菲涅耳公式及其應用本科畢業(yè)論文

1、江西師范大學本科畢業(yè)論文題目：菲涅耳公式及其應用title: fresnel formula and its application院系名稱：物理與通信電子學院專 業(yè)： 物理學類 摘 要本文主要論述菲涅耳公式及其應用。我們理論推導菲涅耳公式的表達式，分析入射波、反射波和折射波的相位關(guān)系。文中還進一步探討菲涅耳公式的應用，詳細闡述半波損失、全反射、布儒斯特定律及其相關(guān)應用。關(guān)鍵詞：菲涅耳公式，半波損失，全反射，布儒斯特定律abstractthis paper mainly discusses the fresnel formula and its application. we deduce t

2、he expression of fresnel formula and analyze the phases of incident wave, reflected wave and refractive wave. in this paper, the applications of fresnel formula are discussed in detail, including half-wave loss, total internal reflection, brewster law and corresponding applications. keywords: fresne

3、l formula, half-wave loss, total internal reflection, brewster law目錄摘 要iabstractii緒論11 huygens的光論22 光的電磁理論221 磁場的環(huán)量和旋度222 磁場的通量和散度323 電磁感應定律324 位移電流425 maxwell方程組43 fresnel公式的導出631 平行分量之間的關(guān)系732 垂直分量之間的關(guān)系833 適用條件104 反射光和折射光相對入射光的相位變化1041 反射光相對于入射光的位相變化1042 折射光相對于入射光的位相變化125 fresnel公式的應用1251 半波損失1252

4、全反射現(xiàn)象和尼科爾棱鏡13521 全反射13522 尼科爾棱鏡1453 brewster角和用玻璃堆獲取線偏振光15531反射光的偏振狀態(tài)15532 brewster角16533 透射光的偏振狀態(tài)165. 3. 4 用玻璃堆獲得線偏振光186 總結(jié)19參考文獻20緒論光是人們獲取信息的主要媒介。因此，人們很早就對光就行了研究。這從反射定律和折射定律的發(fā)現(xiàn)可以看出。然而，從那以后，一直到十七世紀，對光的研究還沒有本質(zhì)上的進展。這是受對光的本性認識的困乏所阻。光的本性到底是什么？descartes主張波動說，他認為光本質(zhì)上是在完全彈性的、充滿一切空間的煤質(zhì)中傳播的一種壓力，且這種壓力傳播的速度無限

5、大。然而他在解釋光的反射和折射時卻又用到小球模型。newton傾向于微粒說，認為光可能是微粒流，這些微粒從光源飛出，在真空或均勻煤質(zhì)中做慣性運動，但他在研究牛頓環(huán)時，又認識到了光的周期性，這使他把微粒說和以太振動的思想結(jié)合起來，對干涉條紋做出了自己的解釋。可見，不論是descartes還是newton，都沒有對光的本質(zhì)做出清楚的解。huygens在hooke的光是類似水波的某種快速波動的基礎(chǔ)上將他的思想進行了發(fā)展。他提出了huygens原理。利用huygens原理，他對光的反射和折射進行了說明。然而，由于他把光波看成類似聲波一類的縱波，因此他不能解釋偏振現(xiàn)象。另外，由huygens原理還會推出

6、另一個很明顯的錯誤，那就是倒退的光波。1865年，maxwell完成了電磁場理論的建立。他導出了對稱的電磁波的磁場和電場波動方程，并在理論上預言光是一種電磁波。二十多年后，hertz用實驗證明了電磁波的速度就是光速。至此，人們才終于知道了光的電磁本性。fresnel認為光是一種橫波。他發(fā)展了huygens和thomas young的波動理論。在huygens原理的基礎(chǔ)上，他提出了huygens-fresnel原理。他在理論中通過引入一個與傾斜角有關(guān)的傾斜因子消除了倒退波，并且他的理論可以很好地解釋偏振和衍射現(xiàn)象。這之后，結(jié)合maxwell方程組，fresnel導出了fresnel公式。fres

7、nel公式有著很大的用處。利用它，我們可以解釋半波損失、全反射現(xiàn)象、反射光和透射光的偏振狀態(tài)、brewster角以及反射光和透射光之間的相位關(guān)系。本文介紹了fresnel公式導出的基礎(chǔ)準備知識和它的導出，重點則在fresnel公式對一些光學現(xiàn)象的解釋和應用上。 1 huygens的光論hooke主張光是類似于水波的某種脈沖振動。他認為，這種運動在均勻介質(zhì)中在各個方向都以同一速度傳播，所以發(fā)光體的每個脈沖或振動都必然會形成一個球面。在均勻介質(zhì)中激起的這些球面的所有部分都與射線以直角相。huygens發(fā)展了hooke的思想。更進一步，他提出光是發(fā)光體中微小粒子的振動在彌漫于宇宙空間的以太中的傳播的

8、一種過程。光的傳播方式與聲音類似，是一種波，而不是微粒說所設想的像子彈那樣的運動。波前上每一個面元都可以作為一個次級擾動中心，它們能產(chǎn)生球面子波，并且后一時刻的波前位置是所有這些子波的包絡面。如下圖，huygens認為，傳遞波的每一個物質(zhì)粒子，不僅將運動傳給從發(fā)光點開始所畫直線的下一個粒子，還要傳給與之接觸的并與其運動相對抗的其他一切粒子。結(jié)果是，在每個粒子的周圍，興起了以該粒子為中心的波。圖中光源發(fā)出的光波在傳到的面的過程中，在傳播光線上的每一點都會產(chǎn)生子波。產(chǎn)生的各個子波將與光源上的光波同時到達面，即它們的速度相同。這就是huygens原理。huygens原理的核心是：波的進一步傳播可以用

9、次級點源波場的傳播去等效表。圖1 惠更斯原理示意圖然而，在直觀的huygens原理中，因假設波前上的次級點源激發(fā)向四周均勻輻射的球面波，但物理世界的波在未遇到新的障礙物時都是單向地向前傳播的，從而出現(xiàn)了倒退波問題。 因此說huygens原理對于波傳播的描述不是十分完善，因為它只給出了波傳播的空間幾何位置，而沒有涉及到波到達該位置的物理狀。2 光的電磁理論21 磁場的環(huán)量和旋度由畢奧-薩伐爾定律可以導出磁場沿閉合曲線的環(huán)量與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比， （1）對連續(xù)電流分布，只需計算閉曲線所圍面內(nèi)的電流。這時，環(huán)路定律表示為 （2） （3） （4）22 磁場的通量和散度磁感線總是從北極出發(fā)

10、回到南極，磁感線是閉曲線。所以磁感應強度是無源場。即 （5）或者取微分形式 （6）23 電磁感應定律 在電流的磁效應和電磁感應定律的基礎(chǔ)上，麥克斯韋導出了能完全描述電磁現(xiàn)象的maxwell方程組。如右圖2，為閉合線圈，為所圍的一個曲面，為上的一個面元。規(guī)定上圍繞方向與的法線方向成右手螺旋關(guān)系。電磁感應定律為 （7）上式符號的出現(xiàn)是因為，當通過的磁通量增加時，在線圈上的感應電動勢與規(guī)定的圍繞方向相反。感應電動勢是電場強度沿閉合回路的線積分，所以電磁感應定律（7）式可寫為 （8）若回路是空間中的一條固定回路，那么上式就是所以，最后得到， （9）上式是磁場對電場作用的基本規(guī)律。由上式可知，感應電場是

11、有旋。24 位移電流對閉合的恒定電流 （10）由于電流的分布要受到電荷守恒定律的制約，所以在交變情況下，電路不再閉合。于是此時電流密度的散度不再為零。即 （11）再看（4）式： （12）兩邊取散度，由于，所以上式只有當時才可能成立。在恒定情況，電流j是閉合的，（4）式在理論上沒有矛盾。然而，在非恒定情況下，一般有：，因而（4）式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的守恒定律，（4）式是根據(jù)恒定情況下的實驗定律導出的特殊定律，在兩者互相矛盾時，應該修改（4）式使它服從普遍的電荷守恒定律的要。假設存在一個稱為位移電流的物理量，它和電流j合起來構(gòu)成閉合的量，滿足關(guān)系 （13）假設位移電流和

12、一樣產(chǎn)生磁效應，即把（4）式修改為 （14）再讓此時兩邊的散度都為零。由電荷守恒定律及電荷密度與電場散度的關(guān)系式可得到 （15）與（10）式比較即得的一個可能表達 （16）25 maxwell方程組 式（4）、（6）、（9）和（16）以及組成的方程組稱為maxwell方程組。 （17）它適用于真空。它反映一般情況下電荷電流激發(fā)磁場以及電磁場內(nèi)部運動的規(guī)律。maxwell方程組最重要的特點是它揭示了電磁場的內(nèi)部作用的運動。不僅電荷和電流可以激發(fā)電磁場，而且變化的電場和磁場也可以互相激。 真空中，。在沒有電荷電流的自由空間或均勻的絕緣介質(zhì)中，可將麥克斯韋方程組（17）式化為 （18） （19） （

13、20） （21） 將（9）式取旋度并利用（10）式得 （22） 另一方面，由矢量分析公式及（17）式 （23）代入（18）式，得到電場的偏微分方程： (24) 結(jié)合電場和磁場關(guān)系及得到 （25）這是磁場的偏微分方程。令 （26）則（22）、（23）可寫為 （27） （28）式（27）稱為波動方程，其解包括各種形式的電磁波，是電磁波在真空中的傳播速度。maxwell計算出電磁波速的值并利用他人的有關(guān)實驗數(shù)據(jù)，maxwell發(fā)現(xiàn)這一波速與當時公認的光速測定值十分接近，于是他敏感的意識到光是一種電磁起源的橫波。而結(jié)果正如他所。3 fresnel公式的導出圖3 折射和反射fresnel繼承和發(fā)展了hu

14、ygens的光論。在huygens的基礎(chǔ)上，fresnel人為地在huygens的球面波上引入了一個與傾斜角有關(guān)的傾斜因子，當時，傾斜因子為0，從而消除了后向波補充了huygens的不足。 他認為，由波前面各點所形成的新擾動( 二次擾動)在觀測點上相互干涉迭加，其迭加結(jié)果是我們在該點觀測到的總擾。這就使得huygens原理具有更明顯的物理意義。 此即是huygens-fresnel原理。根據(jù)huygens-fresnel原理，結(jié)合maxwell方程組，他到了反射定律和折射定律的定量規(guī)律，即fresnel公式。圖3顯示的是一束光在兩種折射率分別為和的介質(zhì)上發(fā)生的反射和折射現(xiàn)象。xoy為分界面。入

15、射光對兩種介質(zhì)的。點為入射點。光是電磁波，它的傳播方向單位矢量與電矢量單位矢量和磁矢量單位矢量的關(guān)系為：。將入射光、反射光和折射光的電矢量和磁矢量分成兩個分量，一個平行于入射面，另一個垂直于入射面。下標帶“”的為平行分量，而帶“”的為垂直分量，為入射角，為反射角，為折射角。、和分別表示入射光線、反射光線和折射光線在入射面內(nèi)的電矢量振動的振幅， 、和表示相應的光線在垂直于入射面內(nèi)的磁矢量振動的振幅。以下分兩部分討論反、折射光與入射光的平行和垂直入射面上的分量之間的關(guān)系。31 平行分量之間的關(guān)系圖4 平行于入射面上的分量由光的電磁理論可知，在分界面xoy的相對兩側(cè)各點上，電矢量和磁矢量沿分界面的分

16、量應取連續(xù)值。在分界面相對的兩側(cè)沿分界面的電矢量和此時兩分量如圖2 所示。圖（1）中，在介質(zhì)中沿分界面的電矢量分量之和是在介質(zhì)中，沿分界面的電矢量分量為所以，根據(jù)電矢量的邊界條件及反射定律，可以得到 （29）圖（2）中，根據(jù)邊界條件，可得 （30）又因為與垂直，平行于，所以 （31）對于光波，可以認為所有介質(zhì)的磁導率都是相等的，也就是根據(jù)（29）式和（30）式，又因為而且。對于光波，除鐵磁質(zhì)外，大多數(shù)物質(zhì)只有很弱的磁性，也就是說，也即，所以（29）式可化簡為 即 （32）于是磁矢量的邊界條件就用電矢量表示出來。解由（29）式和（32）式組成的方程并結(jié)合折射定律，得到 （33） （34）式（33

17、）、（34）表示反折射光與入射光的平行于入射面電矢量分量之間的關(guān)。 圖5 垂直于入射面上的分量32 垂直分量之間的關(guān)系上圖畫出了三條光線的垂直于入射面部分。、和分別表示入射、反射和折射光的磁矢量在平行于入射面上的分量，而、和則表示入射、反射和折射光電矢量在垂直于入射面上的分量。電矢量和磁矢量在界面上依然連續(xù)，所以 （35） （36）利用關(guān)系式 (37)可將（36）式化為 （38）化簡得 （39）大多數(shù)物質(zhì)對光波只有很弱的磁性，即，所以 （40）于是又可將（39）式進一步化簡為 （41）根據(jù)折射定律，繼續(xù)化簡為 （42）式（38）與式（42）聯(lián)立加上即可得到 （43） （44）式（43）、（44

18、）表示反折射光與入射光的垂直于入射面的電矢量分量之間的關(guān)系。式 （45） （46） （47） （48）四式即為fresnel公。33 適用條件 (1)適用于絕緣介質(zhì)。這是相對于導電介質(zhì)而言的若是光波入射于金屬表面，則情況就大為不同由于金屬存在大量的自由電子，致使金屬表面有很高的反射串和強吸收，這歸屬于全局光學所研究的內(nèi)容。 (2)適用于各向同性介質(zhì)這是相對于各向異性介質(zhì)而言的。上述導出過程中用到關(guān)系式，式中相對介電常數(shù)各向相等。若是光波入射于晶體表面，其情況不同于目前，理論上要以介電張量代替目前的介電常數(shù)，得到形式上復雜的類fresnel公式。 (3)適用于弱場或線性介質(zhì)。因為在強電場作用下，

19、介質(zhì)極化會出現(xiàn)非線性項，這是電磁性能方程不再成立。 (4)適用于光頻段。前面推到過程中用到即。而在光頻段的高頻率條件下，介質(zhì)的磁化機制幾乎凍結(jié)，滿足條。4 反射光和折射光相對入射光的相位變化光波的電磁矢量可表達為 （49）式中 除了表示振幅之外，還可認為包含了初相位因子。41 反射光相對于入射光的位相變化 fresnel公式給出振幅之間的關(guān)系，也就是給出了初相位的變化，垂直分量反射比 （50）式中式反射光的垂直分量相對于入射光的垂直分量的位相變化。外反射即光從光疏介質(zhì)射入光密介質(zhì)時，此時（47）式對比式（47）可知 （51）而，所以一定有，這說明。內(nèi)反射即光從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)時，。當時要發(fā)

20、生全反射。時，而，所以，也就是說平行分量反射比， （52）式中。在時，。此時上式的值為0，它表明反射光在這種情況下沒有平行分量。先討論外反射，在時，所以 。時，這說明，也就是說，。再討論內(nèi)反射，時，。時，即無相位。42 折射光相對于入射光的位相變化根據(jù)fresnel公式（46）式，透射平行分量振幅比 （53）式中。，所以也即。根據(jù)fresnel公式（48）式，透射垂直分量振幅比 (54)同樣，因為，所以 (55)最后，可得。綜上可知，無論是垂直分量還是平行分量，其相位都與入射光相。5 fresnel公式的應用fresnel公式表面上似乎只是反射光和折射光的在平行和垂直入射面上的分量和入射光在平

21、行和垂直入射面上的分量之間的比值與入射、反射以及折射角之間的關(guān)系，其實不然。前四式組成的fresnel公式還可以解釋半波損失、全反射現(xiàn)象、反射光和透射光的偏振狀態(tài)、brewster角以及反射光和透射光之間的相位關(guān)系。 51 半波損失 當光由入射到，即通常所說的由光疏介質(zhì)射入光密介質(zhì)時，垂直于入射面上的電矢量之間的關(guān)系為 （56）當。又，、，于是，-，+。所以， ，即光由光密射入光疏介質(zhì)時，-+，這時有，0，因此無相位突變。由以上分析可知，光只有從光疏射入光密介質(zhì)時才會發(fā)生半波損失。52 全反射現(xiàn)象和尼科爾棱鏡521 全反射設光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2，且，即光從光密射入光疏介質(zhì)。根據(jù)折射定律，有 (

22、57)所以便存在 當時，于是折射角不再具有幾何意義。這便是全反射。然而，雖然這種情況下包含折射角的三角函數(shù)項雖然不再適用于角度關(guān)系，但此時它卻變成一個與復振幅有關(guān)的參數(shù)。此時 （58） （59）注意，此時有 (60)該式表示反射比為1，即光能量完全返回到介質(zhì)1，因此稱這種現(xiàn)象為全反522 尼科爾棱鏡光學實驗有時需要用到嚴格的線偏振光。利用雙折射和全反射工作尼克爾棱鏡就可得到精密的線偏振光。取長寬比約為3的方解石晶體，將兩端磨掉一部分，使原來是的變成。再從體對角面平分，將剖面磨成為光學平面。對鈉黃光，加拿大樹脂的折射率為1.550。如圖6所示。圖7是尼科爾棱鏡的正視圖，它是尼科爾棱鏡的一個主截面

23、。在這個平面內(nèi)，平行于棱的入射光，沿著方向進入棱鏡，在第一棱鏡內(nèi)分解為光和光，其中光以的入射角入射到樹脂層上，由于入射角大于臨界角，光將在樹脂層上發(fā)生全反射，而被四周涂黑的棱鏡壁吸收。但光卻是由光疏介質(zhì)向光密介質(zhì)折射，不可能發(fā)生全反射，所以從尼科爾棱鏡透射出來的光就是和光相應的線偏振光，其振動方向平行于主截面。尼科爾棱鏡的工作原理是摒除光而利用全反射完全保留光，發(fā)生全反射要求光在一定范圍內(nèi)入射。設鈉黃光以最大角度入射仍可使發(fā)生全反射以產(chǎn)生線偏振光。在兩種介質(zhì)界面上，鈉黃光的臨界角為，是直角，這時鈉黃光在棱鏡表面的折射角為，于是相應的最大入射角為 ，于是。53 brewster角和用玻璃堆獲取線

24、偏振光531反射光的偏振狀態(tài)由fresnel公式可知，電矢量的平行分量和垂直分量的振幅比分別為 （61） （62）把這兩式結(jié)合起來，忽略方向，可得 （63）在=0或= 情況下，有 (64) 因為，所以上式說明反射光中電矢量的平行分量值和垂直分量相等。由于這兩束光是不相干的，合成后的光仍然是自然光。所以此時反射光不偏振。當自然光以不等于0或外的任何角度入射時，都有不等式于是，由式（63）可知這個關(guān)系表明反射光中電矢量的平行分量值總是小于電矢量的垂直分量。由于這兩個分量是不相干的，由此它們不能合成，所以此時反射光為部分偏振光。532 brewster角當時，由fresnel公式可知，此時 (65)

25、 此時電矢量的平行分量便完全不能被反射，于是反射光中只剩下垂直于入射面的分量，反射光轉(zhuǎn)變?yōu)榫€偏振光。令此時的入射角為，則 （66） 為折射角，和為入射光和折射光所在介質(zhì)的折射率。上式所確定的角稱為brewster角，上式所標示的關(guān)系稱為brewster定律。533 透射光的偏振狀態(tài)折射后從介質(zhì)中透射出來的光總是部分偏振的。特別地，在以brewster角入射時，由于電矢量的平行分量完全透過，使得此時透射光的偏振度最。設光以brewster角從折射率為的介質(zhì)入射到折射率為的介質(zhì)，之后再透射出來。介質(zhì)1如介質(zhì)2時，入射角為，折射角為；介質(zhì)2入介質(zhì)1時，入射角為而折射角為。于是第一次折射后，平行分量變?yōu)?（67），將上式化簡為 （68）經(jīng)第二次折射后，平行分量變?yōu)?（69）因為，所以 (70) 加之，上式可化為 （71）將（69）式代入（72）式可得 （72）該結(jié)論表明，當光以brewster角入射到介質(zhì)中時，在不被吸收的情況下，透射光中電矢