行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目： 行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用 學(xué)生： * 學(xué)號(hào)： *學(xué)院： 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 專(zhuān)業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)入學(xué)時(shí)間： 2009 年 9 月 16 日指導(dǎo)教師： * 職稱(chēng)： 講師 完成日期： 2013 年 4 月 10 日誠(chéng) 信 承 諾我謹(jǐn)在此承諾：本人所寫(xiě)的畢業(yè)論文行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用均系本人獨(dú)立完成，沒(méi)有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀(guān)點(diǎn)和材料，均作了注釋?zhuān)粲胁粚?shí)，后果由本人承擔(dān)。 承諾人（簽名）： 2013 年 4 月 10 日行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用姓名：* 學(xué)號(hào)：* 指導(dǎo)老師：*摘 要：行列式的乘法規(guī)則是解決行列式相關(guān)問(wèn)題的重要理論依據(jù)

2、。通過(guò)對(duì)它的學(xué)習(xí)，有利于我們更好的掌握和運(yùn)用行列式的解題技巧去解決相關(guān)問(wèn)題。本文首先用三種方法證明了行列式的乘法規(guī)則，包括數(shù)學(xué)歸納法，利用拉普拉斯定理證明和用矩陣分塊思想證明。最后，還給出了行列式乘法規(guī)則的幾個(gè)應(yīng)用。關(guān)鍵詞：行列式；拉普拉斯定理；分塊矩陣the proof methods of determinant multiplication rule and its applicationsname: xia jiajun student number: 200940510340 advisor: tang jianabstract: the multiplication rule of

3、 the determinant is the important theoretical basis to solve the associated problems. through learning about it, it is helpful for us to better master and apply the solving skills of the determinant problem to solve related problems. firstly, this paper use three methods to prove the multiplication

4、rule of the determinant, including mathematical induction, the laplace theorem and the through of partitioned matrices .finally, give some applications of the multiplication rule of determinant. key words: determinant; laplace theorem; partitioned matrix 目 錄1.引言及預(yù)備知識(shí)12.行列式乘法規(guī)則的證明方法12.1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明12.2

5、.利用拉普拉斯定理證明52.3.利用矩陣分塊證明83.行列式乘法規(guī)則的應(yīng)用舉例94.結(jié)束語(yǔ)11參考文獻(xiàn)11致 謝131.引言及預(yù)備知識(shí)線(xiàn)性方程組是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)也是應(yīng)用最廣泛的內(nèi)容之一，而行列式是解線(xiàn)性方程組的一個(gè)基本工具。隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，行列式的應(yīng)用已經(jīng)不僅僅局限于線(xiàn)性代數(shù)，在數(shù)學(xué)分析、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)行列式的過(guò)程中，它自身的特點(diǎn)和性質(zhì)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，決定著其它有關(guān)內(nèi)容的掌握程度。當(dāng)然行列式的計(jì)算也是相當(dāng)重要之內(nèi)容。由于行列式的計(jì)算方法多樣，應(yīng)用靈活，我們要根據(jù)題目的具體要求選擇簡(jiǎn)便的方法，使問(wèn)題解決簡(jiǎn)單化。 行列式的乘法規(guī)則是行列式中最基

6、礎(chǔ)也是必須掌握的內(nèi)容之一，它的應(yīng)用非常廣泛，是解決相關(guān)問(wèn)題的依據(jù)。通過(guò)對(duì)行列式乘法規(guī)則的掌握，也有利于我們進(jìn)一步的理解和應(yīng)用行列式去探討其它一些重要問(wèn)題。本文主要采用數(shù)學(xué)歸法，利用拉普拉斯定理和利用矩陣分塊這三種方法完整的證明了行列式乘法規(guī)則，同時(shí)給出了它們的常見(jiàn)應(yīng)用。命題1（ 行列式的乘法規(guī)則）若兩個(gè)階行列式，則與的乘積是一個(gè)行列式其中2.行列式乘法規(guī)則的證明方法 2.1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明 要證明行列式的乘法規(guī)則，需先證明以下兩個(gè)引理： 引理1 證明: .證明 首先我們對(duì)的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，左邊=右邊，故引理結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，引理結(jié)論成立,即 現(xiàn)在我們來(lái)看當(dāng)時(shí)，引理結(jié)論是否成立。首

7、先我們按第一行展開(kāi)，則有 可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，引理的結(jié)論也成立。因此，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，引理1得證。引理2 證明:其中證明 首先對(duì)作以下變換:第一列乘以，第二列乘以，依此類(lèi)推，第列乘以，之和加到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此類(lèi)推，第列乘以，之和加到第列；如此下去，第一列乘以，第二列乘以，依此類(lèi)推，第列乘以，之和加到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此類(lèi)推，第列乘以，之和加到第列，則有然后再依次按行，行,行展開(kāi)，則有原式=因此，由引理1及引理2知行列式的乘法規(guī)則成立。2.2.利用拉普拉斯定理證明 首先需證明以下引理：引理3 行列式的任一子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式的展開(kāi)式中的一項(xiàng)，

8、而且符號(hào)也一致。 證明 令為行列式的任一階子式,為對(duì)應(yīng)的余子式。令展開(kāi)后的一般項(xiàng)為（1）其中為從小到大的行排列，為次序不定的列排列。 再令展開(kāi)后的一般項(xiàng)為（2）其中為從小到大的列排列，為次序不定的行排列。又與都為的一個(gè)排列。從而將式（1）（2）相乘，得.顯然為展開(kāi)后的任意項(xiàng)。 再者 （3）我們注意到，因?yàn)橹械娜我忭?xiàng)也會(huì)與中的任意項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。在中能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，依此類(lèi)推，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)。所以有（3）式成立。 又由于 （4）我們注意到，因?yàn)橹械娜我忭?xiàng)也與中的項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。比項(xiàng)大的有項(xiàng)，而中有項(xiàng)，所以能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，同理在中能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，依

9、此類(lèi)推，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)。所以有（4）成立。因此，我們有從而，有即的一般項(xiàng)為.又為的代數(shù)余子式。所以的一般項(xiàng)為.這剛好是行列式的一般項(xiàng)，所以引理3得證。定理1 若為階行列式，為的取定行后得到的子式，分別為的代數(shù)余子式。則有證明 我們知道的每一項(xiàng)就是中的一項(xiàng)且有相同的符號(hào)。又與無(wú)公共項(xiàng)，所以只需證明兩邊項(xiàng)數(shù)相同便可得到上式。由于的項(xiàng)數(shù)是，而的項(xiàng)數(shù)是，的項(xiàng)數(shù)式，又所以被證等式右邊的項(xiàng)數(shù)是，故定理1得證。 其實(shí)，定理1就是拉普拉斯定理的簡(jiǎn)單敘述，以上也給出了一般的證明方法。拉普拉斯(laplace)定理是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要定理，是行列式展開(kāi)的理論依據(jù)，有很多教材都給出了詳細(xì)證明，詳見(jiàn)文獻(xiàn)1,2

10、. 在文獻(xiàn)5中，殷紅彩又給出了拉普拉斯定理新的證明方法。 現(xiàn)在來(lái)給出行列式乘法規(guī)則的第二種證明方法。 證明 首先我們作一個(gè)階的行列式，利用拉普拉斯定理，將按前行展開(kāi)，可見(jiàn)只有左上角的那個(gè)階子式不為零，則，這與引理1所得的結(jié)果相同。其實(shí)這不是偶然，引理1中的行列式是的特例，是得一般形式。學(xué)過(guò)拉普拉斯定理后，類(lèi)似的行列式都容易計(jì)算多了。 再根據(jù)引理2即可得到行列式的乘法規(guī)則。2.3.利用矩陣分塊證明下面我們將采用矩陣分塊的思想來(lái)證明行列式的乘法規(guī)則。 證明 首先作一個(gè)階的行列式.令 .所以.根據(jù)分塊矩陣乘法和拉普拉斯定理，得.由此可見(jiàn)利用分塊矩陣和拉普拉斯定理組合也可以得到和引理1一樣的結(jié)果。再由

11、引理2即可得到行列式的乘法規(guī)則。以上我們采用了三種方法證明了行列式的的乘法規(guī)則，分別是數(shù)學(xué)歸納法，利用拉普拉斯定理證明以及利用矩陣分塊證明，下面我們給出其的幾個(gè)常見(jiàn)應(yīng)用。 3.行列式乘法規(guī)則的應(yīng)用舉例行列式的應(yīng)用非常廣泛，以下就行列式乘法規(guī)則的應(yīng)用給出幾個(gè)典型例題，供大家參考。例1 計(jì)算以下行列式.解 由行列式的性質(zhì)，有 例2 計(jì)算以下行列式(1)；（2）.解 （1）原式= （2）原式=例3 計(jì)算下列行列式 .解 原式= 例4 計(jì)算以下行列式解 由于顯然中的系數(shù)為1，所以必是正。即4.結(jié)束語(yǔ)關(guān)于行列式乘法規(guī)則的詳細(xì)證明在高等數(shù)學(xué)等教材中所占的篇幅都比較少，甚至都不給予單獨(dú)說(shuō)明。對(duì)于它的學(xué)習(xí)一般

12、都是在學(xué)習(xí)行列式其它內(nèi)容時(shí)才給出一些簡(jiǎn)單說(shuō)明。但是我們?cè)谧鲂辛惺较嚓P(guān)問(wèn)題時(shí)，行列式乘法規(guī)則是最基礎(chǔ)也是最常用的理論之一，所以我們應(yīng)該自己組織時(shí)間進(jìn)行具體學(xué)習(xí)。本文運(yùn)用了三種方法（數(shù)學(xué)歸納法，利用拉普拉斯定理及矩陣分塊思想）論證了行列式的乘法規(guī)則。為了讓讀者能夠順利的理解和領(lǐng)會(huì)乘法規(guī)則，還給出了一些典型例題。希望讀者在學(xué)習(xí)此理論的同時(shí)，也能夠很好的掌握它的運(yùn)用技巧。當(dāng)然關(guān)于行列式乘法規(guī)則的證明以及應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，由于本人知識(shí)有限，在這里不能一一說(shuō)明，其它的應(yīng)用還有望我們大家共同去研究、去探討。參考文獻(xiàn)：1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)m. 北京：高等教育出版社，2003.2

13、張禾瑞，郝鈵新. 高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，2004.3張金武. 行列式的乘法規(guī)則與其應(yīng)用j. 成人教育學(xué)報(bào), 1998，4：47-49.4鐘婷. 矩陣乘積的一個(gè)行列式等式的證明j. 高等數(shù)學(xué)研究，2004, 7（6）:48.5殷紅彩. 拉普拉斯(laplace)定理的新證明j. 赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，28（5）：6-7.6楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題解（上冊(cè)）m. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2002.7王萼芳，石生明. 高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答m. 北京:高等教育出版社，2007.8李師正. 高等代數(shù)解題方法與技巧m. 北京：高等教育出版社，2005.9黎伯堂，劉桂真. 高等代數(shù)解題技巧與方法m. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.10p.dentoni, m.sce. funzioni regolari nell algebra di cayleyj. rend.sem mat.univ. padova,1998，50（8）：251-267.致 謝首先由衷的感謝我的導(dǎo)師