中山大學(xué)信息光學(xué)習(xí)題課后答案 習(xí)題234章作業(yè)

1、習(xí)題22.1把下列函數(shù)表示成指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，并畫出頻譜。 f (x) rect(x 2n)n g(x) tri( x 2n)n文檔2.2 證明下列傅里葉變換關(guān)系式:(1) Frect( x)rect( y)sinc( )sinc();(2) F (x) (y)sinc2( )sinc2(); F1( , ); (4) Fsgn(x)sgn(y)Fn (sin nx)；y2)/a22.3 求x和xf (2 x)的傅里葉變換。2.4 求下列函數(shù)的傅里葉逆變換，畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形。H ( ) tri( 1) tri( 1) G( ) rect( /3) rect()2.5證明下列傅里葉變換定

2、理:1f(x,y)f( x, y);1(1)在所在f(x, y)連續(xù)的點(diǎn)上FFf(x,y) F 1F2.6證明下列傅里葉-貝塞爾變換關(guān)系式:(1)若 fr(r)(r ro)，則 Bf(r) 2 訕(2 n);若a r 1時(shí)f,r) 1，而在其他地方為零，則Bfr(r)J-i (2 n ) aJ1(2 n )J2 a a若 B fr(r)F()，則 B fr(r)Be ” Ff(x,y)h(x,y) Ff(x,y)* F(g(x, y)。e2.7設(shè)g(r,)在極坐標(biāo)中可分離變量。證明若f(r,)fr(r)eim則:Ff(r, )( i)meim Hm fr(r)其中H m為m階漢克爾變換：Hm

3、fr(r)rfr(r)Jm(2n )dr。而(，)空間頻率中的極坐標(biāo)。(提示：eiasinxkJk(a)eikx)計(jì)算下列各式的一維卷積。2.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.192.20X 1(1) rect* (2x 3)2(2) rect - 3 * (x 4)* (x 1)2x 1(3) rect*comb( x)2n(4) sin -2rect( x)試用卷積定理計(jì)算下列各式。(2) Fsinc( x)sinc(2x)(1) sinc(x)*sinc( x)用寬度為a的狹縫，對(duì)平面上強(qiáng)度分布f (x)2 cos(2 n 0x)a ,光

4、柵常數(shù)為d，縫數(shù)為N。掃描，在狹縫后用光電探測(cè)器記錄。求輸出強(qiáng)度分布。利用梳狀函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示光柵的透過(guò)率。假定縫寬為計(jì)算下面函數(shù)的相關(guān)。(1)rect rect tri 2x 1 tri 2x 1應(yīng)用傅里葉定理求下面積分。2nx e cos(2 nix)dx2(2) sine (x)sin( n)dx求函數(shù)f (x) rect( x)和 f(x)tri( x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。試求下圖所示函數(shù)的一維自相關(guān)。X試計(jì)算函數(shù)f(x) rect( x 3)的一階矩。證明實(shí)函數(shù)f(x,y)的自相關(guān)是實(shí)的偶函數(shù)，即：Rff(x,y)Rff ( x, y)。求下列廣義函數(shù)的傅里葉變換。(1) st

5、ep(x) (2) sgn(x) (3) sin(2 n 0x)求下列函數(shù)的傅里葉逆變換，并畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形。(1) H (x) tri( x 1) tri( x 1)(2) G(x) rect(x/ 3) rect(x)表達(dá)式p(x, y)g(x, y)*comb comb XY定義了一個(gè)周期函數(shù)，它在x方向上的周期為 X，它在y方向上的周期為 Y。證明p的傅里葉變換可以寫為:-n mG ，X Y其中G是g的傅里葉變換。(b)當(dāng) g(x,y)xy_rect 2 rect 2時(shí)，畫出函數(shù)XYp(x, y)的圖形，并求出對(duì)應(yīng)的傅里葉變換P(,)。習(xí)題33.1設(shè)在一線性系統(tǒng)上加一個(gè)正弦輸

6、入：g(x, y) cos2 n xy)，在什么充分條件下，輸出是一個(gè)空間頻率與輸入相同的實(shí)數(shù)值正弦函數(shù)？用系統(tǒng)適當(dāng)?shù)奶卣鞅硎境鲚敵龅恼穹拖辔弧?.2 證明零階貝塞爾函數(shù) 2J(2 n r)是任何具有圓對(duì)稱脈沖響應(yīng)的線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。對(duì)應(yīng)的本 征值是什么？3.3傅里葉系統(tǒng)算符可以看成是函數(shù)到其他變換式的變換，因此它滿足本章把提出的關(guān)系系統(tǒng)的定義。試問(wèn)：(a) 這個(gè)系統(tǒng)是線性的嗎？(b) 你是否具體給出一個(gè)表征這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？如果能夠，它是什么？如果不能，為什么不能？3.4某一成像系統(tǒng)的輸入是復(fù)數(shù)值的物場(chǎng)分布U(x,y),其空間頻率含量是無(wú)限的，而系統(tǒng)的輸出是像場(chǎng)“等效”物體U(x,

7、y),分布Ui(x,y)?？梢约俣ǔ上裣到y(tǒng)是一個(gè)線性的空間不變換低通濾波器，其傳遞函數(shù)在頻域上的區(qū)間| Bx , | By之外恒等于零。證明，存在一個(gè)由點(diǎn)源的方形陣列所構(gòu)成的它與真實(shí)物體U。產(chǎn)生完全一樣的像 Ui，并且等產(chǎn)供效物體的場(chǎng)分布可寫成:Uo(x, y)U0( , )sinc(n 2BX )sinc(m 2BY )d dn2BXm2By3.5定義：1xyf (0,0)n mf (x, y)dxdy1F (0,0)F( , )d d分別為原函數(shù)f(x,y)及其頻譜函數(shù)F(,)的“等效面積”和“等效帶寬”，試證明：xyg1上式表明函數(shù)的“等效面積”和“等效帶寬”成反比，稱為傅里葉變換反比定

8、理，亦稱面積計(jì)算定理。3.6已知線性不變系統(tǒng)的輸入為：f(x) comb(x)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 rect( /b)。當(dāng)b 1和b 3時(shí),求系統(tǒng)的輸出g(x)，并畫出函數(shù)及其頻譜。3.7對(duì)一個(gè)線性不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為：h(x) 7s in c(7 x)用頻率域方法對(duì)下列的每一個(gè)輸入fi(x)，求其輸出gi(x)(必要時(shí)，可取合理近似)：(1) f1(x) cos 4 n(2) f2(x) cos(4 n)rect( x/75)(4) f4(x) comb(x)*rect(2 x) f3(x)1 cos(8 n)rect( x/75)3.8給定正實(shí)常數(shù) 0和實(shí)常數(shù)a和b，求證:(1)若|b|丄，

9、貝U sinc(x/b)*cos(22 0 |b |n 0x) cos(2 n 0x)若|b|丄，則 丄 sinc(x/b)*cos(22 0|b|n ox) 0若|b| a |，貝U sinc(x/b)*sinc( x/ a)| b | sinc(x/ a)若 | b | 回，則 sinc(x/b)*sinc22(x/a) | b |sinc2(x/a)3.9若限帶函數(shù)f (x)的傅里葉變換在帶寬w之外恒為零，如果|a| -，證明:w3.10丄sinc(x/a)* f(x) f(x) |a|(2)如果|a|丄，上面的等式還成立嗎? w給定一個(gè)線性系統(tǒng)，輸入為有限延伸的矩形波:1g(x) 3c

10、omb(x/3)rect(x/100) *rect( x)若系統(tǒng)脈沖響應(yīng)：h(x) rect( x 1)。求系統(tǒng)的輸出，并繪出傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)、輸出及其頻譜的 圖形。3.11給定一線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波g(x) comb(x/2)rect(x/50) * tri( x)2對(duì)下列傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出：(1) H ( ) rect( / 2)(2) H ( ) rect( /4) rect( / 2)3.12若對(duì)函數(shù)：2h(x) asinc (ax)抽樣，求允許的最大抽樣間隔。3.13證明在頻率平面上一個(gè)半徑為B的圓之外沒有非零的頻譜分量的函數(shù)，遵從下述抽樣定理:

11、g(x, y)nn m 冗 J2n/2B)2(y_m/2B)2, 2 2B 2B 42 B (x n/2B)2 (y m/2B)2習(xí)題44.1尺寸為a b的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠零后的平面上 透射光場(chǎng)的角譜。4.2采用單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過(guò)率函數(shù)的孔徑，求菲涅耳衍射圖樣在 孔徑軸上的強(qiáng)度分布：(1) t(x0,y) circ( ,x0 y) t(x, y。)1, ax：心 10,其它4.3余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過(guò)率為:t(x0) a bcos(2 x0/d)式中，d為光柵的周期，a b 0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)z分別取下述值時(shí)，確定 單色平

12、面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。(1) ZZr2d2d24.4參看下圖，用向P點(diǎn)會(huì)聚的單色球面波照明孔徑。P點(diǎn)位于孔徑后面距離為z的觀察平面上，坐標(biāo)為(0, b)。假定觀察平面相對(duì)孔徑的位置是在菲涅耳區(qū)內(nèi)，證明觀察平面上強(qiáng)度分布是以P點(diǎn)為中心的孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。4.5方向余弦為cos ,cos ,振幅為A的傾斜單色平面波照明一個(gè)半徑為 a的圓孔。觀察平面 位于夫瑯禾費(fèi)區(qū)，也孔徑相距為z。求衍射圖樣的強(qiáng)度分布。4.6環(huán)形孔徑的外徑為2a，內(nèi)徑為2 a(01)。其透射率可以表示為：1, a ro a(ro)0,其他用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求距離為z的觀察屏上夫瑯禾費(fèi)

13、衍射圖樣的強(qiáng)度分布。4.7下圖所示孔徑由兩個(gè)相同的圓孔構(gòu)成。它們的半徑都為 a，中心距離為d (d a)。采用 單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求出相距孔徑為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布并畫出沿y方向截面圖。4.8參看下圖，邊長(zhǎng)為2a的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形掩模，其中心落在(,)點(diǎn)。采用單位振幅的單色平面波垂直照射，求出與它相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)射圖樣的光場(chǎng)分布。畫出x y 0時(shí)，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。4.9下圖所示孔徑由兩個(gè)相同的矩孔構(gòu)成，它們的寬度為 a，長(zhǎng)度為b，中心相距d。采用單 位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖

14、樣的強(qiáng)度分布。假定b 4a及d 1.5a，畫出沿x和y方向上強(qiáng)度分布的截面圖。4.10下圖所示半無(wú)窮不透明屏的復(fù)振幅透過(guò)率可以用階躍函數(shù)表示，即：t(Xo) step(Xo)采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的復(fù)振幅分布。畫出沿X方向的振幅分布曲線。4.11下圖所示為寬度為a的單狹縫，它的兩半部分之間通過(guò)相位介質(zhì)引入位相差n。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣強(qiáng)度分布。畫出沿X方向的截面圖。4.12線光柵的縫寬為a，光柵常數(shù)為d，光柵整體孔徑是邊長(zhǎng)L的正方形。試對(duì)下述條件， 分別確定a和d之間的關(guān)系：(1) 光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中缺少偶數(shù)級(jí)。(2) 光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中第三級(jí)為極小。4.13衍射屏由兩個(gè)錯(cuò)開的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，其透過(guò)率可以表示為：t(xo,y) comb(x/a)comb( y/b) comb(x O.1a)/a)comb( y/b)采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。畫出沿X方向的截面圖。4.14如下圖所示為透射式鋸齒形位相光柵。其折射率為n，齒寬為a，齒形角為 ，光柵的整體孔徑為邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明， 求相距光柵為