奧數(shù)最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)講義及答案

1、數(shù)的整除（3 ）最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)肀教室姓名學(xué)號(hào)聿【知識(shí)要點(diǎn)】1、2、芆幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù) 的最大公因數(shù)。自然數(shù)a、b的最大公因數(shù)記作（a, b）。3、4、芄幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù) 的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a、b的最小公倍數(shù)記作a, b。5、6螄兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)：螀（1） （a, b）x a, b =ax b；莈（2）若a b,則a b與b的最大公因數(shù)就等于a與b的最大公因數(shù)。莂（3） a+b與b的最大公因數(shù)，等于a與b的最大公因數(shù)。膃【典型例題】薀例1.甲數(shù)是24,甲、乙兩數(shù)的

2、最小公倍數(shù)是168，最大公因數(shù)是 4,求乙數(shù)。膅解：由性質(zhì)（1 ）得到乙數(shù)=168 X 4 - 24 = 28.螅例2.將長為90厘米，寬為42厘米的長方形鐵皮剪成邊長是整厘米數(shù)，面 積相等的正方形鐵皮，恰無剩余，問至少剪成多少塊？螞解：把長方形鐵皮剪成邊長是整厘米數(shù)，面積相等的正方形，則正方形的邊長應(yīng)是長方形的長和寬的公因數(shù)，又要求所剪正方形鐵片塊數(shù)最少，因此正方形邊長是長方形長與寬的最大公因數(shù)。（90, 42） =6.至少能剪90X 42-（ 6 X 6） =105 （塊）.例3.馬鵬和李虎計(jì)算甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個(gè)位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積473 ;李虎把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯(cuò)了，

3、得乘積407，那么甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)是多少？芀解：473與407的最大公因數(shù)是 11,而11是質(zhì)數(shù)，所以乙數(shù)是11，又473=43 X 11 , 407 = 37 X 11，所以甲數(shù)是 47,甲乙兩數(shù)的乘積應(yīng)為：47X 1仁517 或 1x477=477.膇例 4. 有一種自然數(shù)，它加上 1 是 2 的倍數(shù)，加上 2 是 3的倍數(shù)，加上 3 是 4 的倍數(shù)，加上 4 是 5 的倍數(shù)，加上 5 是 6 的倍數(shù)，加上 6 是 7 的倍數(shù)，則 這種自然數(shù)中除 1 以外，最小數(shù)是多少？袃解：根據(jù)已知，若這個(gè)數(shù)分別加上1、2、3、4、5、6是 2、3、4、5、6、7 的倍數(shù)，求這個(gè)數(shù)最小是多少，即這個(gè)數(shù)

4、是2，3，4， 5， 6，7 的最小公倍數(shù)加上 1. 2，3，4，5，6，7=420，最小數(shù)是： 420+1=421。肂【精英班】例 5、兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是 1925，這兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的 最大公因數(shù)，得到兩個(gè)商的和是 16，請(qǐng)寫出這兩個(gè)整數(shù)。肁解：1925=5X 5X 7X 11 ,兩個(gè)商都是1925的因數(shù)，互質(zhì)，而且和為16,所以 這兩個(gè)商分別為 5、11. 即：1925-5=385,1925- 11=175.羋【競賽班】例 6、大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個(gè)環(huán)形花圃的周長。 他倆的起步和走的方向完全相同。小明的平均步長 54 厘米，爸爸平均步長 72 厘米，由于兩人的腳印有

5、重合， 并且他們走了一圈后都回到起點(diǎn)， 這時(shí)雪地上只 留下 60 個(gè)腳印，這個(gè)花圃的周長是多少米？芅解：根據(jù)題意從第一個(gè)腳印重合到下一個(gè)重合腳印點(diǎn)的路程長度是他們步長的 最小公倍數(shù)。54, 72 =216,在這216厘米的路程中小明留下 216-54=4個(gè)腳 印，爸爸應(yīng)留下216十72=3個(gè)腳印，由于兩人最后重合了一個(gè)腳印， 所以雪地上 實(shí)際只留下4+3仁6個(gè)腳印。周長：216X( 60-6) =2160厘米=21.6米。蒁【課后分層練習(xí)】螁A組：入門級(jí)1.2. 肅甲數(shù)是 36，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是 288，最大公因數(shù)是 4，乙數(shù)應(yīng)該 是多少？莄解：甲數(shù)X乙數(shù) =288 X 4，所以乙數(shù)=2

6、88X 4-36=32.3.3. 袀兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是 21 ，最小公倍數(shù)是 126. 這兩個(gè)數(shù)的和是多少？芇解：126=21 X6 = 21 X 2X 3，所以這兩個(gè)數(shù)是21 X 2與21 X 3; 或 21與21X 6，從而這兩個(gè)數(shù)的和是： 21X 2+21X 3=105 或 21+21X6=147.5.4. 肇 從運(yùn)動(dòng)場一端到另一端全長 96 米，從一端起到另一端每隔 4 米插一面 小紅旗?，F(xiàn)在要改成每隔 6 米插一面小紅旗，問可以不拔出來的小紅旗有多少面？蒂解：因?yàn)?, 4 =12,可以不拔出來的小紅旗有96 - 12+1=9 （面）7.8. 莀三位小朋友每人隔不同的天數(shù)到圖書館一次

7、：甲隔2 天去一次,乙隔 3天去一次,丙隔 4 天去一次。上次他們?cè)谛瞧诙趫D書館相遇,還要多 少天他們才能再在圖書館相遇；相遇時(shí)是星期幾？羈 解： 3, 4, 5 =60；還要 60 天再次在圖書館相遇。膈 60-7=8周4天；相遇時(shí)是星期六。9.9. 襖四個(gè)自然數(shù)的和為 1111 ,這四個(gè)數(shù)的公因數(shù)最大是幾？肅解：111仁11 X 101，四個(gè)數(shù)的公因數(shù)必是其和的因數(shù)，故公因數(shù)最大不超過 101,又 1+2+3+5=11 ,所以 101 , 202, 303, 505 這四個(gè)數(shù)的和為 1111 , 且它們的最大公因數(shù)為 101.螈B組：進(jìn)階級(jí)羅 1 、甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分

8、別需要 1 分、 1 分 15 秒和 1 分30 秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)？羃解：甲、乙、丙走一圈分別需 60 秒、75秒和 90 秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會(huì)，即三 人都要走整圈數(shù)，所以需要的時(shí)間應(yīng)是 60， 75， 90 的公倍數(shù)。所求時(shí)間為 60， 75， 90=900（秒） =15（分）。蒃2、用自然數(shù)a去除498, 450, 414,得到相同的余數(shù)，a最大是多少？葿解：因?yàn)?498， 450， 414 除以 a 所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù) 應(yīng)能被 a 整除。 498-450=48, 450-414=36, 498-414=84。所求數(shù)是（ 48,

9、 36, 84） =12。羇3、用 60 元錢可以買一級(jí)茶葉 144克,或買二級(jí)茶葉 180 克,或買三級(jí)茶葉 240 克。現(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋, 要求每袋的價(jià)格都相等, 那么每袋的價(jià) 格最低是多少元錢？蒞解：（144, 180, 240） =2X2X3=12,即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價(jià) 格最低是6012=5 （元）。7、8、袂一組五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和能分別被 2, 3, 4, 5, 6整除，求滿足此條件的最 小一組數(shù)。艿解：由于2，3，4, 5, 6的最小公倍數(shù)是60，得這五個(gè)數(shù)的和為60的倍數(shù)， 即至少為60, 60十5=12,得10+11+12+13+14=60故滿足

10、條件的最小一組數(shù)為 10、11、12、13、14。肇C組：挑戰(zhàn)級(jí)蒄1、在一個(gè)30X 24的方格紙上畫一條對(duì)角線（見下頁上圖），這條對(duì)角線除兩 個(gè)端點(diǎn)外，共經(jīng)過多少個(gè)格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)）？芁解：（30, 24） =6,說明如果將方格紙橫、豎都分成6份， 即分成6X3個(gè)相同的矩形，那么每個(gè)矩形是由（30W） X（246） =5X4 （個(gè)）離罿小方格組成。在6X6的簡化圖中，對(duì)角線也是它所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的對(duì)角線，所以經(jīng)過5個(gè)格點(diǎn)（見左下圖）p-弋2在對(duì)角線所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的 5X4個(gè)小方格 中，對(duì)角線不經(jīng)過任何格點(diǎn)（見右下圖）。祎所以，對(duì)角線共經(jīng)過格點(diǎn)（30, 24） -1=5 （個(gè)）祎2

11、、爺爺對(duì)小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的 7倍，過幾年是你的6倍，再過若 干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？螁解：爺爺和小明的年齡隨著時(shí)間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們 的年齡差也是5, 4, 3, 2, 1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是 6, 5, 4, 3,2 的公倍數(shù)。6 , 5, 4, 3, 2=60 ,螀爺爺和小明的年齡差是 60 的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實(shí)際情況， 爺爺與小明的年 齡差應(yīng)是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60-（7-1 ）=10（歲），爺爺?shù)哪挲g=10X 7=70 （歲）。羇3、已知 a 與 b，a 與 c 的最大公約數(shù)分別是 12 和 15，a，b，c 的最小公倍數(shù) 是 120，求 a ， b ， c 。羄解：因?yàn)?12，15 都是 a 的約數(shù)，所以 a 應(yīng)當(dāng)是 12 與 15 的公倍數(shù)，即是 12 ，15=60的倍數(shù)。再由a , b, c=120知，a只能是60或120。a , c=15，說明 c 沒有質(zhì)因數(shù) 2，又因?yàn)?a ， b， c=120=23X 3X 5，所以 c=15。膀因?yàn)閍是c的