利用導數(shù)證明不等式的常見題型第七計

1、利用導數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧技巧精髓1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點， 也是近幾年高考的熱點。2、解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得 不等式，而如何根據(jù)不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。一、利用題目所給函數(shù)證明【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x1)x，求證：當x -1時，恒有11In(x 1) _xx +1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構造函數(shù)1g(x) = In(x 1)1,從其導數(shù)入手即可證明。x +11x【綠色通道】f(X)

2、1 =x+1x + 1當 -1 ：x ：0 時，f(X) 0,即 f (x)在 x (-1,0)上為增函數(shù)當x 0時，f (x) ： 0 ,即f (x)在x (0, -)上為減函數(shù)故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0, 二)于是函數(shù)f (x)在(-1,=)上的最大值為f (x)max = f(0) =0，因此，當X -1時，f(X)乞f (0) =0 ,即 ln(x - 1) -x 空 0 ln(x 1) x (右面得證)，1現(xiàn)證左面，令g(x) = ln(x 1)1,x+11則g (x)二12(x 1)x2(x 1)當 x (-1,0)時,g (x) ：0;當X (

3、0,：)時,g (x)0即g (x)在(-1,0)上為減函數(shù)，在 x(0：)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(-1, ：)上的最小值為g (x) min二g(0)=0 ,1當 xT 時，g(x)_ g(0)=0,即 ln (x 1)1 - 0x + 11 1- ln(x 1) -1，綜上可知，當 x -1 時,有1 f(x)恒成立，且常數(shù) a, b滿足ab，求證:.a f (a) b f (b)【綠色通道】由已知x f (x) + f (x) 0 A構造函數(shù) F(x)二xf(x),則f(x)二x f (x) + f (x) 0,從而F(x)在R上為增函數(shù)。a b a F(a) F(b)即 a f

4、(a)b f (b)【警示啟迪】由條件移項后xf (x) f (x),容易想到是一個積的導數(shù)，從而可以構造函數(shù) F(x) =xf (x),求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf (x) . f (x)，則移項后xf (x) - f (x)，要想到是一個商的導數(shù)的分子，平時解題多注意總結?！舅季S挑戰(zhàn)】21、 (2007年，安徽卷)設 a 一0, f(x) =x -1 - In x 2aln x 求證：當x 1時，恒有x In2 x2aIn x亠1 ,2、(2007年，安徽卷)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)-3a2|n a,1f (x) x2 2ax, g(x) = 3a2 In x b,其中 a0

5、，且 b求證：f (x) _ g(x)x3、已知函數(shù)f(x) =ln(1x)，求證：對任意的正數(shù) a、b ,1 + x4、(2007年，陜西卷)f (x)是定義在(0, + 上的非負可導函數(shù)，且滿足xf (x) - f (x) w 0，對任意正數(shù)a、b，若a b，則必有(A) af (b) w bf (a)(B) bf (a) af (b)(C) af (a)w f (b)(D) bf (b)w f (a)答案咨詢】1、提示:2 In x 2a2 In xf (x) =1，當x 1, a 一0時，不難證明1xxx f (x)0，即f (x)在(0,七)內(nèi)單調(diào)遞增，故當x 1時，f (x) f

6、(1) = 0，二當 x 1 時，恒有 x In x - 2aln x 12、提示：2設 F(x) =g(x) - f (x) =lx2 2ax -3a2 In x -b則 F (x) = x 2a2x(x -a)(x 到 (X . 0). a 0 ,當 X 二 a 時，F(xiàn) (x)二 0 ,x故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,，：)上為增函數(shù)，于是函數(shù) F(x)在(0,=)上的最小值是 F(a)二 f(a)-g(a) =0，故當 x 0 時，有 f(x)-g(x) 一 0,即 f(x)_g(x)3、提示：函數(shù)f(x)的定義域為(-1：), f (x)221+x (1 + x)2(1+X)2當 -1 ：x ：0 時，f(X)：0，即 f (x)在 x (-1,0)上為減函數(shù)當x 0時，f(x)0，即f (x)在x(0, ：)上為增函數(shù)因此在x = 0時，f(x)取得極小值f(0) =0，而且是最小值x1于是 f (x) _ f(0) =0,從而 ln(1 x)，即 In(1 x) _1 - -1+x1+x令1 x=a0,則1-1 - 于是In?_1-匕bx 1 ab aK因此In a - In b亠