表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式樣也可以用這種形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用圖（1），或圖（2）等 圖形的面積表示請(qǐng)你寫(xiě)出圖（3）所表示的代數(shù)恒等式 （x+y）2=x2+2xy+y2請(qǐng)你寫(xiě)出圖（4）所表示的代數(shù)恒等式 （2a+b）（a+2b） =2a2+5ab+2b2 考點(diǎn)：分析：完全平方公式的幾何背景菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式求出即可解 解：圖（3）所表示的代數(shù)恒等式是（x+y）（x+y）答：=（x+y）2=x2+2xy+y2，圖（4）所表