滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊第18章勾股定理的逆定理知識講解與練習(xí)

1、2222.2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 222222222勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理(1) 勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形 是直角三角形(2) 數(shù)學(xué)表達式：如圖所示，在abc 中，a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，如果a 2b 2c 2，則abc 為直角三角形，c 邊所對的角為直角，即c=90.知識點拓展：(1)運用勾股定理的逆定理可判定三角形是否為直角三角形，同時也可用 來說明兩直線是否垂直在運用時要注意兩點：不能機械地認為 abc 中，c 邊所對的角是直角；ab是否與 c相等需要計算說明，不能一開始就用 a2

2、b c2(2)設(shè)三角形的三邊長為 a，b，c(c 為最長邊)若 a b c ，那么這個三角形是直角三角形； 若 a b c ，那么這個三角形是銳角三角形； 若 a b c ，那么這個三角形是鈍角三角形【例 1】根據(jù)下列條件，判斷abc 是不是直角三角形 (1)a 21，b 21，c 6；(2)abc13125.2勾股數(shù)若三個數(shù)為勾股數(shù)，則它們必須同時滿足兩個條件 ：(1)能夠成為直角三角形三條邊的 長度；(2)三個數(shù)都是正整數(shù)這兩個條件缺一不可根據(jù)“勾股數(shù)”的定義我們知道，“勾股數(shù)”指的是滿足 a b c 的三個正整數(shù) a， b，c，而有些同學(xué)誤認為只要滿足 a b c 的三個數(shù) a，b，c

3、即是勾股數(shù)，這是錯誤的， 比如6,8,10，雖然滿足(6) 8 10 ，但6,8,10 不是勾股數(shù)【例 2】張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：n 2 3 4 5 a 2 1 3 1 4 1 5 1 b 4 6 8 10 c 2 1 31 4 1 51 (1) 請你分別觀察 a，b ，c 與 n 之間的關(guān)系，并用含自然數(shù) n(n1)的代數(shù)式表示：a _，b_，c_.(2) 以 a，b，c 為邊長的三角形是否為直角三角 形？222 2 22223兩點之間的距離公式在平面直角坐標(biāo)系中有兩點 a(x ， y ) ， b(x ， y ) ，a ， b 兩點之間的距離 |ab| 1 1 2

4、2(x x ) 2 1(y y ) ，這就是兩點之間的距離公式 2 1【例 3】在平面直角坐標(biāo)系中有兩點 a(1,1)，b(1,3)，在 x 軸上找一點 c，使 acbc， 求點 c 的坐標(biāo)4運用勾股定理的逆定理判斷直角三角形勾股定理的逆定理的主要作用是判斷一個三角形是否是直角三角形，另外，還可以運用 勾股定理的逆定理來判斷一個角是否是直角，或判斷兩條直線是否垂直三角形的三邊長已知，需要判斷一個三角形是否是直角三角形時，就要聯(lián)想 到是否用到勾股定理的逆定理【例 4】如圖所示，d 是abc 的邊 bc 上一點，已知 ab13，ad12，ac15，bd 5，試求acd 的面積5勾股定理及其逆定理的

5、綜合運用勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是不是直角三角形的重要依據(jù)，是運用直角三角形 各種性質(zhì)的先決條件，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想勾股定理是以“一個三角形是直 角三角形”為條件，進而得到這個直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系即“a b c ”；勾股定理的逆定理則是以“一個三角形的三邊滿足 ab c ”為條件，進而得到這個三角形是直角三角形，是判別一個三角形是否是直角三角形的一種方法【例 5】如圖所示，在abd 中，a 是直角，ab3，ad4，bc12，dc13 dbc 是直角三角形嗎？為什么？2 2 22222 2 22 226勾股定理的逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，首先

6、要根據(jù)題意，建立數(shù)學(xué)模型，把 實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進而得到三角形，然后由題目提供的信息找出相關(guān)數(shù)據(jù)，按照題 目的要求來判斷是否是直角三角形把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后，不要只從圖形上就誤認為三角形是直角三角 形，而必須通過勾股定理的逆定理來判斷是否是直角三角形，也就是進行計算求解【例 6】如圖，這是一個農(nóng)民建房時的地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形他在挖完后 測量了一下，發(fā)現(xiàn) abdc8 m ，adbc6 m ，ac9 m ，請問：該農(nóng)民挖的地基是否 合格？7勾股數(shù)及其確定方法設(shè)直角三角形的三邊長為 a，b，c，且斜邊為 c，由勾股定理得 a b c ，這是構(gòu)成 直角三角形的等價條件，凡是可以構(gòu)

7、成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，就稱為勾股數(shù)常用勾股數(shù)有：3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17；7,24,25；9,40,41 等勾股數(shù)一定是正整數(shù)，如 1.5，2,2.5 這三個數(shù)雖然能構(gòu)成直角三 角形的三邊， 但是這三個數(shù)并不是勾股數(shù)對于大于 2 的任意偶數(shù) 2n(n 是大于 1 的正整數(shù))，都可以與 n21，n 1 構(gòu)成一組勾股數(shù)，如 3,4,5；6,8,10；8,15,17；任意一個大于 1 的奇數(shù) 2 n1(n 是正整數(shù))都可以與 2n 2n,2n 2n1 構(gòu)成一組勾股數(shù)，如 3,4,5 ；5,12,13；7,24,25；.【例 71】已知：數(shù) 7 和 24，請你再寫一個整數(shù)，使這些數(shù)恰好是一個直角三角形三 邊的長，則這個數(shù)可以是_【例 72】所謂的勾股數(shù)就是使等式 a b c 成立