《二次根式及一元二次方程》專題練習含解析匯報

1、二次根式及一元二次方程一、選擇題1 估算的值（）A.在1和2之間 B.在2和3之間 C.在3和4之間 D.在4和5之間2 要使二有意義，則x應(yīng)滿足（）A. 厶w xW 3B. xw 3 且 x 工二 C.厶vxV 3D.厶v xw 32 2 2 23. 已知方程x2+bx+a=0有一個根是-a（a0），則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）A. ab B. C. a+b D. a- bb4. 已知a, b, c分別是三角形的三邊，則方程（a+b） x2+2cx+ （a+b） =0的根的情況是 （ ）A.沒有實數(shù)根B .可能有且只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根5 .武漢市2

2、016年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP比2015年增長了 12%由于受到國際金融危機 的影響，預計今年比2016年增長7%若這兩年GDP年平均增長率為x%則x%滿足的關(guān) 系是（）A. 12%+7%=x%B.( 1+12%( 1+7% =2 (1+x%(1+x%C. 12%+7%=2x% D.( 1+12%( 1+7%6. l(av 1)F列各式計算正確的是（）D.7. 關(guān)于x的方程（a- 5） x2- 4x- 1=0有實數(shù)根，則a滿足（）A. a1B. a 1 且 a 5C. a1 且 a5D. a58. 設(shè)a，b是方程x2+x- 2016=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為(A. 2014 B.

3、2017 C. 2015D. 20169 方程（x - 3）（ x+1） =x- 3 的解是（）A. x=0 B . x=3 C. x=3 或 x= - 1D. x=3 或 x=010方程x2- 9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（）A. 12 B. 12 或 15 C. 15 D.不能確定11 .定義：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a 0）滿足a+b+c=0,那么我們稱這個方程 為“鳳凰”方程.已知ax2+bx+c=0 （a0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根， 則下列結(jié)論正確的是（）A. a=c B . a=b C. b=c D . a=b=c

4、12.如圖，已知雙曲線y=（kv0）經(jīng)過直角三角形OAB斜邊0A的中點D,且與直角邊AB相交于點C若點A的坐標為（-6, 4）,則厶AOC勺面積為（）A. 12 B. 9 C. 6 D. 4二、填空題13 .化簡二：、卜，二 1=.14.計算的結(jié)果是_.15 .計算：+ 一=.16 .如果方程ax2+2x+1=0有兩個不等實根，則實數(shù) a的取值范圍是.17 .設(shè)X1，X2是一元二次方程x2- 3x- 2=0的兩個實數(shù)根，則xj+3x1X2+X22的值為18 .已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0勺一個根，貝U吊+2mn+A的值為.19 .請你寫出一個有一根為1的一元二次方程： .（答案不

5、唯一）20 .關(guān)于x的一元二次方程x2- mx+2n-仁0的兩個實數(shù)根分別是X2，且X12+X22=7,則（X1 - X2）2的值是.21 .若把代數(shù)式x2 - 2x- 3化為（x- m） 2+k的形式，其中m k為常數(shù)，則m+k 23若正方形OABC勺頂點B和正方形ADEF勺頂點E都在函數(shù)、，-二匸；T的圖象上若 x正方形OABC勺面積為1,則k的值為 ；點E的坐標為三、解答題24計算：.：二：三p25.用配方法解方程：2x2+仁3x.26 .已知 關(guān)于x的一元二次方程x2 -(2k+1) x+4k- 3=0.(1) 求證：無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 當Rt A

6、BC的斜邊長a=，=，且兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根時, 求厶ABC勺周長.27. 已知一元二次方程 x2 - 2x+m=0(1) 若方程有兩個實數(shù)根，求 m的范圍；(2) 若方程的兩個實數(shù)根為X1, X2,且Xt+3x2=3，求m的值.28. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2=2 (1 - m) x - m的兩實數(shù)根為X1，X2(1) 求m的取值范圍；(2) 設(shè)y=X1+X2,當y取得最小值時，求相應(yīng) m的值，并求出最小值.二次根式及一元二次方程參考答案與試題解析一、選擇題1 估算：的值（）A.在1和2之間 B.在2和3之間 C.在3和4之間 D.在4和5之間【考點】估算無理數(shù)的大小.

7、【專題】應(yīng)用題.【分析】首先利用平方根的定義估算 31前后的兩個完全平方數(shù)25和36,從而判斷 的范圍，再估算的范圍即可.【解答】解：5V = V 6二 3 討： V 4故選C.【點評】此題主要考查了利用平方根的定義來估算無理數(shù)的大小， 解題關(guān)鍵是估算 的 整數(shù)部分和小數(shù)部分.2 要使：+有意義，則x應(yīng)滿足（）A.x 3 B. x 3 且 x C. =VxV 3 D.右 x 3【考點】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件.【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于 0,分母不等于0列式計算即可得解.【解答】解：由題意得，身;芒2），解不等式得，x 3，解不等式的，x所以，三V x 0. v 0.該方程沒有

8、實數(shù)根.故選A.【點評】本題是方程與幾何的綜合題.主要考查了三角形三邊關(guān)系、一元二次方程的根的判別式等知識點.重點是對(2c)-4 (a+b)( a+b)進行因式分解.5 .武漢市2016年國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP比2015年增長了 12%由于受到國際金融危機 的影響，預計今年比2016年增長7%若這兩年GDP年平均增長率為x%則x%滿足的關(guān) 系是()A. 12%+7%=x%B.( 1+12%( 1+7% =2( 1+x%C. 12%+7%=2x% D.( 1+12%(1+7% = (1+x% 2【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.【專題】增長率問題.【分析】增長率問題，一般用增長后的量 =增長

9、前的量X( 1+增長率)，然后用平均增 長率和實際增長率分別求出今年的國內(nèi)生產(chǎn)總值，由此可得到一個方程，即X%滿足的關(guān)系式.【解答】解：若設(shè)2015年的國內(nèi)生產(chǎn)總值為y,則根據(jù)實際增長率和平均增長率分別得到 2010年和今年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為：2016年國內(nèi)生產(chǎn)總值：y (1+x% 或y (1+12%，所以 1+x%=1+12%今年的國內(nèi)生產(chǎn)總值：y (1+x% 2或y (1+12%(1+7%，所以(1+x% 2= (1+12%(1+7% .故選D.【點評】本題主要考查增長率問題，然后根據(jù)增長率和已知條件抽象出一元二次方程.6. 下列各式計算正確的是()A.B.C. :-7【考點】二次根式的

10、混合運算；立方根.【分析】A、根據(jù)二次根式的乘法運算法則的逆運算直接計算就可以；B、由條件可以判斷出原式為負數(shù)再將根號外面的數(shù)移到根號里面化簡求解就可以了;C、先將被開方數(shù)進行乘方運算再合并最后化簡就可以了；D先進行分母有理化，再進行合并同類二次根式就可以了.B、_一1，本答案錯誤;【解答】解：A、-.1-:： （av 1）,本答案正確;C、：二.廠：，匚，本答案錯誤;D_=4工2,本答案錯誤.故選B.【點評】本題考查了二次根式的乘、除、加、減混合運算的運用及立方根的運用，在結(jié) 算時注意運算的順序和運算的符號是解答的關(guān)鍵.7. 關(guān)于x的方程（a- 5） x2- 4x- 1=0有實數(shù)根，則a滿足

11、（）A. a1B. a 1 且 a 5C. a1 且 a5D. a5【考點】根的判別式.【專題】判別式法.【分析】由于x的方程（a- 5） x2 - 4x- 1=0有實數(shù)根，那么分兩種情況：（1）當a- 5=0時，方程一定有實數(shù)根；（2）當a-5工0時，方程成為一元二次方程，利用判別式 即可求出a的取值范圍.【解答】解：分類討論： 當a- 5=0即a=5時，方程變?yōu)?4x-仁0,此時方程一定有實數(shù)根； 當a - 5工0即a 5時，關(guān)于x的方程（a- 5） x2- 4x- 1=0有實數(shù)根16+4 （a-5）0， a1. a的取值范圍為a1.故選：A.【點評】本題考查了一元二次方程 ax2+bx+

12、c=0 （aM 0）的根的判別式 =b2- 4ac:當 0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當厶=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當 0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) =0?方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)Av 0?方程沒有實數(shù)根.12.如圖，已知雙曲線y= (kv0)經(jīng)過直角三角形OAE斜邊OA的中點D,且與直角邊(-6, 4),則厶AOC勺面積為()【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.【專題】壓軸題.【分析】 AOC勺面積= AOB勺面積- BOC勺面積，由點A的坐標為(-6, 4),根 據(jù)三角形的面積公式，可知 AOB勺面積=12,由反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義， 可知 BOC勺面積=k|

13、.只需根據(jù)OA的中點D的坐標，求出k值即可.【解答】解：OA的中點是D,點A的坐標為(-6, 4),-D(-3, 2),雙曲線、= 經(jīng)過點D,k= 3 X 2= 6, BOC勺面積=|k|=3 .又 AOB勺面積=.：X6X4=12, AOC勺面積= AOB勺面積- BOC勺面積=12-3=9.故選B.【點評】本題考查了一條線段中點坐標的求法及反比例函數(shù)的比例系數(shù) k與其圖象上的 點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積 S的關(guān)系，即二、填空題13.化簡.1-；二：=0【考點】二次根式有意義的條件.【分析】由1 - x0, x - 1 0,得出x-仁0,從而得出結(jié)果.【

14、解答】解：1 - x0, x - 10,x- 1=0,J .卜二亠=0.【點評】二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子（a 0）叫二次根式.性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義.14.計算；：的結(jié)果是 4.【考點】算術(shù)平方根.【專題】常規(guī)題型.【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可.【解答】解：一=4.故答案為：4.【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，本題易錯點在于符號的處理.15.計算：+ .乙 3 .二.【考點】二次根式的加減法.【分析】本題考查了二次根式的加減運算，應(yīng)先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式.【解答】解：原式=2 _+ _=3 .【點評】同類二次根式是指幾

15、個二次根式化簡成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次 根式.二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并. 合并同類二次根式的實質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變.16.如果方程ax2+2x+1=0有兩個不等實根，則實數(shù) a的取值范圍是 av 1且a0【考點】根的判別式.【分析】在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：(1) 二次項系數(shù)不為零；(2) 在有不相等的實數(shù)根下必須滿足 =b2- 4ac0.【解答】解：根據(jù)題意列出不等式組解之得av 1且a0.故答案為：av 1且a0.【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一

16、元二次方程二次 項系數(shù)不為零這一隱含條件.17.設(shè)xi, X2是一元二次方程x2- 3x- 2=0的兩個實數(shù)根，則xj+3xiX2+x2的值為 7.【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出X1+X2以及X1X2的值，然后根據(jù)X12+3X1X2+X22=(X汁X2) 2+X1X2進一步代值求解.【解答】解：由題意，得：X1+X2=3, X1X2= - 2;原式=(X1+X2) 2+X1X2=9- 2=7.故答案為：7.【點評】熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答此類題的關(guān)鍵.18.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0勺一個根，貝U吊+2mn+n的值為 1.【考點】一元二次

17、方程的解；完全平方公式.【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0然后把m+2mn+A利 用完全平方公式分解因式即可求出結(jié)果.【解答】解： x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一個根，二 m+n+1=0 m+n=- 1， m+2mn+n= (m+n 2= (- 1) 2=1.故答案為：1.【點評】此題主要考查了方程的解的定義，利用方程的解和完全平方公式即可解決問題.19.請你寫出一個有一根為1的一元二次方程：x2=1 .(答案不唯一)【考點】一元二次方程的解.【專題】開放型.【分析】可以用因式分解法寫出原始方程，然后化為一般形式即可.【解答】解：根據(jù)題意x=

18、1得方程式x2=1 .故本題答案不唯一，如x2=1等.【點評】本題屬于開放性試題，主要考查一元二次方程的概念的理解與掌握可以用因 式分解法寫出原始方程，然后化為一般形式即可，如(y- 1)( y+2) =0,后化為一般形式為y2+y - 2=0.20. 關(guān)于x的一元二次方程X2-mx+2n-仁0的兩個實數(shù)根分別是Xi、X2，且x/+X22=7，則(xi- X2) 2的值是 13.【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得出 X1+X2和XiX2的值，然后根據(jù)Xi2+X22的值求出m(需注意m的值應(yīng)符合此方程的根的判別式)；然后再代值求解.【解答】解：由題意，得：Xi

19、+X2=m XiX2=2m- 1;貝U：( Xi+X2) 2=xi2+X22+2xiX2，即 m=7+2 (2 m- 1)，解得 m=- 1， m=5當 m=5時，=吊-4 (2m- 1) =25- 4X 9v 0，不合題意；故 m=- 1，X1+X2= - 1，X1X2= - 3;2 2/( X1 - X2) = (X1+X2) - 4x1X2=1+12=13.【點評】此題用到的知識點有：根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、完全平方公式等知識.本 題需注意的是在求出m值后，一定要用根的判別式來判斷所求的 m是否符合題意，以免 造成多解、錯解.21. 若把代數(shù)式x2- 2x- 3化為(x - m) 2

20、+k的形式，其中m k為常數(shù)，則m+k= - 3.【考點】完全平方公式.【專題】配方法.【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)，按照要求x2- 2x - 3=x2- 2x+1 - 4= (x - 1) 2 - 4，可知 m=1. k= - 4，貝U m+k=- 3.【解答】解：T x2- 2x- 3=x2 - 2x+1 - 4= (x - 1) 2 - 4，二 m=1 k= 4,m+k=- 3.故答案為：-3.【點評】本題主要考查完全平方公式的變形，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.完全平方公式:( a b) 2=a22ab+b2.22.將二根號外面的因式移進根號后等于 _.【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡.【專

21、題】計算題.【分析】先根據(jù)二次根式定義得到av0,然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)把-a轉(zhuǎn)化為； 再利用乘法公式運算即可.【解答】解：- 0,a av 0,原式=(a) ? J 丄=_ 弓.三” =.=&：.故答案為-.【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：(a0)為二次根式；=|a| ；匚=.l? .1 (a0, b0)等.23.若正方形OABC勺頂點B和正方形ADEF勺頂點E都在函數(shù)的圖象上.若x正方形OABC勺面積為1,則k的值為 1點E的坐標為【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.【分析】(1)根據(jù)正方形OABC和正方形AEDF各有一個頂點在一反比例函數(shù)圖象上，且正方形OABC勺邊長為1,得出B

22、點坐標，即可得出反比例函數(shù)的解析式；(2)由于D點在反比例函數(shù)圖象上，用a和正方形OABC勺邊長表示出來E點坐標，代 入y二一(x 0)求得a的值，即可得出D點坐標.【解答】解：正方形OAB(和正方形AEDF各有一個頂點在一反比例函數(shù)圖象上，且正方形OABC的邊長為1. B點坐標為：(1,1),設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=; xy=k=1,設(shè)正方形ADEF勺邊長為a,貝U E (1+a, a),代入反比例函數(shù)y= (x0)得：1= (1+a) a,又a0,解得：a迸-,點 E 的坐標為：(一二 + .- ,- )【點評】本題考查了反比例函數(shù)與正方形性質(zhì)結(jié)合的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想, 利用

23、xy=k得出是解題關(guān)鍵.三、解答題24 計算：；：三【考點】二次根式的混合運算；負整數(shù)指數(shù)幕.【分析】本題涉及分數(shù)指數(shù)幕、負整數(shù)指數(shù)幕、乘方、二次根式化簡四個考點在計算 時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果.【解答】原式=3+4-2二-2+ .1=5 - 2 二+2 二-2=3.【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題 目的關(guān)鍵是理解分數(shù)指數(shù)幕的意義，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕、二次根式、絕 對值等考點的運算.25.用配方法解方程：2x2+仁3x.【考點】解一元二次方程-配方法.【專題】計算題.【分析】首先把方程的二次項系數(shù)

24、變成1,然后等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半， 則方程的左邊就是完全平方式，右邊是常數(shù)的形式，再利用直接開平方的方法即可求解.【解答】解：移項，得2x2- 3x=- 1,二次項系數(shù)化為1,得：-，配方”心w f由此可得.：，二 x1，亍【點評】配方法是一種重要的數(shù)學方法，是中考的一個重要考點，我們應(yīng)該熟練掌握. 本題考查用配方法解一元二次方程，應(yīng)先移項，整理成一元二次方程的一般形式，即 ax2+bx+c=0 (a 0)的形式，然后再配方求解.26 .已知 關(guān)于x的一元二次方程x2 -(2k+1) x+4k - 3=0.(1) 求證：無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 當

25、Rt ABC的斜邊長a=，且兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根時， 求厶ABC的周長.【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式；勾股定理.【專題】計算題.【分析】(1)根據(jù) 0即可證明無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù) 根；(2)根據(jù)勾股定理及根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于 b，c的方程，解出b，c即可得出答案.【解答】解：(1)關(guān)于x的一元二次方程x2 -(2k+1) x+4k- 3=0, =( 2k+1) 2-4( 4k- 3) =4k2- 12k+13=4+4 0 恒成立，故無論k取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)根據(jù)勾股定理得：b2+c2=a2=31因為兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根，則 b+c=2k+1 ，bc=4k - 3，因為(b+c) 2 - 2bc=