初三數(shù)學(xué)壓軸題

1、1如圖，直線y x 3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn) B ,點(diǎn)C ,經(jīng)過B, C兩點(diǎn)的拋物線 y ax2 bx c與x軸的另一交點(diǎn)為 A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸是直線 x 2 . （1 ）求A點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （3） 連結(jié)AC 請(qǐng)問在x軸上是否存在點(diǎn) Q，使得以點(diǎn) P, B, Q為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解Q直線y x 3與x軸相交于點(diǎn) B ,當(dāng) y 0 時(shí)，x 3, 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0） 又Q拋物線過 x軸上的A B兩點(diǎn), 且對(duì)稱軸為 x 2，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性, 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (10) (2) Q y x 3過點(diǎn)C，

2、易知 C(0,3) ,c 3 又Q拋物線 2 y ax bx c過點(diǎn) A(1,0) B(3,0), a b 3 0, 9a 3b 3 0. a 解得 b 1 y x2 4x 4. 3. y 2 C x * x O P （3）連結(jié)PB ,由 2 y x 2 4x 3 (x 2) 1，得 P(2 , 1), 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交 x軸于點(diǎn)M ,在Rt PBM中,PM MB 1 , Z PBM 45, PB -2 由點(diǎn) B(3,0), C(0,3)易得 OB OC 3 , 在等腰直角三角形 OBC 中， Z ABC 45 ,由 占勾股定理，得 BC 3、2 假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q ,使得以點(diǎn)P, B ,

3、 Q為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似. 當(dāng)BQ PB Z PBQ Z ABC 45 時(shí), PBQABC BC AB 即BQ 3.2 2 牙， BQ 3 , 又Q BO 3 , 點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合， Q1的坐標(biāo)是 當(dāng)QB PB Z QBP Z ABC 45 時(shí), QBPABC BC AB (0,0) Q2的坐標(biāo)是 QB 3.QOB 3 OQ OB QB 3 -, 33 7,0 . 3 Q Z PBx 180o 45o 135： Z BAC 135, Z PBx Z BAC . 點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上 綜上所述，在x軸上存在兩點(diǎn) Q/0,0) Q2 3,0 ，能使得以點(diǎn) P, B, Q為頂點(diǎn)的三角

4、形與 ABC相似。 2.(河南卷)二次函數(shù) y -x2的圖象如圖所示，過 y軸上一點(diǎn) 8 0,2的直線與拋物線 交于A， B兩點(diǎn)，過點(diǎn) A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為 2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)； 分別過點(diǎn)A , B作AE丄x軸于E , BF丄x軸于F，在EF上 P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； 當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn) A與點(diǎn)O不重合)，求ACgBD的值. (1) 當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 (2) 在(1)的情況下， 是否存在點(diǎn)P，使Z APB為直角.若存在，求點(diǎn) (3) (1 )根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn) B的坐標(biāo)為 x,1 x2 8 ，其中 x 0 . Q點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 MD 1 2, . Q AC丄y軸，B

5、D丄y軸, 2 M 0,2 , AC / BD , MC 1x2 2 . Rt BDM s Rt ACM . 8 BD AC MD .即 MC 2 1x22 8 3 解得捲 2 (舍去)，X28 . B 8,8 . (2)存在. 連結(jié)AP , BP . 1 由(1), AE - , BF 8, EF 10 設(shè) EP a，則 PF 10 a . 2 Q AE 丄 x軸，BF 丄 x 軸，Z APB 90o, AEPPFB AE EP PF BF 1 2a 解得a 5. 21 經(jīng)檢驗(yàn)a 5. 21均為原方程的解. 10 a 8 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 3. 21,0 或 3、2i,0 1 2 、 B n,

6、n2，不妨設(shè)m 8 1 (3)根據(jù)題意，設(shè)A m, - m2 8 由(1) AC MD MC x 2 或 2 1 2 n 8_ 2 1m, 8 化簡(jiǎn)，得 mn 16 m n 0. Q m n 工 0 mn 16. ACgBD 16 . 3.(湖北湛江課改卷)已知拋物線y 2 ax bx 2與x軸相交于點(diǎn)A(X1,0) B(x2,0) (% X2),且 , X2是方程 x2 2x 30的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 點(diǎn)C為拋物線與y軸 的交點(diǎn). (1 )求a, b的值 AC和BC的解析式; (2)分別求出直線 (3)若動(dòng)直線y m(0 m 2)與線段AC， 否存在點(diǎn)P，使得 出點(diǎn)P的坐標(biāo)； DEP為等腰直角三角

7、形？若存在，求 2 解(1)由 x 2x 3 0 ,得 X11, X2 3. D, E兩點(diǎn)， 則在X軸上是 l y 3 一 2 1 1 1 1 1111 2 1 123 4 BC分別相交于 A( 1,0), B(3,0)，把A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y 2 ax bx 2聯(lián)立求解，得 (2)由(1)可得y 2x2-x 2 , Q 當(dāng) x 33 0時(shí), 2 ,C(0,2). 設(shè) AC: y kx b，把 A C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入 y kx 聯(lián)立求得 直線 AC的解析式為y 2x x 同理可求得直線 2 BC的解析式是y2 x 3 (3 )假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) P，并設(shè)直線 m與y軸的交點(diǎn)為F(0,

8、 m). 當(dāng)DE為腰時(shí)，分別過點(diǎn) D, E作DP1 x軸于 R，作EF2 x軸于F2，如圖，則 AC 上, x 1,0，同理可求 3 F2(1,0). RDE和 F2ED都是等腰直角三角形, DE DP1 FO EP2 m, AB x2 x-i 4 . Q DE / AB , CDE CAB , DE CF 口 m 2 m ” /口 即.解得m AB OC 42 4 點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是一，Q點(diǎn)D在直線 3 4 2x 2 ，解得x 3 當(dāng)DE為底邊時(shí), 過DE的中點(diǎn)G作GP3 x軸于點(diǎn)F3，如圖, 則 DG EG GP3 m , 由厶CDE CAB , .直線y4與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(2

9、,4), 得匹CF，即 AB OC 2m 4 ，解得m 1. 同1方法.求得d DG EG GP3 OP3 FG FE EG 1 P3,0 2 結(jié)合圖形可知, RD2 RE2 2 2, ED 4 , 2 2 ED P3D EE2 , DEP3 是 RtA , 1 P3 2，也滿足條件. 綜上所述，滿足條件的點(diǎn) P共有3個(gè)，即p 丄,0，P2（1,0）巳 1,0 2 2 4在矩形ABCD中，AB 4 , BC 2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建 立直角坐標(biāo)系.然后將矩形 ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在y軸的E點(diǎn)上，則C 和D點(diǎn)依次落在第二象限的 F點(diǎn)上和x軸的G點(diǎn)上(如圖). (

10、1) 求經(jīng)過B, E, G三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式； (2) 設(shè)直線EF與(1)的二次函數(shù)圖象相交于另一點(diǎn)H，試求四邊形EGBH的周長(zhǎng). (3) 設(shè)P為(1)的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，BP / EG，求P點(diǎn)的坐標(biāo). (1)解：由題意可知，AE AB 4, AG AD BC 2. B(4,0) , E(0,4), G( 2,0). 設(shè)經(jīng)過B, E, G三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式是 y a(x 2)(x 4). 1 把E(0,4)代入之，求得a 丄.3分 2 所求的二次函數(shù)解析式是： 11 2 y (x 2)(x 4) x x 4. 22 (2)解：由題意可知，四邊形AEFG為矩形. FH / GB，且 GB 6 . EH 2 . G與B, E與H關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱， BH EG . 42 222.5 . 二四邊形EGBH的周長(zhǎng) 2 6 2 25 8 4 、5 . (3)設(shè) BP 交 y 軸于 M T BP / EG , AB : AG AM : AE，即 4: 2 AM :4 把 B(4,0), M(0,