菲涅耳公式及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文

1、江西師范大學(xué)本科畢業(yè)論文題目：菲涅耳公式及其應(yīng)用title: fresnel formula and its application院系名稱：物理與通信電子學(xué)院專 業(yè)： 物理學(xué)類 摘 要本文主要論述菲涅耳公式及其應(yīng)用。我們理論推導(dǎo)菲涅耳公式的表達(dá)式，分析入射波、反射波和折射波的相位關(guān)系。文中還進(jìn)一步探討菲涅耳公式的應(yīng)用，詳細(xì)闡述半波損失、全反射、布儒斯特定律及其相關(guān)應(yīng)用。關(guān)鍵詞：菲涅耳公式，半波損失，全反射，布儒斯特定律abstractthis paper mainly discusses the fresnel formula and its application. we deduce t

2、he expression of fresnel formula and analyze the phases of incident wave, reflected wave and refractive wave. in this paper, the applications of fresnel formula are discussed in detail, including half-wave loss, total internal reflection, brewster law and corresponding applications. keywords: fresne

3、l formula, half-wave loss, total internal reflection, brewster law目錄摘 要iabstractii緒論11 huygens的光論22 光的電磁理論221 磁場(chǎng)的環(huán)量和旋度222 磁場(chǎng)的通量和散度323 電磁感應(yīng)定律324 位移電流425 maxwell方程組43 fresnel公式的導(dǎo)出631 平行分量之間的關(guān)系732 垂直分量之間的關(guān)系833 適用條件104 反射光和折射光相對(duì)入射光的相位變化1041 反射光相對(duì)于入射光的位相變化1042 折射光相對(duì)于入射光的位相變化125 fresnel公式的應(yīng)用1251 半波損失1252

4、全反射現(xiàn)象和尼科爾棱鏡13521 全反射13522 尼科爾棱鏡1453 brewster角和用玻璃堆獲取線偏振光15531反射光的偏振狀態(tài)15532 brewster角16533 透射光的偏振狀態(tài)165. 3. 4 用玻璃堆獲得線偏振光186 總結(jié)19參考文獻(xiàn)20緒論光是人們獲取信息的主要媒介。因此，人們很早就對(duì)光就行了研究。這從反射定律和折射定律的發(fā)現(xiàn)可以看出。然而，從那以后，一直到十七世紀(jì)，對(duì)光的研究還沒有本質(zhì)上的進(jìn)展。這是受對(duì)光的本性認(rèn)識(shí)的困乏所阻。光的本性到底是什么？descartes主張波動(dòng)說，他認(rèn)為光本質(zhì)上是在完全彈性的、充滿一切空間的煤質(zhì)中傳播的一種壓力，且這種壓力傳播的速度無限

5、大。然而他在解釋光的反射和折射時(shí)卻又用到小球模型。newton傾向于微粒說，認(rèn)為光可能是微粒流，這些微粒從光源飛出，在真空或均勻煤質(zhì)中做慣性運(yùn)動(dòng)，但他在研究牛頓環(huán)時(shí)，又認(rèn)識(shí)到了光的周期性，這使他把微粒說和以太振動(dòng)的思想結(jié)合起來，對(duì)干涉條紋做出了自己的解釋。可見，不論是descartes還是newton，都沒有對(duì)光的本質(zhì)做出清楚的解。huygens在hooke的光是類似水波的某種快速波動(dòng)的基礎(chǔ)上將他的思想進(jìn)行了發(fā)展。他提出了huygens原理。利用huygens原理，他對(duì)光的反射和折射進(jìn)行了說明。然而，由于他把光波看成類似聲波一類的縱波，因此他不能解釋偏振現(xiàn)象。另外，由huygens原理還會(huì)推出

6、另一個(gè)很明顯的錯(cuò)誤，那就是倒退的光波。1865年，maxwell完成了電磁場(chǎng)理論的建立。他導(dǎo)出了對(duì)稱的電磁波的磁場(chǎng)和電場(chǎng)波動(dòng)方程，并在理論上預(yù)言光是一種電磁波。二十多年后，hertz用實(shí)驗(yàn)證明了電磁波的速度就是光速。至此，人們才終于知道了光的電磁本性。fresnel認(rèn)為光是一種橫波。他發(fā)展了huygens和thomas young的波動(dòng)理論。在huygens原理的基礎(chǔ)上，他提出了huygens-fresnel原理。他在理論中通過引入一個(gè)與傾斜角有關(guān)的傾斜因子消除了倒退波，并且他的理論可以很好地解釋偏振和衍射現(xiàn)象。這之后，結(jié)合maxwell方程組，fresnel導(dǎo)出了fresnel公式。fres

7、nel公式有著很大的用處。利用它，我們可以解釋半波損失、全反射現(xiàn)象、反射光和透射光的偏振狀態(tài)、brewster角以及反射光和透射光之間的相位關(guān)系。本文介紹了fresnel公式導(dǎo)出的基礎(chǔ)準(zhǔn)備知識(shí)和它的導(dǎo)出，重點(diǎn)則在fresnel公式對(duì)一些光學(xué)現(xiàn)象的解釋和應(yīng)用上。 1 huygens的光論hooke主張光是類似于水波的某種脈沖振動(dòng)。他認(rèn)為，這種運(yùn)動(dòng)在均勻介質(zhì)中在各個(gè)方向都以同一速度傳播，所以發(fā)光體的每個(gè)脈沖或振動(dòng)都必然會(huì)形成一個(gè)球面。在均勻介質(zhì)中激起的這些球面的所有部分都與射線以直角相。huygens發(fā)展了hooke的思想。更進(jìn)一步，他提出光是發(fā)光體中微小粒子的振動(dòng)在彌漫于宇宙空間的以太中的傳播的

8、一種過程。光的傳播方式與聲音類似，是一種波，而不是微粒說所設(shè)想的像子彈那樣的運(yùn)動(dòng)。波前上每一個(gè)面元都可以作為一個(gè)次級(jí)擾動(dòng)中心，它們能產(chǎn)生球面子波，并且后一時(shí)刻的波前位置是所有這些子波的包絡(luò)面。如下圖，huygens認(rèn)為，傳遞波的每一個(gè)物質(zhì)粒子，不僅將運(yùn)動(dòng)傳給從發(fā)光點(diǎn)開始所畫直線的下一個(gè)粒子，還要傳給與之接觸的并與其運(yùn)動(dòng)相對(duì)抗的其他一切粒子。結(jié)果是，在每個(gè)粒子的周圍，興起了以該粒子為中心的波。圖中光源發(fā)出的光波在傳到的面的過程中，在傳播光線上的每一點(diǎn)都會(huì)產(chǎn)生子波。產(chǎn)生的各個(gè)子波將與光源上的光波同時(shí)到達(dá)面，即它們的速度相同。這就是huygens原理。huygens原理的核心是：波的進(jìn)一步傳播可以用

9、次級(jí)點(diǎn)源波場(chǎng)的傳播去等效表。圖1 惠更斯原理示意圖然而，在直觀的huygens原理中，因假設(shè)波前上的次級(jí)點(diǎn)源激發(fā)向四周均勻輻射的球面波，但物理世界的波在未遇到新的障礙物時(shí)都是單向地向前傳播的，從而出現(xiàn)了倒退波問題。 因此說huygens原理對(duì)于波傳播的描述不是十分完善，因?yàn)樗唤o出了波傳播的空間幾何位置，而沒有涉及到波到達(dá)該位置的物理狀。2 光的電磁理論21 磁場(chǎng)的環(huán)量和旋度由畢奧-薩伐爾定律可以導(dǎo)出磁場(chǎng)沿閉合曲線的環(huán)量與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比， （1）對(duì)連續(xù)電流分布，只需計(jì)算閉曲線所圍面內(nèi)的電流。這時(shí)，環(huán)路定律表示為 （2） （3） （4）22 磁場(chǎng)的通量和散度磁感線總是從北極出發(fā)

10、回到南極，磁感線是閉曲線。所以磁感應(yīng)強(qiáng)度是無源場(chǎng)。即 （5）或者取微分形式 （6）23 電磁感應(yīng)定律 在電流的磁效應(yīng)和電磁感應(yīng)定律的基礎(chǔ)上，麥克斯韋導(dǎo)出了能完全描述電磁現(xiàn)象的maxwell方程組。如右圖2，為閉合線圈，為所圍的一個(gè)曲面，為上的一個(gè)面元。規(guī)定上圍繞方向與的法線方向成右手螺旋關(guān)系。電磁感應(yīng)定律為 （7）上式符號(hào)的出現(xiàn)是因?yàn)椋?dāng)通過的磁通量增加時(shí)，在線圈上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與規(guī)定的圍繞方向相反。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是電場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合回路的線積分，所以電磁感應(yīng)定律（7）式可寫為 （8）若回路是空間中的一條固定回路，那么上式就是所以，最后得到， （9）上式是磁場(chǎng)對(duì)電場(chǎng)作用的基本規(guī)律。由上式可知，感應(yīng)電場(chǎng)是

11、有旋。24 位移電流對(duì)閉合的恒定電流 （10）由于電流的分布要受到電荷守恒定律的制約，所以在交變情況下，電路不再閉合。于是此時(shí)電流密度的散度不再為零。即 （11）再看（4）式： （12）兩邊取散度，由于，所以上式只有當(dāng)時(shí)才可能成立。在恒定情況，電流j是閉合的，（4）式在理論上沒有矛盾。然而，在非恒定情況下，一般有：，因而（4）式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的守恒定律，（4）式是根據(jù)恒定情況下的實(shí)驗(yàn)定律導(dǎo)出的特殊定律，在兩者互相矛盾時(shí)，應(yīng)該修改（4）式使它服從普遍的電荷守恒定律的要。假設(shè)存在一個(gè)稱為位移電流的物理量，它和電流j合起來構(gòu)成閉合的量，滿足關(guān)系 （13）假設(shè)位移電流和

12、一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把（4）式修改為 （14）再讓此時(shí)兩邊的散度都為零。由電荷守恒定律及電荷密度與電場(chǎng)散度的關(guān)系式可得到 （15）與（10）式比較即得的一個(gè)可能表達(dá) （16）25 maxwell方程組 式（4）、（6）、（9）和（16）以及組成的方程組稱為maxwell方程組。 （17）它適用于真空。它反映一般情況下電荷電流激發(fā)磁場(chǎng)以及電磁場(chǎng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。maxwell方程組最重要的特點(diǎn)是它揭示了電磁場(chǎng)的內(nèi)部作用的運(yùn)動(dòng)。不僅電荷和電流可以激發(fā)電磁場(chǎng)，而且變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)也可以互相激。 真空中，。在沒有電荷電流的自由空間或均勻的絕緣介質(zhì)中，可將麥克斯韋方程組（17）式化為 （18） （19） （

13、20） （21） 將（9）式取旋度并利用（10）式得 （22） 另一方面，由矢量分析公式及（17）式 （23）代入（18）式，得到電場(chǎng)的偏微分方程： (24) 結(jié)合電場(chǎng)和磁場(chǎng)關(guān)系及得到 （25）這是磁場(chǎng)的偏微分方程。令 （26）則（22）、（23）可寫為 （27） （28）式（27）稱為波動(dòng)方程，其解包括各種形式的電磁波，是電磁波在真空中的傳播速度。maxwell計(jì)算出電磁波速的值并利用他人的有關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，maxwell發(fā)現(xiàn)這一波速與當(dāng)時(shí)公認(rèn)的光速測(cè)定值十分接近，于是他敏感的意識(shí)到光是一種電磁起源的橫波。而結(jié)果正如他所。3 fresnel公式的導(dǎo)出圖3 折射和反射fresnel繼承和發(fā)展了hu

14、ygens的光論。在huygens的基礎(chǔ)上，fresnel人為地在huygens的球面波上引入了一個(gè)與傾斜角有關(guān)的傾斜因子，當(dāng)時(shí)，傾斜因子為0，從而消除了后向波補(bǔ)充了huygens的不足。 他認(rèn)為，由波前面各點(diǎn)所形成的新擾動(dòng)( 二次擾動(dòng))在觀測(cè)點(diǎn)上相互干涉迭加，其迭加結(jié)果是我們?cè)谠擖c(diǎn)觀測(cè)到的總擾。這就使得huygens原理具有更明顯的物理意義。 此即是huygens-fresnel原理。根據(jù)huygens-fresnel原理，結(jié)合maxwell方程組，他到了反射定律和折射定律的定量規(guī)律，即fresnel公式。圖3顯示的是一束光在兩種折射率分別為和的介質(zhì)上發(fā)生的反射和折射現(xiàn)象。xoy為分界面。入

15、射光對(duì)兩種介質(zhì)的。點(diǎn)為入射點(diǎn)。光是電磁波，它的傳播方向單位矢量與電矢量單位矢量和磁矢量單位矢量的關(guān)系為：。將入射光、反射光和折射光的電矢量和磁矢量分成兩個(gè)分量，一個(gè)平行于入射面，另一個(gè)垂直于入射面。下標(biāo)帶“”的為平行分量，而帶“”的為垂直分量，為入射角，為反射角，為折射角。、和分別表示入射光線、反射光線和折射光線在入射面內(nèi)的電矢量振動(dòng)的振幅， 、和表示相應(yīng)的光線在垂直于入射面內(nèi)的磁矢量振動(dòng)的振幅。以下分兩部分討論反、折射光與入射光的平行和垂直入射面上的分量之間的關(guān)系。31 平行分量之間的關(guān)系圖4 平行于入射面上的分量由光的電磁理論可知，在分界面xoy的相對(duì)兩側(cè)各點(diǎn)上，電矢量和磁矢量沿分界面的分

16、量應(yīng)取連續(xù)值。在分界面相對(duì)的兩側(cè)沿分界面的電矢量和此時(shí)兩分量如圖2 所示。圖（1）中，在介質(zhì)中沿分界面的電矢量分量之和是在介質(zhì)中，沿分界面的電矢量分量為所以，根據(jù)電矢量的邊界條件及反射定律，可以得到 （29）圖（2）中，根據(jù)邊界條件，可得 （30）又因?yàn)榕c垂直，平行于，所以 （31）對(duì)于光波，可以認(rèn)為所有介質(zhì)的磁導(dǎo)率都是相等的，也就是根據(jù)（29）式和（30）式，又因?yàn)槎摇?duì)于光波，除鐵磁質(zhì)外，大多數(shù)物質(zhì)只有很弱的磁性，也就是說，也即，所以（29）式可化簡(jiǎn)為 即 （32）于是磁矢量的邊界條件就用電矢量表示出來。解由（29）式和（32）式組成的方程并結(jié)合折射定律，得到 （33） （34）式（33

17、）、（34）表示反折射光與入射光的平行于入射面電矢量分量之間的關(guān)。 圖5 垂直于入射面上的分量32 垂直分量之間的關(guān)系上圖畫出了三條光線的垂直于入射面部分。、和分別表示入射、反射和折射光的磁矢量在平行于入射面上的分量，而、和則表示入射、反射和折射光電矢量在垂直于入射面上的分量。電矢量和磁矢量在界面上依然連續(xù)，所以 （35） （36）利用關(guān)系式 (37)可將（36）式化為 （38）化簡(jiǎn)得 （39）大多數(shù)物質(zhì)對(duì)光波只有很弱的磁性，即，所以 （40）于是又可將（39）式進(jìn)一步化簡(jiǎn)為 （41）根據(jù)折射定律，繼續(xù)化簡(jiǎn)為 （42）式（38）與式（42）聯(lián)立加上即可得到 （43） （44）式（43）、（44

18、）表示反折射光與入射光的垂直于入射面的電矢量分量之間的關(guān)系。式 （45） （46） （47） （48）四式即為fresnel公。33 適用條件 (1)適用于絕緣介質(zhì)。這是相對(duì)于導(dǎo)電介質(zhì)而言的若是光波入射于金屬表面，則情況就大為不同由于金屬存在大量的自由電子，致使金屬表面有很高的反射串和強(qiáng)吸收，這歸屬于全局光學(xué)所研究的內(nèi)容。 (2)適用于各向同性介質(zhì)這是相對(duì)于各向異性介質(zhì)而言的。上述導(dǎo)出過程中用到關(guān)系式，式中相對(duì)介電常數(shù)各向相等。若是光波入射于晶體表面，其情況不同于目前，理論上要以介電張量代替目前的介電常數(shù)，得到形式上復(fù)雜的類fresnel公式。 (3)適用于弱場(chǎng)或線性介質(zhì)。因?yàn)樵趶?qiáng)電場(chǎng)作用下，

19、介質(zhì)極化會(huì)出現(xiàn)非線性項(xiàng)，這是電磁性能方程不再成立。 (4)適用于光頻段。前面推到過程中用到即。而在光頻段的高頻率條件下，介質(zhì)的磁化機(jī)制幾乎凍結(jié)，滿足條。4 反射光和折射光相對(duì)入射光的相位變化光波的電磁矢量可表達(dá)為 （49）式中 除了表示振幅之外，還可認(rèn)為包含了初相位因子。41 反射光相對(duì)于入射光的位相變化 fresnel公式給出振幅之間的關(guān)系，也就是給出了初相位的變化，垂直分量反射比 （50）式中式反射光的垂直分量相對(duì)于入射光的垂直分量的位相變化。外反射即光從光疏介質(zhì)射入光密介質(zhì)時(shí)，此時(shí)（47）式對(duì)比式（47）可知 （51）而，所以一定有，這說明。內(nèi)反射即光從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)時(shí)，。當(dāng)時(shí)要發(fā)

20、生全反射。時(shí)，而，所以，也就是說平行分量反射比， （52）式中。在時(shí)，。此時(shí)上式的值為0，它表明反射光在這種情況下沒有平行分量。先討論外反射，在時(shí)，所以 。時(shí)，這說明，也就是說，。再討論內(nèi)反射，時(shí)，。時(shí)，即無相位。42 折射光相對(duì)于入射光的位相變化根據(jù)fresnel公式（46）式，透射平行分量振幅比 （53）式中。，所以也即。根據(jù)fresnel公式（48）式，透射垂直分量振幅比 (54)同樣，因?yàn)?，所?(55)最后，可得。綜上可知，無論是垂直分量還是平行分量，其相位都與入射光相。5 fresnel公式的應(yīng)用fresnel公式表面上似乎只是反射光和折射光的在平行和垂直入射面上的分量和入射光在平

21、行和垂直入射面上的分量之間的比值與入射、反射以及折射角之間的關(guān)系，其實(shí)不然。前四式組成的fresnel公式還可以解釋半波損失、全反射現(xiàn)象、反射光和透射光的偏振狀態(tài)、brewster角以及反射光和透射光之間的相位關(guān)系。 51 半波損失 當(dāng)光由入射到，即通常所說的由光疏介質(zhì)射入光密介質(zhì)時(shí)，垂直于入射面上的電矢量之間的關(guān)系為 （56）當(dāng)。又，、，于是，-，+。所以， ，即光由光密射入光疏介質(zhì)時(shí)，-+，這時(shí)有，0，因此無相位突變。由以上分析可知，光只有從光疏射入光密介質(zhì)時(shí)才會(huì)發(fā)生半波損失。52 全反射現(xiàn)象和尼科爾棱鏡521 全反射設(shè)光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2，且，即光從光密射入光疏介質(zhì)。根據(jù)折射定律，有 (

22、57)所以便存在 當(dāng)時(shí)，于是折射角不再具有幾何意義。這便是全反射。然而，雖然這種情況下包含折射角的三角函數(shù)項(xiàng)雖然不再適用于角度關(guān)系，但此時(shí)它卻變成一個(gè)與復(fù)振幅有關(guān)的參數(shù)。此時(shí) （58） （59）注意，此時(shí)有 (60)該式表示反射比為1，即光能量完全返回到介質(zhì)1，因此稱這種現(xiàn)象為全反522 尼科爾棱鏡光學(xué)實(shí)驗(yàn)有時(shí)需要用到嚴(yán)格的線偏振光。利用雙折射和全反射工作尼克爾棱鏡就可得到精密的線偏振光。取長(zhǎng)寬比約為3的方解石晶體，將兩端磨掉一部分，使原來是的變成。再?gòu)捏w對(duì)角面平分，將剖面磨成為光學(xué)平面。對(duì)鈉黃光，加拿大樹脂的折射率為1.550。如圖6所示。圖7是尼科爾棱鏡的正視圖，它是尼科爾棱鏡的一個(gè)主截面

23、。在這個(gè)平面內(nèi)，平行于棱的入射光，沿著方向進(jìn)入棱鏡，在第一棱鏡內(nèi)分解為光和光，其中光以的入射角入射到樹脂層上，由于入射角大于臨界角，光將在樹脂層上發(fā)生全反射，而被四周涂黑的棱鏡壁吸收。但光卻是由光疏介質(zhì)向光密介質(zhì)折射，不可能發(fā)生全反射，所以從尼科爾棱鏡透射出來的光就是和光相應(yīng)的線偏振光，其振動(dòng)方向平行于主截面。尼科爾棱鏡的工作原理是摒除光而利用全反射完全保留光，發(fā)生全反射要求光在一定范圍內(nèi)入射。設(shè)鈉黃光以最大角度入射仍可使發(fā)生全反射以產(chǎn)生線偏振光。在兩種介質(zhì)界面上，鈉黃光的臨界角為，是直角，這時(shí)鈉黃光在棱鏡表面的折射角為，于是相應(yīng)的最大入射角為 ，于是。53 brewster角和用玻璃堆獲取線

24、偏振光531反射光的偏振狀態(tài)由fresnel公式可知，電矢量的平行分量和垂直分量的振幅比分別為 （61） （62）把這兩式結(jié)合起來，忽略方向，可得 （63）在=0或= 情況下，有 (64) 因?yàn)椋陨鲜秸f明反射光中電矢量的平行分量值和垂直分量相等。由于這兩束光是不相干的，合成后的光仍然是自然光。所以此時(shí)反射光不偏振。當(dāng)自然光以不等于0或外的任何角度入射時(shí)，都有不等式于是，由式（63）可知這個(gè)關(guān)系表明反射光中電矢量的平行分量值總是小于電矢量的垂直分量。由于這兩個(gè)分量是不相干的，由此它們不能合成，所以此時(shí)反射光為部分偏振光。532 brewster角當(dāng)時(shí)，由fresnel公式可知，此時(shí) (65)

25、 此時(shí)電矢量的平行分量便完全不能被反射，于是反射光中只剩下垂直于入射面的分量，反射光轉(zhuǎn)變?yōu)榫€偏振光。令此時(shí)的入射角為，則 （66） 為折射角，和為入射光和折射光所在介質(zhì)的折射率。上式所確定的角稱為brewster角，上式所標(biāo)示的關(guān)系稱為brewster定律。533 透射光的偏振狀態(tài)折射后從介質(zhì)中透射出來的光總是部分偏振的。特別地，在以brewster角入射時(shí)，由于電矢量的平行分量完全透過，使得此時(shí)透射光的偏振度最。設(shè)光以brewster角從折射率為的介質(zhì)入射到折射率為的介質(zhì)，之后再透射出來。介質(zhì)1如介質(zhì)2時(shí)，入射角為，折射角為；介質(zhì)2入介質(zhì)1時(shí)，入射角為而折射角為。于是第一次折射后，平行分量變?yōu)?（67），將上式化簡(jiǎn)為 （68）經(jīng)第二次折射后，平行分量變?yōu)?（69）因?yàn)?，所?(70) 加之，上式可化為 （71）將（69）式代入（72）式可得 （72）該結(jié)論表明，當(dāng)光以brewster角入射到介質(zhì)中時(shí)，在不被吸收的情況下，透射光中電矢