材料力學簡明教程(景榮春)課后答案

1、第 3 章 扭轉(zhuǎn)思考題3-1 何謂扭矩？扭矩的正負號如何規(guī)定的？如何計算扭矩？答 軸在外力偶矩作用下，由截面法求出的橫截面上分布內(nèi)力向截面形心簡化的合力（力 偶矩）稱為扭矩。對扭矩 T 的正負規(guī)定為：若按右手螺旋法則把 T 表示為矢量，當矢量方向與截面的外法線 n 的方向一致時， T 為正；反之為負。 用截面法計算扭矩，注意截面位置應(yīng)偏離外力偶矩作用面。3-2 薄壁圓筒、圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式分別是如何建立的？假設(shè)是什么？公式的應(yīng)用條件 是什么？答 等厚薄壁圓筒在兩端垂直于軸線的平面內(nèi)作用大小相等而轉(zhuǎn)向相反的外力偶 M e 所 做試驗結(jié)果現(xiàn)象表明，當薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時，其橫截面和包含軸線的縱向截面上都

2、沒有正應(yīng)力， 橫截面上只有切應(yīng)力 ，因為筒壁的厚度 很小，可以假設(shè)沿薄壁圓筒筒壁厚度切應(yīng)力不變。 又因在同一圓周上各點情況完全相同，應(yīng)力也就相同，從而建立薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計算公 式；在圓軸兩端施加一對大小相等、方向相反的外力偶。從實驗中觀察到的現(xiàn)象，假設(shè)軸變 形后，橫截面仍保持平面，其形狀、大小與橫截面間的距離均不改變，而且半徑仍為直線（圓 軸扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)），連同胡克定律和靜力平衡條件推出圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計算公式。公式應(yīng)用條件為線彈性材料、小變形、等截面（錐度不大的變截面可近似用）。3-3 試述純剪切和薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)變形之間的差異及相互關(guān)系。答 單元體 4 個互相垂直的面上只作用切應(yīng)力的狀態(tài)稱為

3、純剪切；薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)變形時 忽略厚度影響）筒壁各點的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切。3-4 試述剪切胡克定律與拉伸（壓縮）胡克定律之間的異同點及 3 個彈性常量 E, G, 之 間關(guān)系。答 剪切胡克定律 G （反映角度的變化）與拉伸（壓縮）胡克定律 E （反映 長度的變化）皆為應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系。 3 個彈性常量 E, G, 之間關(guān)系為 G E 。213-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時如何確定危險截面、危險點及強度條件？答 等截面圓軸扭轉(zhuǎn)時的危險截面為扭矩最大的橫截面，變截面圓軸扭轉(zhuǎn)時的危險截面 在其扭矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)比值最大的橫截面；其危險點在該橫截面的外邊緣。強度條件為maxTmaxWp3-6 金屬材料圓軸扭轉(zhuǎn)破壞有

4、幾種形式？答 塑性金屬材料和脆性金屬材料扭轉(zhuǎn)破壞形式不完全相同。塑性材料試件在外力偶作 用下，先出現(xiàn)屈服，最后沿橫截面被剪斷，如圖 a 所示；脆性材料試件受扭時，變形很小， 最后沿與軸線約 45方向的螺旋面斷裂，如圖 b 所示。271 / 243-7 從強度方面考慮，空心圓軸為何比實心圓軸合理？答 對于相同的橫截面面積（即用相同量材料），空心圓軸比實心圓軸的抗扭截面系數(shù)大， 從而強度高。3-8 如何計算扭轉(zhuǎn)變形？怎樣建立剛度條件？什么樣的構(gòu)件需要進行剛度校核？答 （ 1）寫出扭矩方程或扭矩圖；相距l(xiāng) 的兩截面間的扭轉(zhuǎn)角Txd d xl l GI p x 上式適用于等截面圓軸和截面變化不大的圓錐

5、截面軸。對等截面圓軸，若在長 l 的兩橫截面間的扭矩 T 為常量，則TlGIp圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件為T GI pmax對于等截面圓軸為Tmax max GI p或Tmax max180 G Ip3-9 矩形截面軸的自由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布與扭轉(zhuǎn)變形有何特點？如何計算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng) 力與扭轉(zhuǎn)變形？答軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面邊緣上各點的切應(yīng)力都與截面邊界相切，且 4 個角點處的切應(yīng)力為零；最大切應(yīng)力 max 發(fā)生在截面長邊的中點處，而短邊中點處的切應(yīng)力 1 是短邊上的最 大切應(yīng)力。其計算公式為T TmaxWthb 21 max（2）矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時，其橫截面不再保持平面而發(fā)生翹曲。桿件兩端相對扭轉(zhuǎn)角Tl TlG h

6、b 3 GI t3-10 兩根直徑相同而長度和材料均不同的圓軸1， 2，在相同扭轉(zhuǎn)作用下，試比較兩者最大切應(yīng)力及單位長度扭轉(zhuǎn)角之間的大小關(guān)系，答最大切應(yīng)力相同；單位長度扭轉(zhuǎn)角不同。3-11 同一變速箱中的高速軸一般較細，低速軸較粗，這是為什么？282 / 24答 同一變速箱中的高速軸與低速軸指相對轉(zhuǎn)速高低，其傳遞的功率相同（不計功率損 耗），嚙合處線速度相同。要嚙合處產(chǎn)生相同的線速度，則高速軸的嚙合半徑就較??；又因 為嚙合處相互作用力相同，該作用力對嚙合半徑就較小的高速軸線產(chǎn)生的外力偶矩就較小， 從而在高速軸中產(chǎn)生的扭矩較小，故高速軸可做得較細。3-12 圖示軸 A 和套筒 B 牢固地結(jié)合在一

7、起， 兩者切變模量分別為 G A 和 G B ，兩端受扭 資料個人收集整理，勿 做商業(yè)用途轉(zhuǎn)力偶矩，為使軸和套筒承受的扭轉(zhuǎn)相同而必須滿足的條件是什么？思考題 3-12 圖 答 設(shè)套筒 B 的內(nèi)、外徑分別為 d 和 D ，則兩者切變模量須滿足下列關(guān)系：GB D 4 d 4G Ad 43-13 試畫出空心圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律圖。 答思考題 3-14 解圖3-14 圖示組合軸，中心部分為鋼，外圈為銅。兩種材料緊密組合成一整體，若該軸受 扭后，全部處于線彈性范圍，試畫出其橫截面上的應(yīng)力分布圖。思考題 3-14 圖 思考題 3-14 解圖 答3-15 圖示 3 種閉口薄壁截面桿承受扭轉(zhuǎn)作用

8、，若 3 種截面的橫截面積 A，壁厚和承受的扭矩 T 均相同，則其扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力最大和最小的各是哪種截面？思考題 3-15 圖答c maxb maxa max3-16 圖示承受扭矩的3 種截面形式，試分別畫出其切應(yīng)力沿壁厚的分布規(guī)律。3 / 24294 / 24思考題 3-16 圖305 / 24習題3-1 求圖示各軸的扭矩圖，并指出其最大值。(a)(b)(a1)(b1)(c)(d)(c1)解 (a) Tmax 2M e ；(d1)b) TmaxM e(c) Tmax 40 kN m ；(d) Tmax 4 kN m70 kW ，資料個人收集整理，勿做資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途3-2 圖（a）

9、所示某傳動軸，轉(zhuǎn)速 n 500 r/min ，輪 A 為主動輪，輸入功率 PA 商業(yè)用途輪 B ，輪 C 與輪 D 為從動輪，輸出功率分別為PB 10 kW ， PC PD 30 kW（ 1 ）求軸內(nèi)的最大扭矩；（ 2）若將輪 A 與輪 C 的位置對調(diào)，試分析對軸的受力是否有利。(a)(b) PB10解 (1) M B 9549PBn500PA70n5006 / 2431資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途9549 191 N mM A 9549 9549 1337 N m7 / 24M D用截面法如圖M C(b)所示PC305009549：nAB 段 T1M B191 NmAC 段 T2M BM

10、A1146 N mCD 段 T3M D573 N m由以上結(jié)果得Tmax1146 Nm2）若將輪 A 與輪C 位置對調(diào)，則 T1 ，T3 值不變，而T2 M B M C 764 N mTmax 764 N m其絕對值比第（ 1）種情況小，即對軸的受力有利。3-3 試繪出圖示截面上切應(yīng)力的分布圖，其中 T 為截面的扭矩(a1) (b1) (c1)AB 與 BC 段的直徑分別為d1 與 d 2 ，且 d1 4d 2 / 3。求軸內(nèi)的 資料個人收集整理，勿3-4 圖示圓截面軸， 做商業(yè)用途 最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。解 BC 段M e16M emax 2Wp2 d 23AB 段32M e13.5M e34 d

11、 2332M e16 2M emax1Wp138 / 2432資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途9549 573 N mmax 2d1 d 29 / 24maxmax 216M ed 233-5 一受扭等截面薄壁圓管，M e 500 N m ，切變模量 做商業(yè)用途 計算管表面縱線的傾斜角。外徑 D 42 mm，內(nèi)徑 d 40 mm ，兩端受扭力矩G 75 GPa試計算圓管橫截面與縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，并資料個人收集整理，勿1) max16M e16 5002）若考慮薄壁討論：誤差Wp2R 2D 3 1 43942194 MPa4，可求其平均扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力5002194 189194194 189100

12、%100%2.6%2.6%194故薄壁管一般均用簡化公式求平均切應(yīng)力。3）189 10 6G 95%5%3-6 設(shè)有 D 50 mm ， 商業(yè)用途 簧的強度。1 密圈螺旋彈簧，承受軸向載荷 彈簧絲的直徑1.5 kN 作用d 8 mm ，彈簧絲材料的許用切應(yīng)力設(shè)彈簧的平均直徑 450 MPa ，試校核彈 資料個人收集整理，勿做503 83 10 9 4 3 8強度滿足（工程中誤差小于（2）用簡化公式100% 1.78% 5%4505%，認為技術(shù)滿足要求）。d 3 83 10 9討論：由于 cD d50 86.25 10 , 故應(yīng)用解（商業(yè)用途值相差較大）。1）中修正公式計算（ 1）（2）計算 資

13、料個人收集整理，勿做3-7 一圓截面等直桿試樣，直徑 d 20 mm，兩端承受外力偶矩 M e 150 N m 作用。 設(shè)由試驗測得標距 l0 100 mm 內(nèi)軸的相對扭轉(zhuǎn)角 0.012 rad，試確定切變模量 G 。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途Tl0 GIp10 / 24M el0GI p33資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途40 42 10 1189 MPa2411102.52 10 rad75 10解 （1） max8FD4c 28 8 1.5 10 3 50 10 3 4 2458 MPad 4c 3508FD 8 1.510 3 50103373 MPa11 / 24M el0I p

14、M el0150 0.1 32d 4 0.012 20 4 10 1279.6 GPa3-8 設(shè)有 1 圓截面?zhèn)鲃虞S，軸的轉(zhuǎn)速 n 300 r/min ，傳遞功率 P 80 kW ，軸材料的設(shè)計軸的直徑。P解PnT 18080300T4G3218032T 180232 2546 1804 2 80 10 9 1.0裝軸承處直徑可取 d 65 mm ，其它部位若考慮軸肩應(yīng)按設(shè)計規(guī)范加大。3-9 圖示為 1 階梯形圓軸，其中 AE 段為空心圓截面，外徑 D 140 mm，內(nèi)徑d 80 mm； BC 段為實心圓截面，直徑d1 100 mm。受力如圖所示，外力偶矩分別為 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途

15、M e A 20 kN m ， M e B 36 kN 勿做商業(yè)用途16 kN m已 知 軸 的 許 用 切 應(yīng) 力資料個人收集整理，(a)解扭矩圖如圖 (b) 。(1)強度BC maxT1T116T116 16 10 381.5 10 6 81.5 MPaWp1d1d1 0.1316100%1.88% 5% ， BC段強度基本滿足。80(b)12 / 24T2Wp 2T220 10 3 161 ( ) 1 6 D140 3 10 9 1 (14034資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途許用切應(yīng)力 80 MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角 1.0 / m ，切變模量 G 80 GPa。試T 9549 954

16、9 2546 N md6.56 10 m 65.6 mm 80 MPa， G 80 GPa， 1.2 / m 。試校核軸的強度和剛度Dd 480 413 / 242)剛度l GI p1 T116 10 3 180 o o o480 10 9 32oBC 段剛度基本滿足。AE 段：T2180 o20 10 3 180l GI p 2 0.14 44 4327AE 段剛度滿足，顯然 EB段剛度也滿足。0.426 o3-10 一薄壁等截面圓管，兩端承受扭力矩 M e 作用。設(shè)管的平均半徑為 R0 ，壁厚為 管長為 l ，切變模量為 G ，證明薄壁圓管兩端相對扭轉(zhuǎn)角為M el2G R03AB2M el

17、 (d A d B )2證I p A R0 dAs R0 ds2 0 R02R0 d2 R03TlM elM elGI p32GR033-11圖(a)所示圓錐形薄壁軸AB ，兩端承受扭力矩M e作用。設(shè)壁厚為，橫截面 A與 B 的平均直徑分別為d A 和 dB ，軸長為 l，切變模量為G 。證明截面A 和 B 間的相對扭 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途轉(zhuǎn)角為14 / 24(a)BC 段：80 10 9(b) 證 由圖 (b) 得dx d d x d A , I P x 參看題3-10 證明= 41.5 10l 41.5 MPa ，故強度滿足。35資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途1.17 / m

18、0.11 ( ) G 2 R015 / 24M e dxAB0 G Ipx4M e l dx 4M e l dxGll d3-12 圖 (a)所示等圓截面桿AB 和 CD 的尺寸相同AB 為鋼桿， CD 為鋁桿，兩種材料的切變模量之比為 3:1。若不計 BE 和 ED 兩桿的變形，問力 F 的影響將以怎樣的比例分 配于 AB 和 CD 兩桿？(a)解設(shè)AB 長 l，則2T1lEa AB a1G1 I pG1 I p再考慮CDET2lEa CD aaG2 I pG2 I p G2 Ip由式(a)，(b)得2(b)a)b)F F1 a l2G1 I pG2 I pF1 F F1 ， F1 F F1

19、G1G23G2G23F1 3F F1 , 4F1 3F， F1F4FF2 F F143-13 已知扭力矩 M e1400 N m ， M e2 600 Nm ，許用切應(yīng)力 40 MPa，單 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途16 / 2436資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途M e dxdx0 d 3 x G 0 d dx dd B A x d A4M e l G d BA 0 d dB A x d A4M e l 1 d d B A x d A G d B A 22M el d A d B Gd Ad B 2F F1 al F F1 a l2F1a l17 / 24位長度的許用扭轉(zhuǎn)角0.25 / m

20、 ，切變模量 G 80 GPa。試確定圖 (a)所示軸的直徑(a)(b)解 圖(b) ，由平衡得M e1 M A200 N m0M BM BM e 2M A變形諧調(diào)(圖(a)ABACCD DB0M A 0.5M AM e1 0.7 5M B 1.25GIpGI pGI p4M A3M AM e1 5M B07M A5M B1 200 Nm(c)即即即b)得解式( a)，M Ba)b)216.7 Nm，M A 16.7 N m383.3 NTmax 180d 4GpI 3232T2 max 180d 4 2G 0.253-14 圖示兩端固定階梯形圓軸，承受扭力矩M e 作用。已知許用切應(yīng)力為，為

21、使軸的重量最輕，試確定軸徑d1與 d(b)(a)解 由圖 (b) 平衡37資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途18 / 24M 1 M 2 M e 變形諧調(diào)12 M 1aM 2 2a 02I p1M 1I p2M 2代入式（ a）得Ip2M 2M e ，M 12I p1I p2G Ip1GI p21max2 max2I p1M e2I p1 I p2M 1M 2Wp2a）b）c）d）M 1Wp1 式（ c）代入得Wp1I p2 M e2I p1 I p2 Wp22I p1M e2I p1 I p2 Wp12I p1I p2Wp1Wp2得2d1 d 2代入式（ d）得2I p1M e2I p1 I p

22、2 Wp1 最后取16M ed1 393-15 圖示兩端固定的圓截面軸，承受外力偶矩 M e 作用。設(shè)其扭轉(zhuǎn)剛度 GI p 為已知常 量。求約束力偶矩。（a1） 解 圖（ a1 ），由平衡M A M B M e（ a）變形諧調(diào) AB 0 ，即3819 / 24M AaM B 2ab）GI pGI pM A 2M B代入式（ a）得1 2 M B13 M e ， M A32 M e(b1)(b2)解圖（ b1 ），由平衡M AM B ml圖（b2)TxM A mxl Tx dx l Mdx 00 GI p GI p即l0A mx dx 01la）M A mxdM A mx 012m M A mx

23、20， M A0ml2代入（ a）得ml3-16 圖 a 所示直徑 d 25 mm 的鋼軸上焊有兩凸臺，凸臺上套有外徑 D 75 mm ，資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途壁厚 1.25 mm 的薄壁管，當軸承受外力偶矩 M e 73.6 N m 時，將薄壁管與凸臺焊在 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途一起，然后再卸去外力偶。假定凸臺不變形，薄壁管與軸的材料相同，切變模量 G 40 GPa試：（1）分析卸載后軸和薄壁的橫截面上有沒有內(nèi)力，二者如何平衡？（2）確定軸和薄壁管橫截面上的最大切應(yīng)力。20 / 2439A mx21 / 24（a） （b） 解 （ 1） 均有內(nèi)力，內(nèi)力值見下面解答中式（4），（ 5）。（2）設(shè)軸受 T = 73.6 N m 時，相對扭轉(zhuǎn)角為0 ，且d 0 Td xGI p 1T 撤消后，管受相對扭轉(zhuǎn)角2 ，則軸受相對扭轉(zhuǎn)角圖 b ），此時軸、管受資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途5）6）扭矩大小相等，方向相反，整個系統(tǒng)平衡120（2）TlM x l（3）GI p 1GI p 1GI p 2M xM x（4）I p 2 M xTI p1 I