11 最優(yōu)控制1

1、第二篇第二篇 最優(yōu)控制最優(yōu)控制 1.1 最優(yōu)控制問(wèn)題實(shí)例最優(yōu)控制問(wèn)題實(shí)例 n最小燃耗問(wèn)題最小燃耗問(wèn)題 為了使宇宙飛船登月艙在月球表面實(shí)現(xiàn)為了使宇宙飛船登月艙在月球表面實(shí)現(xiàn) 軟著陸，即登月艙到達(dá)月球表面時(shí)的速軟著陸，即登月艙到達(dá)月球表面時(shí)的速 度為零，要尋求登月艙發(fā)動(dòng)機(jī)推力的最度為零，要尋求登月艙發(fā)動(dòng)機(jī)推力的最 優(yōu)變化律，使燃料消耗最少，以便在完優(yōu)變化律，使燃料消耗最少，以便在完 成登月考察任務(wù)后，登月艙有足夠燃料成登月考察任務(wù)后，登月艙有足夠燃料 離開(kāi)月球與母船會(huì)合，從而返回地球。離開(kāi)月球與母船會(huì)合，從而返回地球。 登月艙軟著陸示意圖 設(shè)飛船登月艙質(zhì)量為m（t），高度為h(t)， 垂直速度為v

2、(t)，發(fā)動(dòng)機(jī)推力為u(t)，月球 重力加速度為常數(shù)g，飛船登月艙不含燃料 時(shí)的質(zhì)量為M，登月艙所載燃料質(zhì)量為F， )()( )( )( )( )()( tkutm g tm tu tv tvth FMm vvhh )0( )0()0( 00 0)( 0)( f f tv th 初始條件為 末端條件為 控制約束條件 max )(0utu 性能指標(biāo)取為表征燃料消耗量的登月艙著 陸時(shí)的質(zhì)量 )( f tmJ 最優(yōu)控制任務(wù) 在滿足控制約束條件下，尋求發(fā)動(dòng)機(jī)推 力最優(yōu)變化律 ，使登月艙由已知的 初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到末端狀態(tài)，并使性能指 標(biāo)為最大，從而使登月過(guò)程中燃料消耗 量最小。 )( * tu 1.2 最

3、優(yōu)控制問(wèn)題提法最優(yōu)控制問(wèn)題提法 n設(shè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程： n初始狀態(tài) n目標(biāo)集 n控制域 n性能指標(biāo)： ),(),()(ttutxftx 00 )(xtx Stx f )( m RUtu)( f t t ff dtttutxFttxJ 0 ),(),(),( 最優(yōu)控制問(wèn)題提法最優(yōu)控制問(wèn)題提法 n最優(yōu)控制的問(wèn)題就是：從所有可供選擇 的容許控制中尋找一個(gè)最優(yōu)控制 n使?fàn)顟B(tài)由 經(jīng)過(guò)一定時(shí)間轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集 S，并且沿此軌線轉(zhuǎn)移時(shí)，使相應(yīng)的性能 指標(biāo)達(dá)到極值。 )( * tu )( 0 tx 任何一個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題均應(yīng)包 含以下內(nèi)容 n系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 n邊界條件與目標(biāo)集邊界條件與目標(biāo)集 n容許控制

4、容許控制 n性能指標(biāo)性能指標(biāo) 1.3 性能指標(biāo)類型性能指標(biāo)類型 n性能指標(biāo)J是我們事先規(guī)定的一個(gè)衡量控 制過(guò)程性能好壞的指標(biāo)函數(shù)。所謂過(guò)程 “最優(yōu)”，從數(shù)學(xué)上講就是要使這個(gè)指 標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值（極大或極?。?。 n性能指標(biāo)函數(shù)又稱價(jià)值函數(shù)、目標(biāo)函數(shù)、 性能泛函等，它一般是一個(gè)泛函，因此 最優(yōu)控制問(wèn)題可歸結(jié)為求泛函的極值問(wèn) 題。 （1）積分型性能指標(biāo) n這是一種積分型泛函，在變分法中這類 問(wèn)題稱為拉格朗日問(wèn)題。 f t t dtttutxFJ 0 ),(),( （2）終值型性能指標(biāo) n 在變分法中稱為邁耶爾問(wèn)題。 ),( ff ttxJ （3）復(fù)合型性能指標(biāo)。 n在變分法中稱為波爾札問(wèn)題。 f t

5、t ff dtttutxFttxJ 0 ),(),(),( 第二章第二章 變分法在最優(yōu)控制中變分法在最優(yōu)控制中 的應(yīng)用的應(yīng)用 n本章將分別介紹無(wú)約束條件及有約束條 件的泛函極值問(wèn)題及用變分法解最優(yōu)控 制問(wèn)題。 2.1 無(wú)約束條件的泛函極值無(wú)約束條件的泛函極值 問(wèn)題問(wèn)題 n在無(wú)約束條件下，泛函極值問(wèn)題一般可 以由經(jīng)典變分法來(lái)解決。 一、固定邊界的泛函極值一、固定邊界的泛函極值 f t t dtttxtxFxJ 0 ),(),()( ff xtxxtx)(,)( 00 )(xJ)(tx要求確定使 達(dá)極小的 軌線 一、固定邊界的泛函極值一、固定邊界的泛函極值 )()()( * ttxtx 0)()(

6、 0 f tt fff xtxtxxtxtx)()(,)()( * 00 * 0 )()()( * ttxtx f t t dttttxttxFxJ 0 ),()(),()()( * 0 0 d dJ J 根據(jù)泛函極值的必要條件，應(yīng)滿足 f t t dt x txxF x txxF d dJ 0 , * 0 f f f t t t t t t dt x txxF dt d x txxF dt x txxF 0 0 0 , , * 積分號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)作分部積分后可得 f f t t t t x txxF dt x txxF dt d x txxF d dJ 0 0 , , , * 0 0 , , 0

7、 * f t t dt x txxF dt d x txxF 0 , , * x txxF dt d x txxF 這就是著名的歐拉一拉格朗日方程，簡(jiǎn)稱歐拉方程。 舉例1 n設(shè)泛函 n邊界條件為 n求使J達(dá)到極值時(shí)的最優(yōu)軌線 2 1 22 )()(dttxxxJ 2)2(, 1) 1 (xx )( * tx 舉例2 n設(shè)泛函 n邊界條件為 n求使J達(dá)到極值時(shí)的最優(yōu)軌線 2 0 22 )()( dtxxxJ 2) 2 (, 0)0( xx )( * tx 二、可動(dòng)邊界的泛函極值二、可動(dòng)邊界的泛函極值 0 , , , 0 0 * f f t t t t x txxF dt x txxF dt d

8、x txxF 0 , 0 , 0 * tt x txxF x txxF f 或 三、末端時(shí)刻自由時(shí)的泛函極值三、末端時(shí)刻自由時(shí)的泛函極值 n末端時(shí)刻自由問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是，末端時(shí)刻 不固定，末端狀態(tài)或自由，或受約束， 屬于變動(dòng)端點(diǎn)問(wèn)題。 n泛函為積分型 f t t dtttxtxFxJ 0 ),(),()( )( * * )( * * * * 0 * 0 0 ),()(),()( ),()(),()( ),()(),()( ),(),()( ff f f ff f tt t t t tt t t t dttttxttxF dttttxttxF dttttxttxF dtttxtxFxJ )(),()

9、,(),()(),()()( * * 0 fff t t tttxtxFdttttxttxFxJ f 0 )(),(),( , , , * * * 0 * 0 ffff t t t t tttxtxF x txxF dt x txxF dt d x txxFJ f f 1 起點(diǎn)固定、末端自由起點(diǎn)固定、末端自由 n欲使上述極值條件滿足，必須同時(shí)滿足 0),(),( 0 , 0 , , * * * * * f f t fff t ttxtxF x txxF x txxF dt d x txxF 2 起點(diǎn)固定、末端受約束起點(diǎn)固定、末端受約束 )()( ff tctx 設(shè)末端約束為 )()()( *

10、ffffff ttcttttx )()()()()( * fffff ttctttx )()()()( * ffff ttxtct 2 起點(diǎn)固定、末端受約束起點(diǎn)固定、末端受約束 n欲使上述極值條件滿足，必須同時(shí)滿足 0),(),( , )()( 0 , , * * * * * fff t ff ttxtxF x txxF txtc x txxF dt d x txxF f )()( ff tctx 舉例 n求使泛函 n為最小的最優(yōu)軌線 n已知初態(tài) n末態(tài)要求 n其中 f t dtxxJ 0 2 1 2 )1 ()( )( * tx 1)0(x )()( ff tctx ttc 2)( 2.2

11、有約束條件的泛函極值問(wèn)題有約束條件的泛函極值問(wèn)題 n了解無(wú)約束泛函極值的必要條件，對(duì)于 掌握變分法的基本概念是重要的。然而， 實(shí)際系統(tǒng)都有其自身的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這種 規(guī)律的數(shù)學(xué)描述就是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方 程式。 有等式約束的泛函極值問(wèn)題 nS.t. f t tx dtttxtxFxJ 0 ),(),()(min 0),(txxf ff xtxxtx)(,)( 00 ,)(),( 0f tttxtxxF在及上連續(xù)可微 定理 n對(duì)于上述問(wèn)題，在約束條件下，使泛函 取極值的必要條件，是軌線 滿足下列 歐拉方程 n其中 )(tx 0 x L dt d x L ),()(),(),(txxfttxxFtxxL T 證明 構(gòu)造廣義泛函 f t t T a dttxxftttxtxFxJ 0 ),()(),(),()( 令拉格朗日函