全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書1

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從a/b/c/d中選擇一項(xiàng)填寫）： a 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?南昌大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 郭慧君 2. 江長云 3. 周 慧 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 教練組 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“

3、油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，通過預(yù)先標(biāo)定好的罐容表，可得到罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的變化關(guān)系。但許多儲(chǔ)油罐使用一段時(shí)間以后，由于地基變形等原因，使罐體的位置發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。因而建立儲(chǔ)油罐變位后儲(chǔ)油量與油高及變位參數(shù)（縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)）之間的一般關(guān)系，對(duì)罐體儲(chǔ)油量的真實(shí)計(jì)算及加油站的經(jīng)營管理具有重要意義。對(duì)于問題一，本文先建立沒有變位時(shí)的罐體儲(chǔ)油量和油位高度的關(guān)系，將計(jì)算值與實(shí)際值進(jìn)行比較，進(jìn)行圖形仿真和誤差分析，從而檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目煽啃院蜏?zhǔn)確性。對(duì)于發(fā)生縱向傾斜后的橢圓型儲(chǔ)油罐，在油液面低于柱體右端最低點(diǎn)和高于左端最高點(diǎn)，及兩者之間

4、，儲(chǔ)油量與油位高度有不同的關(guān)系式，因而我們分了三段積分處理，得出儲(chǔ)油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系式。用建立好的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出給定油位探針監(jiān)測高度的儲(chǔ)油量，和實(shí)際儲(chǔ)油量進(jìn)行圖像曲線對(duì)比，并進(jìn)行誤差分析，從而驗(yàn)證建立的函數(shù)關(guān)系式的準(zhǔn)確性。在用建立好的模型對(duì)變位和未變位的兩種情況的儲(chǔ)油量隨探針監(jiān)測油位高度變化的曲線進(jìn)行對(duì)比并列表分析，從而得出罐體變位后同一監(jiān)測高度，變位后罐容體的實(shí)際儲(chǔ)油量比原先罐容表上標(biāo)定的值小，并計(jì)算出罐體變位后油位高度間隔1cm的罐容表標(biāo)定值。對(duì)于問題二，本文利用幾何關(guān)系，將橫向偏轉(zhuǎn)修正，以消除其對(duì)儲(chǔ)油量的影響，將問題歸結(jié)為只需要計(jì)算縱向偏轉(zhuǎn)對(duì)儲(chǔ)油量的影響，將儲(chǔ)油量的計(jì)算分成三部分

5、：圓柱體和左右球冠體，圓柱體可直接積分得到，球冠體通過柱面坐標(biāo)變換，將二重積分轉(zhuǎn)換為定積分，然后利用微分中值定理近似計(jì)算該定積分。三者相加得到整個(gè)儲(chǔ)油量體積，且和問題一一樣分為油液面低于圓柱體部分右端最低點(diǎn)和高于左端最高點(diǎn)，及兩者之間三段，再整合為一個(gè)函數(shù)關(guān)系式。得出的計(jì)算值與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，進(jìn)行誤差分析，從而用線性擬合的方法對(duì)函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行修正使其與實(shí)際值的誤差更小。最后利用循環(huán)迭代并結(jié)合矩形套定理，逐步縮小范圍，以確定偏轉(zhuǎn)角，以使誤差在一定精度范圍內(nèi)符合實(shí)際值，最后將得到的偏轉(zhuǎn)角，代入建立的函數(shù)關(guān)系式，用以模擬檢驗(yàn)，得出結(jié)果與實(shí)際相符。之后我們給出了油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。最后

6、，本文對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的討論和改進(jìn)，對(duì)問題二建議制定出不同的對(duì)應(yīng)儲(chǔ)油量體積增長的拐點(diǎn)的表，只要根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)利用二階差分近似求得拐點(diǎn)位置，只需查表即可得到。關(guān)鍵字：罐容體儲(chǔ)油量 分段積分 微分中值定理 線性擬合 循環(huán)迭代一、 問題的背景通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)

7、致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。二、 問題的提出與重述 由于地基變形等原因，使罐體的位置發(fā)生變位，從而導(dǎo)致罐容表不能顯示實(shí)際的儲(chǔ)油量，罐容表誤差過大而不能正常使用，造成加油站油品虛假盈虧。這樣，就給加油站經(jīng)營管理帶來一些問題。如造成加油站虛假盈虧，無法對(duì)油品數(shù)量進(jìn)行正確的監(jiān)控和管理，以及年底盤底或新舊站長變更時(shí)，無法進(jìn)行正常的油品庫存交接。因而需要對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的

8、問題。 （1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢

9、測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。 圖1 儲(chǔ)油罐正面示意圖 圖2 儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖圖3 儲(chǔ)油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m 圖3 儲(chǔ)油罐界面示意圖 圖4 小橢圓油罐截面示意圖三、 基本假設(shè)1. 假設(shè)油浮子始終處于水平狀態(tài)，并且油浮子的體積不記，視為質(zhì)點(diǎn)；2. 假設(shè)油位探針是固定的，不發(fā)生任何轉(zhuǎn)動(dòng)；3. 忽略外界因素對(duì)儲(chǔ)油罐內(nèi)部的影響并排除儲(chǔ)油罐的機(jī)械故障；4. 假設(shè)油位不受溫度、壓力等因素的影響；5. 假設(shè)油位探針檢測液位控制靈敏，罐容表標(biāo)定無誤；6. 假設(shè)儲(chǔ)油罐容器壁光滑平整，沒有凹凸現(xiàn)象

10、；7. 忽略儲(chǔ)油罐內(nèi)各器件所占的體積。四、 模型的主要符號(hào)變量說明問題一的主要符號(hào)說明：v：無變位時(shí)橢圓形儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量；v1：橢圓型儲(chǔ)油罐變位后，底部部分覆蓋時(shí)的儲(chǔ)油量；v2：橢圓型儲(chǔ)油罐變位后，底部覆蓋頂部未覆蓋時(shí)的儲(chǔ)油量；v3：橢圓型儲(chǔ)油罐變位后，底部覆蓋頂部部分覆蓋時(shí)的儲(chǔ)油量；：橢圓型儲(chǔ)油罐的總體積；：探針監(jiān)測到的油位高度；：橢圓型儲(chǔ)油罐變位后，底部部分覆蓋時(shí)，油位與底部的相交線離左端的距離；：橢圓型儲(chǔ)油罐變位后，頂部部分覆蓋時(shí)，油位與頂部的相交線離左端的距離；問題二的主要符號(hào)說明： ：儲(chǔ)油罐總體積 ：油罐圓柱體部分的體積 ：左端球冠體體積 ：右端球冠體體積 ：油位探針監(jiān)測到的高度 ：

11、橫向偏轉(zhuǎn)修正后的高度五、 問題的分析題目中的第一問要求我們建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。我們首先建立了無變位時(shí)小橢圓形儲(chǔ)油量與油位高度的一般關(guān)系函數(shù)式，并用附件1中的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，由此得到無變位情況下理論值與實(shí)際值的相對(duì)誤差a。由于小橢圓型儲(chǔ)油罐縱向變形后，在油量少到低于油位探針最底端時(shí)和油量多于探針與橢圓柱體頂部的交點(diǎn)時(shí)，不能寫出儲(chǔ)油量與油位高度對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式，對(duì)這兩種情況不做出具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系式。縱向變位后，在油液面低于柱體右端最低點(diǎn)和高于左端最高點(diǎn)，及兩者之間，儲(chǔ)油量與油位高度有不同的關(guān)系式，因而我們分了三段處理，得出

12、儲(chǔ)油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系式。將油量理論值和實(shí)際值比較而得到相對(duì)誤差b，并和誤差a進(jìn)行比較，檢驗(yàn)建立的函數(shù)關(guān)系式的正確性，并用所得的理論計(jì)算公式對(duì)變位前后儲(chǔ)油量同一高度儲(chǔ)油量進(jìn)行比較，從而得出罐體變位后對(duì)罐容表的影響以及油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。第二問要求我們對(duì)圖1所示的罐體建立變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，得出罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系式，并根據(jù)附件2的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)，用所建立的模型確定變位參數(shù)。由于橫向偏轉(zhuǎn)不會(huì)引起油液面的變化，只會(huì)影響油位探針測得的油位高度，所以我們對(duì)縱橫向變位后的標(biāo)定高度轉(zhuǎn)換成只有縱向變位時(shí)的油位標(biāo)定高度，設(shè)為發(fā)生橫

13、向偏轉(zhuǎn)后的油位探針測得的高度，為轉(zhuǎn)換成只有縱向偏轉(zhuǎn)的油位探針測得的高度，由于探針必經(jīng)過探針?biāo)趫A柱橫截面的圓心，如圖5，有：， 圖 5所以把研究儲(chǔ)油量與油位高度及參數(shù)，的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橹谎芯績?chǔ)油量與油位高度及參數(shù)的關(guān)系。則研究方法和問題一類似，也要分為三段，油液面低于圓柱體部分右端最低點(diǎn)，油液面高于圓柱體部分左端最高點(diǎn) 和介于兩者之間的三段儲(chǔ)油量和油位高度的關(guān)系式。其中對(duì)圓柱體部分和左右球冠體分別積分求油量體積，三部分油量體積相加得出三段儲(chǔ)油量和油位高度的關(guān)系式，綜合得出儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)的關(guān)系式，得出計(jì)算值，并與實(shí)際值比較，進(jìn)行誤差分析。然后運(yùn)用線性擬合的方法對(duì)v進(jìn)行修正，再利用附件

14、2中的數(shù)據(jù)，用二分法原理，對(duì)，劃一個(gè)比較寬的范圍，結(jié)合閉矩形套定理編程，求出附件2的數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，從而得出關(guān)系式。由此可求出儲(chǔ)油量的理論值，結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析，驗(yàn)證函數(shù)關(guān)系式的可靠性，從而給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。 六、 問題一的模型建立與求解xxyxya-ab-b圖6由于對(duì)于特定的橢圓型儲(chǔ)油罐，當(dāng)其所處狀態(tài)(變位或未變位)確定時(shí)，對(duì)于進(jìn)油和出油的研究都一樣，所以本問題只用進(jìn)油這一情況進(jìn)行分析。研究對(duì)于圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐，我們首先建立無變位時(shí)罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系式。建立如圖6所示的坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為b,得橢圓方程：，則：，設(shè)儲(chǔ)油量

15、的體積為v,橢圓柱體的長度為l，油位高度為h，則：其中a=1.78/2=0.89m，b=1.2/2=0.6m，l=2.45m。把附件1工作表“無 變位進(jìn)油”中的油位高度一欄的高度值代入式，計(jì)算出儲(chǔ)油量的理論值，計(jì)算matlab程序見附件一（part1），實(shí)際值與理論計(jì)算值隨油位高度變化的圖像見圖7。從圖7可以看出實(shí)際值和理論計(jì)算值的曲線吻合的比較好。又將對(duì)應(yīng)高度的實(shí)際值與計(jì)算值列入excel表中并計(jì)算理論計(jì)算的儲(chǔ)油量與實(shí)際儲(chǔ)油量的差值，并算出理論計(jì)算的儲(chǔ)油量對(duì)實(shí)際儲(chǔ)油量的相對(duì)誤差。其計(jì)算結(jié)果見附件二（sheet1），現(xiàn)截取其中十行見下表一。從附件二(sheet1)中的計(jì)算結(jié)果可以看出，對(duì)于同一

16、油面高度，理論計(jì)算的儲(chǔ)油量對(duì)實(shí)際儲(chǔ)油量的相對(duì)誤差=，其相對(duì)誤差的最大值為3.4917316%，最小值為3.486559%，總體平均誤差為3.4883831%,近似為3.488%，說明無變位情況下計(jì)算值和實(shí)際值的相差比例可以看成常數(shù)。圖和表的結(jié)果說明了理論公式的科學(xué)性，同時(shí)也說明了積分求理論公式這種方法的合理性。從而得出了未變位時(shí)小橢圓罐的罐容表每隔1cm的標(biāo)定值，程序見附件一（part2），結(jié)果見附件二(sheet2)，表二給出了罐容表的部分理論標(biāo)定值。而計(jì)算所得的相對(duì)誤差結(jié)果可以為橢圓型儲(chǔ)油罐變位后罐容表的重新標(biāo)定提供參考依據(jù)。圖7表一油位高度/mm理論計(jì)算儲(chǔ)油量/l實(shí)際儲(chǔ)油量/l理論值-實(shí)

17、際值/l（理論值-實(shí)際值）/實(shí)際值159.02322.882631210.88260.034880128176.14374.63336212.6330.03489779192.59426.364941214.36490.034866262208.50478.131846216.13180.034917316223.93529.851951217.85190.034866992238.97581.605856219.60580.034885765253.66633.35261221.3520.034888889268.04685.08166223.0810.034865559282.16736.

18、846871224.84680.034897191296.03788.577776226.57770.034878871表二油位高度/m理論計(jì)算儲(chǔ)油量/l油位高度/m理論計(jì)算儲(chǔ)油量/l油位高度/m理論計(jì)算儲(chǔ)油量/l油位高度/m理論計(jì)算儲(chǔ)油量/l0.1163.59 0.41199.31 0.72489.15 13659.88 0.2450.27 0.51621.00 0.82910.84 1.13946.55 0.3803.54 0.62055.07 0.93306.61 1.24110.15 橢球型儲(chǔ)油罐發(fā)生傾角為=4.10縱向變位后，在油液面低于柱體右端最低點(diǎn)和高于左端最高點(diǎn)，及兩者之間，儲(chǔ)

19、油量與油位高度有不同的關(guān)系式，因而我們分了三段處理，得出儲(chǔ)油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系式（坐標(biāo)系見圖8）：圖8 由以上數(shù)據(jù)可得，(1).在油液面低于柱體右端最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)z0為柱體底部部分覆蓋時(shí)，油位與底部的相交線離柱體左端的距離，由題中圖4可知z00.4m時(shí)，油位探針不能檢測到油，所以此時(shí)油位探針檢測到的油位高度h值為：h=0。又柱體長度l=2.45m， 所以對(duì)于 0.4 z02.45，對(duì)于z處的油截面有，由此導(dǎo)出： 即：（0.4 z00.4m時(shí)，油位探針不能監(jiān)測到儲(chǔ)油量的值，此處不予考慮，所以z10.4m。因而有： （為油位離柱體頂部的距離），則：對(duì)于z處的油截面：（為z處油位離柱體頂部的距離）

20、，所以可得y的積分下限為 ： 由上可得此時(shí)儲(chǔ)油量的表達(dá)式：式中為橢圓柱體的總體積，即：所以此處0z10.4, h1.2,即1.1713mh1.2m.以上將橢圓柱體傾斜縱向變位時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系分為三段進(jìn)行考慮,得出了儲(chǔ)油量與測得的油位高度的關(guān)系式、。而題目中附件1的工作表“傾斜變位進(jìn)油”油位高度一欄油位高度的范圍為：，工作表“傾斜變位出油”油位高度一欄油位高度的范圍為：，所以對(duì)附件1中的數(shù)據(jù)只需用函數(shù)關(guān)系式：（0.1469mh1.1713m）。首先建立對(duì)應(yīng)于式的體積積分函數(shù)v=tuo（h,），程序見附件三。把附件一工作表“傾斜變位進(jìn)油”油位高度一欄的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得出儲(chǔ)油量的理論計(jì)算

21、值，其計(jì)算的matlab程序見附件四。在加油過程中，理論值和實(shí)際值隨高度變化的圖像見圖9。從圖9可以看出理論計(jì)算值和實(shí)際值的吻合效果很好。同時(shí)，將對(duì)應(yīng)高度的實(shí)際值與計(jì)算值列入excel表中并并計(jì)算理論計(jì)算的儲(chǔ)油量與實(shí)際儲(chǔ)油量的差值，并算出理論計(jì)算的儲(chǔ)油量對(duì)實(shí)際儲(chǔ)油量的相對(duì)誤差。其計(jì)算結(jié)果見附件五，現(xiàn)截取其中一部分，見下表三。從下表三和附件五知相對(duì)誤差有一個(gè)波動(dòng)范圍，相對(duì)誤差的最大值為4.587221%，最小值為1.2719502%，平均誤差值為3.2303292%。此處的平均誤差與橢圓型儲(chǔ)油罐無變位時(shí)的平均誤差值3.4883831%很接近，這說明從整體上看，理論計(jì)算值與實(shí)際值產(chǎn)生的誤差是一樣的

22、，即產(chǎn)生誤差的原因是一樣的?？v向變位后，從附件五的誤差數(shù)值和油位高度可以看出誤差數(shù)值隨油位高度呈現(xiàn)出先升后降的趨勢(shì)，這可能是由于橢圓型儲(chǔ)油罐發(fā)生縱向變位后，沿z軸各處液位深度不一致及油罐壁厚各處不完全均勻引起的。圖9表三油位高度/mm理論計(jì)算儲(chǔ)油量/l實(shí)際儲(chǔ)油量/l理論計(jì)算值-實(shí)際值（理論計(jì)算值-實(shí)際值）/實(shí)際值411.29999.1649962.8636.30490.037705274423.451047.4491012.8634.5890.034149833438.331107.1651062.8644.30480.041684512450.541156.6511112.8643.7907

23、0.039349694463.91211.2631162.8648.40330.041624357892.923033.332962.7370.60040.023829509904.343078.763012.7366.03020.021917065917.343129.9493062.7367.21910.021947446929.93178.843112.7366.11030.021238688941.423223.1653162.7360.43530.019108587954.63273.2333212.7360.50320.018832333968.093323.7243262.736

24、0.99420.018694222980.143368.1413312.7355.4110.016726688從以上對(duì)結(jié)果的分析可以知道，以上建立的函數(shù)關(guān)系式可以用來對(duì)罐體變位后儲(chǔ)油量的計(jì)算。可用以上公式、對(duì)罐容體進(jìn)行重新標(biāo)定。在時(shí)，對(duì)變位和沒有變位時(shí)同一高度的儲(chǔ)油量比較的圖10，matlab程見附件六。由圖10可以看出變后油位探針監(jiān)測同一油位高度時(shí)，變位前的儲(chǔ)油量大于變位后的儲(chǔ)油量。所以需要對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。首先建立對(duì)應(yīng)于式的體積積分函數(shù)v1=tuo1（h,）（見附件七）和式的體積積分函數(shù)v3=tuo3（h,）（見附件八），再分別編寫程序算出對(duì)應(yīng)的v1值，0.1469mh1.1713m對(duì)

25、應(yīng)的v2值（v2和附件三中的v等價(jià)），1.1713mh1.2m.對(duì)應(yīng)的v3的值，程序見附件九。從而得出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值，標(biāo)定值見表四。綜合圖形和表格可以看出，在誤差允許的范圍內(nèi)，該模型計(jì)算得到的結(jié)果具有可行性，進(jìn)而可以說明該模型是正確可靠的。從而問題一得到解決。表四油位高度/m儲(chǔ)油量/l油位高度/m儲(chǔ)油量/l油位高度/m儲(chǔ)油量/l油位高度/m儲(chǔ)油量/l0.001.67440.30595.24520.601798.5240.903072.4270.013.5310.31630.14620.611841.7970.913112.0010.026.26350.32665.

26、58080.621885.1310.923151.2340.039.97480.33701.52560.631928.5130.933190.110.0414.75630.34737.95840.641971.9310.943228.6120.0520.69080.35774.85770.652015.3720.953266.7220.0627.85420.36812.2030.662058.8240.963304.4210.0736.31630.37849.97470.672102.2750.973341.6910.0846.14240.38888.15370.682145.7130.983

27、378.5110.0957.39350.39926.72170.692189.1260.993414.8620.1070.1270.40965.66080.702232.51.003450.720.1184.39680.411004.9540.712275.8241.013486.0640.12100.25410.421044.5840.722319.0861.023520.870.13117.74750.431084.5350.732362.2731.033555.1140.14136.9230.441124.7910.742405.3721.043588.7690.15157.81840.

28、451165.3360.752448.3721.053621.8080.16180.25910.461206.1550.762491.2591.063654.20.17203.99940.471247.2340.772534.021.073685.9150.18228.90660.481288.5570.782576.6431.083716.9180.19254.88490.491330.1110.792619.1151.093747.1710.20281.85770.501371.8810.802661.4231.103776.6360.21309.76080.511413.8540.812

29、703.5521.113805.2660.22338.53870.521456.0150.822745.4911.123833.0130.23368.14260.531498.3520.832787.2251.133859.8190.24398.52850.541540.8510.842828.741.143885.6180.25429.65670.551583.4990.852870.0221.153910.3320.26461.49060.561626.2830.862911.0571.163933.8590.27493.99670.571669.190.872951.831.173956

30、.0560.28527.14380.581712.2080.882992.3261.183976.510.29560.90240.591755.3230.893032.5311.193995.3921.204012.599圖10七、 問題二的模型建立與求解1體積公式推導(dǎo)由以上問題分析式可得：發(fā)生縱向偏轉(zhuǎn)和橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)的油位探針監(jiān)測高度h0轉(zhuǎn)換為只有縱向變位時(shí)的油位探針監(jiān)測高度h，有： 則以下只需建立只有縱向變位時(shí)儲(chǔ)油量與油位高度的數(shù)學(xué)模型?？v向偏轉(zhuǎn)下儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系式建立如下： 圖11如圖11（儲(chǔ)油罐發(fā)生變位后的等價(jià)示意圖）所示， 表示油位探針與圓柱體左端面的距離，表示油位探針與圓柱體右端

31、面的距離，h1，h2分別表示液面與圓柱體左端面、右端面的交線到圓柱體底部的距離，則有： 6由圖1和題目中的數(shù)據(jù)可得：，r為球冠體的半徑，r為圓柱體橫截面的半徑，由r=1.5求得r=1.625m。圖11中為油液面與左球冠體的交線和油液面與圓柱體左端面的交線的高度差，設(shè)d為球冠體球心到對(duì)應(yīng)圓柱體端面的距離，則d=r-1=0.625m，由勾股定理：，所以可以得到和的關(guān)系式。同理，可得到和的關(guān)系式：我們把實(shí)際儲(chǔ)油罐體積分為三部分計(jì)算，在問題的分析中已有說明，即為中間圓柱體、左球冠體、右球冠體體積的計(jì)算。（1）中間圓柱體體積的計(jì)算：由圖12所示的油面和圓柱體左右端面都相交的情況簡單容易計(jì)算體積，所以先計(jì)

32、算這種情況下的體積。如下所示。其他較復(fù)雜的情況油面低于圓柱體右端面最低點(diǎn)和油液面高于圓柱體左端面最高點(diǎn)時(shí)的情況，在計(jì)算總體積時(shí)計(jì)算。 圖12 圖13油面法向量為,且油面過點(diǎn),由幾何關(guān)系（如圖13）有,故油面方程為:如圖13，分別為左、右端面的y軸坐標(biāo)值，又，則可得圓柱體部分儲(chǔ)油量為：，記為。（2）左球冠體、右球冠體體積的計(jì)算。為了方便計(jì)算左球冠體、右球冠體儲(chǔ)油的體積，如圖14，我們把這每一側(cè)的球冠體的體積用一平行于平面的截面切割成兩部分，且兩截面與圓柱體底部的距離分別為h1，h2。這兩部分體積我們分別形象地稱之為、。首先計(jì)算下圖14左球冠體陰影部分的體積的公式: 圖14 圖15由幾何關(guān)系有（圖

33、15）:又斜面過點(diǎn),斜面的單位法向量為，故斜面方程為: 圖16 經(jīng)柱面坐標(biāo)變換,代入方程得 在z坐標(biāo)確定時(shí),由圖16中幾何關(guān)系得: ，為柱面坐標(biāo)下的積分上限；，為的積分下限利用對(duì)稱性, 由于縱向偏角不會(huì)太大,故很小,為了便于計(jì)算，利用微分中值定理做近似計(jì)算有:上述結(jié)果記為:同理可得右球冠體的：近似為：記為，且等價(jià)于，所以程序里用代替，以便于編程。圖19然后計(jì)算下圖17的陰影部分體積,由文獻(xiàn)容器內(nèi)存留液體體積與液位高度函數(shù)關(guān)系3有: (本題中為1m,為3m)，c為球冠體的厚度，d為圓柱體的底面直徑，h油罐體水平時(shí)的油面高度。最后根據(jù)上述兩半部分公式,對(duì)儲(chǔ)油罐兩端球冠體進(jìn)行平行罐體分割后再計(jì)算儲(chǔ)油

34、罐兩端球狀體的體積:左球冠體體積（圖18）：，記為 (因?yàn)橐灿晌ㄒ淮_定)右球冠體體積（圖19）： ，記為 圖17 圖18從上面可以看出中間段、左球冠狀、右球冠狀儲(chǔ)油體積計(jì)算的表達(dá)式都可以實(shí)現(xiàn)。（3）總體積的計(jì)算經(jīng)過問題分析，可以明顯地得到油面和實(shí)際儲(chǔ)油罐的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系分成如下圖20所示的三種情況:圖20 情形i（圖21）: 圖21：由圖中幾何關(guān)系有:積分下限，；積分上限，,且，即為油液面與罐體頂部交線所在位置到圓柱體左端面的距離。即: :公式不變化,情形ii:所有,同原公式帶入情形iii（圖22）: 由幾何關(guān)系,積分上限為：:公式不變化, 圖22 : 為0綜合以上三種情況可得：,2體積函數(shù)的修

35、正利用以上公式用matlab計(jì)算體積，由于油罐開始標(biāo)記時(shí)并未發(fā)生偏轉(zhuǎn)（見題目的附件2），因此可認(rèn)為顯示高度與顯示體積即為兩種偏轉(zhuǎn)角皆為0時(shí)的對(duì)應(yīng)值。將油位高度代入理論公式，并與實(shí)際值進(jìn)行比較，計(jì)算程序見附件十，得出理論儲(chǔ)油量與實(shí)際儲(chǔ)油量的比較圖，見圖23：圖23 圖23中紅線為計(jì)算值，藍(lán)線為實(shí)際值。從圖中可以看出兩者有誤差，誤差來源可能是在計(jì)算體積中應(yīng)用微分中值定理產(chǎn)生的，設(shè)這一誤差為。因此對(duì)計(jì)算函數(shù)進(jìn)行平移修正為： （單位：m3）其中為待定系數(shù)。為了求得該系數(shù)，則原公式變?yōu)椋?，則y為線性函數(shù)。在無變位情況下，將代入各部分儲(chǔ)油量體積計(jì)算公式，從而得出y值，再利用matlab中的polyfit

36、函數(shù)對(duì)y與擬合，從而得到，程序見附件十四。再將油位高度代入修正后的理論公式，并與實(shí)際值進(jìn)行比較，得出理論儲(chǔ)油量與實(shí)際儲(chǔ)油量的比較圖，見圖24： 圖24從圖24可以看出修正后的函數(shù)與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好，因而修正后的計(jì)算公式可以用來確定變位罐容體的變位參數(shù)和罐容表值的重新標(biāo)定。3偏轉(zhuǎn)角的計(jì)算簡記前述體積計(jì)算公式為：。利用二分法的原理，對(duì)平面劃一范圍不斷四等份搜索偏轉(zhuǎn)角。具體算法如下：（1） 取題目中的附件2中的一組油高，記為。對(duì)應(yīng)累計(jì)出油為。又在理論上，從到的累計(jì)出油為： 。則總誤差為； （2） 取定區(qū)域?yàn)?，四等份，取每一小區(qū)域的中點(diǎn) ，計(jì)算。（3） 比較的大小，把總誤差最小的點(diǎn)所在的小區(qū)域的四個(gè)

37、頂點(diǎn)賦給，返回（2）繼續(xù)計(jì)算直到總誤差達(dá)到足夠的精度停止。在以上算法中，記步驟（3）第j次重復(fù)得到的區(qū)域?yàn)?，必有，邊長以的速度收斂到0，由閉矩形套定理必定能收斂到一個(gè)點(diǎn)。利用附件十六的搜索數(shù)據(jù)（由原題提供的附表二計(jì)算得到）及附件十一提供的程序，循環(huán)10次，計(jì)算得：，將，代入修正后的體積計(jì)算公式與附表二提供的數(shù)據(jù)比較如圖25、圖26，程序見附件十五。所有具體的數(shù)值與相對(duì)誤差見附件十二（一次性補(bǔ)充進(jìn)油前的數(shù)據(jù)）與附件十三（一次性補(bǔ)充進(jìn)油后的數(shù)據(jù)），部分?jǐn)?shù)據(jù)如表五。從圖25、圖26可知理論計(jì)算值和實(shí)際數(shù)據(jù)幾乎重合。而從附件十二中可得相對(duì)誤差的最大值為4.05%,最小值為0，平均值為0.533%;附件

38、十三可得相對(duì)誤差的最大值為4.61%,最小值為0，平均值為0.591%。從圖和這些數(shù)據(jù)可得求得的兩偏轉(zhuǎn)角精度很高，可靠性和準(zhǔn)確性很好，可以用來對(duì)題中附件2所對(duì)應(yīng)的變位罐容體的罐容表的重新標(biāo)定。因而，將，這組偏角代入校正后的罐容體儲(chǔ)油量計(jì)算公式，即可得出高度與體積的關(guān)系，程序見附件十七，罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值見表六。 圖 25（一次性補(bǔ)充進(jìn)油前的數(shù)據(jù)。紅點(diǎn)為計(jì)算數(shù)據(jù)，藍(lán)叉為實(shí)際數(shù)據(jù)）圖26(一次性補(bǔ)充進(jìn)油后的數(shù)據(jù),紅點(diǎn)為計(jì)算數(shù)據(jù)，藍(lán)叉為實(shí)際數(shù)據(jù))表五顯示高度(m)實(shí)際數(shù)據(jù)(l)計(jì)算數(shù)據(jù)(l)相對(duì)誤差2.6243149.09149.250.0010731772.620768

39、.4568.7460.0043243242.6103199.27198.040.006172532.606670.0570.7230.0096074232.5996136.36135.650.0052068062.5876232.74233.890.0049411362.582107.97109.190.0112994352.579649.2448.9810.0052599512.575480.6581.8250.0145691262.5695120.29119.040.0103915542.5641108.24106.860.0127494462.559883.4686.2260.03314

40、16252.5485229.93229.944.34915e-052.5396181.7180.520.0064942212.528238.52239.380.0036055682.5216131.79132.430.0048562112.5102238.33238.358.39173e-052.508242.9243.3040.0089468782.5001171.34170.960.002217813表六（變?yōu)楹蠊奕荼碇匦聵?biāo)定值）高度(m)體積(l)高度(m)體積(l)高度(m)體積(l)0180331167042441220.1450131.1193042.1467590.21125.1

41、1.2219772.2493130.32258.61.3247062.3517680.43730.71.4274772.4541050.55460.31.5302732.5563000.67401.81.6330812.6583300.79521.91.7358842.7601660.8117941.8386692.8617670.9141951.9414202.963078363976同時(shí)，為便于比較計(jì)算結(jié)果，這里給出無變位時(shí)儲(chǔ)油罐的罐容表每隔10cm的儲(chǔ)油量標(biāo)定值，見表七，程序只需將附件十七中的都換成0即可。表七（無變位時(shí)罐容表理論計(jì)算值）高度(m)體積(l)高度(m)體積(l)高度(m)

42、體積(l)0133.281185852461790.1693.151.1212532.1487690.217741.2239832.2512650.33192.61.3267582.3536470.44876.71.4295622.4558940.56780.31.5323822.5579830.68869.51.6352012.6598870.7111171.7380062.7615710.8134991.8407812.8629900.9159941.9435102.964071364630綜上圖形和表格可以看出，在同一油位高度下計(jì)算得到儲(chǔ)油罐的油量容積和實(shí)際儲(chǔ)油罐的油量容積吻合的很好，因

43、此在誤差允許的范圍內(nèi)，該模型計(jì)算得到的結(jié)果具有一定的可行性，進(jìn)而可以說明該模型是正確可靠的。八、模型的進(jìn)一步討論和改進(jìn)對(duì)問題一的改進(jìn)：橢圓型儲(chǔ)油罐縱向變位后，從附件五的誤差數(shù)值和油位高度可以看出誤差數(shù)值隨油位高度呈現(xiàn)出先升后降的趨勢(shì)。雖然計(jì)算值和實(shí)際值的誤差很小，但為了計(jì)算更準(zhǔn)確，更接近實(shí)際，我們對(duì)誤差隨監(jiān)測油位高度的變化進(jìn)行了多項(xiàng)式擬合，發(fā)現(xiàn)三次擬合效果最好。擬合圖形和散點(diǎn)圖見圖27（散點(diǎn)為附件五中的（理論計(jì)算值-實(shí)際值）/實(shí)際值，藍(lán)線為擬合曲線），從圖中可以看出擬合效果很好。因而設(shè)誤差隨油位高度變化的函數(shù)關(guān)系式為。有理論計(jì)算函數(shù)關(guān)系式為：，又，為使矯正后的結(jié)果更接近實(shí)際值，因而可近似得到 （v理論-v矯正）/ v矯正=f(h),導(dǎo)出。由以上公式重新標(biāo)定罐容表的值將更準(zhǔn)確。 圖27對(duì)問題二的改進(jìn)： 在前述模型建立的的函數(shù)后，對(duì)于問題（2）中求偏轉(zhuǎn)角度的解答是通過不斷迭代嘗試搜索，只能逐步逼近，方法上不夠簡潔，且需要計(jì)算機(jī)幫助。由于偏轉(zhuǎn)角的不同，導(dǎo)致罐體位置的變化，會(huì)影響油量進(jìn)出與高度升降的速度，即關(guān)于有拐點(diǎn)位置。同時(shí)又有時(shí)的即為拐點(diǎn)。因此，我們可以改進(jìn)偏轉(zhuǎn)角度的方法，以簡化尋找的難度。首先在偏轉(zhuǎn)角的一定范圍內(nèi)計(jì)算不同高度的油的體積，在進(jìn)行一次數(shù)值差分，再重復(fù)進(jìn)行二次插分，用以代替二階導(dǎo)數(shù)，最小的點(diǎn)即為拐點(diǎn)。以建立偏