2016講彈性力學試的題目及問題詳解1匯總情況

1、2012年度彈性力學與有限元分析復(fù)習題及其答案一、填空題1、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、 形變和位移。2、在彈性力學中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時為正，縮短時為負，與正應(yīng)力的正負號規(guī)定相 適應(yīng)。3、在彈性力學中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時為正，變大時為負，與切應(yīng)力的正負號規(guī) 定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應(yīng) 和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是 L-1MT-2。5、彈性力學的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應(yīng)力問題和

2、平面應(yīng)變問題。10、在彈性力學里分析問題，要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三 套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、 應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。2、平面問題分為和。平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題6、 在彈性力學中規(guī)定，切應(yīng)變以 時為正，時為負，與的正負號規(guī)定相適應(yīng)。直角變小 變大切應(yīng)力7、 小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象中有兩個特點：一是 ，即孔附近的應(yīng)力遠大于遠處的應(yīng)力，或遠大于無孔時的應(yīng)力。二是 ，由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動范圍主要

3、集中在距孔邊 1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)?？赘浇膽?yīng)力高度集中， 應(yīng)力集中的局部性四、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的 應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1）匚 xx By，匚廠Cx Dy，幼二 Ex Fy ；(2) 二x=A(x2 y2)，二廠B(x2 y2)，xy =Cxy ；其中，A, B, C, D, E, F為常數(shù)解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件:(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程冬=0:y.:x(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程-y =0 ； ( 3)在邊界上的應(yīng)力邊界條件l；x m yx s=f x S1 xy s 異 y S(4)

4、對于多連體的位移單值條件。(1) 此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F, D=-E。此 外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。(2) 為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=O;為了滿足平衡微分方程，其系 數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量二x=-Qxy2Cx3，二嚴-號C?xy2 ,xy = -C2y3-C3X2y，體力不計，Q為常數(shù)。試利用平衡微分方程求系數(shù) Ci, C2, C30解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程=0:y，!_xyxex.刁:x=0( 2 2 2 2-Qy +3C1x -3C2y -C3x =0廠 3C2x

5、y-2C3xy=0g-Cs x2-(Q+3C2 ”2=0由x, y的任意性，得J3Cby2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解 決什么問題（體力不計，b=0 ）。O1h/2xh/2.l/2l/2解：將應(yīng)力函數(shù)：:=by2代入相容方程-2-2x :y可知，所給應(yīng)力函數(shù)=by2能滿足相容方程。由于不計體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為：2：2：2匚 X=2b，二 y =T = , - xy0cyexcxy對于圖示的矩形板和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四 個邊上的面力分別為：上邊,hy=匚，匸 ,m=-1,fx=-(Jy)h=0,fy=-(by)h=0；yy 二2 2h

6、下邊，y 七,l =0 , fxJy) h=0 , fy=y)h=0 ；2rr左邊,lx_2，吩0，by-2b, f嚴-cxi =0 ；-2右邊，x -小，1 -1,m-0 ,fx（-x）i-2b ,fy Cxy）|-0。2x. .x-2 2可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此,應(yīng)力函數(shù)=by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布壓力（b0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù) -axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解 決什么問題（體力不計，a=0 ）。解：將應(yīng)力函數(shù)即=axy代入相容方程；4 ；4 ；4+2+=02 - 2x ；y_x4可

7、知，所給應(yīng)力函數(shù)=axy能滿足相容方程。由于不計體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為cx 廠0，二 y 廠0矽ex，-xyacxcy對于圖示的矩形板和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四 個邊上的面力分別為：上邊,h二，2。，心1 ,，fy+）；下邊,h廠2，F(xiàn)，心，心=a，fy*y)y 廠0 ；左邊,|X=；,匸一1, m=0 , fx=(J) l =0 , fy=xy)x 二21 =a ；x=2右邊,lx ,1 二1 , m=0 ,fx 十 x) l =0 , fy =( xy)x =21 - -a。 x =2可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受有向右和向

8、左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù) axy能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。即設(shè)二x=0。由此可知解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓,將上式對y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達式x,y =(x)y f2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得44d fi(x) d f2(x)門y 440dx4 dx4這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解(全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它)，可見它的系數(shù)和自由項都應(yīng)該等于零，即44d fi(x) 0d f2(x) 00 ，dxdx這兩個方程要求f2 (x) = Dx

9、3 Ex2 Jx Kf1(xAx3 Bx2 Cx I，代入應(yīng)力函數(shù)表達式，并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得二y(Ax3 Bx2 Cx) Dx3 Ex2對應(yīng)應(yīng)力分量為:y=0.:2 /=y(6Ax 2B) 6Dx 2E-gy.x刑2-xy = -= _3Ax 2 BxCddy以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，x=0，2T， m=0，沿y方向無面力，所以有-(xy)x=0=C=O右邊，x =b , I =1, m=0，沿y方向的面力為q,所以有(xy)x 廠-3Ab2-2Bb=q上邊，y 乂，I=0, m=-1，沒有水平面力，這就要求,Xy在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即

10、b0( xy)yd0將.xy的表達式代入，并考慮到C=0,則有f( _3Ax 2-2 Bx) dx二-Ax3 -Bx2 0=- Ab3 -Bb2 =0b而Cxy)y衛(wèi)0dX=0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求二y在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即bbfy)y 衛(wèi) dX=0 ,fy Xdx。將二y的表達式代入，則有(6Dx +2 E)dx=3Dx2 +2Ex 0 Db2 +2Eb=0f(6Dx +2E)xdx=2Dx3 +Ex2 b =2Db3 +Eb2 =0由此可得A 牛，B =q，C =0，D =0，E =0 b2b應(yīng)力分量為x)x( x 、j=0, J=2qy

11、1-3-比y, j丸 3-2bi b丿bl b丿雖然上述結(jié)果并不嚴格滿足上端面處(y=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠 離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為枱 3 I 22. 3=ax bx y cxy dy相應(yīng)的應(yīng)力分量表達式為E22申；x =-xfx=2cx 6dy, - y - 2 _yfy =6ax 2by - gy,xy 2bx-2cydyexcxdy這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當選擇各個系數(shù),是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y=0 ,1=0, m1，

12、沒有水平面力，所以有-（xy） y=2bX=0對上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有 4Cy）y=6a0對上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見a=0因此，應(yīng)力分量可以簡化為-x =2cx 6dy，二 產(chǎn)一:gy， xy *2cy斜面，y=xtana， |=cos|- 代 i U-si， m=coSM Aco歹，沒有面力，所以有 :、2丿1 二x m yx y*n：.=my 1 xy yKa/O由第一個方程，得-J2cx 6dxtan： sin：- 2cxtan： cos： =-4cxsin: -6dxtan： sin： =0對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求-4c-6dt

13、a n： =0由第二個方程，得2cxtan ： sin - gxtan ： cos： =2cxtan： sin: - gxsin ： =0對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求2ctan：-g=0 （ 1 分）由此解得從而應(yīng)力分量為:gcot：1 2（1 分）， d=_ Pgcot a3-尸:gxcot： -2gycot2：,匚y _gy,gycot：力引起，應(yīng)當與Cg成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當與成正比。此外，每Jg和的量綱是l-2mt-2,一:：是量綱一的設(shè)三角形懸臂梁的長為I，高為h,則tan: ?。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束1反力沿x方向的分量為0,沿y方向的

14、分量為glh。因此，所求匚x在這部分邊界上2合成的主矢應(yīng)為零,xy應(yīng)當合成為反力-丄?glh。2dyglcot：2 gycot dy二 plhcot：；-卜gh2cot2 ： =0x 0hh1210 xy xdy= 0 -gycot： dy = ?gh cot：可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角:，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為：-2，試求應(yīng)力分量。x解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力 分量的函數(shù)形式。取坐標軸如圖所示。在楔形體的任意 一點，每一個應(yīng)力分量都將由兩部分組成： 一部分由重部

15、分還與，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是L-1MT-2,量，而x和y的量綱是L,因此，如果應(yīng)力分量具有多項式的解答，那么它們的表達式 只可能是A 1 gx , B ：1gy , C 2gx , Dlgy四項的組合，而其中的A, B, C, D是量綱 一的量，只與：有關(guān)。這就是說，各應(yīng)力分量的表達式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長度量綱高二 次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问?，因此，假設(shè)=ax3 bx2 y cxy2 dy3c Xfx =2cx+6dy, y相應(yīng)的應(yīng)力分量表達式為Cac_yfy=6ax+2by Pigy, ixy=_2bx_2cy.x:x

16、 :y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。 現(xiàn)在來考察，如果適當選擇各個系數(shù), 是否能滿足應(yīng)力邊界條件。左面，x=0 , l - -1 , m=0，作用有水平面力2gy，所以有-（二 x）x =-6dy hgy對左面的任意y值都應(yīng)成立，可見d亠6同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有-（xy）x=2cy=0對左面的任意y值都應(yīng)成立，可見c=0因此，應(yīng)力分量可以簡化為6=-：2gy，- y=6ax 2by- dgy， xy*2bx斜面，x=ytanot， I =cosa，m=cos 二如 i=-sina，沒有面力，所以有 （r,n）代入，可求得應(yīng)力分量:丄.丄二r汀 r2二=0 ；.r! (2Acos2r B) r邊界條件：(1) ；.J T1-0 = 0, r ： lO = 0=0, r， - - 0r -0 r -0 7.0- r =0代入應(yīng)力分量式