平面向量題型歸納總結(jié)

1、平面向量題型歸納向量有關(guān)概念：【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，記作:向量常用有向線段來表示，注意 不能說向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移）UJU例：已知A (1,2 ), B (4,2 ),則把向量abI按向量a =（- 1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大?。ɑ蜷L度），記作： 茴或氐。3.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作:4.單位向量：單位向量：長度為1的向量。若e是單位向量，則01，注意零向量的方向是任意的；|匸| 11。（與歸共線的單位向量是丨uuB ）；AB|5 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,6 .

2、平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量 規(guī)定零向量和任何向量平行 。相等向量有傳遞性；旦、山 叫做平行向量，記作:ra/b提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！（因為有）；uun uUuri三點A B、C共線AB、AC共線;如圖，在平行四邊形IABCD中，下列結(jié)論中正確的是 （rtutruuuuttr C. AD AB ACrturtuuD. AD BC 07 .相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一uu ut& AB B

3、Aiujuuurirttt-uttrturA.ABCDB.ABADBD）若abtut ABtDut)C例：下列命題：（1，則貝U.ac|。（3）若rnuiumr。(2)若 a b, b c ,則 a c。(6)若 a/b,b/c則IABCD |是平行四邊形。（4 ）若|ABCD |是平行四邊形，則AB DC。其中正確的是題型1、基本概念1 :給出下列命題：若 闊1=|,則 E=3 ； 向量可以比較大?。环较虿幌嗤膬蓚€向量一定不平行；若2= b, b=3,則0=2；若囚0,3（3,則E/c；o a o ；io a 0 其中正確的序號是 。2、基本概念判斷正誤：(1 )共線向量就是在冋一條直線上

4、的向量。(2 )若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。(3)與已知向量共線的單位向量是唯一的。rUtUtUffl-i(4 )四邊形ABCD是平行四邊形的條件是|AB CD。rUUUUUU1(5 )若AB CD，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形。(6 )因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量。(7)若a與tb共線，于ra與cb與tc共線，則共線。(8)若 ma mb，則(9)若|ma na|，貝y|m n|。(10 )若 與b不 共線，則(11 )若 a b |a| |b|，則rrrrir-rf-i(12)若 |a b| |a b|,則12 b|。、向量加減運算8.三角形法則:UUUUU

5、U UUUAB BC ACtutuuruu AB BC CUuucutD DE AEUUUUUU_UUUAB AC CB (指向被減數(shù))9.平行四邊形法則以 品 為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為3、在平行四邊形lUUU uuuAB ADuuu uuu AB ADI AB |的最大值和最小值分別為ABCD中，若則必有A.uuir r AD 0B.uuu r lult rAB 0或 AD 0C. ABCD是矩形D. ABCD是正方形題型2.向量的加減運算|-UUUUUUUUUUUUUUUU1、化簡(AB MB) (BO BC) OMUUT-cur2、已知 |OA| 5, |OB | 3,則|題

6、型3.向量的數(shù)乘運算1、計算：(1)(a2(7b倫3(2)2(2a 5b 3c) 3( 2a 3b 2c)題型4.作圖法求向量的和，如下圖，請做出向量已知向量題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量i、已知在I abC中,回是BC的中點，請用向量uuu uurAB,AC表示AD。2、在平行四邊形 ABCD中，已知AC a,BD b，求AB和 AD。題型6.向量的坐標(biāo)運算R =J!J： ab=（n + x,a-b = （x - v;.T, - yJ ：=2、哦恥“&皈從則麗二兇-心丹j），其實質(zhì)是將向量的起點移到坐標(biāo)原點.1、已知 a (1, 4),b(3,8)，則3a 1 b2練習(xí)：若物體受三個力

7、Fi(1,2) , F2( 2,3) , F3( 1, 4),則合力的坐標(biāo)為 2、已知PQ ( 3, 5)P(3,7)3、已知 a( 3,4)2、已知A(1,2),B(3,2)(5,2)，向量，則點Q的坐標(biāo)是_ ,求 I a b，丨 a b,3a 2bX, ya (x 2,x 3y 2)的值。5、已知O是坐標(biāo)原點，的坐標(biāo)。rtuuuuu_F|A(2, 1), B( 4,8)，且 | AB 3BC 0|，求三.平面向量的基本定理 ：如果ei和e2是同一平面的兩個不共線向量，那么對該平面的任 一向量a，有且只有一對實數(shù) 匚、| 2，使a= i|ei +2 e2?；祝喝我獠还簿€的兩個向量稱為一組基

8、底。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底u uu1、已知q,e2是平面的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底:-ururuD. e2和e2quururtrC. e3e2和 e2 3q練習(xí)：下列各組向量中，可以作為基底的是（）(A)|e1 (0,)e 2) (C) R (3,5), ?2 (6,10)(B)*(5,7)(D)* e1(2, 3)厶(P4)2、已知ia（3,4），能與a構(gòu)成基底的是（）B.C.34雹，MD.|3、知向量 ei、e2不共線，實數(shù)(3x-4y)ei + (2x-3y)e2 =6ei+3e2 ,則 x y 的值等于 4、設(shè)匾是兩個不共線的向量，AB2ke2,CBG

9、3e2,CD2ee?，若A、B、D三點共線，求k的值.5、平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點，已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C(x, y)滿足auuu OA +I uuu姮B，其中a, R且a+ (3=1 ,貝U x, y所滿足的關(guān)系式為A. 3x+2 y-11=0B. (x-1)2+(y-2) 2=5C. 2x-y=0D. x+2 y-5=0四.平面向量的數(shù)量積1 .兩個向量的夾角：對于非零向量02時,a ,切垂直。稱為向量aa弟，回的夾角，當(dāng)= 0時,rutffl-utfflM ，作 OA a,OB b ,a , b同向，當(dāng)AOBa , b反向,數(shù) 與向量|a的積是一個向量，記作|

10、a，它的長度和方向規(guī)定如下:當(dāng) 0時，丄的方向與a的方向相反，當(dāng)口= 0時，iuuir uuni AD,I實數(shù)與向量的積：實數(shù)raa的方向相同，當(dāng)a 0|,注意：匚崗豐0。0時, I la 的方向與例1、已知a, b表示為向量例2、已知的值是_ uutr-uuaa,BE分別是| ABC的邊|BC,AC I上的中線，且| AD a,BE b|,則|ABC中，點回在BC邊上,且|CD2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a,叫做a與b的數(shù)量積(或積或點積)，記作:uuu BC可用2 DB ,|CD r AB sAC，則 r我們1把數(shù)量-r r| a |b | cosra1b cos。規(guī)定：零向b，

11、它們的夾角為 a2_b，即 a?量與任一向量的數(shù)量積是0 ,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。3 .向量的運算律：1 .交換律:abba,1naaa?b b?a ；2 .結(jié)合律:a b c a b c, a b c a b ca?rrrr rrrr rrr rr raaa, a baba b?ca ?cb?c3 .分配律:O題型8 :有關(guān)向量數(shù)量積的判斷1:判斷下列各命題正確與否:(1) (a b) c a (b c) ；( 2)若 a b a c，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立;(3) (a b) c a c b c ； (4) (a b) c a (b c)對任意；（6）對任意向量ia，有(5)若

12、a 0,a b a c，則 m （|a b I） = mmb| 其中正確的序號 是2、下列命題中：(a b)2 |a|2 2|a| |b| |bla2r 2 a則 a c ； 正確的是題型9、求單位向量1.與a（12,5）平行的單位向量是題型10、數(shù)量積與夾角公式:向量的模:向量都成立;r2i r,2alaloo【r rr r:若a b 0，則a 0或b 0;若a bc b,a (b c) a b a c : a (b c) (a b) c :(a b)2 r 22 I 2 I I I 2 a 2a b b。其中2:(a b) a b ；rbr a若 a (x, y)，則 |a | JX2y2

13、1、 AB（中, | AB | 3，| AC | 4，| BC | 5，則 |AB BC rub，c與引的夾角為-_ 4的夾角為，求（1） O ，（2）|a （a b）|，r 1 r1 rr r ufr2、已知 a(1-),b(0, -),cakb,da ，則k等于3、已知 |a | 3,| b | 4，且(a 1 b) b2，(4)(2a b) (a 3b)已知 貼是兩個非零向量，且a b a b，則a與a b的夾角為4、5、6、7、8 :9:1011已知a (J3,1),b ( 2憑2)，求闊與冏的夾角。已知A(1,0)B(0,1)C(2,5)，求cos BAC已知 ABCa,b滿足ab

14、,b (b 2 a)，則ABC 50,BC BA，則LUu IBA已知非零向量O|a與b的夾角為的夾角為已知向量bl與向量Lb的夾角為120-rrrMrraa+b，且a丄c，則IT的值為，若向量C=的夾角余弦值為乩也與壟+E:已知 |國| = 1|b|= 2 , |3+ 01= 2，則:已知向量丨a I =P2, Jb I =2, a和冊的夾角為1351,當(dāng)向量 的夾角為銳角時，求l_的取值圍。1、已知零向量一a(2,1),a.b 10,a b5v；2則 )2、已知向量圈滿足a 1,b2,-ab2,則-Hr-*ab3、已知向量 臥 （13）1, b （ 2,0）,則百 ba(1,sin ),b

15、 (1,cos ),貝U*fa b4、已知向量題型11、求向量的模的問題如向量的模:若 a (x, y)a2山,5、設(shè)點M是線段BC的中點，點 A在直線BC夕卜,. 2BC16, AB ACAB則AM()(A) 8(B)4(C) 2(D) 1設(shè)向量aIlff*ab1及4a 3b3b滿足求3a 5b的值1-oh練習(xí)：已知向量包b滿足a 2ib 5ab 3求a b和a b|a|, b滿足E8、已知向量a、b滿足 E37、設(shè)向量1,|b 2,a (a 2b),則2a b|的值為，|b| 4，則|2-b|的最大值是最小值是題型12、結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)1.已知O是坐標(biāo)原點，點LA在第二象限,UJU|

16、OA| 2xOA150，求的坐標(biāo)。2.已知回是原點，點A在第一象限，|OA| 4忑,| xOA 60，求罠的坐標(biāo)。五、平行與垂直知識點:-lb/ r ay2X1yyX2a b a b 0xx y20題型13 :向量共線問題1、已知平面向量|a (2,3x)|，平面向量|b ( 2, 18),|若間/同，則實數(shù) 岡2、設(shè)向量|a (2,b(2,)|若向量| a b與向量c ( 4, 7)共線，則3、已知向量(1, ,b (2, x)若a b與4b 2a平行，則實數(shù) 國的值是()A. -2B. 0C. 1D . 24、已知向量 OA (k,12),OB(4,),OC ( k,10),且A, B,

17、C三點共線,則k ruunuuruam練習(xí)：設(shè) |PA (k,12),PB(4,5), PC (10,k)，貝H k =時，A,B,C 共線5、已知a,bc ka b,d a b，如果 c / d，那么 k=c與d的方向關(guān)玄阜系是rrr1 rfr練習(xí)：已知 a (1,1),b (4,x) , |u a 2bv 2a b，且|u v|，貝U x =6、已知向量a (1,), ( 2,/，則2a 3b題型14、向量的垂直問題已知向量a (x,b(3,6)且ab，則實數(shù)x的值為2、已知向量a (1, n),b ( 1, n),若2a b與b垂直，則練習(xí)：已知a = (1, 2), b = (-3 ,

18、 2)若ka+2b與2 a -4血垂直，數(shù)k的值3、已知單位向量 m和n的夾角為一，求證：(2n m)m34、a (3,1),b(1,3)，(k,2),若(a c)b,則 k練習(xí)：|a (1,2),b(2, 3),若向量 c滿足于(c a)| 4b, |c(a b),則c _5、以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB , | B 90，則點B的坐標(biāo)是題型15、b在2上的投影 為 | b | cos I，它是一個 實數(shù)，但不一定大于 o。1、已知 |a| 3 , |b| 5，且|a b 12，則向量 回在向量也上的投影為2、已知8,是單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為 時3時,|a|在

19、e方向上的投影練習(xí)：已知a 5,b 4, | a與b|的夾角，則向量的投影為lbl在向量題型16、三點共線問題1.已知 A(0, 2) , B(2,2) , C(3,4)，求證：A, B,C 三點共線。uuurJ2 r r uuu rr uuur rr2.設(shè) AB-(a5b), BC2a8b,CD3(ab)，求證：|A、B、D|三點共線。rutuurr uuurr uuurr-i練習(xí)：已知AB a2b, BC5a6b,CD7a2b，則一定共線的三點是3.已知A(1, 3) , B(8, 1)，若點C(2a 1,a 2)在直線|AB|上，求岡的值。4.已知四個點的坐標(biāo)Q(0,0) , | A(3

20、,4)|，|B( 1,2) I，|C(1,1)|，是否存在常數(shù)t，使rUHUUUU_ttiUFiOA tOB OC 成立？-1 ei, 0?是平面不共線兩向量，已知AB ei ke2, CB 2ei e2, CD 3ei e2，若A, B, D三點共線，則fk=5 :6 : 設(shè)0是直線山外一定點,A、B、C在直線Q上，且OB30A xOC，則區(qū)=7 :設(shè)匸,3是兩個不共線向量，若+0a與血起點相同,t t=,十-ra,tb時,)三向量的終點在一條直線上。3J8 :如圖，在 ABC中，點O是BC的中點，過點 O的直線分別交直線 AB、AC于不同的兩點 M、N，若mAM , AC = nAN，貝U

21、 m + n的值為9:在OAB 的邊 OA , OB 上分別取點 M , N，使 |OlM | ： OA| = 1 : 3 ,|ON | ：OB|= 1 : 4 ,設(shè)線段AN與BM交于點P,記OA = a, OB = b，用a, b表示向量 Op.練習(xí)：如圖，在OAB 中，OC = 4OA , OD = ；OB , AD 與 BC 交于點 M ,設(shè)OA = a, OB =b.(1)用 a、b 表示 OM ；已知在線段 AC上取一點E,在線段BD上取一點F,使EF過M點，設(shè)OE= pOA , Of=t13qOB，求證：+ = 1.7p 7q六、線段的定比分點：i .定比分點的概念：設(shè)點p是直線p

22、p2上異于upl、P2的任意一點，若存在一個實 p分有向線段住P所成的比，I_Irtuufutur數(shù)口 ,使 I pPPF2 ,的以定比為的定比分點；2 .的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點在線段則叫做點P點叫做有向線段Pp2P1P3上時匚工點在線段P1P2 的延長線上時|0 ；當(dāng) Pp的延長線上時3線段的定比分點公式:設(shè)|R(xi,yi)、|Pzg y2)|, |P(x, y)分有向線段|PP21所成的比為，則%x?x1yy1y21% 屜x2yy1y22o題型17、定比分點，特別地，當(dāng) = 1時，就得到線段PP 2的中點公式2、若 M (-3 , -2 ),N (6，-1 )，且MP 二

23、MN,則點p的坐標(biāo)為3、已知 |A(a,0),B(3,2 a) |，直線 y 1ax 2ILLIIDuiur與線段FAB交于 E，且aM 2mb，則La等于七、平移公式：如果點P(x, y)按向量a h,k平移至P(x,y)，則f(x,y) 0按向量-1a h,k平移得曲線與平常“左加右減”有何聯(lián)系？( 2)向量平移具有坐標(biāo)不變性,題型18、平移f (x h, y k) 0 注意：xxhyyk;曲線(1)函數(shù)按向量平移按向量 自把叵 3)|平移到|(1, 2)|，則按向量 自把點|( 7,2) |平移到點 函數(shù)|y sin2x的圖象按向量La平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos2x 1，則八、向

24、量中一些常用的結(jié)論 ：(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用;1、若 AB的三邊的中點分別為(2 , 1 )、( -3 , 4 )、( -1 , -1 )，則 AB的重心的坐標(biāo)為uttr 4 uuu uut uuu PG 丄(PA PB PC)I 3fG為 ABC的重心，特別地tuuuutuurrPA PB PC 0 P 為ABC的重心；iuur uutuut uuuuur uur . PA PB PB PC PC PA P 為I ABC 的垂心；uuuuuuI(-tuuk -uusk)(0)所在直線過匚ABC的心(是匚BAC的角平分線所在直線)；uuu uuu向量屮 U

25、ACU-tor | AB | PC | BC | PA |CA| PB 0P| ABC 的心;uuu uuu(3)若P分有向線段PP2所成的比為匚，點M為平面的任一點，則uuu uuuu uur MP MP2MP11tutu tnatr山丄MP1 MP22特別地回為唾的中點irnu uuu uuu,(4 )向量| PA PB、PC中三終點 A B、C共線 |存在實數(shù) muuurrPA PBttUTlPC且2、平面直角坐標(biāo)系中，o1 如為坐標(biāo)原點，已知兩點|a(3,1)|,|b(訶,若點回滿足OC1 OA 2 OB，其中1,則點叵的軌跡是-uuuhCD 5e,題型19、判斷多邊形的形狀-uuu且

26、I AD I |BC|，則四邊形的形狀是B(4,3) , C(2,4) , D(0,2)，證明四邊形 ABCD 是梯形。3.已知A( 2,1) , B(6, 3) , C(0,5)，求證：ABC是直角三角形。4、 在 AB中，若 |BA BA AB CB 0|，則ABC的形狀為()A 等腰三角形B.等邊三角形C 等腰直角三角形D 直角三角形rututurntutr 5、 在平面直角坐標(biāo)系，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求證：ABC是等腰直角三角形。6、平面四邊形IABCD中,ab be cd da，判斷四邊形ABCD的形狀.AB a , |BC b , |CD c

27、, |DA d，且題型20 :三角形四心1、已知I ABCI的三個頂點A、B、C及I ABCI所在平面的一點點P是ABC的rUtWUUUUUVP，若I PA PB Pc o| 則()A .重心2.已知點o是三角形所在平面上一點,B.垂心 C .心 D .外心iuu uuu uuuuiru uuuuq ._. 若|OAOB oboc ocoA則|o|是三角形ABC的(A)(B)外心(C)重心(D)垂心已知點|o|是三角形所在平面上一點,TCKT2 CEUTiOA OBuuoc2|，則O是三角形|abc|的(A)(B)外心練習(xí)、已知O, N , P在ABC所在平面,OAOBOC,NA NB NC

28、0(C)重心(D)垂心)且，且PA?PB PB?PCPC?PA，則點O , N , P依次是 ABC的(A) 重心外心垂心(B) 重心夕卜心心(C) 外心重心垂心(D) 外心重心心i-ttfutruutttHttfitu4、在平面有 ABC和點O，若| AB (OA OB) AC (OC OA) 0，則點 O是 ABC的A .重心B .垂心 C .心 D .外心5、已知點O是平面上一個定點，A、血、C是平面不共線三點，動點LP滿足tut uuttututtr-l._.OP OA (AB AC) R，則動點LP一定通過丨ABC的( )(A )心(B)外心(C)重心(D)垂心6、已知點O是平面上一

29、個定點，La、B、C是平面不共線三點，動點LP滿足uuu tma-OP OA-tumuur-AB ACujio + uuur|AB| |AC|r，則動點回一定通過匚ABC的(A )心(B)外心(C)重心(D)垂心uuj uuuOP OAR，則動點回一定通過匚ABC的(A )心(B)外心(C)重心(D)垂心7、已知點O是平面上一個定點，A、囘、C是平面不共線三點，動點LP滿足jjujujABACuju+ -uuur| AB | cosB | AC | cosC8、已知O平面上一個定點，La、Lb、C是平面不共線三點，動點Lp滿足uuuOPOB OCuuuuuuABACuuu+ _uuu| AB | cosB | AC | cosC