級(jí)數(shù)求和常用方法-級(jí)數(shù)求和法

1、1.7方程式法31.8原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和31.9數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和31.10化數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為積分函數(shù)求原級(jí)數(shù)和41.11三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)系級(jí)數(shù)41.12構(gòu)造函數(shù)計(jì)算級(jí)數(shù)和5行3級(jí)數(shù)討論其子序列51.14裂項(xiàng)法求級(jí)數(shù)和61.15裂項(xiàng)+分拆組合法7X6夾逼法求解級(jí)數(shù)和72函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和82.1方程式法82.2積分型級(jí)數(shù)求和82.3逐項(xiàng)求導(dǎo)求級(jí)數(shù)和92.4逐項(xiàng)積分求級(jí)數(shù)和92.5將原級(jí)數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級(jí)數(shù)102.6利用傅里葉級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)和102.7三角級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)求級(jí)數(shù)和112.8利用三角公式化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)122.9針對(duì)2.7的延伸122.10添加項(xiàng)處理系數(shù)122.11應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算級(jí)數(shù)和

2、132.12利用Beta函數(shù)求級(jí)數(shù)和14參考文獻(xiàn)151 / 162 / 16級(jí)數(shù)求和的常用方法級(jí)數(shù)要首先考慮斂散性，但本文以級(jí)數(shù)求和為中心，故涉及的級(jí)數(shù)均收斂且不過多討論級(jí)數(shù)斂散 性問題.由于無窮級(jí)數(shù)求和是個(gè)無窮問題，我們只能得到一個(gè)“T8的極限和.加之級(jí)數(shù)能求和的本身就 困難，故本文只做一些特殊悄況的討論，而無級(jí)數(shù)求和的一般通用方法，各種方法主要以例題形式給 出，以期達(dá)到較高的事實(shí)性.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和1. 1等差級(jí)數(shù)求和等差級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過比較各項(xiàng)得到其公差，并運(yùn)用公式可求和.s=g+叱!d = (W,其中為首項(xiàng)，為公差2 2證明：+a2 +.+an ，s=an +.+a2 +q +得

3、：25 =(同 +d”)+(d2+% )+.+(厲+/2 + 3) + (2 - 23 + /4 )+ + (Jn _ 2 2 Jh +1 + /n) + (y/n 1 - 2fti + Jn + ) + ( 2 Jn + + J” + 2)所以 lim 5 =.TOO=1 -+ 2 = 1 - y/2 +/,yjH + + J + 216有理化法求級(jí)數(shù)和對(duì)于一些級(jí)數(shù)通項(xiàng)含有分式根式的級(jí)數(shù)，我們可以仿照數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的方法“有理化處理, 以期達(dá)到能使得級(jí)數(shù)通項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后整個(gè)級(jí)數(shù)都較容易求和.例4：計(jì)算工解：可以看出此級(jí)數(shù)含根式較多，因此嘗試運(yùn)用有理化的方法去處理，即通項(xiàng) ，對(duì)其分母有理化得:y

4、jn(n +1) (yjn + 心 +1)則原級(jí)數(shù)可以采用本文中的1. 5 “蘊(yùn)含型1分母有理化Jn + 1 亦_ 11+1)(麗 +1)+1) fn yjn + i級(jí)數(shù)相消法”，則可以快速求得級(jí)數(shù)和的極限為11. 7方程式法此型級(jí)數(shù)通過一系列運(yùn)算能建立級(jí)數(shù)和的方程式，通過解方程求解級(jí)數(shù)和準(zhǔn)確建立方程是關(guān)鍵 問題，方程類型不固定，有類似與微分方程之類的，故要視具體悄況建立方程，解方程也要準(zhǔn)確，才 能求岀級(jí)數(shù)和.例 5:計(jì)算？cos0 + cos2& + +g cosnG ,其中 |(/| 0(/ o)s = 1 + + + 1 2 3 3h2n=In 3/2 一 In n + e3n - en

5、 , lim 5 = ln3 1. 9數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為相應(yīng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，再通過函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和，并賦予函數(shù)未知數(shù)相應(yīng)未知數(shù)后記得相 應(yīng)原級(jí)數(shù)的和.例7：求級(jí)數(shù)和工/F-1xi解：建立函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) Wm. .s)宀由函數(shù)斂散性知識(shí)可知其收斂域?yàn)? 1(V+莎將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得：心十鮎35.3嚴(yán)_山此可知s(x)滿足微分方程x 1*客35.（21）嚴(yán)Tf5(X)-X5(X)= 1 ,且易知5(0) =0,解此常微分方程得：*T11,s(x) = e2 e 2 dt ,令x = 1則可以求出原級(jí)數(shù)和：s = e2e2 dt.1. 10化數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為積分函數(shù)求原級(jí)數(shù)和3 / 16將

6、原級(jí)數(shù)通過化簡(jiǎn)，構(gòu)造積分極限式，從而轉(zhuǎn)化為積分求原級(jí)數(shù)和也不失為一種好方法，構(gòu)造 積分式子是關(guān)鍵，一般原級(jí)數(shù)中通過四則運(yùn)算將與積分中的分割相聯(lián)系從而構(gòu)造分割，建立級(jí)數(shù)與 積分式子的橋梁.x 1例&計(jì)算工丄，其中TS)Tn + k亦J 二 11乙 11 分子分琢問時(shí)除如構(gòu)造分削建&級(jí)敵巧積分的橋梁W： I己 S = = Iim ；-一hnk 幺 1+畀n1. 11三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)系級(jí)數(shù)將三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域上的級(jí)數(shù)，山于復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求復(fù)數(shù) 系級(jí)數(shù)進(jìn)而求原級(jí)數(shù)和.例 9亠：設(shè)$二 gcosO + g cos 2&+ + cos nO ,求 s 解：由于 s二/

7、cos 灼，令 z = qe,d = q(cos 0 + / sin 0)為復(fù)數(shù)，其中 k = 0,1,2.Zk = q嚴(yán)=qk(coskO + isinkO),其中 k = 1,2得：1 -l-zfl=Y / = 1+z + z2 +. +=1 + q(cos 0 + i sin 0) + q1 (cos 20 + i sin 20)+JO q(cos3 & + i sin 3 &)+“ (cos nO + isin n0) = + qcos & + / cos2& + q cos30 + +q cosnO + i(qsin Oq1 sin 20 + + 0 sinn0)而另一方面_2”利

8、_ _/w(cos(+l)6 +jsin(+l)&) _1 一 Z1-q(cos 0 + i sin &)1 -2g cos & + -qcos0一“3 cos( +1)& + q11*2 cos(z? + l)&cos0 + 廣2 sin( +1)&sin+i q sin & - q*1 cos(n +1)&sin 0 廠 sin( +1)& + q1 sin(n +1)&cos & 取實(shí)部對(duì)應(yīng)原級(jí)數(shù)和即得：1 + 5 =! (1 - q cos 0 - 嚴(yán) cos(n +1)0 + 廣2 cos n0)即:l-2gcos& + g5 =!(1 一qCOS & qg COS(/? + 1)0

9、 + qg COS”8 1 + 2qCOS 0-q2 )l-ZycosO + q-當(dāng)且 |q|0 （收斂判別的必要條件），工匕收斂于S的充分必要條件是: /r-lK-1部分和“的一個(gè)子序列$”收斂于s,其中卩滿足：卩是某個(gè)正整數(shù)p二1, 2,將級(jí)數(shù)分情況討論，化為多個(gè)子序列之和，利用原級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)任意添加括號(hào)得到的級(jí)數(shù)和收斂于 原級(jí)數(shù)和原理，通過求各個(gè)子序列之和求解原級(jí)數(shù)和，關(guān)鍵在于如何分解原級(jí)數(shù)為不同子序列，然而 子序列相對(duì)于原級(jí)數(shù)來說易求些，這樣方法才行之有效，這和16的“原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和”是 不同的分情況討論在三角中討論角的大小我們已不陌生，下面我們就看一個(gè)這樣討論角的幅度的例

10、題.2h7TX cos例11叫計(jì)算：Sn-1 匕2n7rX cos解：記s =一，由級(jí)數(shù)斂散性知識(shí)可知，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂按幅度角的討論將級(jí)數(shù)分解為: /r-l 2A = n I n = 3k、k =0,l,2，=nn = 3k + l,k = 0,1,2.）, A3 = /i I n = 3k + 2.k = 0,1,2.5 / 162/?tt2/?tfX cos x cos x則：E“0-=y+y2htt2h7Tcos x cos乙/rs/lj Zx 1= Z+E D 乙*-02兀X COS w +V3知l 厶cos (/r+ )3(l + icos + icos(+234乙ns/lj 乙;r

11、6AiXn-l2nncos3X針對(duì)士k 伙+ 1)同理采用裂項(xiàng)法記張命計(jì)注=(1_rl7T=l,所以:1 81. 14裂項(xiàng)法求級(jí)數(shù)和針對(duì)級(jí)數(shù)是分?jǐn)?shù)形式，且滿足分母為多項(xiàng)乘積形式，且各項(xiàng)之間相差一個(gè)相同的整數(shù)，裂項(xiàng)后各 項(xiàng)就獨(dú)立岀來，而原來各項(xiàng)之間相差整數(shù)則裂項(xiàng)后新級(jí)數(shù)等價(jià)于求解某一個(gè)級(jí)數(shù)，其余新級(jí)數(shù)照此可求出，從而原級(jí)數(shù)和可以求出.裂項(xiàng)一般形式： 1=(),此處mn.(x + 2)(x+) n-m x + rn x + n例12：訃算-呂+”.（ + 爲(wèi)+習(xí)解：記+i爲(wèi)+2）冷冊(cè)r（+i）：+d“1、 z 11、 J 1、，11、 J 1、z 11、 裂項(xiàng)后后而項(xiàng)可以消而項(xiàng)部分、這枕足筏項(xiàng)法的

12、好處!（=）+（廠尹（門）叫丐）+匸嚴(yán)叫一荷）1 1 1卜市 = 1-, = !,所以伙 + 1)伙+ 2) = 2 燭氛伙+ 1) + 伙+ 1)伙+ 2)1晁爲(wèi)茁r瓠噫潔HdTTT1. 15裂項(xiàng)+分拆組合法將裂項(xiàng)與分拆組合法合用在一起，運(yùn)用裂項(xiàng)法分拆級(jí)數(shù)，再將分拆重新組合級(jí)數(shù)，山新級(jí)數(shù)返回 求原級(jí)數(shù)和.例13：計(jì)算（曲）爲(wèi)曲）1123/? + 5解:p=n+1n+2n+3(n+ l)(/?+2)(n+3)6 / 16. Y= - Y ( +Y二 (n+l)(/z+2)( n+3)3 幺 n+n+2 n+33 幺(+l)(+2)(+3)i(i+a)_5(i_i)=i.3 2 33 4 641

13、. 16夾逼法求解級(jí)數(shù)和在數(shù)學(xué)分析中運(yùn)用夾逼法則求解極限，在求極限和中我們也可以借鑒此方法，運(yùn)用兩個(gè)級(jí)數(shù)逼近 原級(jí)數(shù)，最后兩逼近級(jí)數(shù)和等于原級(jí)數(shù)和.例14叫 設(shè)加為一給定的正整數(shù)，求y比 itr-ir解:SmNm+jV=E加一】n-l+w1? T nr -ir1 r 111111 獸 11111If (1(1 +. + 1 一 一一 )2m 22m + N2 N m 2m2m 111 2m n.v+ +v且 n ts時(shí)， N + 2m N + N + 2N + 2m N+12m m-1 m + ？ 一 2 m + 21 2m 一 1 ZIzli m 一 n m + /?) lim =0,且0

14、j n+lim =0,所以hms. =0-,即、_ =一丄A- N+2mNib4加-m -rr 4/zr2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和依據(jù)未知數(shù)x的而定，因此在收斂域內(nèi)尋找一個(gè)新函數(shù)去刻畫級(jí)數(shù)和. 2. 1方程式法類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)建立方程，通過方程求解求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和.例 15：計(jì)算函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 5(A-) = 1 + X + + + + -+.21.32.41.3.52.4.6解：山函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性知識(shí)可知題中函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂半徑為+00 ,逐項(xiàng)求導(dǎo)得 s (x) = +X + X2 + + .即：5 (x) = 1 +/ 5(0) = 12解此微分方程得：5(x)=伐(J(； e% +1

15、).2. 2積分型級(jí)數(shù)求和積分型級(jí)數(shù)求和顯然直接求和會(huì)帶來困難，通常積分也積不出來，所以要轉(zhuǎn)化，將積分式子化簡(jiǎn) 是個(gè)想法，通過變量替換等積分技術(shù)化簡(jiǎn)積分式子，再求級(jí)數(shù)和，所以關(guān)鍵在于處理積分式子，下面 我們看個(gè)例題.例 16：計(jì)算級(jí)數(shù)yfplsin.v-cosxl,解：因?yàn)閤w(2Qr,(2k + l) zr),作變量替換x = 2k/r + t得：7 / 16+1MJ2ETIsinx-cosxldx=y-（肱V）I sin/-cos/1 Jsin fI sinf-cosr I-TsinrdtJsin t再根據(jù)：J e氣駕W畀 =J e（皿7-簫：）/+C得:sin r-cos rTsin t

16、sin/-cos/Jsinrdt 二j* （tx+）Isinr-cosZ I /sinrsin r-cos/ yjsint所以原級(jí)數(shù)二工嚴(yán)門j（dt =2. 3逐項(xiàng)求導(dǎo)求級(jí)數(shù)和根據(jù)幕級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)收斂半徑不變?cè)?，?duì)原級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后化為一些易求和的幕級(jí)數(shù)，再往回 求積分，從而求原級(jí)數(shù)和易知的級(jí)數(shù)往往是通過泰勒展式或者麥克勞林展式獲得的。泰勒定理：若函數(shù)f（x）在心的某領(lǐng)域內(nèi)存在 + 1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則f（x）=/（勺）+八觀）（和+丄律2（如）2+.+以學(xué)1（兀_%）“+&）,這里心 是拉格朗日余項(xiàng)即 2!niRnM =上;1舉（x-W設(shè)/在區(qū)間（心-匚兀+ r）內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和的充要條件

17、：對(duì)一切 0卄1）!滿足不等式lx-x0 l r的八 有l(wèi)im/?n（x） = O ,上式右邊稱為/（x）在x = x0處的泰勒展開式山泰勒展 n開式可知右邊是個(gè)級(jí)數(shù)，而在求解級(jí)數(shù)時(shí)我們可以逆向來看，已知以級(jí)數(shù)和像求/（X）的方向行進(jìn)，找準(zhǔn)各階對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)形式，并按泰勒級(jí)數(shù)的樣子提煉出/（X）.但在實(shí)際應(yīng)用中/（工）在兀=0處的級(jí)數(shù) 應(yīng)用較多，稱為麥克勞林級(jí)數(shù)而山泰勒級(jí)數(shù)的定義可以將一些基本初等函數(shù)推導(dǎo)出來，再有基本初 等函數(shù)推導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的級(jí)數(shù)和形式，反過來即是求級(jí)數(shù)和.這也不失為一種求級(jí)數(shù)和的選擇.這中方式 在前面函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的過程中已經(jīng)有所運(yùn)用，在此總結(jié)是為了形成一種較為普遍的方法.即使是

18、級(jí) 數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)積分法也是基于此理論基礎(chǔ)之上的.00 / 1 卩 + 1例17：求解皿）=工一.組 4/7 +1解：由萊布尼茨定理可以判斷此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且收斂區(qū)間為-1,1,將級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得：5（x）= （-r）nx4H =（_+）” =1?。ɡ靡字溈藙诹终故剑?1）疋=-）0口1 + X“.01 + 兀再積分回去便得到級(jí)數(shù)和.24逐項(xiàng)積分求級(jí)數(shù)和通過級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分收斂半徑不變?cè)恚瑢?duì)原級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后化為一些易求的幕級(jí)數(shù)，再往回求導(dǎo), 可求出原級(jí)數(shù)和.8 / 16例18：計(jì)算g/r-()解：記 s(x) = nx =x + 2x + 3x3 + 4x4 +.,對(duì)其逐項(xiàng)積分得:0i123|f

19、 st)dt = 2 H.V H+. = ( 1+ (1)X + Jo23423(x + f + .1，+1 +)一(x a- d x + %4 + )+ ln(l X)2341-x所以s(x) =必H-1+ ln(l-x)=1 -xx(IF2. 5將原級(jí)數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級(jí)數(shù)分解為已知在數(shù)學(xué)中是一種基本的技巧，通過轉(zhuǎn)化為我們所知道的知識(shí)解決原復(fù)雜問題在很多地 方都是個(gè)不錯(cuò)的想法，因此在解決級(jí)數(shù)和的問題時(shí)我們也引入這思想我們已知在幕級(jí)數(shù)中已知的麥 克勞林展式有好兒個(gè)，我們要將這兒個(gè)基本初等函數(shù)的展式牢記于心，還要學(xué)會(huì)利用拉格朗日展式的 角度逆向思考級(jí)數(shù)求和的問題我們簡(jiǎn)單的引入一個(gè)問題來說明這種方

20、式，主要是引入這種思想.例19：解：記X石肓麗二，百一而)歹，利用 ln(l + x)的麥克勞林展式得：5 = -ln(l-) + ln(l-+ + - = In2 4 222 8 8 426利用傅立葉級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)和通過構(gòu)造函數(shù)，并通過延拓的方式求此函數(shù)的傅立葉展式，再山收斂定理求解函數(shù)值即可求出原 級(jí)數(shù)和，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出傅立葉函數(shù).x 1例20：計(jì)算工丄.解：構(gòu)造傅立葉函數(shù)/(%)=込其中xe0,作偶延拓得：g(x)= x2, -7rx7T此可知傅立 葉系數(shù)為：化=0,其中n = 1,2,3.2 2 2 26/n = I X CIX = 7t ,3an = x2 cos(nx)dx = x2

21、 sin(nx) I：xsin(nx)iZv = -xcos(nx) I：f cos(nx)心=(-l)n7TJohttn兀JoirnJoir由狄利克雷收斂條件可知：/(x) = + 4Y-v-cos(nx),其中0 x /In I 2 sin 1+ In I 2sin1 =In I I,具2 幺 n 2 幺 n22222 x-a中未知數(shù) x j滿足：xexOx-a 2”cxl0 v x + a 0,使得lcsc（/rz）lSMF是0 V J csc(/rz)0(z)Jz 1 11 cos(“)0(z) II IS J M 10(z) II dz, I,兩邊取極限得 qqq0 lim I f

22、csc(/rz)0(zM： l lim f I c os(;rzM(z) II dz. 30 J0G5即：liml fcsc(zrz)0(z)t/zl=O , 所 以 lim - csc()(z/z = 0，對(duì)(1 ) HiX J2加 JGn1 H1O=lim V (-l)9(j) + lim，Re$(csc(/rz妙(z),乙)所以 (-l)0(n)= -兀Res(csc(;rz妙(z),zs).證明完畢.結(jié)論的應(yīng)用:例2帆求級(jí)屹需為。）的和解：令血)=)=,當(dāng)不為零時(shí),0(Z)滿足定理的兩Z+aJ Res(csc(/rz)0(z)J)=乞 lim 0(z)=工 limcsc(az).即：二（一1）“是廠詩治當(dāng)“趨近于零時(shí)，將上式變形可得:F (-1)” (-1)1 _兀 1 a2 a sh(7ru)容易證得等式左邊的兩個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的故上式兩端取極限可得12 / 16上述級(jí)數(shù)和，2. 12利用Be加函數(shù)求級(jí)數(shù)和定理1 設(shè)廠,彳為自然數(shù)，為實(shí)數(shù)，且I匕1,則X亡二丄 fdCnq(nq + ).(nq + r -1)(r-1)! axg定理2 設(shè)廣為自然數(shù)，&為非負(fù)整數(shù)，是實(shí)數(shù)，大于k, 11(n +