專題15與極值點(diǎn)偏移有關(guān)的恒成立問題(解析版)

1、備戰(zhàn)2020高考數(shù)學(xué)沖刺秘籍之恒成立與有解問題解法大全第二篇專題十五與極值點(diǎn)偏移有關(guān)的恒成立問題一、問題指引極值點(diǎn)偏移的含義f (2m x)，則函數(shù)f (x)關(guān)于直線x m對(duì)眾所周知，函數(shù) f(x)滿足定義域內(nèi)任意自變量 x都有f(x)稱；可以理解為函數(shù) f(x)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若f(x)為單峰函數(shù)，則x m必為f (x)的極值點(diǎn).如二次函數(shù)f (x)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn) X。，若f (x)c的兩根的中點(diǎn)為兇x2，則剛好有25 / 281 + 如函數(shù)g(x)x的極值點(diǎn)Xo 1剛好在方程g(x) x0，即極值 點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移2若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點(diǎn)偏移

2、：若單峰函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)為m，且函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)x m左側(cè)的任意自變量 x都有f (x) f (2m x)或f (x) f (2m x)，則函數(shù)f (x)極值點(diǎn)m左右側(cè)變化快慢不 同.故單峰函數(shù)f (x)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù) ,x2滿足f(xj f (x2)，則也 x2與極值點(diǎn)m必有確定2的大小關(guān)系：若m e x2，則稱為極值點(diǎn) 左偏；若m xi x2，則稱為極值點(diǎn) 右偏.2 2c的兩根中點(diǎn) 晝 x2的左邊，我們稱之為 極值點(diǎn)左偏21 1們簡單計(jì)算：0也就是說極值點(diǎn)剛好位于兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)處，此時(shí)我們稱極值點(diǎn)相對(duì)中點(diǎn)不偏移21. 若函數(shù)f(X)存在兩個(gè)零點(diǎn)X1,x2且X1 X2，

3、求證：X1 X22X0 ( Xo為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn))；2. 若函數(shù)f(x)中存在X1,X2且X1X2滿足f(xj f(X2)，求證：X1 X2 2Xo( Xo為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn));3. 若函數(shù)f(x)存在兩 個(gè)零點(diǎn)X1,X2且X1 X2，令Xo冷 2，求證：f(Xo) 0 ；4. 若函數(shù)f (X)中存在X1 ,X2且X1X2滿足f(Xj f (X2)，令Xo為 空，求證：f(Xo) 0.2二、方法詳解(一 )基本解法之對(duì)稱化構(gòu)造【例1】已知函數(shù)f (x) xe X(x R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； 若X1 X2，且f(X1) f(X2)，證明：X1 X2 2.【解析】容

4、易求得第 問：3)在上單調(diào)遼増衽(人換上單塢遞減 CM)的極值是/(=-. e第 = /(1十Q ffl 0 = (1十葛“蟲 (1 Re說，則尸仗)=珂*-薩宀1為0時(shí)；F(r)M 鞏力在Q七)上單調(diào)遞協(xié) X(O) = 07 /. r(x)os sn/a+x)y(i-y)-T Xi 疋可,不妳殳西 VJCp 由(1) |D x- 1,.f)=) = fll + (x2-l) /1-(- 1)1 = /(2-)I x2 1 ,. 2 x2 1 , f(x)在(,1)上單調(diào)遞增， 2 x2 ,. x1 x2 2【評(píng)注】該題的二問由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問題的一般方法一一對(duì)稱化

5、構(gòu)造的全過程，直觀展示如下：f x2，X1X2，證明 X1X22.例1是這樣一個(gè)極值點(diǎn)偏移問題： 對(duì)于函數(shù)f x xe x，已知f為再次審視解題過程，發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):C1)捲,X2的范圍0% 1X2 ；(2)不等式 f x f 2 x x 1 ；(3 )將X2代入(2 )中不等式，結(jié)合 f X的單調(diào)性獲證結(jié)論.小結(jié)：用對(duì)稱化構(gòu)造的方法解極佳點(diǎn)偏移問題大致分為以下三步：step1 :求導(dǎo)，獲得f x的單調(diào)性，極值情況，作出f x的圖像，由f & f X2得X1 , X2的取值范圍(數(shù)形結(jié)合)；2 step2:構(gòu)造輔助函數(shù)(對(duì)結(jié)論X1X22xo，構(gòu)造F x f x f2xox ；對(duì)結(jié)論X1X2

6、Xo , 構(gòu)造F x f x f 直)，求導(dǎo)，限定范圍(x1或x2的范圍)，判定符號(hào)，獲得不等式；Xstep3:代入X1 (或X2),利用f洛 f X2及f x的單調(diào)性證明最終結(jié)論.下面給出第(3)問的不同解法【解析】法一：f (x) (1 x)e x，易得f (x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減，x時(shí),1 f(x), f(0)0, x時(shí)，f(x) 0,函數(shù)f(x)在x 1處取得極大值f，且f-,e如圖所示由 f(xjf (X2), X1X2，不妨設(shè)X1X2，則必有0X11 X2，構(gòu)造函數(shù)F(x) f(1X) f(1 X),x (0,1，則 F (x)f(1 X)X2xf (1 X

7、)x 1 (e1)e0 ,所以F(x)在x(0,1上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(0) 0，也即f(1x)f(1x)對(duì)x (0,1恒成立.由0x11X2，則1 X1(0,1，所以 f(1(1 xj)f (2X1)f(1(1 X1)f (X1)f (X2)，即f(2x1)f (X2):，又因?yàn)?2 X!, X2(1,)，且 f(x)在(1,)上單調(diào)遞減，所以2X1X2，即證X1X22.法二：欲證x1X22，即證X22 X1，由法-知0 洛1X2，故 2 x1,X2(1,)，又因?yàn)閒 (x)在(1,)上單調(diào)遞減，故只需證f(X2) f (2 xj，又因?yàn)閒(xjf(X2)，故也即證f(xjf(2 xj ,

8、構(gòu)造函數(shù)H(x) f (x) f (2 x), x (0,1)，則等價(jià)于證明H (x) 0對(duì)x (0,1)恒成立.1 x由 H (x) f (x) f (2 x) (1 e2x 2)0，則 H(x)在 x (0,1)上單調(diào)遞增，所以eH(x)H(1)0，即已證明H(x)0對(duì)x(0,1)恒成立，故原不等式X1X22亦成立.法三：由 f (X1)仏)，得X1e xx2eX2X2 X化簡得eX2,X1不妨設(shè)X2X1，由法一知，0 X11X2 .令 tX2X1，則t0,X2tX1,代入式，得t etX1X1反解出tX1te則 x-i x2 2x1t2tt e-t，故要證:X-IX22 ,即證:2t t

9、 et12,又因?yàn)?1et10,等價(jià)于證明：2t (t 2)(et1)0，構(gòu)造函數(shù)G(t)2t(t2)(et 1),(t0)7 / 281則 G(t) (t 1)d1,G (t) tet 0,故G (t)在t (0,)上單調(diào)遞增，G (t) G (0)0，從而G(t)也在t (0,)上單調(diào)遞增,G(t) G(0)0，即證 式成立，也即原不等式 X! X22成立.法四：由法三中 式，兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)，得X2x,In 空 In x2x-,In x2 In x,In x-,也即 -X2Xi從而X,X2/、In x2 In x,(XiX2)-X2X1X2Xi|門翌X2X,X,X2XiXi構(gòu)造M

10、(t)又令(t)恒成立，故1)，則欲證:(t 1)l nt(1XiX22,等價(jià)于證明:t 1nlnt 2，t2 i2tlnt,(t 1)，則(t)0，(t)在 t (1,t (1,)上單調(diào)遞增，由洛比塔法則知:12tI ntt(t2 ，1)2(t1 Int),由于t 1Int對(duì)t (1,)(t)(1) 0，從而M(t) 0 ,故M (t)在1)I nt:1.(t Iim-X 1(1)I nt) t 1)IimIn ttt1)2，t(t)(t) 2t 2(l nt 1)上單調(diào)遞增，所以tlim M(t) limX 1X 19 / 28即證M(t) 2，即證 式成立，也即原不等式x,x22成立.【

11、點(diǎn)評(píng)】以上四種方法均是為了實(shí)現(xiàn)將雙變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為單變?cè)坏仁?，方法一、二利用?gòu)造新的函數(shù)來達(dá)到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變?cè)?，將兩個(gè)舊的變?cè)紦Q成新變?cè)獊肀硎荆瑥亩_(dá)到消元的目的【類題展示】已知函數(shù)f (X) (X2)eXa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)x-x.證明：x,X22.【解析】由/二（工2府十貳工1幾 得r,w=（x-ix+2a）J可/w在（y.d上單調(diào)遞咸在（1乜）上單調(diào)遞増.要使的數(shù)y =用）有兩個(gè)零點(diǎn)羽冬，則必須應(yīng)丸 法一:構(gòu)造部分對(duì)稱酗頁妬設(shè)西町在，由單謂性知西w（m 可E1*TO）,所以2-eeyc,又V Ax）在（TO.D單調(diào)逛減J故曼證：逝+電=2等價(jià)于證明：=又

12、丁血2_形）=_毛5 +0p 1嚴(yán)，且孑（西）=化20： +疏孔1尸=0J（2 花）呼1F-僱-2W 構(gòu)造跚如=-1一（工論g（lg）,由里調(diào)性可證， 此處略”19 / 28法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)，由已知得:fX1fX20 ,不難發(fā)現(xiàn)x11 ,x21 ,故可整理得:x 2 ex丁，則 gx1gx2xi 2 eX2 2 e2a2廠，設(shè)g xXi1X21那么g x2x 21 x rr3 e ,當(dāng) x 1 時(shí)，g x x 10，g x遞減；當(dāng)x 1時(shí)，g x0，g x遞增.設(shè)m 0，構(gòu)造代數(shù)式:零e1m與e1m山評(píng)1mmm 1設(shè) h m 也 e2m 1，m 0 則 h m m 12m22m 1

13、2m e0，故h m單調(diào)遞增，有h m因此，對(duì)于任意的m 0， g 1m g 1 m .由g間上，不妨設(shè)X1X2，則必有X11 x2 令 m1Xg 11 Xg11 xg 2 X1gX1g因此：g 2X1g X22 X1X2整理得：XX2法三：參變分離再構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)xig x2可知x、x2不可能在g x的同一個(gè)單調(diào)區(qū)0，則有X2，而2為1，x2 1，g x在1,上單調(diào)遞增，2法四：構(gòu)造加強(qiáng)函數(shù)【分析說明】由于原函數(shù)f(x)的不對(duì)稱故希望構(gòu)造一個(gè)關(guān)于直線X = 1對(duì)稱的函數(shù)威 ,使得當(dāng)Ml吋,為XE辦結(jié)合圖象易證原不等式成立【解答】由/(x)=fr-2x + O(x-l)3l r(jd=x-1X+

14、2,故希望構(gòu)造一個(gè)型數(shù)F(Xh使得尸(力=4IX* +如)(兀1) + 2衛(wèi)) = (1)(/ 環(huán) J從而F&)在(中,1)上單謂遞憎在a十眄上單調(diào)遞増，從而構(gòu)造出貞血=(卄血產(chǎn)一廳+ C (左為任竜常數(shù)片眉因?yàn)槲覀兿Ｍ鸉7 而/故取F從而達(dá)到目的.故如響少-S設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為召:S結(jié)合圖象可知：jq X. 1 Xj x+所以再+ p碼+斗=2丿即原不等式得證-法五：利用対數(shù)平均”不等式參變分離得:a (2 Xl)弓(In (x2 1)2ln(2 xj ln(2 x2)2(X2 1)(2 X1) (2 X2) X2)e：，由a 0得，捲1 x? 2,(Xi 1)(x? 1)“、,(2 x1),

15、(2 x2)將上述等式兩邊取以 e為底的對(duì)數(shù)，得ln2 X1 In2 X2,(X11)(X21)化簡得：In(x11)2 ln(x21)2 ln(2 x1) In(2 x2) x1 x2，2 2故 1 ln(X1 1)ln(X2 1) ln(2 xj ln(2 X2)2(X11) (X2 1)晉X1 X2X1 x2由對(duì)數(shù)平均不等式得：ln(2 -xj-ln(2-X2)(2 Xi)(2 X2)ln (Xi-1)2-l n( X2-I)22 2(Xi 1)2 (X21)22(2 Xi) (2 X2)，(Xi 1)2 (X21)2從而12(X1 X22)2 2(X1 1)(X2 1)2(2 X1)(

16、2 X2)2(X1 X22)2 2(X1 1)(X2 1)4 (X1 X2) X1 X224 (X1 X2)2(X1 X22)2 2(X1 1)(X2 1)x1 x2 24 (X1 X2)等價(jià)于：02( X x2 2)x-i x2 2(X1 1)2 (X2 1)24 (Xi X2)(XX22)(Xi21)2 化 1)214 (Xi X2)由(Xi1)2 (X2 1)2 0,4 (XiX2)0，故 XiX22，證畢.(二)含參函數(shù)問題可考慮先消去參數(shù)【例2】已知函數(shù)f (X)In x ax，a為常數(shù)，若函數(shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)X!, x2，試證明：x1 x2 e2.【解析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)

17、問題：f (x)0 In x ax In x aelnx， xx?是方程 f (x)0 的兩根，也是方程 In x aenx 的兩根，則 In xi,1 n x2是 x aex，設(shè) uiIn Xi,u2 Inx2，g(x) xe x，則 g(uj g(U2)，從而XiX2e2In x-iIn x22ui U22，此問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例1,下略.法二：利用參數(shù) a作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù):不妨設(shè)XiX2 ,/ In x-i ax10,In x2ax20 In x In x2a(x1 x2),In x-i In x2 a(x.| X2),In 論 In x2XiX2a ,欲證明X1X22e，即證

18、In XiIn X22.In x-iIn x2 a(x1 x2)，二即證 a2x-ix2原命題等價(jià)于證明In x-i In x2212，即證:x-i x2x1 x2In 2X1X22(Xi X2)X1 x2X-I,(t1)，構(gòu)造X2glnt牛呂譏1，此問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例2中思路二的解答，下略法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù):In x-iIn x2x1x2In x2In x1生,設(shè) xiX2,t 罕(t 1)，則 X2tXi,咚x)x-iIn x-iIn t In x1In x-iI n +反解出：In x1,In x2t 1In tx1In t In 為IntIntt 1tIntt 1故 x-x2e2

19、In x In x22t 1Int 2，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略t 1【點(diǎn)評(píng)】含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，在原有的兩個(gè)變?cè)獂-i, x2的基礎(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù)。【類題展示】設(shè)函數(shù) f(x) a2x - 2a I n ax(a 0)，函數(shù)f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且xA(x-, f (x-), B(X2, f (X2)是f (x)的圖像上不同的兩點(diǎn)，滿足f(x-) f (X2) 0，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xo，證明：axo 1.【解析】 ax0 12X1 X2 -2 aX-X2

20、，又依題意f (x)得f (x)在定義域上單調(diào)遞增，所以要證axo1,只需證f (X2)(a 1)2 0，xf (X-)f (- X2)，a即f (2aX2)f(X2) 0，不妨設(shè)X-X2，注意到1f( ) 0a，由函數(shù)單調(diào)性知,11有 X-, X2aa構(gòu)造函數(shù)F(x)f (- x) f (x)，則 F (x) a(X) f2(x)a4( ax 1)3x2(2 ax)2(x)0，即F(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí), aF(x)F(-)0，從而不等式 式成立，故原af (x2)0,求證：西 ae.X2不等式成立【類題展示】已知函數(shù)f(x) x eax(a 0) ,若存在 X1 , X2 ( X1 X2

21、 )使 f (x1)In xIn y【解析】函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于方的實(shí)根，(x)=XX求導(dǎo)可虬 煮力在上單調(diào)遞增在杠)上里調(diào)遞減,竄力咖二)二2_(i) T證：0-o=(.() = -.rfl)He)e二當(dāng)(r)為増函數(shù),閔)二粼臥eIn x営龍E-,令h(a) =-oln a=(a 0) 2求導(dǎo)由換0的單調(diào)性可得油(吃忘=K) =- -，故不等式吃In a a -丄即證， 2 2也即原不等式畫(A)v 口成立.a*二當(dāng)代4罰時(shí)，a=有一解，記為勺x再證 Xlae. v XlaXl-aXk，而 0為 e x , In x?1，二 兇-aXk空ae.證畢.x2x2ax2In x2x2In x21【類

22、題展示】已知函數(shù) f(x) x aex有兩個(gè)不同的零點(diǎn)Xi,X2，求證： x2 2.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1, x2，所以X1X1 ae1X2(1)x2 ae2(2)由(1)不妨設(shè)(2)得：X1X2a(eX1eX2)，要證明X1 X2 2，只要證明a(e1X1X2得：x1X2a(ee如)，即a-，即證(X1e eX2)e e X| x2 ee2X1X2，記 tX1 X2，則 t o,g1,因此只要證明:再次換元令t In x，即證 Inx(1,構(gòu)造新函數(shù)F(x) Inx，F(xiàn)(1)0，求導(dǎo) F(x)x 14(x 1)2ex2)x(x 1)2(Xi2(etteex1 X2X2)ee

23、0,得 F(x)在(1,遞增，所以F(x) 0，因此原不等式x1 x22獲證.(三)對(duì)數(shù)平均不等式a b2我們熟知平均值不等式：a,b Rab即調(diào)和平均數(shù)”小于等于 幾何平均數(shù)”小于等于 算術(shù)平均值”小于等于 平方平均值等號(hào)成立的條件是a b.(2)我們還可以引入另一個(gè)平均值：對(duì)數(shù)平均值：那么上述平均值不等式可變?yōu)椋簩?duì)數(shù)平均值不等式:以下簡單給出證明：a bln a In ba b, ab ,、ab-In ab a bIn b 2不妨設(shè)a b，設(shè)a bx，則原不等式變?yōu)?J)1In xx 1【例3】設(shè)函數(shù)f(x) ex ax a(a R),其圖象與x軸交于A(Xi,O), B(x2,0)兩點(diǎn)，

24、且為x2.(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(i)證明：f CxxT) 0( f (x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))；【解析】(i) f (x) ex a , x R，當(dāng)a 0時(shí)，f (x) 0在r上恒成立，不合題意當(dāng)a 0時(shí)，易知，x In a為函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，故，f(x)min f (In a) a(2 In a)當(dāng)f (x)min 0，即0 a e2時(shí)，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，故舍去；當(dāng)f (x)min 0，即a e2時(shí)，由f (1) e 0，且f (x)在(，In a)內(nèi)單調(diào)遞減，故f (x)在(1,In a)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；由f (Ina2) a22aInaa

25、 a(a12Ina),2令 y a 1 2I na,a e2，則 y 1 0,故 a12I na e21 4 e230a所以f (I na2) 0,即在(I na,2ln a)有且只有一個(gè)零點(diǎn).(I)由(I)知，f (x)在(，ln a)內(nèi)遞減，在(In a,)內(nèi)遞增，且f (1) e 021/28所以1In a x2 2ln a，因?yàn)閒(Xi)eX1 ax1 a 0， f (X2) eX2 ax2 a 0eX1aX11XX1 1ee1e -，即卩-一1X11X2X21e 2，所以1X2(X11) (X21)ln( X! 1) In(x21) -(X1 l)(X2 1)所以X-|X2(Xi X

26、2)0，要證:0，只須證e巫 a，即NX?In a故，X|X2Xix2 ln(x2 1)所以 2 . x2x2 In(N 1)(x2 1)，所以 ln(NX2x2)1)X1X22、NX2因?yàn)?x1x2 (x1 x2)0，所以 In(X!X2 (x1 x2) 1) ln1 0，而 x22、x20所以 In(x1x2 (x1 x2) 1) x1 x2 2 x1x2 成立，所以 fC/x?)【評(píng)注】根據(jù) 對(duì)數(shù)平均不等式 求解的步驟是：一、通過等式兩邊同取自然對(duì)數(shù)或相減等配湊出In X1 Inx2及X1 X2，二、通過等式兩邊同除以In x1In X2構(gòu)建對(duì)數(shù)平均數(shù)X|X2In x1In x2三、利用

27、對(duì)數(shù)平均不等式將X1X2In x1In x2轉(zhuǎn)化為空X2后再證明x2 2x02(或 X1X22X0).兩種方法各有優(yōu)劣，適用的題型也略有差異【類題展示】已知函數(shù)f X在點(diǎn)1, f處的切線與直線X y 10(1)試比較20162017與20172016的大小，并說明理由;(2)若函數(shù)g x f x k有兩個(gè)不同的零點(diǎn) X1,X2，證明:X1 ?X2【答案】(1)2016201720172016(2)見解析27 / 28【解析】試題分析：(I)求出f 的導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直的條件：斜率相等，艮呵得到切線的斜率和切 點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而f(x)的解析式和導(dǎo)數(shù)，求岀單調(diào)區(qū)i孔可得f(2011(2017),即可得

28、到加啊T與201 的大M(II)運(yùn)用分析法證明，不妨設(shè)X!xi0,由根的罡義可得所以化簡得lnxLd電血氐-0.可得 lnxi-lnxi=k (xj+3u Inx：- lnxz=lc(xi -x：),妾證明，f 即證明 lnxiHnx2,也就：E leg-Q2 求出k,亂證1些1吒令乞=f，則CH即證】n土二II 令h=1時(shí)-竺二IIjq +Xj x.r+1r+1(I1X求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得證.試題解析:1C 又由切線方程可得x a , Inx(1)依題意得f x x，所以x a即1Inx1，解得a 0，此時(shí)f x ”，xInx2 ，x令f X0，即1 Inx 0，解得0x e ;令 f

29、x 0，即 1Inx0，解得x e所以f X的增區(qū)間為0,e，減區(qū)間為e,f 2016f 2017In2016In 20172017 In 20162016201720162017 ，2UI6In2UI7，(2)證明:不妨設(shè)x1 x2 0因?yàn)間Xg X20所以化簡得Inx1kx10，Inx2 kx2可得Inx1Inx2 k x x2 ，Inx-iInx2k x-iX2 .a0InInx22，也就是k2201720162要證明X1X2 e，即證明xX2因?yàn)閗Inx-i Inx2X-| x2，所以即證Inx1X1，令XiX2Inx2x2x1 x2即證IntInt1)，由故函數(shù)h1,是增函數(shù)，所以0

30、，即 Int2 t 1得證.所以x1x2e2【類題展示】已知函數(shù) f(x)In x ax(2 a)x.(I)討論f (x)的單調(diào)性;(Il)設(shè)a 0，證明：當(dāng)0-時(shí),a1f( x)a1f ( x)；a(Ill)若函數(shù)yf (x)的圖像與x軸交于代B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f (滄)0.(III)由 f (X1)f (X2) 0InIn :x1In x22(X1 X2)a(x；故要證f (X0)cX10X0X222 2X1X2x1x2x1X2【解析】(I)( II)略,21a2In x1In x2 2(x1x2)2X2x1 ax12(2 a)XiIn x22ax2(2 a)x2

31、0根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等，此不等式顯然成立,(四)極值點(diǎn)偏移之一題多解【例4】已知f x XIn X mx22(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路證法1:欲證X1X2e2，需證In X1xiX2)aIn x12X1In x2 2(x-| x2)2X2x1x2x21In xiIn x2故原不等式得證x1X2In x1In x2X1X2有兩個(gè)極值點(diǎn)2X1, X2，且 X1 X2,求證：X1X2 eInX2有兩個(gè)極值點(diǎn)x-1 , x2，即函數(shù)x有兩個(gè)零點(diǎn)又fInx mx，所以，x1 , x2是方程0的兩個(gè)不同實(shí)根.于是，有InInx-i mxi x2 mx2(0，解得mIn 捲 In X2

32、x1x2另一方面，由In x1In x2X 0，得 InX2In/ m X2%，從而可得In x2In x1X2X1In 論 In x2X1X2于是，In為 In x2In x2In x1x2x1X2XX1X1X1X2又 0x-ix2，設(shè)t ，則t 1 .因此,X1In x-iIn x2要證In X!In x22,即證：t 1 Int t 11 即:2 t 11時(shí)，有Int 2 t 1 設(shè)函數(shù)t 1Int2 t 1 , t 1，則 h t t 12t 121所以,為1.上的增函數(shù).注意到,0，因此,曰是,2 t 11時(shí)，有Int所以,t 1In X22成立,X x2X29 / 28解法二變換函

33、數(shù)能妙解2證法2:欲證X1X2e ,需證In X1In X22 .若f x有兩個(gè)極值點(diǎn)x- , X2 ,即函數(shù)f x有兩個(gè)零點(diǎn).又x Inx mx，所以，X1 , X2是方程f x0的兩個(gè)不同實(shí)根.顯然 m 0,否則，函數(shù)單調(diào)函數(shù)，不符合題意由In x1 mx-)0In X2 mx20In x-iIn x2 m x1X2 ,即只需證明加（叫+ X；） 2即可即只需證明耳+叫一-左:憫皆岀戀二郭軸帶 m知eV亠0 f故百（劉在工mx）0 丄；T, Bg(x)g = 0 , 3R/F(x) W2由于f (x)=丄即=xr，故/V）在；q4-|TJ討屮-設(shè)叼花，令茸=耳則門叼）f （西）W-解法三構(gòu)

34、造函數(shù)現(xiàn)實(shí)力證法3:由x1, x2是方程f x0的兩個(gè)不同實(shí)根得 mIn x,g X1X2，由于2設(shè)1x1x2，需證明X-|X22e，只需證明X20,e，只需證明f X1X2f x2，即ff x 在 e,解法四證法4:k t1X2X2X2來源:微信公眾號(hào)中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落1,e2 2In x e xr2x e0，故 h x1,e，故0，即fX1 ,x2x1因?yàn)閄2 ,X1e, ,2 e，即X1X2巧引變量（一）設(shè) t1 In x10,1 ,In x21,，則由In x1In x2mx1mx2t1me1t2 met1t2et1t2，設(shè)t20，則 t1kek廠，t2k .欲證x1x2e 1=止卩十

35、J -2（O） r= 2 -e*41 ,Jc= 2 ,即噩證 In + In X. 童 V證.解法五巧引變量（二）證法5:設(shè) t1 ln x10,1 , t2Inx21, ，則由In x-i m%In x2 mx2t1 t2t1met2me2t1t2t2，設(shè)ti0,1 ,則 t,kIn kt2 k 1In k 欲證 x1x2e2,需證 In x11ln x2即只需證明t1t22,即 k 1 Ink 2k 12 k In kk 1In k0，設(shè) g kk 1In k0,1 ，131 / 280 ,故g k在0,1 ，因此g k g 10，命題得證.，求證:【類題展示】已知函數(shù)f(x) x2 (a

36、 2)x alnx，若方程f(x) c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【S?析】證明；法一；由= -(a-2)x-ataxj a2)xa(2xa)x 1)十3故只有2 0時(shí)，方程f(X)=才有兩個(gè)不彳睜的弟1根*/不妨設(shè)西 5，貝t)7滿足彳-(2)碼心耳=cI (a 2)x. _&ln.工=”兩式相;凰得：XJ3 (住一2)珂一口111珂一好+3 2孔+flln JCj =0西+ln曲一在_ In七欲證：f津 空)0 f(a)，結(jié)合f (x)的單調(diào)性，即證： 兇 生 a2 2 2 2222 互 2等價(jià)于證明：X1X22x1X222x2 inl2x12x2x1 In x x2 In x2x2x1 x2x1

37、 X2令t 互,(0 t 1)，構(gòu)造函數(shù)g(t) Int 2t 2,(0 t 1)，求導(dǎo)由單調(diào)性易得原不等式成立, X2t 1法二：接 后續(xù)解：由 得：(X1 X2)(X1 X2) (a 2)( X! X2) al n 互 0X2即;5+卻-3-2)-_=0忑由羈亀八匕2亠一旦2旳-延 旳+花2A-1)亠Qn玉適 F)二亠3巴-芒) 西一吃 吃 嗎+花 五兩 花 魚+X,蘿證：f土 MO一眄一 Jtj構(gòu)造函數(shù)m(t) Int1)，求導(dǎo)由單調(diào)性易得 m(t) 0在t(0,1)恒成立,又因?yàn)閍 0,捲 x2Xi20成立.法三：接后續(xù)解：視xi為主元,設(shè) g(x)In x In x2x x24X2(

38、x X2)20，再結(jié)合a 0,Xi X20，故f(寧)0成立法四：構(gòu)造函數(shù)h(x)/ a 、f(x)2,a f(-2x),(0 x則h (x)f (| x)f(fX)4x2A、/ a 、(2X)(- X)則g(x)在x (0,X2)上單調(diào)遞增，故g(x) g(X2)037 / 28a0，即 f(a x)2/ a 、f(x)2a從而h(x)在(0,)上單調(diào)遞增，故h(x) h(0)2a對(duì)x (0,)恒成立,2從而 f(x) f (aa、x),(0 x -)，則仏)2f (xjf(ax1),由 X2,a 捲(a,2a),且 f(x)在(-,2)單調(diào)遞增，故冷a為，x0,則卩一口工+1王0#.x 令

39、，(力 0則(2-fl)x+l0, /. x0i 當(dāng)口 A郎寸，令兀)X0,貝|(2時(shí)工+1三0,芷喳丄應(yīng)一 2令/(x)0,則(2-應(yīng))工十 1綜上；當(dāng)陽2時(shí)，y = (x)在,+-W上里lliH希增當(dāng)CT 凸2丿J =在姜上單調(diào)遞増當(dāng)0 A 2対,$=貞對(duì)在;T上單調(diào)遞壇在HD I上單調(diào)遞減.-2 a x(2). f x In xeax2 Inx2 a x ax (x 0) f x2x 1 ax 1當(dāng)a 0時(shí),x 0,yg x 在 o,上單調(diào)遞增，與直線 y m不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故 a 0 x 0 ,則 Ox1 ；令 fx a0，則x 1，故yag x在0,丄上單調(diào)遞增，在a1x2 , a

40、要證122f x00,需證ax0 1 0，即證X。Xx2X2Xaaa又fX1f X2 ，所以只需證f x1f2X ,即證：當(dāng)0 x1時(shí)，aaf -x f x 0 .設(shè) Fxf xf XIn2 axIn ax2 ax2 ,aa單調(diào)遞減.不妨設(shè) A x1, m , B x2 ,m，且0 x1f x222 ax 10 , F xf -x!,a則 F x 1 2a2 ax xx 2 ax21-x f x在0,上單調(diào)遞減,aa1211又 Fff 0，故 Fxaa aax f x 0，原不等式成立. a2、已知函數(shù)2 _xlnx ax x a a R在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（1 ）求a的取值范圍.（

41、2）2 x的兩個(gè)極值點(diǎn)為X1,X2，證明X2 e1【答案】（1）a 0 (2) 2e見解析【解析】試題分析：1極値點(diǎn)轉(zhuǎn)化再導(dǎo)函數(shù)零嵐Eninx+2ax = 0在（Qz）有兩個(gè)不同很變量分離為In yI tlY,利用導(dǎo)數(shù)可得在（o衛(wèi)）上單調(diào)減，在値燉）上單調(diào)増，根協(xié)趙勢(shì)可得函數(shù) 2xlx-導(dǎo)在（）上范劭L在（爲(wèi)+00）上范圍為（斗=0、因此要有兩解，需 制用導(dǎo)數(shù)證明不等式關(guān)漣是構(gòu)造怡當(dāng)?shù)暮瘮?shù)：咒厲用等價(jià)于in碼十I吒2 0&厲+帀）曲,而由靄點(diǎn)可得& -一代入化簡得*兀,令乞二f,則血J ，因此掏造匡1數(shù)旺+花x1r+ 1呦皿-羋卩利用導(dǎo)數(shù)求其最小值為詡）由于”所以命題得證試題解析：（1）依題意，函數(shù)f x的定義域?yàn)?0,，所以方程f x 0在0, 有兩個(gè)不同根即方程lnx 2ax 0在0,有兩個(gè)不同根轉(zhuǎn)化為，函數(shù)g Xlnx與函數(shù)yX2a的圖象在0,上有兩個(gè)不同交點(diǎn)又g X1lnx，即0 xe時(shí)，g x 0,Xe 時(shí)，g x0 ,2 X所以gX在0