韋達定理及其應用競賽題上課講義

1、精品文檔【內(nèi)容綜述】設 一 元 二 次 方 程。韋達定理及其應用有 二 實 數(shù) 根 ， 則 ，這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù) a，b，c 的關系，稱之為 韋達定理。其逆命題也成立。韋達定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學 競賽中有著廣泛的應用。本講重點介紹它在五個方面的應用。【要點講解】1求代數(shù)式的值應用韋達定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。例 1 若 a，b 為實數(shù)，且思路 注意 a，b 為方程，的二實根；（隱含，求）。的值。解 （1）當 a=b 時，；（2）當 韋達定理得時，由已知及根的定義可知，a，b 分別是方程， ab=1.的

2、兩根，由說明 此題易漏解 a=b 的情況。根的對稱多項式， ，等都可以用方程的系數(shù)表達出來。一般地，設 ，為方程的二根，則有遞推關系。其中 n 為自然數(shù)。由此關系可解一批競賽題。附加：本題還有一種最基本方法即分別解出 a，b 值進而求出所求多項式值，但計算量 較大。例 2 若 ，且 ，試求代數(shù)式的值。思路 此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成。解：因為 ，由根的定義知 m，n 為方程精品文檔的二不等實根，再由韋達定精品文檔理，得，2構(gòu)造一元二次方程如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達定理構(gòu)造以這兩個字母為根 的一元二次方程。例 3 設一元二次方程的二

3、實根為 和 。（1）試求以和為根的一元二次方程；（2）若以 程。和為根的一元二次方程仍為 。求所有這樣的一元二次方解 （1）由韋達定理知， 。，所以，所求方程為（2）由已知條件可得。解之可得由得 ，分別討論（p,q）=(0,0)，(1,0)，( -1 ,0)，(0,1)，(2,1)，( -2 ,1)或(0, -1 )。于是，得以下七個方程 ， ， ， ， ，x2+2x +1 =0 ， x2-1 =0 ，其中 x2+1 =0 無實數(shù)根，舍去。其余六個方程均為所求。3證明等式或不等式根據(jù)韋達定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式。 例 4 已知 a，b，c 為實數(shù)，且滿足條件： ，

4、，求證 a=b。精品文檔精品文檔證明 由已知得 ， 。根據(jù)韋達定理的逆定理知，以 a，b 為根的關于 x 的實系數(shù)一元二次方程為由 a，b 為實數(shù)知此方程有實根。 c20 ，故 c=0，從而。這表明有兩個相等實根，即有 a=b。說明 由“不等導出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得c=0 后，由恒等式可得 ，即 a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。4研究方程根的情況將韋達定理和判別式定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關于方程1 方程有二正根2 方程有二負根3 方程有異號二根4 方程兩根均為“0”的實根符號判定有下述定理： ，ab0；，ab0，ac0；，a

5、c0；，b=c=0， ；例 5 設一元二次方程 范圍。1 二根均大于 1；2 一根大于 1，另一根小于 1。的根分別滿足下列條件，試求實數(shù) a 的思路 設方程二根分別為大于 1，另一根小于是等價于， ，則二根均大于 1 等價于 和異號。和同時為正；一根解 設此方程的二根為，則。方程二根均大于 1 的條件為精品文檔2精品文檔解之得-7 0,(x -1)(x -1) =6 -a -( -2a) +1 0.1 2解之得。a -7。說明 此例屬于二次方程實根的分布問題，注意命題轉(zhuǎn)換的等價性；解題過程中涉及二 次不等式的解法，請參照后繼相關內(nèi)容。此例若用二次函數(shù)知識求解，則解題過程極為簡便。5求參數(shù)的值

6、與解方程韋達定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應用。例 6 解方程 解：原方程可變形為。令，。則,。由韋達定理逆定理知，以 a， -b 為根的一元二次方程是 。解得 ，或。即 a= -8 或 a=9。通過求解 x 結(jié)果相同，且嚴謹。解之得，（舍去）。此種方法應檢驗：是或否成立強化訓練a 級1.若 k 為正整數(shù)，且方程 k 的值為_。有兩個不等的正整數(shù)根，則2.若精品文檔， ，則 _。精品文檔3 .已知和是方程的二實根，則 _。4.已知方程 （m 為整數(shù)）有兩個不等的正整數(shù)根，求 m 的值。級5.已知： 和 為方程 中 n 為正奇數(shù)，且。及方程的實根，其求證： ，是方程的實根。6.已知關于 x 的方程參考答案12的二實根 和 滿足 ，試求 k 的值。提示：原方程即，所以 ，由知k=1，2，3，5，11；由整數(shù)根，不合題意。故 k=2。知 k=2，3，4，7。所以 k=2，3，但 k=3 時原方程有二相等正2 3 21提示：由 x，y 為方程的二根，知 ， 。于。提示：由 ， ，知，4設二個不等的正整數(shù)根為 ， 精品文檔，由韋達定理，有42精品文檔消去 m，得。即。則且。，。故。5由韋達定理有，。又，。二式相減得。，。將代入有 。從而 ，同理和是方程的根。6