類比、歸納、聯(lián)想與直覺在解題中的應(yīng)用1

1、課程小論文：構(gòu)造相關(guān)例題對(duì)自選的3種數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用予以說明。 類比、歸納、聯(lián)想與直覺在解題中的應(yīng)用 摘要 本文將從具體的數(shù)學(xué)方法類比、歸納、聯(lián)想與直覺出發(fā)，通過構(gòu)造相關(guān)例題，分析說明這三種數(shù)學(xué)方法在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，注重培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的推理能力。關(guān)鍵詞 類比；歸納；聯(lián)想與直覺1、 引言數(shù)學(xué)方法論是研究數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)思想、方法、原則以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新法則的學(xué)科。其中數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)方法論其中一個(gè)非常重要的研究對(duì)象。在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）提到：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的推理能力。其中推理一般包括演繹推理和合情推理，而合情推理就包含類比、歸納、聯(lián)想與直覺等方法

2、。本文將從類比、歸納、聯(lián)想與直覺的具體方法出發(fā)，通過構(gòu)造相關(guān)例題，分析說明這三種數(shù)學(xué)方法在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。2、 類比法在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 類比根據(jù)兩個(gè)不同對(duì)象的某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的相同或相似，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗤乃季S形式。它是以比較為基礎(chǔ)的一種從特殊到特殊的推理方法.類比法是由此及彼以及由彼及此的聯(lián)想方法，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出“類比是一個(gè)偉大的引路人”，類比具有啟迪思維、提供線索、舉一反三的作用，對(duì)發(fā)展思維特別是創(chuàng)造性思維十分有利。同時(shí)，類比法是系統(tǒng)掌握新知識(shí)、鞏固舊知識(shí)，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通的有效方法。在數(shù)學(xué)解題過程中，當(dāng)我們的思維遇到障礙時(shí)，運(yùn)用類

3、比推理，往往能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，將已學(xué)過的知識(shí)或已掌握的解題方法遷移過來。2.1 解（證）題方法上的類比 例2.1 若，且。求證：（即成等差數(shù)列）分析：觀察已知等式，類比聯(lián)想到一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系，從而可以構(gòu)造一元二次方程進(jìn)行求證。證：構(gòu)造 ，容易知道是方程的一個(gè)解。由已知可得：。因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，。由韋達(dá)定理可知：，整理即。2.2 數(shù)與形的類比在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)與形的類比經(jīng)常在相反的方向上得到應(yīng)用。即通過與“形”的比較去推測(cè)“數(shù)”的有關(guān)性質(zhì)，又通過與“數(shù)”的比較去推測(cè)“形”的有關(guān)性質(zhì)。 例2.2 已知為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值。分析：觀察比較這個(gè)式子，聯(lián)想到勾股定理

4、，可以把看成是兩直角邊為的直角三角形的斜邊；同理可看成是兩直角邊為的直角三角形的斜邊，從而可以構(gòu)造這樣的圖形（如圖1） 圖 1從圖中可以知道，問題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的直線距離。除了以上兩種方法，類比方法在解題中還有非常多的應(yīng)用，在解題過程中應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生類比猜想的思想方法。3、 歸納法在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用歸納是一種由特殊到一般的思維過程，即通過對(duì)特例的分析來導(dǎo)出普遍的結(jié)論，把某類中個(gè)別事物所具有的的規(guī)律作為該類事物的普遍規(guī)律。從推理角度看，歸納分為完全歸納法和不完全歸納法，而其中的不完全歸納法屬于合情推理的一種，是一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，這與類比法一樣，都可能由此思維形式導(dǎo)出數(shù)學(xué)猜想?，F(xiàn)主要舉例

5、不完全歸納法在解選擇題與填空題中獨(dú)到的應(yīng)用。3.1 利用不完全歸納法解選擇題 例3.1 已知數(shù)列滿足 ， ,記，則下列結(jié)論正確的是（ ）。 解：。 。 。 。 。通過觀察、分析，知都是以6為周期，所以由不完全歸納法，得 。因此本題選擇a.3.2 利用不完全歸納法解填空題 例3.2 已知 ，表示數(shù)列的前項(xiàng)之積，則 。解：由，得；由，得； 由，得；由，得通過觀察、分析，容易知道是以3為周期的。所以由不完全歸納法可以知道：，；。因此答案為-3.4.聯(lián)想與直覺在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用聯(lián)想是一種自覺的、有目的的思維活動(dòng)，是由當(dāng)前感知或思考的事物，想起有關(guān)的另一種事物，或由此再想象其他事物的心理活動(dòng)。而數(shù)學(xué)

6、聯(lián)想是以觀察為基礎(chǔ)，根據(jù)所研究的對(duì)象或問題的特點(diǎn)，聯(lián)系已有的知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行想象的思維方法，它是類比、模擬、歸納、猜想等合情推理的基礎(chǔ)，同時(shí)，它在形象思維、抽象思維等心理活動(dòng)中發(fā)揮一定的作用。人們通常理解的直覺是大腦不經(jīng)過演繹、不經(jīng)過推理就能夠立即感知的事實(shí)；數(shù)學(xué)直覺是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察，這是一種非邏輯的思維，是一種下意識(shí)（潛意識(shí)）活動(dòng)參與的思維。聯(lián)想與直覺有利于尋找解題的思路，有利于突破解題的難點(diǎn)，提升數(shù)學(xué)解題思維層次的階梯等等。以下具體以兩個(gè)例子來說明。例4.1 求函數(shù)的最小值。分析：這是一道求含有絕對(duì)值的函數(shù)最值問題?？吹竭@種題型，對(duì)絕對(duì)值比較敏感的同學(xué)就會(huì)聯(lián)想到與

7、數(shù)軸有關(guān)，并且利用數(shù)形結(jié)合的思想將問題直觀化。因此馬上就可以得出函數(shù)的幾何意義：設(shè)為數(shù)軸上的三個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)，則函數(shù)就是動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離之和，而最小值則是動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離之和的最小值。我們又知道當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，函數(shù)取得最小值。 例4.2 （1） 設(shè)函數(shù)，求的值為 。（2） 已知函數(shù)，那么的值為 。分析：兩小題都是求函數(shù)值的和，可以聯(lián)想到數(shù)列求和的問題。觀察各函數(shù)值中自變量的特點(diǎn)，聯(lián)想等差數(shù)列求和的方法是；于是對(duì)于第（1）小題，可以采用求，自變量有。因此可以考慮一般情形：；因此，原式的函數(shù)值的和為。而對(duì)于第（2）小題，同理聯(lián)想并觀察自變量，可以考慮一般情形，并容易得到；從而解得原

8、式的值為。可見，在解題活動(dòng)中，各種想法念頭的產(chǎn)生，都是依賴于解題者的聯(lián)想與直覺思維，它提供了解題的方向、方法，并結(jié)合類比等方法，一步一步接近正確的解題方法。5. 結(jié)語 目前，有教育家指出：加強(qiáng)合情推理的教育將有助于發(fā)揮學(xué)科的兩個(gè)功能,并學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法.合情推理是發(fā)現(xiàn)真理的思維.因此,波利亞呼吁:讓我們教猜想吧!我國的理科教學(xué),歷來較多強(qiáng)調(diào)邏輯推理,而對(duì)合情推理有所忽視.再聯(lián)想到有關(guān)團(tuán)體對(duì)中外學(xué)生調(diào)查結(jié)果顯示的中國學(xué)生科學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)較差的信息,不能不使我們感到加強(qiáng)對(duì)合情推理能力的培養(yǎng)已是刻不容緩.因此,既教證明,又教猜想,給合情推理能力的教學(xué)以適當(dāng)?shù)牡匚?是開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性素質(zhì)的需要,是全面提高學(xué)生優(yōu)秀文化素質(zhì)的需要,是全面開發(fā)大腦潛力的需要.因此，無論是在小學(xué)、中學(xué)還是大學(xué)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時(shí)，應(yīng)該自覺滲透類比、歸納、聯(lián)想與直覺等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性和創(chuàng)新思維能力。參考文獻(xiàn)1中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）m.北京：北京師范大學(xué)出版社，201