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文檔簡介

1、橢圓標準方程的推導及應用考點聚焦橢圓標準方程的推導及應用唐啟偉課本上對橢圓標準方程的推導是依據(jù)定義:lpfli+ipf2一2a,即v/(+f)0+y+/(+c).+y.一2a,經(jīng)過兩次平方推出橢圓的標準方程+寺一1(n>6>1),過程繁瑣,計算量大.以下介紹三種比較簡潔的推導方法,并對其推導方法在解題中的應用予以舉例說明,供同學們在學習中參考.方法一,等差數(shù)列法由(z+f).+.+v/(zc).+一2a可知,/(zc)+y,n,/(z+c)+y.成等差數(shù)列,令其公差為d,則有/(z+c)+y一0+d,l(zf).+一n.一.,得4cx=4ad,即一z.”把代入,得(z+c)+一n+

2、z.將式兩邊平方,并設(shè)a一f=b2,即可推得橢圓標準方程為+一1(n>6>1).評注:此法不僅使推導過程簡潔,而且從式易得橢圓的左焦半徑公式lpfln+z,用同樣的”方法不難得到右焦半徑公式ipf2ln一z.方法二,三角代換法由j(x+c)2+.+v/(c)+.=2a,可設(shè)j(z+f)+一2acosd,l(x-c)+一2asin2口.一.,得4cz4a(cosasin4口)4cx一4a(2cos口一1),即cza(2cos.a一1),故有2acosa一口+,代入式得”/(+f).+.一n+z,兩邊平方,并設(shè)n.一c一.2b,即可推得橢圓標準方程為+告一1(口>6>1).

3、評注:三角代換法是中學數(shù)學中重要的思想方法,學習時應注意感悟和體會.方法三,分子有理化法由+呵=2a,將左式分子有理化得4cx一,即二一2a,下同方法二.評注:用分子有理化法化簡根式,可以使復雜問題簡單化,從而提高運算速度和解題效率.【例】解方程一4+5+v/+4x+55.解法1:/x2-4x+5,要,/x2+4x+5成等差數(shù)列,令其公差為d,則有i-4x+5一號一,:l一+.一,得一z.,把代入,并兩邊平方得36x一125,故一寺.經(jīng)檢驗z一苦均為原方程的解.解法2:由一+5+55,可設(shè)j-z-4x+55cosa,i/z+4z+55sin2口.一,得8x=25(sin4a-cos口)8x一25(12cos2a).故有5cosza5一4,代入式得u/x2-4x+5b一4-z.兩邊平方,得36x=125,故一.經(jīng)檢驗z一5均為原方程的解.解法3:對方程式,/2+5+55將左式分子有理化,得8x/x.2.-.4.x.+.5-/x.2.+.4.x.+.5一5,即一+5一+4x+5一一半z.j一一【:a+,得/-4x+5一昔一,jc下同解法2即可得方程的解為一5.評注:上面三種解法是橢圓標準方程的不同推導方法的具體應用.所謂一題多解,其實就是要求我們要善于對問題進行觀察和分析

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