初中數(shù)學(xué)競賽教研專題講義設(shè)計：設(shè)主元或指定主元探解賽題

1、2 4初中數(shù)學(xué)競賽教研專題講義設(shè)計：設(shè)主元或指定主元探解賽題設(shè)主元或指定主元探解賽題當(dāng)遇到等式，連等式或多個等式問題時，求解是否會有一致的思路？今天就向大家推薦解決 這類問題的一種比較有效的解題方法-設(shè)主元或指定主元法，供學(xué)習(xí)時借鑒.1.設(shè)主元轉(zhuǎn)化成一元二次方程求根探比例 1 若 x0，y0，且 x-6y=- xy ,則（第二十六屆希望杯初三第 2 試）xy的值為 .解析 ：設(shè) x-6y=-xy=-m 0, 所以 m 0, 所以 xy=m2,x 2 -12 xy +36 y2 = m 2, 所以x2-12 xy +36 y2=xy,所以x2-13 xy +36 y2=0，以 x 為主元，解得

2、x=4y 或 x=9y，所以xy的值為 4 或 9.點評：本題采用設(shè)主元法和指定主元法相結(jié)合的辦法實現(xiàn)了比值的確定. 2.設(shè)主元轉(zhuǎn)化成一元一次方程求代數(shù)式的值例 2 若1 1 1= = ，則 x-2y+z 的值為 . x +1 y +2 z +3（第二十六屆希望杯初三第 1 試）解析：因為1 1 1= = ，所以 x+1=y+2=z+3 設(shè) x+1=y+2=z+3=k， x +1 y +2 z +3所以 x=k-1,y=k-2,z=k-3,所以 x-2y+z=k-1-2k+4+k-3=0,所以 x-2y+z 的值為 0.點評：利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，得到分?jǐn)?shù)的分母相等是解題的第一要領(lǐng)，主動設(shè)元，用主元

3、分別表 示三個字母是解題的根本，代入求值是基本功的體現(xiàn).3.設(shè)主元轉(zhuǎn)化成平方根或算術(shù)平方根求比值例 3 若 a = b 0，則aa 2的值為 （ ）1 / 3= b是 bb 2初中數(shù)學(xué)競賽教研專題講義設(shè)計：設(shè)主元或指定主元探解賽題a.1 b. 0 c. -1 d. 1 或-1 （第二十六屆希望杯初二第 2 試）分析：直接代入似乎無從著手，主動設(shè)元，把問題轉(zhuǎn)化為求一個數(shù)的平方根和算術(shù)平方根問 題，從而實現(xiàn)化陌生為熟悉，解答自然順暢.解：設(shè)a2 40=k0,則 a 是 k 的平方根，所以 a=k或 a=-k，b2 4的算術(shù)平方根，所以 =ka，所以 的值為 1 或-1，所以選 d. b 2點評：正

4、確判斷 a 與 k， b 2 與 k 之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，只要判斷正確，求解合理，答 案自然水到渠成.4.設(shè)主元轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪的運算化簡例 4 化簡2 n +4 -2(2 n ) 2(2 n +3 )的結(jié)果是 ( )a.2n +1-1 7 b. -2 n +1 c.8 8d.74（01 年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）分析：充分逆用同底數(shù)冪的乘法公式，進(jìn)行初步變形，后主動設(shè)元，化簡.解：因為2 n +4 -2(2 n ) 24 2 n -2(2 n )=2(2 n +3 ) 2 (2 n 2 3 )，設(shè)2n16k -2k 7=k，則原式= = ，16k 8所以選 c.點評：正確利用同底數(shù)冪的乘法公式進(jìn)

5、行變形是解題的關(guān)鍵.主動設(shè)元讓解題更貼近常態(tài)學(xué) 習(xí)內(nèi)容，容易提高正確率.5.指定元表示其他字母求代數(shù)式的值例 5 已知 2a=8b=64c，則a -b -c a +b +c= .（第二十六屆希望杯初二第 2 試）分析：要想計算，就必須把底數(shù)化成相同，其次，充分利用變式 5 的結(jié)論，確定準(zhǔn) a,b,c 之間的關(guān)系，求值求輕松了.2 / 3=y+1,且 x y,則 x +y22初中數(shù)學(xué)競賽教研專題講義設(shè)計：設(shè)主元或指定主元探解賽題解：因為 8= 2 3 ，所以 8 b = (2 3 ) b = 23b ，同理可得， 64c= 26 c ，因為2a=8b=64c，所以 23b = 26c = 2 a

6、 ，所以 a=3b=6c,即 a=6c,b=2c，所以原式=6c -2c -c 1= .6c +2c +c 3點評：掌握化不同底數(shù)為同底數(shù)的技巧，活用冪相等，底數(shù)同，則指數(shù)等性質(zhì)，準(zhǔn)確確定好 a,b,c 三者之間的關(guān)系，用最小量表示較大量，為解題創(chuàng)造條件.6.指定常數(shù)元表示其他字母求代數(shù)式的值例 6 已知x2=x+1,y2 3 3的值為 .（第二十六屆希望杯初三第 2 試）分析：已知的等式中都有常數(shù) 1，可以把“1”看成未知數(shù)，分別表示其余字母，從而建立 起新的聯(lián)系，構(gòu)造出解題需要的新條件，為破解題目奠定基礎(chǔ).解：因為 x =x+1, y 2 =y+1,所以 x -x= y 2 -y，所以（x-y）(x+y-1)=0,因為 x y，所以 x+y=1，所以x3 +y 3 =x 2 +x +y 2+y=x+1+y+1+x+y=4.點評：抓住常數(shù) 1 這個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，把獨立的 x,y 構(gòu)建起新的等量關(guān)系，從而為問題的破解找 到新的突破口，這也是解題的一種重要思想和方法.