尺規(guī)作圖專題

1、尺規(guī)作圖專題1、尺規(guī)作圖的定義 所謂尺規(guī)作圖，就是只準(zhǔn)有限次地使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖。 最早提出幾何作圖要有尺規(guī)限制的是古希臘的哲學(xué)家安那薩哥拉斯。 他因政治上的糾葛， 被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄，并被處死刑。傳說(shuō)，在監(jiān)獄里，他思考化圓為方以及其它有關(guān)問(wèn)題，用來(lái) 打發(fā)令人苦惱的無(wú)所事事的生活。他不可能用規(guī)范的作圖工具，只能用一根繩子畫(huà)圖， 用隨便找來(lái)的破木棍、竹片之類作直尺，當(dāng)然這些“尺”上就不可能有刻度。另外，對(duì) 他來(lái)說(shuō)，時(shí)間是不多了。因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問(wèn)題。后來(lái)以理 論形式具體明確這個(gè)規(guī)定的是歐幾里得，他在幾何原本中對(duì)作圖作了三條規(guī)定（公 設(shè)）。由于幾何原本 的巨大影響，

2、希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來(lái)。2、尺規(guī)作圖的要求 直尺必須沒(méi)有刻度， 可以無(wú)限長(zhǎng)， 且只能使用直尺的固定一側(cè)。 只可以用它來(lái)將兩個(gè) 點(diǎn)連在一起，不可以在上畫(huà)刻度。 圓規(guī)可以開(kāi)至無(wú)限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開(kāi)成你之前構(gòu)造過(guò)的長(zhǎng)度 或一個(gè)任意的長(zhǎng)度 .3、尺規(guī)作圖的三大不能為問(wèn)題古希臘人說(shuō)的直尺，指的是沒(méi)有刻度的直尺。他們?cè)诖罅康漠?huà)圖經(jīng)歷中感覺(jué)到，似乎只 用直尺、圓規(guī)這兩種作圖工具就能畫(huà)出各種滿足要求的幾何圖形，因而，古希臘人就規(guī) 定，作圖時(shí)只能有限次地使用直尺和圓規(guī)這兩種工具來(lái)進(jìn)行，并稱之為尺規(guī)作圖法。 漫長(zhǎng)的作圖實(shí)踐，按尺規(guī)作圖的要求，人們作出了大量符合給定條件的圖形

3、，即便一些 較為復(fù)雜的作圖問(wèn)題，獨(dú)具匠心地經(jīng)過(guò)有限步驟也能作出來(lái)。到了大約公元前6 世紀(jì)到4 世紀(jì)之間，古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個(gè)作圖問(wèn)題。 三等分角問(wèn)題：將任一個(gè)給定的角三等分。 立方倍積問(wèn)題：求作一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)，使這個(gè)正方體的體積是已知正方體體積的二倍。 化圓為方問(wèn)題：求作一個(gè)正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。 這就是著名的古代幾何作圖三大難題，它們?cè)趲缀卧締?wèn)世之前就提出了，隨著幾何知識(shí)的傳播，后來(lái)便廣泛留傳于世。4、初中幾個(gè)最基本的尺規(guī)作圖一.已知一線段1. 作已知線段的中點(diǎn)2. 作已知線段的垂線3. 作已知線段的垂直平分線4. 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線5. 作已知線段

4、的三等分點(diǎn)6. 過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線二.已知一角1. 作一角與已知角相等2. 作已知角的角平分線針對(duì)性練習(xí)1、（2008東莞）如圖，在厶ABC中，AB=AC=10 , BC=8,用尺規(guī)作圖作 BC邊上的中線 AD , （保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）并求AD的長(zhǎng)。2、（ 2008成都）如圖，已知點(diǎn) A是銳角/ MON內(nèi)的一點(diǎn)，試分別在 OM、ON上確定點(diǎn)B、 點(diǎn)6使厶ABC的周長(zhǎng)最小寫(xiě)出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你所確定的點(diǎn) （要求畫(huà)出草圖，保留作圖痕跡）3、（2008廣州）如圖9,射線AM交一圓于點(diǎn)B、C,射線AN交該圓于點(diǎn)D、E,且 匪 罡（1）求證：AC=AE（2） 利用尺規(guī)作

5、圖，分別作線段CE的垂直平分線與/ MCE的平分線，兩線交于點(diǎn) F （保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）求證：EF平分/ CEN24、（ 2008麗水）如圖是2008北京奧運(yùn)會(huì)某比賽場(chǎng)館的平面圖， 根據(jù)距離比賽場(chǎng)地的遠(yuǎn)近和視角的不同，將觀賽場(chǎng)地劃分 成A、B、C三個(gè)不同的票價(jià)區(qū)其中與場(chǎng)地邊緣MN的視角大于或等于45，并且距場(chǎng)地邊緣 MN的距離不超過(guò) 30米的區(qū)域劃分為 A票區(qū)，B票區(qū)如圖所示，剩下的為C 票區(qū).（1） 請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖，在觀賽場(chǎng)地中，作出A票區(qū)所在的區(qū)域（只要求作出圖形，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）（2） 如果每個(gè)座位所占的平均面積是0.8平方米，請(qǐng)估算A票區(qū)有多少個(gè)座位.片30卡一F（

6、第 23 題）比賽場(chǎng)地5、（2008連云港）我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.例如線段AB的最小覆蓋圓就是以線段 AB為直徑的圓.作法）;5題圖1）（1）請(qǐng)分別作出圖1中兩個(gè)三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)（2 ）探究三角形的最小覆蓋圓有何規(guī)律？請(qǐng)寫(xiě)出你所得到的結(jié)論（不要求證明）；（3）某地有四個(gè)村莊 E, F , G, H （其位置如圖2所示），現(xiàn)擬建一個(gè)電視信號(hào)中轉(zhuǎn)站, 為了使這四個(gè)村莊的居民都能接收到電視信號(hào)，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小， 所需功率越小），此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處？請(qǐng)說(shuō)明理由.H- . 50.0-49.8：I32.45

7、3.8”、f r 一 /I；-44.0/47.j* F47.8、35.1E霍*（第5題圖2）6、（2008寧波）（1）如圖1, ABC中，Z C = 90：,請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作一條直線，把 ABC 分割成兩個(gè)等腰三角形（不寫(xiě)作法，但須保留作圖痕跡）（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個(gè)三角形如圖2、圖3所示請(qǐng)你判斷，能否分別畫(huà)一條直線把它們分割成兩個(gè)等腰三角形？若能，請(qǐng)寫(xiě)出分割成的兩個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).圖1BB7、（ 2008山東濟(jì)寧）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖所示，則說(shuō)明.AOB=/AOB的依據(jù)是8、（ 2008太原）如圖，在 ABC中，（1）在圖中作出 ABC的內(nèi)角平分線BAC = 2

8、 C AD （要求：尺規(guī)作圖,（2）在已作出的圖形中，寫(xiě)出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由.保留作圖痕跡，不寫(xiě)證明）C9、（ 2008孝感）寬與長(zhǎng)的比是 一的矩形叫黃金矩形，心理學(xué)測(cè)試表明，黃金矩形令人2折疊黃金矩形的方法賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感，現(xiàn)將同學(xué)們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中, 歸納出以下作圖步驟（如圖所示）: 第一步：作一個(gè)任意正方形 ABCD ;第二步：分別取 AD, BC的中點(diǎn)M , N，連接MN ；第三步：以N為圓心，ND長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交 BC的延長(zhǎng)線于E ； 第四步：過(guò)B作EF _ AD交AD的延長(zhǎng)線于F ,請(qǐng)你根據(jù)以上作法，證明矩形 DCEF為黃金矩形，（可取AB =2 ）（第20

9、題圖）10、（08建設(shè)兵團(tuán)）（1）請(qǐng)用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個(gè)矩形中各作一個(gè)不為正 方形的菱形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上.（保留作圖痕跡）（2 ）寫(xiě)出你的作法.11、（08浙江衢州）如圖，AB/ CD（1）用直尺和圓規(guī)作 C的平分線CP, CP交AB于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）中作出的線段 CE上取一點(diǎn)F,連結(jié)AF。要使 ACF AEF，還需要 添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)條件（只要給出一種情況即可；圖中不再增加 字母和線段；不要求證明）。12、（2008自貢）在下面 ABC中，用尺規(guī)作出 AB邊上的高及/ B的平分線（不寫(xiě)作法, 保留作圖痕跡）A113、（

10、2207杭州）右圖為一機(jī)器零件的左視圖，弧DE是以a為半徑的4個(gè)圓周，.DCB =45 。(第 21 題)請(qǐng)你只用直尺和圓規(guī)，按 2 ：的比例，將此零件圖放大 畫(huà)出來(lái)。要求寫(xiě)出作圖方法，并保留作圖痕跡。14、（2207河南）請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)以 BC為底邊的等腰 ABC,使底邊上的高 AD=BC .（1）求tanB和sinB的值；（2） 在你所畫(huà)的等腰 ABC中設(shè)底邊BC=5米，求腰上的高 BE .15、作圖題（2007青島）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡.青島國(guó)際帆船中心要修建一處公共服務(wù)設(shè)施，使它到三所運(yùn)動(dòng)員公寓A、B、C的距離相等.（1）若三所運(yùn)動(dòng)員公寓 （用點(diǎn)P表示）的位置；A

11、、B、C的位置如圖所示，請(qǐng)你在圖中確定這處公共服務(wù)設(shè)施A*(2)若/ BAC = 660，則/ BPC =o.16、（2007蘭州）在 Rt ABC中，/ ACB= 90，/ CBA= 30，用兩種方法把它分成兩個(gè)三角形，且要求一個(gè)三角形是等腰三角形（要求尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法和證明，但保留作圖痕跡）。17、（2007宜昌）如圖，G是線段AB上一點(diǎn)，AC和DG相交于點(diǎn)E.請(qǐng)先作出/ ABC的平分線BF，交AC于點(diǎn)F;（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法與證然后證明當(dāng)：AD / BC, AD = BC,Z ABC=2/ ADG 時(shí),明）（第 17 題）18. （2007嘉興）現(xiàn)有一張矩形紙片 ABCD

12、 （如圖），其中AB= 4cm, BC= 6cm，點(diǎn)E是BC 的中點(diǎn).實(shí)施操作：將紙片沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在梯形AECD內(nèi)，記為點(diǎn)B.（1 ）請(qǐng)用尺規(guī)，在圖中作出 AEB （保留作圖痕跡）;（2）試求B 、C兩點(diǎn)之間的距離.19、( 2007梅州)如圖，AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線.(1)請(qǐng)按如下步驟在圖 7中完成作圖(保留作圖痕跡)：1 分別以A，C為圓心，以大于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧在 AC兩側(cè)的交點(diǎn)分別為 P, Q ；2 連結(jié)PQ，PQ分別與AB，AC，CD交于點(diǎn)E，O，F(xiàn) .(2)求證：AE 二CF .1，求/ DBC的度數(shù)。320、(2007山東臨沂)如圖，已知矩形 ABCD。(1)在圖中作出 CDB沿對(duì)角線BD所在的直線對(duì)折后的 CDB,C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C用 尺規(guī)作圖，保留清晰的作圖痕跡，簡(jiǎn)要寫(xiě)明作法)；(2)設(shè)C B與AD的交點(diǎn)為E，若厶EBD的面積是整個(gè)矩形面積的圖 24221、(2007湘潭)2008年，舉世矚目的第 29屆奧運(yùn)盛會(huì)將在北京舉行.奧運(yùn)五環(huán)