微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用考研

1、94-11微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考研(數(shù)一)真題李婧(C) f(x)g(x) f(b)g(b)(D) f(x)g(x) f (a)g(a)6.(03 年， 4分)設(shè)函數(shù) f (x) 在( , )內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f (x)有一、選擇題 (將最佳答案的序號(hào)填寫在括號(hào)內(nèi))atanx b(1 cosx) 221.(94年， 3分) lim x22,其中a2c20,則必有()x 0 cln(1 2x) d(1 e x )(A) b 4d(B)b 4d( C) a 4c( D) a4c2.(95年， 3分)設(shè)在 0,1上 f (x) 0，則 f (0)、f (1)、 f (1) f (

2、0)或f (0) f(1)的大小順序是( )(A) f (1)f (0) f(1) f(0)(B) f (1)f(1)f(0)f (0)(C) f(1)f (0) f (1) f (0)(D) f (1)f (0)f (1)f (0)(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)7.06 年，4分)設(shè)函數(shù) y f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (x) 0，f (x) 0， x為自變量 x在 x0 處的增量， y 與 dy 分別為 f (x) 在點(diǎn) x0 處對(duì)應(yīng)的增量與微分。若 x 0，則( )A )0 dy y( B ) 0y dyC)y dy 0

3、D) dyy 03.(96，3分)設(shè) f ( x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f (x)f (0)=0，lim1，則(8.10 年，4 分)limx 0 (x a)(x b)=(A) f(0) 是 f(x)的極大值B) f(0) 是 f(x)的極小值C)(0, f(0) 是曲線 y f(x)的拐點(diǎn)D) f (0)不是 f ( x)的極值， (0, f(0) 也不是曲線 y f(x)的拐點(diǎn)A)1B) eabebaD) eb a1.、填空題95 年，3 分)lim(1 3 x)sin xx04(. 99 年，3 分)設(shè) f (x)=1 cosx,x 0 x x2g(x),x 0，其中 g(x)是有界函數(shù)，則

4、 f (x)在x 0處(2.96 年，3 分)x 2alim( ) x 8, 則 a=3sin x x2 cos1A)極限不存在B)極限存在，但不連續(xù)3.97 年，3 分)limx 0 (1 cos x) ln(1 x)( C)連續(xù)，但不可導(dǎo)( D)可導(dǎo)5.(00年， 3分)設(shè) f(x)、g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f (x)g(x) f(x)g (x) 0,則當(dāng) a x b 時(shí)，有( )4.98 年，3 分)1 x 1 x 2 lim x0x25.A) f(x)g(b) f(b)g(x)B) f (x)g(a) f (a)g(x)99 年，3 分)lxim0( x12xtanx)cos

5、x) ln(1 x2)6.(03 年， 4分)最大值， f(a) g(a)，f (b) g(b) ，證明：存在 (a,b) ，使得 f ( ) g ( ).6.(09 年， 11分)證明拉格朗日中值定理三、計(jì)算1.( 00 年，5 分)求 limx01x2 ex41 exsinx2.( 08 年，10 分)求極限 lxim0sinx sin sinx sinx四、證明1.( 01年， 7分)設(shè) y f (x)在( 1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 f (x) 0.試證：(1)對(duì)于 ( 1,1)內(nèi)的任一 x 0，存在唯一的 (x) (0,1),使 f (x)=f (0) xf ( (x)x) 成立；

6、1(2) lxim0 (x) 2.2.(02年，6分)設(shè)函數(shù) f(x)在x 0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 且 f(0) 0，f (0) 0，若af (h) bf (2h) f (0)在 h 0時(shí)是比 h高階的無窮小，試確定 a,b的值 .3.(05 年， 12分)已知函數(shù) f (x)在0,1上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f (0) 0， f (1) 1.證明：(I )存在 (0,1), 使得 f ( ) 1 ；( II )存在兩個(gè)不同的點(diǎn) , (0,1) ，使得 f ( ) f ( ) 1.4.( 06年， 7分)設(shè)數(shù)列 xn 滿足 0 x1 ,xn 1 sin xn (n 1,2,.)

7、求：( 1)證明 lim xn 存在，并求之。1 xn 1 xn2( 2)計(jì)算 lim n 1 。nxn5.(07 年，11分)設(shè)函數(shù) f ( x)、 g ( x)在a,b上連續(xù)，在 (a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的94-11微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考研(數(shù)二)真題一、選擇題 (將最佳答案的序號(hào)填寫在括號(hào)內(nèi))1 cosx,x 05(. 99 年，3 分)設(shè) f (x)=x ,x 0，其中 g(x)是有界函數(shù)，則 f (x)在x 0處( )x2g(x),x 0A)極限不存在B)極限存在，但不連續(xù)2ln(1 x) (ax bx2)1.( 94年， 3分) lim2 2, 則( )5(A) a

8、1,b(B) a 0,b 25(C) a 0,b(D) a 1,b 222.(95年， 3分)設(shè)函數(shù) f ( x)在0,1 上 f (x) 0，則 f (0)、f (1)、f (1) f(0) 或f(0) f (1)的大小順序是( )(A) f (1) f (0) f(1) f(0)(B) f (1) f(1) f(0) f (0)(C) f(1) f(0) f (1) f (0)(D) f (1) f(0) f(1) f (0)3.(97 年， 3 分)已知函數(shù) y f(x)對(duì)一切 x滿足 xf (x) 3x f (x)21 ex，若f (x0 ) 0(x0 0)，則( )(A) f(x0)

9、是 f ( x)的極大值(B) f(x0)是 f (x)的極小值(C)(x0, f(x0)是曲線 y f(x)的拐點(diǎn)(D) f(x0)不是 f ( x)的極值， (x0, f (x0 )也不是曲線 y f(x)的拐點(diǎn)4.(98年， 3分)設(shè)函數(shù) f(x)在 x a的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且 f (a)為其極大值，則存在0 ，當(dāng) x (a ,a ) 時(shí)，必有( )(A)(x a) f(x) f(a) 0 (B)(x a) f(x) f(a) 0(C)lim f(t) f 2(x) 0(x a) (D)lim f(t) f 2(x) 0(x a)t x (t x)2 t x (t x)2C)連續(xù)，但不可

10、導(dǎo)D)可導(dǎo)6.7.8.9.200年， 3分)設(shè)函數(shù) f(x)滿足 f (x) f (x)2 x，A) f (0) 是 f (x) 的極大值B) f (0)是 f (x)的極小值C)點(diǎn) (0, f (0) 是曲線 y f(x) 的拐點(diǎn)D) f(0)不是 f (x)的極值，點(diǎn) (0, f (0)也不是曲線00年，3分)設(shè)函數(shù) f ( x)、 g( x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng) a x b 時(shí)，有( )A)00 年，且 f (0) 0 ，則( )y f(x) 的拐點(diǎn)且 f (x)g(x) f (x)g(x) 0,則f(x)g(b) f(b)g(x)f (x)g(x) f(b)g(b)3分) lim s

11、in6x xf(x)x0B) f (x)g(a) f (a)g(x)D) f (x)g(x) f (a)g(a)6 f2(x) 為x 0 20,則 lxim0 x2C)36(A)0(B) 62201年， 3分)曲線 y (x 1)2(x 3)2 的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A)0B)1C)2D)D)310.(03年， 4分)設(shè)函數(shù) f (x)在( , )內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則 f(x)有(A)(C)一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)11.(04年， 4分)設(shè) f (x)= x(1 x) ，則()(A)x 0是 f (x)的極值點(diǎn)，但 (0,0)

12、 不是曲線 y f(x)的拐點(diǎn) .(B) x 0不是 f ( x)的極值點(diǎn)，但 (0,0) 是曲線 y f(x)的拐點(diǎn).(C) x 0是 f ( x)的極值點(diǎn)，且 (0,0) 是曲線 y f(x)的拐點(diǎn).(D)x 0不是 f (x)的極值點(diǎn)，且 (0,0) 也不是曲線 y f(x)的拐點(diǎn).12.(06年，4分)設(shè)函數(shù) y f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)， 且 f (x) 0，f (x) 0， x為自變量 x在 x0 處的增量， y與 dy 分別為 f (x)在點(diǎn) x0 處對(duì)應(yīng)的增量與微分。 若 x 0，則( )(A ) 0 dy y (B) 0 y dy (C) y dy 0 (D) dy y 021

13、3.(09 年， 4 分)當(dāng) x 0 時(shí)， f (x) x sinax 與 g(x) x2 ln(1 bx) 是等價(jià)無窮小， 則( )1111( A )a 1,b(B)a 1,b( C)a 1,b(D)a1,b666614.(09年， 4分)若 f ( x)不變號(hào)，且曲線 y f (x)在點(diǎn)(1,1)的曲率圓為 x2 y2 2，則 f(x) 在區(qū)間 (1,2) 內(nèi)( )( A )有極值點(diǎn)，無零點(diǎn)( B)無極值點(diǎn)，有零點(diǎn)(C)有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)( D)無極值點(diǎn)，無零點(diǎn)、填空題sin2x e2ax 1,x 01.(94 年， 3分)若 f (x)= x ,x 0在(- ,+ )上連續(xù)，則 a= .

14、a,x 05.(00 年，3分)6.(01 年，3分)im lix 分）3ln(1 3) sin ln(1 x1x)xx23.(97 年， 3分)設(shè) f (x)= (cos x) ,x 0在x 0處連續(xù)，則 aa,x 04.(98 年，3 分)lim arctan x 3x x 0 ln(1 2x3)lim 3 2x1 xx 1x2 x 27.(02 年，3 分)設(shè)函數(shù)tanx1exf (x)= arcsin2x 2ae2x,x 0,x 0在 x 0處連續(xù)，則 axn8.(03年， 4分) y 2 x的麥克勞林公式中 xn項(xiàng)的系數(shù)是9.( 07年， 4分)limx 0 arctan x sin

15、 x210.( 08年， 4分)求函數(shù) f(x) (x 5)x3 的拐點(diǎn)三、計(jì)算1 cosx1.(95 年，5 分)求 lim.x 0 x(1 cos x)2.( 96年，8 分)設(shè)函數(shù) y y(x)由方程 2y3 2y2 2xy x2 1所確定，試求 y y(x)的駐點(diǎn)，并判定它是否為極值點(diǎn)3.4.5.6.97 年，99 年，01 年，4x2 x 1 x 15 分)求 lim 4x x 1 x 1 x5 分)求 limx07 分)求極限指出其類型 .04年， 10分)求極限x2 sinx1 tanx 1 sinxxln(1 x) x2sint ltimx sin xxsint sinx，記此

16、極限為 f ( x) ，求函數(shù) f ( x)的間斷點(diǎn)并lim 13x 0 x32 cosx37.(08 年，sinx sin sin x sinx10 分)求極限 lim x08.(09 年，(1 cosx) x ln(1 tanx)9 分)求極限 lxim0sin4 x在，且 f (0) A.8. ( 10 年， 10 分)設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 0,1 上連續(xù)，在開區(qū)間 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，且111f (0) 0， f (1) 1 . 證明：存在 (0, 1 ), (1,1) 使得 f ( ) f ( ) 2 2322四、證明1.(96 年， 8 分)設(shè) f(x) 在區(qū)間 a,b 上

17、具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (a) f (b) 0，f (a) f (b) 0.證明：存在(a,b)和(a,b)，使 f( )=0及f ( ) 0.2.(02 年， 8 分)設(shè) 0 a b ，證明不等式 22a 2 lnb ln a1 .a2 b2 b aab2 2 2 43.(04 年， 12 分)設(shè) e a b e2 ，證明 ln 2 b ln 2 a 2 (b a). e4.(05 年， 12 分)已知函數(shù) f(x) 在 0,1 上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f (0) 0，f (1) 1.證明：( I)存在(0,1), 使得 f ( ) 1 ；(II )存在兩個(gè)不同的點(diǎn) , (0,1)

18、，使得 f ( ) f ( ) 1.5.(06 年， 7 分)設(shè)數(shù)列 xn 滿足 0 x1 ,xn 1 sin xn( n 1,2,.)求：( 1)證明 lim xn 存在，并求之。n1( 2)計(jì)算 lim xn 1。nxn6.(07 年， 11 分)設(shè)函數(shù) f (x)、g(x)在 a,b 上連續(xù)，在 (a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值， f(a) g(a)，f (b) g(b) ，證明：存在 (a,b) ，使得 f ( ) g ( ).7.(09 年， 11 分)(1)證明拉格朗日中值定理 .(2)若函數(shù) f(x) 在x 0處連續(xù)，在 (0, )( 0) 內(nèi)可導(dǎo)，且 lim f (x

19、) A，則 f (0) 存294-11微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考研(數(shù)三)真題7.(10 年，4分) 若 lim 1 (1 a)ex 1,則a等于 (x 0 x x一、選擇題 (將最佳答案的序號(hào)填寫在括號(hào)內(nèi))f (x)1. (01年， 3分)設(shè) f (x)的導(dǎo)數(shù)在 x a處連續(xù)，又 lim 1, 則( )x a x a(A) x a是 f (x) 的極小值點(diǎn)(B) x a是 f ( x)的極大值點(diǎn)(C)(a, f(a)是曲線 y f(x)的拐點(diǎn)(D)x a不是 f ( x)的極值點(diǎn)， (a, f (a)也不是曲線 y f(x)的拐點(diǎn).2.( 04年， 4分)設(shè) f (x)= x(1 x)，則(

20、 )(A)x 0是 f (x)的極值點(diǎn)，但 (0,0) 不是曲線 y f(x)的拐點(diǎn) .(B) x 0不是 f ( x)的極值點(diǎn)，但 (0,0) 是曲線 y f(x)的拐點(diǎn).(C) x 0是 f ( x)的極值點(diǎn)，且 (0,0) 是曲線 y f(x)的拐點(diǎn) .(D)x 0不是 f (x)的極值點(diǎn)，且 (0,0) 也不是曲線 y f(x)的拐點(diǎn).3.(05 年， 4分)當(dāng) a取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù) f (x) 2x3 9x2 12x a恰好有 兩個(gè)不同的零點(diǎn)( )A)0( B )1、填空題C)2sin x1.(04 年， 4分)若 lim x (cosx b) 5, 則 ax 0 e a2.( 0

21、9年， 4 分)cosxlimD)3三、計(jì)算21 cos x1.(04年， 8分) 求lim(2 2 ).x 0 sin x x1 x 12.(05年， 8分)求 lxim0(11 exx 1x).3.(07年，10分)設(shè)函數(shù) y y(x)由方程 yln y x y 0確定，試判斷曲線 y y(x)在點(diǎn) (1,1) 附近的凹凸性(A) 2(B) 4 (C)6(D)84.(05 年， 4分)設(shè) f (x) xsin x cos x ,下列命題中正確的是 ()(A)f(0) 是極大值，f( )是極小值 .2(B)f(0) 是極小值，f ( ) 是極大值 .2(C)f(0) 是極大值，f( ) 也是極大值 .2(D)f(0)是極小值，f ( ) 也是極小值24.( 08 年，5.( 10 年，10 分) 求 lim 12 ln sin x.x 0 x2x1110 分) 求極限 xlim (xx 1)ln x5.(06 年，4分)設(shè)函數(shù) y f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (x) 0，f (x) 0， x為自變量 x在四、證明1.(94 年， 6 分)假設(shè) f(x)在a, )上連續(xù)， f