華東師范大學(xué)2008年高等代數(shù)考研試答案

1、華東師范大學(xué)2008年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題考試科目代碼及名稱(chēng)：高等代數(shù)以下，Z為整數(shù)集，Q為有理數(shù)域,R實(shí)數(shù)域E表示單位矩陣， A表示A的轉(zhuǎn)置。第一部分 選擇題、是非題、填空題:(15*4=60 分)1設(shè)1, 2, 3是非齊次線性方程組AX =B的三個(gè)解，則下列向量中，()仍是AX=B的解。(A).冷 一- 2( B )、丄 1 - 2、231(C)“一廠3(D) 32設(shè)“23A是一個(gè)n階方陣，則線性空間 W二LE,A,A,A, 的維數(shù)dimW等于(A的特征多項(xiàng)式的次數(shù)A的初等因子的個(gè)數(shù)(A)(C)3.每個(gè)2007階實(shí)矩陣至少有一個(gè)實(shí)特征值。(B) A的最小多項(xiàng)式的次數(shù)(D) A的秩4設(shè)

2、A是由數(shù)域K上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則 V = AV二A(0)。(5設(shè)A是一個(gè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，1,-1是A的兩個(gè)特征值，其中-1是A的一個(gè)二重特征值。已知1,1,1是A的屬于特征值1的特征向量。則是A的屬于特征值-1的正交特征向量。6設(shè)：1 二 1,一1,3,：七二 2,-1,1，:3 二 -1,-1,7, -1,0,2二 a,1,13 = 4,-1,a 如果向量組J,2,3 與向量組-1, -2, -3 等價(jià)，則 a 二7對(duì)任意實(shí)矩陣 A，齊次線性方程組 AX =0與齊次線性方程組 AAX =0的解都相同。&對(duì)于多項(xiàng)式f x，下列論斷正確的是(A) 如果對(duì)任意的a Q，都有f a Q

3、，貝U f x的系數(shù)都是有理數(shù);(B) 如果對(duì)任意的a R，都有fa，R，貝U f x的系數(shù)都是實(shí)數(shù)；(C)如果對(duì)任意的a Z，都有f a 三Z，貝U f x的系數(shù)都是整數(shù);(D)如果對(duì)任意的a 0，都有fa 0 ,則f x的系數(shù)都是正數(shù)。9正交變換的屬于不同的特征值的特征向量正交。().310如果f xi；=x -ax 2有有理根，則 a =。11 x=a為多項(xiàng)式f x的k重根的充分必要條件是 x = a為f x的k-1重根。 ()12設(shè)A是的m n(m乞n)矩陣，B是m維列向量，則下列命題正確的是(A) 當(dāng)AX =0有非零解時(shí)，則 AX =B也有解；(B) 當(dāng)AX =B有解時(shí)，貝U AX

4、=0必有無(wú)窮多解；(C) 當(dāng)AX =0有唯一時(shí)，則 AX二B也有唯一解；(D) 當(dāng)AX =B無(wú)解時(shí)，則AX =0僅有零解。3213已知矩陣A的特征多項(xiàng)式f x=x x -2，則A 2E的逆矩陣是 。2 2 214.實(shí)二次型f x1,x2,x2x1 - x2 3x3 - 2x-!X2 -的正、負(fù)慣性指數(shù)分別是 。15已知A是n階方陣，如果A2n=0，則A0。()第二部分 計(jì)算題、證明題(共6題，共90分)16. (20分)設(shè)A是由數(shù)域K上一個(gè)m n矩陣，B是一個(gè)m維非零列向量。令 W =Kn存在t三K,使A： 二 tB(1) 證明：W關(guān)于Kn的運(yùn)算構(gòu)成Kn的一個(gè)子空間；(2) 設(shè)線性方程組 AX

5、二B的增廣矩陣的秩為r，證明W的維數(shù)dimW二n - r 1 ；(3 )對(duì)于非齊次線性方程組2x1-x2 x3 3x4 二-1 Xr+2x2 + 3x3 _x4 = 2+3x2 + 7 x3 + x4 = 3求W的一個(gè)基。(5-1317. (10分)試求矩陣A =-836的右當(dāng)?shù)錃镄? Jordan canonical form )C82-5丿2118. (20分)設(shè)矩陣A =12112丿(1)證明A為正定矩陣；(2)試求正定矩陣B ,使B2=A。19. ( 10分)設(shè) x是有理數(shù)域上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式，X1,X2,X3,，Xs是 x在復(fù)數(shù)域上的根，是任一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式，使f x不能被x整除。證明：存在有理系數(shù)多項(xiàng)式h x，使1f Xi1 b20. （20分）易知，當(dāng)a,b是不全為零的有理數(shù)時(shí)，成立等式1v 2 aa + b2a bl2b a|（2）應(yīng)用上述公式，將根式M 2 - 23 4分母有理化1bc近Qab1（1）證明當(dāng) a b c為不全為零的有理數(shù)時(shí) 有-羽2caa +