小學思維數(shù)學講義：最值中的數(shù)字謎(二)-帶詳解

1、最值中的數(shù)字謎（二） 教學目標1. 掌握最值中的數(shù)字謎的技巧2. 能夠綜合運用數(shù)論相關知識解決數(shù)字謎問題知識點撥數(shù)字謎中的最值問題常用分析方法1.2.3.4.5.數(shù)字謎一般分為橫式數(shù)字謎和豎式數(shù)字謎橫式數(shù)字謎經(jīng)常和數(shù)論里面的知識結合考察，有些時候也可以 轉化為豎式數(shù)字謎；豎式數(shù)字謎通常有如下突破口：末位和首位、進位和借位、個位數(shù)字、位數(shù)的差別等數(shù)字謎的常用分析方法有：個位數(shù)字分析法、高位數(shù)字分析法、數(shù)字大小估算分析法、進位錯位分析法、 分解質因數(shù)法、奇偶分析法等除了數(shù)字謎問題常用的分析方法外，還會經(jīng)常采用比較法，通過比較算式計算過程的各步驟，得到所求的 最值的可能值，再驗證能否取到這個最值數(shù)字

2、謎問題往往綜合了數(shù)字的整除特征、質數(shù)與合數(shù)、分解質因數(shù)、個位數(shù)字、余數(shù)、分數(shù)與小數(shù)互化、 方程、估算、找規(guī)律等題型。例題精講模塊一、橫式數(shù)字謎【例 1】 在下面的算式 中填入四個運算符號 +、 -、 、 、（每個符號只填一次），則計算結果最大是 _.5【考點】混合計算中的數(shù)字謎 【難度】2 星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，六年級，初賽，第 3 題，6 分【解析】 為 了得到最大結果必須用 “” 連接 4 和 5 ，那么 4 和 5 前邊一定是 “+” ，通過嘗試得到：11 -2 3 +4 5 =20 .3【答案】 20131 1 1 1 1【例 2】 將+，-，四個運算符號分別填入下面的四個

3、框中使該式的值最大。 6【考點】混合計算中的數(shù)字謎 【難度】3 星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，初賽，第 9 題【解析】 題目給出 5 個數(shù)，乘、除之后成 3 個數(shù)，其中減數(shù)應盡量小，由兩個數(shù)合成（相乘或相除）的加數(shù)與另一個分數(shù)相加應盡量大， ， ， ， ； ，1 ，；而， ， ；其中最小的是 所以，而最大，【答案】最大【例 3】 將 1、3、5、7、9 填入等號左邊的 5 個方框中，2、4、6、8 填入等號右邊的 4 個方框中，使等式 成立，且等號兩邊的計算結果都是自然數(shù)這個結果最大為 + = +【考點】混合計算中的數(shù)字謎 【難度】3 星 【題型】填空【解析】 等 號左邊相當于三個奇數(shù)相加

4、，其結果為奇數(shù)，而等號右邊的計算結果為奇數(shù)時，最大為6 2 +84 =87 ，又 3 1 +5 +79 =87 滿足條件(情況不唯一)，所以結果的最大值為 87【答案】87【例 4】 一個電子表用 5 個兩位數(shù)(包括首位為 0 的兩位數(shù))表示時間，如 15:23:45/06/18 表示 6 月 18 日 15 點 23 分 45 秒有一些時刻這個電子表上十個數(shù)字都不同，在這些時刻中，表示時間的 5 個兩位數(shù) 之和最大是 【考點】 【難度】星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，決賽，8 題【解析】 假設五個兩位數(shù)的十位數(shù)上的數(shù)字之和為 x ，那么個位數(shù)上的數(shù)字之和為 45 -x ，則五個兩位

5、數(shù)上的 數(shù)字之和為10 x +45 -x =45 +9 x ，所以十位數(shù)上的數(shù)字之和越大，則五個兩位數(shù)之和越大 顯然，五個兩位數(shù)的十位數(shù)字都不超過5 ，只能是 0，1，2，3，4，5這五個數(shù)字中的五個如果五個數(shù)字是 5，4，3，2，1，那么 5，4 只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，而 3 只能在“日期”的十 位上， 2 只能在“時”的十位上， 1 只能在“月份”的十位上，此時“ 日期”的個位、“月份”的個位、“時” 的個位不能同時滿足實際情況如果五個數(shù)字是 5，4，3，2，0，那么 5，4 只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，而 3 只能在“日期”的十 位上， 2 只能在“時”的十位上

6、，此時“日期”的個位、“時”的個位不能同時滿足實際情況如果五個數(shù) 字是 5，4，3，1，0，那么 5，4 只能在“分”、“秒”兩個兩位數(shù)的十位，而 3 只能在“日期”的十位上，則“日 期”的個位無法滿足情況如果五個數(shù)字是 5，4，2，1，0，那么 5，4 只能在“ 分” 、“秒”兩個兩位數(shù)的十 位， 2 ，1，0依次在 “ 日期 ” 的十位上、 “ 時” 的十位上、 “月份 ” 的十位上容易滿足條件所以最大值為 45 +9 (5+4+2+1 +0 )=153【答案】 153 0. a bc【例 5】 =2.008 ，三位數(shù) abc 的最大值是多少？0. c a b【考點】乘除法中的最值問題 【

7、難度】3 星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，六年級，初賽，第 4 題【解析】 2.008 化為分數(shù)是251 251 502 753，可以約分為 的分數(shù)有 、 ，所以 abc 的最大值為 753. 125 125 250 375【答案】 753模塊二、乘除法中的最值問題【例 6】 已知一個五位回文數(shù)等于 45 與一個四位回文數(shù)的乘積（即 abcba =45 deed ），那么這個五位回文 數(shù)最大的可能值是_【考點】乘除法中的最值問題 【難度】3 星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，五年級,初賽，第 7 題2 【解析】 根據(jù)題意， abcba =45deed ，則 abcba 為的倍數(shù)，所以 a 應

8、為或，又 a 還在首位，所以 a ， 現(xiàn) 在 要 讓 abcba 盡 可 能 的 大 ， 首 先 需 要 位 數(shù) 高 的 盡 可 能 的 大 ， 所 以 令 b =9 , c =8 ， 則 a +b +c +b +a是的倍數(shù)，用 符合條 件，所以這個五位回文數(shù)最大的可能值是 59895 .【答案】 59895【例 7】 在下面乘法豎式的每個方格中填入一個非零數(shù)字，使算式成立。那么，乘積的最大值等于 _。2006（a）6292 （b）6384 （c）6496 （d）6688 【考點】乘除法中的最值問題 【難度】4 星 【題型】選擇 【關鍵詞】迎春杯，高年級，復試，第 1 題【解析】 d ，提示：

9、 304 22 =6688【答案】d. 6688【例 8】 滿足圖中算式的三位數(shù) abc 最小值是_【考點】乘除法中的最值問題 【難度】4 星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，六年級，初賽，第 3 題【解析】 為了使得 abc 最小，那么 a=1，由于三個積的十位數(shù)字為 0、1、0，那么 b=0，個位上可以進位、不 進位都必須出現(xiàn)，那么 c=2，所以 abc =102；評注：這是有極值要求的殘缺數(shù)字謎問題，如果沒有 abc 最小的限制，那么方法很多，即使在 abc 最小時，也有很多填法。本題可以改編成計數(shù)與數(shù)字謎的 綜合試題，其它條件不變，“在 abc 最小時，共有_種不同填法；”，答案：20；

10、【答案】 20【例 9】 若 用 相 同 漢 字 表 示 相 同 的 數(shù) 字 ， 不 同 漢 字 表 示 不 同 的 數(shù) 字 ， 則 下 列 算 式 中 ， 學習好勤動腦 5=勤動腦學習好 8 “學習好勤動腦”所表示的六位數(shù)最小是多少？【考點】乘除法中的最值問題 【難度】4 星 【題型】填空【解析】 設“ 學習好 ” 為 x ， “ 勤動腦 ” 為 y ，則有(1000 x +y)5 =(1000 y +x)8 ，化簡得 4992 x =7995 y ，即128 x =205y ，有x =205 x =410 x =615 x =820 ， ， ，y =128 y =256 y =384 y

11、=512所以， “學習好勤動腦”所表示的六位數(shù)可能為 205128，410256，615384，820512，由于不能有重復數(shù)字，只有 410256，615384 滿足， 其中最小的是 410256【答案】410256【例 10】 在填入適當?shù)臄?shù)字，使下列豎式成立，并使乘積盡可能小，那么乘積最小是 3640【考點】乘除法中的最值問題 【難度】4 星 【題型】填空【解析】 由于被乘數(shù)乘以 6 得到的數(shù)的個位數(shù)字為 4，所以被乘數(shù)的個位數(shù)字為 4 或 9，如果為 9，那么被乘 數(shù)乘以乘數(shù)的十位數(shù)字得到的數(shù)的個位數(shù)字不可能為 0，與題意不符，所以被乘數(shù)的個位數(shù)字為 4， 且乘數(shù)的十位數(shù)字為 5，所以

12、乘數(shù)為 56由于被乘數(shù)乘以 6 得到的五位數(shù)至少為 10004，而10004 6 =1667 2 ，所以被乘數(shù)大于 1667，而被 乘數(shù)的個位數(shù)字為 4，所以被乘數(shù)至少為 1674，乘積最小為 1674 56 =93744【答案】 1674 56 =93744【例 11】 在填入適當?shù)臄?shù)字，使下列豎式成立，并使乘積盡可能小，那么乘積最小是 68【考點】乘除法中的最值問題 【難度】4 星 【題型】填空【解析】 由于被乘數(shù)乘以 6 得到一個五位數(shù)，而乘以乘數(shù)的十位數(shù)字得到一個四位數(shù)，所以乘數(shù)的十位數(shù)字 小于 6 ，乘數(shù)可能是 16 ，26 ，36， 46 和 56它們能得到的最小乘積分別是 800

13、0 16 =128000 ， 4000 26 =104000 ， 2778 36 =100008 ， 2174 46 =100004 ， 1786 56 =100016 其中最小的為 100004，所以乘積最小為 100004【答案】100004【例 12】 在填入適當?shù)臄?shù)字，使下列豎式成立，并使商盡可能小那么商的最小值是 610【考點】乘除法中的最值問題 【難度】5 星 【題型】填空【解析】 商的十位大于商的百位，所以商的十位最小為 7，個位最小為 1，所以商的最小可能值是 671當商5 1是 671 時，由 “ 除數(shù) 6 99 ” 和 “ 除數(shù) 7 110 ” 得 15 除數(shù) 16 ，那么

14、除數(shù)是7 210736 16= 671滿足題意且商最小，所以商的最小值為 67116 所以【答案】671【例 13】 在填入適當?shù)臄?shù)字，使下列豎式成立，并使商盡可能小那么商的最小值是 4635b c6 a33d500【考點】乘除法中的最值問題 【難度】6 星 【題型】填空【解析】 如右式，用字母表示某些方格內的數(shù)因為除數(shù)是兩位數(shù)，它與商的各個數(shù)位的乘積都是三位數(shù)， 所以商的每一位都不小于 2，那么商的最小可能值為 262由右式知 d =8 ，所以 c =3 或 8當 a =2時，由 bc a =5，推知 c 3 ，所以 c =8 ，進而得 b =7 ，此時題中算式為 20436 78 =262

15、 ，滿足題意，所以商的最小值為 262【答案】262【例 14】 在右圖除法豎式的每個方格中填入適當?shù)臄?shù)字使豎式成立，并使商盡量大那么，商的最大值是 _d e f ga b c2h 2 i j000k m 0 n777 q r00【考點】乘除法中的最值問題 【難度】6 星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，初賽，第 6 題【解析】 如右式，用字母來表示方格內的數(shù)字易知 f =0 為了使商最大，首先令d =9 ，則 e 最大為 8(若 e也為 9，則 km 0n =h 2ij ，則 km0n +7 的百位數(shù)字不能為 0)再由 abc 8 =km0n 知 abc =km 0 n 8 125 ，

16、由 abc g =7 qr 知 g =7 qr abc 800 125 =6.4 ，所以 g 6 若 g =6 ，由 d =9 知 d 是 g 的1.5 倍， 則 h 2ij =7 qr 1.5 800 1.5 =1200 ，矛盾，所以 g =6 不合題意；若 g =5 ，由 700 5 =140 abc 800 5 =160 ，而 140 8 =1120 abc 8 =km 0 n 160 8 =1280 ，此時 km0n 只可能為 1200 或 1208，abc =150 或 151，但0519 0531=，151 9 =1359 ，均不可能為 h 2ij ，所以 g =5 不成立；若 g =4 ，由 700 4 =175 abc 800 4 =200 ，而 175 9 =1575 abc 9 =h 2ij 200 9 =1800 ， 也不成立；若 g =3 ，可得以下兩式符合題意： 2450750 250 =9803 ， 2460553 251 =9803 ，所以商的最大值為 9803【答案】98035【例 15】 如下面除法豎式的每個方框中填入適當?shù)臄?shù)字，使豎式成立，并使