圓錐曲線綜合題高考常見題型與分析學(xué)生

1、圓錐曲線綜合題高考常見題型與分析本部分重點考查直線和圓錐曲線的綜合性問題，從近幾年的高考試題來看，除了在解答題中必然有直線與圓錐曲線的聯(lián)立外，在選擇題或填空題中出現(xiàn)的圓錐曲線問題也經(jīng)常與直線結(jié)合起來本部分的主要特點是運算量大、思維難度較高，但有時靈活地借助幾何性質(zhì)來分析問題可能會收到事半功倍的效果(1) 關(guān)于圓錐曲線的方程求解，一般是由定義法求曲線的方程或由已知條件直接求曲線方程，有時也會以求軌跡的形式出現(xiàn)，難度中等(2) 除了方程的求解，還有如下考查內(nèi)容，圓錐曲線的弦長問題、最值問題、定點定值問題、探索性問題等，考查的知識點較多，能力要求高，尤其在考查學(xué)生的運算求解變形能力上 此類問題體現(xiàn)的

2、淋漓盡致，是高考試題中區(qū)分度較高的題目(3) 預(yù)測2015年的高考，對本節(jié)知識的考查仍以解答題為主 ，選擇的載體一般是橢圓，主要圍繞著直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行命題，有時會與向量的共線、模和內(nèi)積等聯(lián)系起來；對于方程的求解，不要忽視軌跡的求解形式，后面的設(shè)問將是對最值、定值、定點、參數(shù)范圍的考查，探索類和存在性問題考查的概率也很高一、直線和圓錐曲線經(jīng)典結(jié)論橢 圓1. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離 2. 以焦點半徑PFi為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切2 23. 若Pc(x)，yo)在橢圓 二+占=1上，則過P)的橢圓的切線方程是 竽+卷=1.a ba b2 24. 若Po(x)，yo)

3、在橢圓 務(wù)+占=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2,則a b切點弦P1P2的直線方程是 竽+聲=1.a2b22 25. 橢圓 片+占=1 (a b 0)的左右焦點分別為F1, F 2,點P為橢圓上任意一點a b?FPF2 g，則橢圓的焦點角形的面積為SdFiPF2 = b2tan| .2 26. 橢圓 篤+占=1 (ab 0)的焦半徑公式：a b| MF1 |= a+ ex, , IMF? |= a- e( R(- c,0) ,F2(g0) M (x, y。).7. AB是橢圓2 2 z+ y_ = a2b2:1的不平行于對稱軸的弦，M(Xo,yo)為AB的中點，則b2b2Xoko

4、M ?kAB-2，即 K AB2。aa yo2 28.若趙曲在橢圓予+沽1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是2 2XoX + y,y =峑 + 匯a b a b2 29.若P(Xo,yo)在橢圓冷+與=1內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是a b2 2X 丄 y_ XoX yoy+ = + 2 . 2 2 . 2 a b a b雙曲線1. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交 .2. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支;外切：P在左支)3.若P0(xo,yo)在雙曲線2 x2a2y2= 1 (ao,b o)上，則過Fo的雙曲線的切線方b程是竽-繆=1.a b4.

5、若P0(xo,yo)在雙曲線2 x2a2y2= 1 (ao,b o)夕卜，則過Po作雙曲線的兩條bP、p,22xy2 - ab2FPF2g22xy_:切線切點為5.雙曲線任意一點？則切點弦的直線方程是等罟=1 (a o,b o)的左右焦點分別為F1, F2，點P為雙曲線上，則雙曲線的焦點角形的面積為SDF1PF2g cos .22=b -.g sin26. 雙曲線22a b當(dāng)M(xo,yo)在右支上時，當(dāng)M(xo,y)在左支上時，x27. AB是雙曲線-a(a 0,b o)的焦半徑公式:(Fi(- c,0),F2(c,0)1.2.3.4.a.IMF =+ a , | MF2 = exo -|

6、MF1 = - exo + a , | MF21= - exo - a2爲(wèi)=1 (a o,b o)的不平行于對稱軸的弦, bAB的中點，貝V Kom KabM(xo, yo)為b2Xo,a yo2-y-=1b2 1即K ABb2xo-a yo2x2a2歹.2 2x_ y_= 1 a byoy頁.2 y = 2 px以焦點弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線丨相切;2PXW =;42y1 gy2 = - p ;? A FB 9oo;AB =人 + X2 + p= 2(X3 + 衛(wèi))=孕；2 sin a8.若Po(xo,yo)在雙曲線2 xo2a9.若R(xo,y。)在雙曲線2方程是篤-a2 yb2xx2 a拋

7、物線2(ao,b 0)內(nèi)，則被 Po所平分的中點弦(ao,b o)內(nèi)，則過 Po的弦中點的軌跡6. 1 + AFBF7. A O8. B O9. Sdaob10.B三點共線；A三點共線；P2；2sin a Sdaob =（P）3 （定值）；AB （ 2）（疋值）；11.12.13.AF =P1- cosaAB 3 2P ;tan a =BF =P1+ cosa14.15.y2X2- 22AB = 4 AF ?BF ;16.過拋物線y2=2px上一點M（xo,y o）的切線方程為y0ym x0x過拋物線y2 = 2 px上一點M（x0,y o）的切線的方程為：yy=-p（x+x0）過拋物線x2

8、= 2py上一點M（x0,y 0）的切線的方程為：xx= p（y+ y）過拋物線x2 = - 2 py上一點M（X0,y 0）的切線的方程為：x0x = - p（y+ y）17.過拋物線焦點弦的兩端點的拋物線的切線的交點在準(zhǔn)線上；過拋物線準(zhǔn)線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點、20072014廣東高考圓錐曲線綜合題回顧年份載體求解2014橢圓（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2 ）求點的軌跡方程2013拋物線（1 ）求拋物線方程；（2）求直線方程（3）求最值2012橢圓（1）求橢圓方程；（2）存在性問題求最值2011圓（1）求點的軌跡方程；（2）求最值2010雙曲線（1）求點的軌跡方程；（2

9、）求值2009 :拋物線（1）求點的軌跡方程；（2）求最值2008橢圓（1）求橢圓方程和拋物線方程；（2）存在性問題2007橢圓（1）求圓方程；（2）存在性問題求最值三、圓錐曲線?？碱}型與解題策略題型1 :求軌跡方程解題策略：（1）熟練各種圓錐曲線的有關(guān)定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì);2）認(rèn)真審題；（3）列式求解；4）查漏補(bǔ)缺下結(jié)論。特別注意：若所求的方程后面要用到，必須驗算！22X 例1.( 2014廣東)已知橢圓a爲(wèi)1(a b 0)的一個焦點為0.5,0)，離心b率為更。3(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若動點P(Xo,y)為橢圓外一點， 的軌跡方程且點 P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P解:

10、(1)c=、5,e二 E 二二=二，a a 32橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+92 2 2a = 3,b = a - c =9-5=4,2=1.4(2)若一切線垂直x軸，則另一切線垂直于y軸，則這樣的點P共4個， 它們的坐標(biāo)分別為(-3,北2),(3, 2).若兩切線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)切線方程為y- y0 = k(x-溝)，2 2即y二k(x- x0) + y0,將之代入橢圓方程 + = 1中并整理得:94(9k2 + 4)x2 + 18k(y0- kxJx+ 9輊0 - kxj2- 4 = 0,依題意,D = 0, 即:(18k)2(y。- kxj2- 36執(zhí)-kxj2- 4 (9k2+ 4)= 0

11、, 即 4(y0- kxj2- 4(9k2 + 4)= 0,(x。2- 9)k2- 2x)yk+ y。2- 4= 024Q兩切線相互垂直，k1k2 = - 1,即卩:宅=-1,x - 9x2 + y2 = 13.x02 + y02 = 13,顯然(-3,北2),(3, 2)這四點也滿足以上方程， 點P的軌跡方程為變式練習(xí)：4的切線與x軸正半軸，x2(如圖)，雙曲線C1:2ay軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)2占 1過點P且離心率為.3b2該三角形面積最小時，切點為1. (2014 遼寧)圓 x2(1) 求G的方程；(2) 橢圓C2過點P且與G有相同的焦點，直線I過C2的右焦點且與C2交于A, B兩

12、點，若以線段 AB為直徑的圓過點 P，求丨的方程2. 2014 陜西如圖，曲線C由上半橢圓C:2 2厶+篤=l(ab0, y 0)和部分拋物a b_ 2線C: y=- x + i(yw0)連接而成,C與C的公共點為 A B,其中C的離心率為 邑2(1) 求a, b的值；(2) 過點B的直線l與C，C2分別交于點 的方程.P, Q均異于點 A B，若APL AQ求直線l解題策略：(1)常用方法有配方法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)單調(diào)性等題型2：與圓錐曲線相關(guān)的最值問題(2) 參數(shù)方程法(三角代換法)，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的有界性(3) 不等式法，通過基本不等式求最值；(4) 數(shù)形結(jié)

13、合法.解決最值問題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量；解決此類問題要綜合應(yīng)用多種知識，注意問題切入點的突破.2 2x y例2. 2014 四川已知橢圓C: g+話=1(ab0)的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2) 設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x =- 3上任意一點，過 F作TF的垂線交橢圓 于點P, Q 證明：OT平分線段PQ其中O為坐標(biāo)原點) 當(dāng)開最小時，求點T的坐標(biāo).隔 + b = 2b,解：(1)由已知可得T 解得2c = 2pa2 b2 = 4,2 2x y所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是7+中=1.6 2 證法一：由 可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是

14、(一2,2 2a = 6, b = 2,0)，設(shè)T點的坐標(biāo)為(一3, m),m 0kTF= 3( 2) = m1 、PQ的斜率kpQ= m.直線PQ的方程是x= my 2.PQ的方程是x= 2,也符合x = my- 2的形式.則直線TF的斜率m皆0時，直線m= 0時，直線設(shè)P(xi, yi) - QX2, y2)，將直線PQ的方程與橢圓 C的方程聯(lián)立，得x = my- 2,X2 y2得(n2 + 3) y2 4my- 2= 0 -6十22 2其判別式 A = 16m+ 8(m+ 3)0.所以4m 2yi+y2=麗，yiy2= m+,12Xi+ X2= nm yi + y2) 4 = 2_ .設(shè)

15、M為PQ的中點，貝U M點的坐標(biāo)為62m吊+ 3， m+ 3 -所以直線OM的斜率kok 又直線OT的斜率koT= 3,所以點3(3, m ,2 2 yiy22M在直線0T上，因此0T平分線段PQ證法二：設(shè)T點的坐標(biāo)為2 2 2 2Xiyi d X2y2 d=1，- =i2 6 2m=0,貝U PQ中點為F,F(xi, yi) - Qx2-2 2X-I X26y2），PQ中點M(Xo,m3，則PQ0，則 kFTFT，得OT平分線段綜上：方一：由可得,滿足OT平分線段PQmkPQm, kOTyiy2X2XiyoXoX-i X23(yi y2)KotkOMXo3 yoO,M,T花線PQi tfi

16、=p m+1 -| PQ(Xi X2)2+( yi y2) 2(mi+ i) (yi + y2) 2 4yiy2(m+1)2+24 - 23但4+ 3m+ 3m+ 3|TF|所以而m+i+4丄（m+3）2方 m+1當(dāng)且僅當(dāng)m+時，等號成立，此時|PQ取得最小值.m+ 3故當(dāng)闍最小時，T點的坐標(biāo)是(一3, 1)或(一3,- 1).方二：由(1)，得x 3是橢圓的左準(zhǔn)線，離心 e?二，由及橢圓第二定義,、6PQPFFQ2 (6(X1 X26)26(m2_m2 21)TF.m2 1I PQ余略。 變式練習(xí):3. 2014 浙江卷如圖，設(shè)橢圓C：2孑 + 討 1(ab0),動直線l與橢圓C只有一個公共

17、點P,且點P在第一象限.k表示點P的坐標(biāo);b,(1) 已知直線l的斜率為k,用a,(2) 若過原點0的直線丨1與I垂直，證明：點 P到直線11的距離的最大值為 a-b.4. 2014 山東卷已知拋物線 C： y2= 2px(p0)的焦點為F, A為C上異于原點的任 意一點，過點 A的直線l交C于另一點B,交x軸的正半軸于點 D且有| FA = | FD.當(dāng)點 A的橫坐標(biāo)為3時， ADF為正三角形.(1) 求C的方程.(2) 若直線I 1 / l，且l 1和C有且只有一個公共點 E. 證明直線 AE過定點，并求出定點坐標(biāo). ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

18、題型3:與圓錐曲線相關(guān)的存在性問題求解策略：(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不 正確則不存在.(2)策略:當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論； 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件； 當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情 況.例3.(2014 深圳一模)如圖，直線l : y x2C: y 2px(p 0),已知點P(2, 2)在拋物線C上，且拋物線離的最小值為三.4(1) 求直線l及拋物線C的方程；(2) 過點Q(2,1)的任一直線(不經(jīng)過點 P )與拋物線C交于 與直線l相交于點M，記直線PA, PB

19、, PM的斜率分別為k1 , 在實數(shù) ，使得k1 k2 k3 ?若存在，試求出解：(1)(法一)Q點P(2,2)在拋物線C上，設(shè)與直線I平行且與拋物線 C相切的直線b(b 0),拋物線C上的點到直線I的距的值；若不存在，PI方程為y由 丫 m，2yQ2x，(2 m2 2得 x (2m 2)x mQ兩直線2)2A、B兩點，直線AB k?, k3.冋：是否存 請說明理由.4m24 8m ,1，則直線l方程為21x 2I間的距離即為拋物線 C上的點到直線I的最短距離,垃，解得b 2或b 1 (舍去).4有一直線I的方程為y x 2，拋物線C的方程為y2 (法二)Q點P(2,2)在拋物線C上，p 1，

20、拋物線C的方程為y2 2x .設(shè)M(Jt)(t R)為拋物線C上的任意一點，點M1 t b2距離為d、2 ，2根據(jù)圖象，有t i)22b1,QtR, d的最小值為直線l的方程為yQ直線AB的斜率存在, 設(shè)直線AB的方程為y 1y kx 2k 1,2由得ky2y2 2x,因此,(2)2b 1, 2b 13 2c，由，解得b 2 222.242，拋物線C的方程為設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為k(x 2)，即 y kx2y 4k 20,A(xi, yi)、B(x2, y2)，則2kyi2y2k，yiy22 4kkQkiXiYi 22y2yi2y2 2kik2yi2y2 22( yiy2) 8yi y2 2(

21、 yiy2)422 +8kU 2?4kk4k 23kx2ki,x4k2,J k彳 2k 12k 1因此，存在實數(shù)k3得Xm2k 1k，yM4k 112k 1?3kik2使得ki2 ,通過解等式或不等式求參數(shù)的 元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系或利用判別式求參數(shù)k2k3成立，且點評:(1)常常根據(jù)題意建立含有參數(shù)的等式或不等式 值或范圍 (2)建立關(guān)于某變量的 或參數(shù)的范圍變式練習(xí)：5.已知動圓P與圓Fi：( x+3)2+y2=81相切，且與圓R:( x-3) 2+y2=1相內(nèi)切，記圓心P的軌 跡為曲線C;設(shè)Q為曲線C上的一個不在x軸上的動點，O為坐標(biāo)原點，過點Fa作OC的平行線 交曲線C于兩個不

22、同的點MN.(1) 求曲線C的方程；(2) 試探究|MN|和|0Q|2的比值能否為一個常數(shù) ？若能，求出這個常數(shù)；若不能，請說明理 由； 記厶QFM的面積為S， OFN的面積為S2,令S=S+S，求S的最大值.6. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,經(jīng)過點(0,州2)且斜率為k的直線l與橢圓至+y2=1有兩個 不同的交點P和Q.(1) 求k的取值范圍；(2) 設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為 AB是否存在常數(shù)k,使得向量 L卅川共線？如果存在,求出k的值；如果不存在,請說明理由2 2x y7. 2014 邯鄲期末已知點Fi( 1, 0) , F2(1 , 0)分別是橢圓C： g +令=1(

23、ab0) 的左、右焦點，點 P 1,彳 在橢圓C上(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2) 設(shè)直線丨1： y = kx+ m 12: y= kx m若11, 12均與橢圓C相切，試探究在 x軸上 是否存在定點 M點M到丨1,丨2的距離之積恒為1.若存在，請求出點 M的坐標(biāo)；若不存在， 請說明理由.題型4:與圓錐曲線的弦長、距離、面積等有關(guān)的問題解題策略：(1) 當(dāng)直線的斜率是否存在未定時，用點斜式或斜截式表示直線時，需分類討論；當(dāng)直線與y軸不垂直時，可設(shè)直線為 x ty m的形式。將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，構(gòu)成方程組，得到型如ax bx c 0的方程，判別式為，利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求計 算

24、弦 長，設(shè) 兩 交 點 為 A Xi,如，B x2, y2， 則|AB|=、.(1 疋)(人X2)24XM. (112)(yiy2)24yiy2 = -.1k2丄 (k 為V k|a|直線AB的斜率);(2) 當(dāng)涉及過焦點的弦長問題時，可考慮用圓錐曲線的定義；3)當(dāng)弦過原點時，可考慮轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程解。例4. (2014大綱全國，理21)已知拋物線 Cy=2px(p0)的焦點為F,直線y=4與y軸5的交點為P,與C的交點為Q且|QF|=-|PQ|.(1) 求C的方程；(2) 過F的直線l與C相交于A, B兩點，若AB的垂直平分線I與C相交于M N兩點， 且A、M B、N四點在同一圓上，求I的方

25、程.命題定位：本題主要考查拋物線的定義、直線方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、 弦長公式等知識，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)方程思想.對運算求解能力、分析問題和解決(I)設(shè) Q(Xo , 4)，代入 y2 = 2px，得問題的能力、數(shù)學(xué)探究能力及綜合運用知識的能力有較高的要求PQ8一JpQF+X0=P +8 p *22由題設(shè)得#+ 8 p5? 14 p，解得p =-2 （舍去）或p = 2 , c的方程為y2 _4x ；解:(II )由題設(shè)知I與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)I的方程為x = my+ 1(m ? 0),2 2代入 y = 4x，得 y - 4my- 4=0 .設(shè) A(x1, y1), B(

26、x2 , y2),則 yi + y2 = 4m,= - 4 .故AB的中點為D(2m2 + 1,2m),AB = , m2 + 1 y1 - y2 = 4(m2 + 1)又I伯勺斜率為-m ,1 2I妬勺方程為X = - y + 2m + 3 . m2將上式代入y = 4x，并整理得+ y- 4(2m2 + 3)= 0 m設(shè) M(X3, y3), B(X4 , y4),則y3+ y4= - - , y3y4 = - 4(2m3)-故MN的中點為E?桫? + 2m：+ 3,-壬MN1+ 12m由MN垂直平分!|ab42+ DE即 4 (m2+ 1)2 +y3 - y4 =AB，4(m2 + 1)

27、 . 22m + 12m故A , M , B , N四點在同一圓上等價于AE = BE =1?|mn，貝y=丄 |mn4驏m+m鼢2驏22 4(m2 + 1)(2m2+ + 2桫m22化簡得m - 1 = 0，解得m= 1或m = - 1. 所求直線|的方程為x- y- 1= 0或x+ y- 1 = 0 . 變式練習(xí)：8. (2014課標(biāo)全國I) 已知點A ( 0, -2 )，橢圓2 X 2 a2b 1(a b0)的離心率,O為坐標(biāo)原點當(dāng)OPQ的面積最大時,為上3 , f是橢圓的焦點，直線 AF的斜率為 禎23(I )求E的方程；(n)設(shè)過點A的直線I與E相交于P,Q兩點，9. 在平面直角坐標(biāo)

28、系 xOy中，過定點C (0, p)作直線與拋物線 x2=2py (p0)相交 于A、B兩點。(I)若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，求 ANB面積的最小值;(H)是否存在垂直于 y軸的直線I，使得I被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出I的方程；若不存在，說明理由。題型5:圓錐曲線的中點弦問題解題策略：這類問題一般有以下三種類型：(1)求中點弦所在直線方程問題；2) 求弦中點的軌跡方程問題；3) 求弦中點的坐標(biāo)問題。其解法有“點差法”、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。篤 1(a b 0)的左右焦x2例5. 2014 湖南如圖乙O為坐標(biāo)原點，橢圓G： a b點分別

29、為Fi,F2，離心率為ei ；雙曲線C2x2y2、:2 1(a b 0)的左右焦點分別為a bF3, F4，離心率為 e，已知 e1e23，且 F2F4I-3 1 .2(I)求G, C2的方程;(n) F1過作G的不垂直于y軸的弦AB, M為AB的中點, P,Q兩點時，求四邊形 APBQ面積的最小值 解：(I) ee *3,2蘭即a4 b42a2 2b2,從而 F2(b,0), F4( 3b,0), 于是 J3b b F2F41 ,22x當(dāng)直線OM與C2交于POxQ圖7yAb 1，a2y21,雙曲線C2的方程為故橢圓C1方程為一2(n)因為直線AB不垂直于 y軸且過點 F12x21,0故設(shè)直線

30、 AB的方程為x my 1.x my由x227 y2 2m 2 y 2my 10，設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2)，則yr 是上述方程的兩個實根,12my1y22my2因止匕x1X2m y1y224，AB的中點為m 2m2，m2故直線PQ的斜率為m， PQ的方程為y2mx2y 0.2m x 2 x, y2 2x24，0,x2422, ym2m2m2 ,PQ設(shè)點2dE 2必A到直線PQ的距離為dmx1 2y1mx? 2y?，則B點到直線PQ的距離也為4m4因為點A, B在直線mx于是mx1從而2d2ymx?m2 2 y1、m242y 0的異側(cè)，所以 m 2y12 yd |mx1 2y1 mx

31、? 2y?,mx22 y2又因為y1y2y22y1 y24y$222，所以m 42d “12mm24四邊形APBQ面積s 1 PQ 2d 2昭1 I? 2運12JTimmV 2 m而02故四邊形 變式練習(xí)：m22，故當(dāng)m 0時，S取得最小值2.APBQ面積的最小值為2.22y1(a b 0)的右焦 b2x10. (2013新課標(biāo)n)平面直角坐標(biāo)系xoy中，過橢圓a點f作直x y 3 0交m于A,B兩點，p為ab的中點，且op的斜率為(I)求M的方程；(n) C,D為M上的兩點，若四邊形ABCD的對角線CD AB,求四邊形 ABCD面積的最大值2x11.已知橢圓C:-ya(I)求橢圓方程；(n)

32、若直線l : y一 1y2371(a b 0)過點(1,一)，且離心率eb22kx m(k 0)與橢圓交于不同的兩點 M、垂直平分線過定點 G( ,0)，求k的取值范圍。8N ,且線段MN的題型6:圓錐曲線中的參數(shù)問題解題策略：(1)函數(shù)法，用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)值域來求解；(2) 不等式法，根據(jù)題意建立含有參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的范圍；(3) 判別式法，建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式 AA0求參數(shù)的范圍；(4) 方程思想，建立含有參數(shù)的等式，通過等式確定參數(shù)例6. 2014 佛山質(zhì)檢已知橢圓C的左、右焦點分別為Fi( 1, 0) , F2(1 , 0

33、)，且F2到直線x 3y 9= 0的距離等于橢圓的短軸長.(1) 求橢圓C的方程；(2) 若圓P的圓心為F(0, t)(t0)，且經(jīng)過Fi, F2, Q是橢圓C上的動點且在圓 P外, 過點Q作圓P的切線，切點為 M當(dāng)I QM的最大值為 W 時，求t的值.22 2解：(1)設(shè)橢圓的方程為 爲(wèi)+爲(wèi)=1(ab0).a2b2依題意可知，2b= U=4,所以b= 2.2又 c = 1，故 a2= b2 + c2= 5,2 2故橢圓C的方程為+上=1.54設(shè) Qxo, yo)，圓 P的方程為 x2 + (y t )2= t2+ 1.因為PML QM所以| QM =| PQ2-t2-1 =_x0+(y0 t

34、)2 t21 = 1(yo+ 4t)2+ 4+ 4t2.1若一4t w 2，即t 2，當(dāng)y0= 2時，|QM取得最大值，323 1 入| Qiyimax= ,4t + 3 = ，解得 t = 8 2,即0t2，當(dāng)y。= 4t時，|QM取最大值，且 I QMmax =,4T4T=牙 ，解得t2= 8.又0)的右焦點為F,a分別在C的兩條漸近線 AF丄x軸，AB丄OB BF/ OA( O為坐標(biāo)原點).(1)求雙曲線C的方程；點A, B(2)過C上一點P (X。，y。)(0)的直線l : 學(xué) -y0y=1與直線AF相交于點MaI MF |I NF I與直線x=-；相交于點N.證明：當(dāng)點 P在C上移動

35、時,恒為定值，并求此定值.(1)解：依題意知，A (c, 一)，設(shè)B (t ,a-),/ AB丄 OB BF/ OAW弓-1 ,1=ta a( - t)整理得：t=千,a= 敘3,2雙曲線C的方程為專-y2=1 ；(2)證明：由(1 )知A (2,寧，1的方程為：詈-y0y=1，又F (2, 0),直線l :- yoy=1與直線AF相交于點 M與直線X相交于點N.r2于是可得M( 2,)N(尋|士 |I W2|2x0 -3| J1 NF心粋( 一小22|2k0 -3|J2V3nrI NF變式練習(xí):恒為定值。14. (2013山東(理)橢圓C:2 2x y2- 2 1 (a b 0)的左、右焦點

36、分別是 F1、F2,a b3離心率為 ,過F1且垂直于2(I)求橢圓C的方程；(n)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點， PM交C的長軸于點 M(m 0),求m的取值范圍；(n)的條件下，過點 p作斜率為kx軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.連接PF、PF2,設(shè)/ F1PF2的角平分線(川)在個公共點,設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1, k2.的直線l ,使得I與橢圓C有且只有一1 1若k豐0,試證明為定值,并kk1kk2求出這個定值3;最小值為1 ;(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;15. (07山東理)已知橢圓 C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在 x軸上，橢圓C上的點到焦 點距離的最大值為l: y k

37、x m與橢圓C相交于A, B兩點(A, B不是左右頂點)，且以(n)若直線AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點。求證：直線 l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。題型8:與圓錐曲線相關(guān)的求值問題解題策略：熟練各種曲線的定義、方程和性質(zhì)。2 2F1, F2,右頂點為x V例9. 2014 天津卷設(shè)橢圓-+ 2= 1(ab0)的左、右焦點分別為a bA,上頂點為B.已知| AE| =寺| FF2|.(1) 求橢圓的離心率；(2) 設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點 F1,經(jīng)過原點 0的直線l與該圓相切，求直線l的斜率.解：(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標(biāo)為(C, 0).J32 22由 IAB

38、 =-| F1F2|，可得 a2 + b2= 3c2.又 b2= a2 c2,則?= 2, 所以橢圓的離心率 e=.22(2)由(1)知a = 2c b = c故橢圓方程為 無2+右=1.設(shè) P(xo, yo).由 Fi( c, 0) , B(0 , c)，有 FfP= (xo+ c, yo), FB= (c, c).由已知，有 F1P FB= 0，即(x+ c) c + yc= 0. 又c豐0,故有x+ y+ c = 0.2 2又因為點P在橢圓上，所以 務(wù)+右=1.2由和可得 3x0 + 4CX0= 0.4而點P不是橢圓的頂點，故X0= 3c.c4c c代入得y= 3，即點P的坐標(biāo)為 一,

39、3 .4 3c+ 02設(shè)圓的圓心為 T(X1, y1)，貝U X1=2= 3c,c=3 c.c+ c32 yi = =3c，則圓的半徑 r =(xi 0) 2+( yi c)設(shè)直線I的斜率為k,依題意，直線, | kx1 y1|由I與圓相切，可得= r,整理得 k2 8k+ 1 = 0,解得 k= 4 ,15,l的方程為y= kx.2c2ck J T即2=所以直線I的斜率為4 + .15或4 15.變式練習(xí):2 216. 2014 重慶卷如圖所示，設(shè)橢圓 篤+右=1(ab0)的左、右焦點分別為 F, F2,a b點D在橢圓上，DF丄F1F2, yDFp = 2血, DFF2的面積為2(1) 求

40、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在 x軸的上方有兩個交點， 切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑.2 217. 2014 新課標(biāo)全國卷n 設(shè)x yFi, F2分別是橢圓 C：云+習(xí)=1(a b0)的左、右焦點，M是C上一點且MF與x軸垂直，直線 MF與C的另一個交點為 N3(1) 若直線MN的斜率為4，求C的離心率；(2) 若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN = 5| FiN|，求a, b.18. 2014 安徽如圖，已知兩條拋物線 Ei： y2= 2pix(pi 0)和E: y2 = 2p?x(P2 0)，過原點O的兩條直線l 1和I 2, 11與Ei,Ea分別交于

41、 A,A兩點，I2與E,Ea分別交于B, R兩點.(1) 證明：AB/ AB;(2) 過O作直線I (異于li,丨2)與Ei, E2分別交于 C, G兩點，記 AiBiC與厶ABO的面積分別為$與S,求S2的值.7變式練習(xí)參考答案m,n,r241 解：（1）設(shè)圓半徑r,P點上下兩段線段長分別為 由射影定理得r2 mn,三角形面積1 4 22-r 4(m n ) 1621 8T21622僅當(dāng)m n 2時,S取最小值，這時P( . 2, . 2).2 2Q C.3,c2 b2 a2,把點P(.2, .2)代入雙曲線方程 忡aa bc23, b22, a212所以，雙曲線方程為X2-仏12（2）由（

42、1）可知雙曲線 G的焦點（土 需，0）,即為橢圓C2的焦點.可設(shè)橢圓C2的方程為3+bJ bj把P :|代入可得2 *1，解得 b f=3, 3+bf b；1因此橢圓C2的方程為二1.由題意可設(shè)直線I的方程為x=my+ :, A (X1, y1), B (X2,zZf2y2=6聯(lián)立，化為(y2+2V3W_3=0,y2),2近曲2+m2 Xl+X2= |-3yy2=21 計 n/4V3w2+2X1X2=:T 丁 丁 . +_： ： 丁 -V.-=6-6異mF+ 2AP=(任 _ 仆逅 _ y )，麗二 V2 - i J , i:.+|逅(y i +匕)十，_ q 冷(蚤x-.:. 二-I或x-.

43、2.解：(1) Q 拋物線 y-x21 交于點(-1,0),(1,0) , b 1c 32.2又 Q, a ba 2聯(lián)立解得a2,b2橢圓方程為 X24(2)設(shè)過 B(1,0)的直線方程為 y k(x-1),P(X1,y1),Q(X2, y2),加2聚昭4血-1L二Q，解得- 1或m=_因此直線I的方程為:c21,c23與紅x21 聯(lián)立得：k2(x2-2x1)4x24,即(k24)x2-2k2xk2-404由韋達(dá)定理得x 1與y -x21聯(lián)立得由韋達(dá)定理得x 2 uuuQ APuuuAQk2-4-8k 助 k2-4-8k2,y 1 k(x1-1)2，即 P(門,2)k 4k 4 k 4 k 4:x kx-k-1 02 k(X2-1) -k2-2k,即Q(-k-1,-k 2-2k) , A(-1,0)-k-1, yuuu LULT站AP?AQ 0,即(uuuk2-4k24)? (-k, -k2 -2k)0即