高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)軌跡方程專題理

1、，百度文庫 - 讓每個人平等地提升自我高三廣二模復(fù)習(xí)圓錐曲線專題三軌跡方程 一、定義法：要求牢記各種曲線的定義及特點例 1：一動圓與圓x2 +y 2 +6 x +5 =0 外切，同時與圓 x 2 +y 2-6 x -91 =0內(nèi)切，求動圓圓心 m 的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。分析：設(shè)動圓圓心為m ( x, y )，半徑為r，設(shè)已知圓的圓心分別為o1、o2，將圓方程分別配方得：( x +3)2 +y 2 =4 ， ( x -3) 2 +y 2=100，當(dāng)m與o1相切時，有| o m |=r +2 1當(dāng)m 與 o 相切時，有 | o m |=10 -r 2 2將兩式的兩邊分別相加，得| o

2、 m | +| o m |=12 1 2，即( x +3)2 +y 2 + ( x -3)2 +y 2 =12所以點m的軌跡是焦點為o ( -3,0)1、o (3,0)2，長軸長等于12 的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在 x 軸上， 解答過程：寫法一：解：設(shè) 動圓圓心為m ( x, y )，已知圓的圓心分別為o 、 o1 2，且o ( -3,0)1，o (3,0)2由題設(shè)得：( x +3)2 +y 2 + ( x -3)2 +y 2=12整理得：x 2 y 2+ =136 27。所以，動圓圓心的軌跡方程是x 2 y 2+ =136 27，軌跡是橢圓。寫法二：解：設(shè)動圓圓心為m ( x,

3、 y )，已知圓的圓心分別為 o 、o 且 o ( -3,0) ，o (3,0)1 2 1 2由題設(shè)得：| o m | +| o m |=12 o o 1 2 1 2所以點 m 的軌跡是焦點為 o ( -3,0) 、o (3,0) ，長軸長等于12 的橢圓，并且橢圓的中1 2心在坐標(biāo)原點，焦點在 x 軸上，2c =6，2 a =12，c =3，a =6，b2=36 -9 =27，圓心軌跡方程為x 2 y 2+ =136 27。所以，動圓圓心的軌跡方程是 自我演練：x 2 y 2+ =136 27，軌跡是橢圓。1、若點p到直線x =-1的距離比它到點(2，0) 的距離小 1，則點p的軌跡方程為_

4、2、設(shè)圓 c 與兩圓( x + 5)2+y2=4,( x - 5)2+y2=4中的一個內(nèi)切，另一個外切。1)( )2百度文庫 - 讓每個人平等地提升自我求 c 的圓心軌跡 l 的方程;二、直接法（幾何法）：找出幾何關(guān)系，直接利用幾何關(guān)系建立式子例 2、已知動點 p到定點f(2,0的距離與點 p到定直線l：x =2 2的距離之比為22求動點 p 的軌跡 c 的方程；分析：先找出幾何關(guān)系，pf 2=d 2解：設(shè)點p (x,y )，依題意，有x - 2 +y x -2 22=22整理，得x 2 y 2 x 2 y 2 + =1 所以動點 p 的軌跡 c 的方程為 + =14 2 4 2自我演練1、已

5、知橢圓的焦點是 f 、f ，p 是橢圓上的一個動點，如果延長 f p 到 q，使得|pq|pf |，1 2 1 2那么動點 q 的軌跡是( )a圓 b橢圓 c雙曲線的一支 d拋物線2、已知點f (0,1)，直線l： y =-1， p為平面上的動點，過點 p作直線l的垂線，垂足為q ，且 qp qf =fp fq 求動點 p 的軌跡 c 的方程；x2 y2 33、已知橢圓 c ： 1(ab0)的離心率為 ，直線 l：yx2 與以原點為圓心、橢1 a2 b2 3圓 c 的短半軸長為半徑的圓 o 相切 (1)求橢圓 c 的方程；1 1(2)設(shè)橢圓 c 的左焦點為 f ，右焦點為 f ，直線 l 過點

6、 f 且垂直于橢圓的長軸，動直線1 1 2 1 1l 垂直于 l ，垂足為點 p，線段 pf 的垂直平分線交 l 于點 m，求點 m 的軌跡 c 的方程 2 1 2 2 2220 20百度文庫 - 讓每個人平等地提升自我三、相關(guān)點代入法：要求 q 的軌跡方程，則先求 r 的軌跡方程，借用 r 的方程代入例 3：設(shè) p 為雙曲線x 24-y21 上一動點，o 為坐標(biāo)原點，m 為線段 op 的中點，求點 m 的軌跡方程.分析：點 m 是由點 p 產(chǎn)生的，而題目中點 p 軌跡已知即為雙曲線，故借用 p 的軌跡代入 解：設(shè)點 m（x，y），點 p（x ，y ）0 0x =x y 0 , y = 0 2

7、 2即 x 2x，y 2y0 0代入x4-y =14 x 2得 4y21 即 x24y21 4所以點 m 的軌跡方程為 x24y21自我演練11、已知 f 是拋物線 y x2 的焦點，p 是該拋物線上的動點，則線段 pf 中點的軌跡方程是4（ ）1 1ax2y bx22y2 16cx22y1dx22y22、如圖，設(shè)是圓x2+y2=25上的動點，點是在 x 軸上投影，為 pd 上一點，且| md |=45| pd |（1）當(dāng) p 在圓上運動時，求點 m 的軌跡 c 的方程；（2）求過點（3，0）且斜率為45的直線被 c 所截線段的長度3122222222 21 22 2百度文庫 - 讓每個人平等

8、地提升自我四、交軌法例 4：已知雙曲線x 22-y2=1的左、右頂點分別為a , a ,點 p ( x , y ) , q ( x , -y ) 1 2 1 1 1 1是雙曲線上不同的兩個動點.求直線 a p 與 a q 交點的軌跡 e 的方程1 2解 : (1) a , a 為雙曲線的左, 右頂點,它們的坐標(biāo)為a ( - 2,0), a ( 2,0).1 2 1 2y -0 -y -0則a p : y = 1 ( x + 2), a q : y = 1 ( x - 2),x + 2 x - 21 1兩式相乘得 : y 2 =-y1x -21( x 2 -2).點p( x , y )在雙曲線上

9、, 所以 1 1x12-y =1,1即y 1 1 x 21 = , 故y 2 =- ( x 2 -2), 即 +y 2 =1. x -2 2 2 21經(jīng)檢驗,以上所得橢圓的四個頂點無法取到,故交點軌跡 e 的方程為x 22+y 2 =1 ( x 0, 且 x 2).x y自我演練：已知雙曲線 - =1(m0,n0)的頂點為 a 、a ，與 y 軸平行的直線 l 交雙m n曲線于點 p、q.求直線 a p 與 a q 交點 m 的軌跡方程；1 24212百度文庫 - 讓每個人平等地提升自我高三廣二模復(fù)習(xí)圓錐曲線專題三軌跡方程 2013-4-7變式：設(shè)圓 c 與兩圓( x + 5)2+y2=4,(

10、 x - 5)2+y2=4中的一個內(nèi)切，另一個外切。（1）求 c 的圓心軌跡 l 的方程;（2）已知點 m(3 5 4 5,5 5), f ( 5,0)，且 p 為 l 上動點，求mp - fp的最大值及此時點 p 的坐標(biāo)解：設(shè) c 的圓心的坐標(biāo)為( x , y )，由題設(shè)條件知| ( x + 5)2+y2- ( x - 5)2+y2|=4,化簡得 l 的方程為x 24-y2=1.（2）解：過 m，f 的直線l方程為y =-2( x - 5)，將其代入 l 的方程得15 x 2 -32 5 x +84 =0.解得x =16 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5 , x = , 故l

11、與l交點為t ( , - ), t ( , ).5 15 5 5 15 15因 t 在線段 mf 外，t 在線段 mf 內(nèi)，故 1 2| mt | -| ft | =|mf |=2, 1 1| mt | -| ft | |mf |=2. 2 2，若 p 不在直線 mf 上，在dmfp中有| mp | -| fp | |mf |=2.故| mp | -| fp |只在 t 點取得最大值 2。 11、已知點f (0,1)，直線l： y =-1， p 為平面上的動點，過點 p 作直線 l 的垂線，垂足為q ，且 qp qf =fp fq 求動點 p 的軌跡 c 的方程；解：設(shè)p(x, y)，則q(x

12、, -1)，qp qf =fp fq ， (0,y +1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2)即2 (y+1)=x2-2(y-1)，即x2 =4 y ，所以動點 p 的軌跡 c 的方程 x 2=4 yx2 y22、已知橢圓 c ： 1(ab0)的離心率為1 a2 b2533，直線 l：yx2 與以原點為圓心、橢pp12百度文庫 - 讓每個人平等地提升自我圓 c 的短半軸長為半徑的圓 o 相切 (1)求橢圓 c 的方程；1 1(2)設(shè)橢圓 c 的左焦點為 f ，右焦點為 f ，直線 l 過點 f 且垂直于橢圓的長軸，動直線1 1 2 1 1l 垂直于 l ，垂足為點 p，線段 pf 的垂直平

13、分線交 l 于點 m，求點 m 的軌跡 c 的方程 2 1 2 2 23 b2 2解：(1)由 e ，得 1e2 ；3 a2 3由直線 l：xy20 與圓 x2y2b2相切，得22|b|.x2 y2所以，b 2，a 3 所以橢圓的方程是 1.3 2(2)由條件，知|mf |mp|，即動點 m 到定點 f (1,0)的距離等于它到直線 l ：x1 的距2 2 1離，由拋物線的定義得點 m 的軌跡 c 的方程是 y24x.2如圖，設(shè)是圓x 2 +y 2 =25上的動點，點是在x軸上投影，為 pd 上一點，且| md |=45| pd |（1）當(dāng) p 在圓上運動時，求點 m 的軌跡 c 的方程；（2

14、）求過點（3，0）且斜率為45的直線被 c 所截線段的長度【解】（1）設(shè)點 m 的坐標(biāo)是( x , y )，p 的坐標(biāo)是( x , y ) p p，因為點是在 x 軸上投影，為 pd 上一點，且| md |=4 5 | pd | ，所以 x =x ，且 y = y5 4，p 在圓x2+y2=25 上， x2+(54y)2=25，整理得x 2 y 2+ =125 16，即 c 的方程是x 2 y 2+ =125 16（2）過點（3，0）且斜率為4 4的直線方程是 y = ( x -3) 5 5，設(shè)此直線與 c 的交點為a( x , y ) ， b ( x , y ) 1 1 2 2，將直線方程y

15、 =45( x -3)代入 c 的方程x 2 y 2+ =125 16得：x 2 ( x -3)2+ =1 ，化簡得 x 25 2523 - 41 3 + 41-3 x -8 =0 ， x = ， x = ，2 2所以線段 ab 的長度是| ab |=( x -x ) 2 +( y -y ) 2 = (1 + 1 2 1 21625)( x -x ) 1 22=641 4141 =25 541，即所截線段的長度是 52 21 22 2222 22 221222222 22 2自我演練：已知雙曲線百度文庫 - 讓每個人平等地提升自我x y- =1(m0,n0)的頂點為 a 、a ，與 y 軸平行的直線 l 交雙 m n曲線于點 p、q.求直線 a p 與 a q 交點 m 的軌跡方程；1 2解：(1)設(shè) p