高中數(shù)學(xué)論文：淺談在新課程教學(xué)中有效問題情境的創(chuàng)設(shè)

1、淺談在新課程教學(xué)中有效問題情境的創(chuàng)設(shè)摘要：隨著新課改不斷深入，在這種新形勢(shì)下，如何提高課堂教學(xué)效率，使學(xué)生打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，具有非常重要的意義。從問題最自然的思路出發(fā)，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。提高自主探究能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。關(guān)鍵詞：新課程 問題情境 簡(jiǎn)單化1、問題的提出數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的課堂教學(xué)模式是問題情境建立模型解釋與應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境和已有的生活、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)。問題情境包含兩層含義：首先要有問題即數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)問題是指學(xué)生與已有認(rèn)知產(chǎn)生矛盾沖突，還不能理解或者不能正確解答的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這里的問題不可能用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)輕易解決，否則就不成問題了，當(dāng)然，問題的障礙

2、性不能影響學(xué)生接受和產(chǎn)生興趣，學(xué)生通過(guò)探索能獲得解決方法。其次才是情境即數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生或應(yīng)用的具體環(huán)境。問題之中有情境，情境之中有問題，其核心是問題?！皢栴}是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)會(huì)怎樣數(shù)學(xué)地提出問題和解決問題。每一堂課都需要一定的問題情境，借助這些情境，教師與學(xué)生之間進(jìn)行思想交流和思維碰撞，從而完成高質(zhì)量的教學(xué)任務(wù)。2、有效問題情境的特征怎樣的問題情境才算有效？按照前面的論述，一個(gè)優(yōu)秀的問題情境，除了依照問題設(shè)計(jì)的規(guī)律及教育教學(xué)目的、數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，具有數(shù)學(xué)的必要因素與必要形式外，應(yīng)滿足以下幾個(gè)特征：（1）可及性：跳一跳夠得到，問題的設(shè)計(jì)要符合學(xué)生一般認(rèn)知規(guī)律、身心發(fā)展規(guī)

3、律，包括學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、能力水平、生活經(jīng)驗(yàn)及環(huán)境。（2）直觀性：能夠提供某種直觀，符合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，使學(xué)生借助于這種直觀領(lǐng)悟數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)。（3）開放性：?jiǎn)栴}富有層次性，入手較易，開放性強(qiáng)，解決方案多，學(xué)生思維與創(chuàng)造的空間較大。（4）挑戰(zhàn)性：?jiǎn)栴}情境能引起學(xué)生的認(rèn)知沖突和激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生積極參與接受問題的挑戰(zhàn)。（5）體驗(yàn)性：能給學(xué)生提供深刻體驗(yàn)，人人有所得，包括操作，探究的機(jī)會(huì)，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。3、有效問題情境的案例分析案例1畫出不等式表示的平面區(qū)域。這是必修5的一個(gè)重要內(nèi)容。上課時(shí)運(yùn)用幾何畫板先作出直線這樣就把直角坐標(biāo)平面分成三個(gè)部分：直線、直線

4、的右上方區(qū)域、直線的左下方區(qū)域。用點(diǎn)工具指定一個(gè)點(diǎn)p，顯示p點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算的值，用鼠標(biāo)選中p點(diǎn)并拖動(dòng)p點(diǎn)，則在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示的值隨著p點(diǎn)位置的改變而改變，非常直觀地發(fā)現(xiàn)p點(diǎn)在直線上時(shí)的值都等于0，p點(diǎn)在直線右上方的任一位置時(shí)的值都是正的，p點(diǎn)在直線左下方的任一位置時(shí)的值都是負(fù)的。因此，上述提到的直角坐標(biāo)平面內(nèi)的三部分分別可以用三個(gè)不同的式子表示，即直線用表示，直線右上方區(qū)域用二元一次不等式表示，直線左下方區(qū)域用二元一次不等式表示。評(píng)析：新課程實(shí)施以來(lái)，課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)構(gòu)建問題情境，借助計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)處理功能，直觀還原二元一次不等式表示平面區(qū)域這個(gè)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，同時(shí)激發(fā)學(xué)生探索新知識(shí)的欲望。強(qiáng)調(diào)通

5、過(guò)設(shè)計(jì)問題情境讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)，感知數(shù)學(xué)，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)。強(qiáng)調(diào)“知識(shí)是自然產(chǎn)生的，是合理的”的理念。精心設(shè)計(jì)問題情境，能在最短時(shí)間內(nèi)吸引學(xué)生的注意力、激發(fā)學(xué)生的興趣，是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，是有效實(shí)施課堂教學(xué)的基礎(chǔ)。案例2 判斷函數(shù)的奇偶性，以及對(duì)f(-x)=-f(x)和f(-x)= f(x)的理解。這是數(shù)學(xué)必修1的重要內(nèi)容，按照書上判斷函數(shù)奇偶性的方法較抽象。在這里我們首先創(chuàng)設(shè)以下問題情境：分別求點(diǎn)a(x,y)關(guān)于y軸、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。由于函數(shù)奇偶性是研究函數(shù)圖象關(guān)于y軸或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此在函數(shù)f(x)的圖象上任取兩點(diǎn)a(x, f(x)和b(-x, f(-x),下面進(jìn)行運(yùn)算，若f(-x)

6、= f(x)，則b點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?-x, f(x),a、b兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則整個(gè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。若f(-x)=-f(x)，則b點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?-x, -f(x),a、b兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則整個(gè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。例 判斷函數(shù)的奇偶性。解：函數(shù)的定義域是。在函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)。b點(diǎn)坐標(biāo)是。a、b兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。整個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)是奇函數(shù)。評(píng)析：通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，以上創(chuàng)設(shè)的問題情境，能給學(xué)生提供深刻體驗(yàn)，把較抽象的奇、偶函數(shù)的概念變得簡(jiǎn)單，這個(gè)內(nèi)容是高一時(shí)學(xué)的，現(xiàn)在學(xué)到高二了，還非常清晰。圖形對(duì)稱性的本質(zhì)是構(gòu)成

7、圖形點(diǎn)的對(duì)稱性，抓住了點(diǎn)的對(duì)稱性就抓住了圖形的對(duì)稱性。另外學(xué)生對(duì)理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的前提是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，就水到渠成了。案例3二面角的平面角與它的兩個(gè)半平面的法向量所成的角相等或互補(bǔ)。問：何時(shí)相等、何時(shí)互補(bǔ)呢？先創(chuàng)設(shè)以下兩種問題情境（1）如圖1，分別是半平面的一個(gè)法向量。令ab、ac確定的平面交棱于o點(diǎn)，可證得，則是二面角的平面角。因此，。規(guī)定：半平面的法向量的方向由右上方指向左下方，則該法向量指向二面角的外部（如法向量是指向二面角的外部），反之則指向二面角的內(nèi)部；半平面的法向量的方向由上方指向下方，則該法向量指向二面角的外部（如法向量是指向二面角的外部），反之則指向二面角的內(nèi)部。對(duì)于其

8、它形狀的二面角半平面的法向量指向內(nèi)部或外部，可以依此類推得到。（2）如圖2，分別是半平面的一個(gè)法向量。由上述規(guī)定可得，是指向二面角的外部，是指向二面角的內(nèi)部。令ab、ca確定的平面交棱于o點(diǎn)，可證得是二面角的平面角，因此，。評(píng)析：在利用平面的法向量求二面角時(shí)，平面的法向量所成的角與二面角是相等或互補(bǔ)關(guān)系，因而判別它們究竟是“相等”還是“互補(bǔ)”就成了解題的關(guān)鍵。這里是根據(jù)新課程必修2第二章第10題而創(chuàng)設(shè)的問題情境，介紹的是一種簡(jiǎn)單易行的辦法：平面的法向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)部（或外部）時(shí)“互補(bǔ)”；平面的法向量一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部時(shí)“相等”。例1如圖3，在四棱錐pabcd中，

9、底面abcd是正方形，側(cè)棱pd底面abcd，pddc。求二面角cpbd的大小。 解：如圖建立以d點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系。容易求得平面cpb的一個(gè)法向量是。法向量是以坐標(biāo)原點(diǎn)d（0,0,0）為起點(diǎn)，點(diǎn)（0,1,1）為終點(diǎn)的向量，它指向二面角cpbd的外部（根據(jù)這個(gè)二面角的形狀，平面cpb的法向量只要從它的左下方指向右上方，都是指向二面角外部）。同樣容易求得平面pbd的一個(gè)法向量是。法向量是以坐標(biāo)原點(diǎn)d（0,0,0）為起點(diǎn)，點(diǎn)（1,1,0）為終點(diǎn)的向量，它指向二面角cpbd的外部。與二面角cpbd的大小互補(bǔ)。二面角cpbd的大小是。 例2如圖4在棱長(zhǎng)為2的正方體中，ac與bd交于點(diǎn)e，c1b與c

10、b1交于點(diǎn)f。求二面角befc的大小。解：如圖建立以a點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求得平面bef的一個(gè)法向量是，它指向二面角befc的內(nèi)部（根據(jù)這個(gè)二面角的形狀，平面bef的法向量只要從它的后上方指向前下方，都是指向二面角內(nèi)部）。求得平面efc的一個(gè)法向量是，它指向二面角befc的內(nèi)部。與二面角befc的大小互補(bǔ)。二面角befc的大小是。案例4已知某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后的運(yùn)動(dòng)速度為v（t）(單位m/s),v(t)的圖象如圖中曲線所示，試求在內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的總路程。這是在教學(xué)選修22定積分中曲邊梯形面積的引入中準(zhǔn)備創(chuàng)設(shè)的問題情境。根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的路程公式s=vt，在圖5（1）中物體的運(yùn)動(dòng)總路

11、程是圖中直角梯形abdc的面積。在圖5（2）中物體的運(yùn)動(dòng)總路程仍然是曲線cd與ac、bd、ab所圍成圖形的面積。該問題與（1）的本質(zhì)沒有變，那么如何求圖（2）中圖形的面積呢？難點(diǎn)是將c、d之間的曲線轉(zhuǎn)化為圖5（1）的情形。如圖6，可以過(guò)e、f兩點(diǎn)向x軸作垂線,則三個(gè)直角梯形的總面積就是物體運(yùn)動(dòng)的總路程。這種問題情境的設(shè)計(jì)滲透了分割、化歸的思想方法。在接下來(lái)處理圖5（3）的情形的時(shí)候，為了便于研究問題，不妨將問題簡(jiǎn)化，因?yàn)樵搯栴}是求有一邊是曲線，其它邊是直線所圍成的封閉圖形面積，所以可以先探求一種簡(jiǎn)單的情形：求直線x=1、x軸和曲線所圍成的圖形（曲邊三角形）的面積s。如何化曲線oa為直線即“化曲

12、為直”？.方案1如圖7，若連接oa，用rtaob面積代替曲邊三角形oab的面積，這樣誤差太大。方案2如圖8，為了減小誤差，取ob的中點(diǎn)c，過(guò)c作cdab交曲線oa于d點(diǎn)，用代替曲邊三角形oab的面積，誤差有所減小。方案3如圖9，將曲邊三角形再分割，把ob三等分，過(guò)分點(diǎn)c與f作cdfeba交曲線oa于d、e，用代替曲邊三角形oab的面積，誤差進(jìn)一步減小。猜想：當(dāng)這種分割趨向無(wú)限時(shí)，梯形的面積和的極限就是曲邊三角形oab的面積。圖10方案4如圖10， 在區(qū)間上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn)，將它等分成n個(gè)小區(qū)間：，記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為，分別過(guò)各分點(diǎn)作ba的平行線。當(dāng)n很大時(shí)，很小，在區(qū)間上可以認(rèn)為的值變

13、化很小，從圖上看用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊。因此，在該區(qū)間上的函數(shù)值近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，就是說(shuō)用矩形efgh的面積代替小曲邊梯形emgh的面積(第個(gè)曲邊梯形的面積)，即 (i=1,2,3,，n)這n個(gè)矩形的面積之和當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，趨向于0，曲邊三角形oab的面積評(píng)析：由方案1到方案2這樣的分割越來(lái)越逼近曲邊三角形oab的面積，而且方案2比方案1的分割方法差值在減小，當(dāng)分割趨于無(wú)限時(shí)矩形面積總和接近于曲邊三角形的面積，所創(chuàng)設(shè)的問題情境成階梯性呈現(xiàn)，在解決完圖（1）（2）的情形的基礎(chǔ)上引出圖（3）的情形，雖然所遵循的數(shù)學(xué)思想一致，但是由圖（2）到圖（3）不再是簡(jiǎn)單的分割。另外，這里有一個(gè)難點(diǎn)：為什么曲邊三角形oab的面積。我們可以先創(chuàng)設(shè)以下問題情境：當(dāng)n趨向無(wú)窮大時(shí)，趨向于0，即分割趨向于無(wú)限時(shí)，陰影部分幾乎能“擠”滿或說(shuō)無(wú)限逼近整個(gè)曲邊三角形oab。因此，當(dāng)n趨向無(wú)窮大時(shí)，的極限是曲邊三角形oab的面積，記作。 通過(guò)學(xué)生自己的操作、實(shí)驗(yàn)，在化歸思想指導(dǎo)下，在有限分割、求和計(jì)算的基礎(chǔ)上，學(xué)生領(lǐng)悟了逐步逼近、逐步精確的思想，促使學(xué)生深入思考，激活