第四章 相似原理及量綱分析

1、工程流體力學(xué) 第四章第四章 相似原理與量綱分析相似原理與量綱分析 本章主要介紹流體力學(xué)中的本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理相似原理， 模型實(shí)驗(yàn)方法模型實(shí)驗(yàn)方法以及以及量綱分析法量綱分析法。 解決流體解決流體 力學(xué)問題力學(xué)問題 的方法的方法 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實(shí)驗(yàn)研究實(shí)驗(yàn)研究 模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)驗(yàn) 解決流體解決流體 力學(xué)問題力學(xué)問題 的方法的方法 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實(shí)驗(yàn)研究實(shí)驗(yàn)研究 模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)驗(yàn) 解決流體解決流體 力學(xué)問題力學(xué)問題 的方法的方法 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實(shí)驗(yàn)研究實(shí)驗(yàn)研究 模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)驗(yàn) 表征表征 流動(dòng)流動(dòng) 過程過程 的物的物 理量理量 描述幾何形狀的描述幾何形狀的 如長度、面積、體積

2、等 描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的 如速度、加速度、體積流量等 描述動(dòng)力特征的描述動(dòng)力特征的 如質(zhì)量力、表面力、動(dòng)量等 按性 質(zhì)分 應(yīng)應(yīng) 滿滿 足足 的的 條條 件件 一一. . 幾何相似（空間相似）幾何相似（空間相似） 定義：定義： 模型和原型的全部對(duì)應(yīng)線形長度的模型和原型的全部對(duì)應(yīng)線形長度的 比值為一定常數(shù)比值為一定常數(shù) 。 l C h h l l L L （4-14-1） 以上標(biāo)以上標(biāo)“ ”表表 示模型的有關(guān)量示模型的有關(guān)量 : :長度比例尺（相似比例常數(shù)）長度比例尺（相似比例常數(shù)） l C 面積比例尺面積比例尺: : 2 2 2 lA C l l A A C（4-2） 體積比例尺體積比例

3、尺: : 3 3 3 lV C l l V V C（4-3） 圖圖4-1 4-1 幾何相似幾何相似 滿足上述條件，流滿足上述條件，流 動(dòng)才能幾何相似動(dòng)才能幾何相似 定義：滿足幾何相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)定義：滿足幾何相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng) 點(diǎn)流速（加速度）的方向一致，大小的比例相點(diǎn)流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它們的速度場(chǎng)（加速度場(chǎng)）相似。等，即它們的速度場(chǎng)（加速度場(chǎng)）相似。 圖圖4-24-2速度場(chǎng)速度場(chǎng)相似相似 加速度比例尺加速度比例尺: :（4-6） l v t v a C C C C t v t v a a C 2 注：長度比例尺和速度比例尺注：長度比例尺和速度

4、比例尺 確定所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量的比例尺。確定所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量的比例尺。 時(shí)間比例尺時(shí)間比例尺: : 速度比例尺速度比例尺: : 312 123 t ttt C ttt （4-4） t l v C C t l t l v v C （4-5） 運(yùn)動(dòng)粘度比例尺運(yùn)動(dòng)粘度比例尺: : 體積流量比例尺體積流量比例尺: : （4-7） Vl t l V V qV CC C C t l t l q q C 2 3 3 3 （4-8） vl t l v CC C C t l t l v v C 2 2 2 第一節(jié)第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似 三三. . 動(dòng)力相似（時(shí)間相似）動(dòng)力相似（時(shí)間相似） 定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似

5、的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)定義：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上、對(duì)應(yīng) 瞬時(shí)作用在兩相似幾何微團(tuán)上的力，作用方向一瞬時(shí)作用在兩相似幾何微團(tuán)上的力，作用方向一 致、大小互成比例，即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似致、大小互成比例，即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似。 圖圖4-34-3 動(dòng)力場(chǎng)相似動(dòng)力場(chǎng)相似 （4-104-10） 22 3 3 vlF CCC t v l t v l C 又由牛頓定律可知：又由牛頓定律可知： 其中：其中： 為流體的密度比例尺。為流體的密度比例尺。 C 第一節(jié)第一節(jié) 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似 （4-94-9） I I t t p p F F F W W F F F F C 力的比例尺：力的比

6、例尺： 動(dòng)力粘度比例尺動(dòng)力粘度比例尺: : 功率比例尺功率比例尺: : （4-13） CCCCC Fv vF P P C vlvFP 32 （4-14） CCCCCC vl 有了模型與原型的密度比例尺，長有了模型與原型的密度比例尺，長 度比例尺和速度比例尺，就可由它度比例尺和速度比例尺，就可由它 們確定所有動(dòng)力學(xué)量的比例尺。們確定所有動(dòng)力學(xué)量的比例尺。 壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺: : 力力矩（功，能）矩（功，能）比例尺比例尺: : CCCCC Fl lF M M C vllFM 23 （4-11） CC C C A F A F p p C v A F p p p 2 （4-12）

7、定義：在定義：在幾何相似幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)的條件下，兩種物理現(xiàn) 象保證相似的條件或準(zhǔn)則象保證相似的條件或準(zhǔn)則 。 4-10)4-10) 1 22 vl F CCC C （4-14-15 5） 2222 vl F vl F （4-14-16 6） Ne vl F 22 （4-14-17 7） 當(dāng)模型與原型的動(dòng)力相似，則其牛頓數(shù)必定相等，當(dāng)模型與原型的動(dòng)力相似，則其牛頓數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是 NeNe 稱為稱為牛頓數(shù)牛頓數(shù)， 它是作用力與慣它是作用力與慣 性力的比值。性力的比值。 Ne 一、重力相似準(zhǔn)則一、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）（弗勞德準(zhǔn)則） 二、粘

8、性力相似準(zhǔn)則二、粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）（雷諾準(zhǔn)則） 三、壓力相似準(zhǔn)則三、壓力相似準(zhǔn)則（歐拉準(zhǔn)則）（歐拉準(zhǔn)則） 四、彈性力相似準(zhǔn)則四、彈性力相似準(zhǔn)則( (柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則) ) 五、表面張力相似準(zhǔn)則五、表面張力相似準(zhǔn)則（韋伯準(zhǔn)則）（韋伯準(zhǔn)則） 六、非定常性相似準(zhǔn)則六、非定常性相似準(zhǔn)則（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）（斯特勞哈爾準(zhǔn)則） 流場(chǎng)中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只流場(chǎng)中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只 要兩個(gè)流場(chǎng)動(dòng)力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)要兩個(gè)流場(chǎng)動(dòng)力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn) 則。則。 glF CCC Vg gV W W C 3 將重力比將重力比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)

9、得：得： 1 2 1 gl v CC C 2 1 2 1 gl v lg v Fr gl v 2 1 （4-18） （4-19） （4-20） 稱為稱為弗勞德數(shù)弗勞德數(shù)， 它是慣性力與重力它是慣性力與重力 的比值。的比值。 Fr 當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦 然。這就是然。這就是（弗勞德準(zhǔn)則）（弗勞德準(zhǔn)則） 重力場(chǎng)中重力場(chǎng)中 ，則則： 1, g Cgg 2 1 lv CC （a） 將粘性力之比將粘性力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： （4-21） （4-22） （4-23） （b） Flv CC C

10、C 1 CCCC lv 1 vlv CCC vllv vllv Re vlvl 稱為稱為雷諾數(shù)雷諾數(shù)， 它是慣性力與粘它是慣性力與粘 性力的比值。性力的比值。 Re 當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦 然。這就是然。這就是（雷諾準(zhǔn)則）（雷諾準(zhǔn)則） 模型與原型用同一種流體時(shí)，模型與原型用同一種流體時(shí)， ，則：，則： 1 CC l v C C 1 （4-24） （4-25） （4-26） 當(dāng)壓強(qiáng)用壓差代替：當(dāng)壓強(qiáng)用壓差代替： 將壓力比將壓力比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： 2 lpF CC pA Ap F F C

11、 1 2 v p CC C 22 v p v p Eu v p 2 稱為稱為歐拉數(shù)歐拉數(shù)，它，它 是總壓力與慣性力是總壓力與慣性力 的比值。的比值。 Eu 當(dāng)模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。當(dāng)模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。 這就是這就是（歐拉準(zhǔn)則）（歐拉準(zhǔn)則） 2 v p Eu 22 v p v p （4-27） （4-28） 將彈性力之比將彈性力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： 2 lk e e F CC VdVKA VdVAK dpA Adp F F C （4-29） 1 2 kv CCC （4-30） K v K v 22 （4

12、-31） Ca K v 2 稱為稱為柯西數(shù)柯西數(shù)，它是，它是 慣性力與彈性力的慣性力與彈性力的 比值。比值。 Ca 當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等，當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是（柯西準(zhǔn)則）（柯西準(zhǔn)則） CaaC 若流場(chǎng)中的流體為氣體，由于若流場(chǎng)中的流體為氣體，由于 （ c c 為聲速）為聲速） 則彈性力之比則彈性力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： （4-32） 2 c K 22 lcF CCCC 1 c v C C （4-33） c v c v （4-34） Ma c v 稱為馬赫數(shù)，它稱為馬赫數(shù)，它

13、 是慣性力與彈性力是慣性力與彈性力 的比值。的比值。 Ma 當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是（馬赫準(zhǔn)則）（馬赫準(zhǔn)則） MaMa 稱為稱為馬赫數(shù)馬赫數(shù)，它，它 是慣性力與彈性力是慣性力與彈性力 的比值。的比值。 當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，反之亦當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，反之亦 然。這就是然。這就是（馬赫準(zhǔn)則）（馬赫準(zhǔn)則） 將表面張力之比將表面張力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得得: :lF CC l l F F C （4-35） 1 2 CC

14、CC vl （4-36） lvlv 22 （4-37） We lv 2 稱為稱為韋伯?dāng)?shù)韋伯?dāng)?shù)，它，它 是慣性力與表面張是慣性力與表面張 力的比值。力的比值。 We 當(dāng)模型與原型的表面張力相似，則其韋伯?dāng)?shù)必定相等，當(dāng)模型與原型的表面張力相似，則其韋伯?dāng)?shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是（韋伯準(zhǔn)則）（韋伯準(zhǔn)則） WeWe （4-38） （4-39） （4-40） 將慣性力之比將慣性力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： 13 tvl x x It It F CCCC tvV tvV F F C 1 tv l CC C vt l tv l Sr vt l 稱為稱為斯

15、特勞哈爾數(shù)斯特勞哈爾數(shù)， 它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣 性力的比值。性力的比值。 Sr 當(dāng)模型與原型的非定常流動(dòng)相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等，當(dāng)模型與原型的非定常流動(dòng)相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是（斯特勞哈爾準(zhǔn)則）（斯特勞哈爾準(zhǔn)則） SrSr 以上給出的以上給出的牛頓數(shù)牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)雷諾數(shù)、歐拉歐拉 數(shù)數(shù)、柯西數(shù)柯西數(shù)、馬赫數(shù)馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)韋伯?dāng)?shù)、斯特勞哈爾數(shù)斯特勞哈爾數(shù)均稱均稱 為相似準(zhǔn)則數(shù)。為相似準(zhǔn)則數(shù)。 如果已經(jīng)有了某種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可由該如果已經(jīng)有了某種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可由該 方程直接導(dǎo)出有關(guān)的

16、相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)則數(shù)，方法是方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)則數(shù)，方法是 令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。 流動(dòng)相似：在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量流動(dòng)相似：在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量 都成比例。都成比例。 v1 1任何相似的流動(dòng)都是屬于同一類的流動(dòng)，相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)任何相似的流動(dòng)都是屬于同一類的流動(dòng)，相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng) 點(diǎn)上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述；點(diǎn)上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述； v2 2相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量都有唯一確定的解，即相似流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的各種物理量都有唯一確定的解，即 流動(dòng)滿足單值條件；流動(dòng)滿足單值條件； v3 3由

17、單值條件中的物理量所確定的相似準(zhǔn)則數(shù)相等是流動(dòng)由單值條件中的物理量所確定的相似準(zhǔn)則數(shù)相等是流動(dòng) 相似也必須滿足的條件。相似也必須滿足的條件。 v1 1根據(jù)物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計(jì)模根據(jù)物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計(jì)模 型，選擇流動(dòng)介質(zhì)；型，選擇流動(dòng)介質(zhì)； v2 2在實(shí)驗(yàn)過程中應(yīng)測(cè)定各相似準(zhǔn)則數(shù)中包含的一切物理量；在實(shí)驗(yàn)過程中應(yīng)測(cè)定各相似準(zhǔn)則數(shù)中包含的一切物理量； v3 3用數(shù)學(xué)方法找出相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準(zhǔn)則方程用數(shù)學(xué)方法找出相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準(zhǔn)則方程 式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動(dòng)中去。式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動(dòng)中去

18、。 圖圖4-4-4 4 油池模油池模 型型 以相似原理為基礎(chǔ)的模型實(shí)驗(yàn)方法，按照流體流以相似原理為基礎(chǔ)的模型實(shí)驗(yàn)方法，按照流體流 動(dòng)相似的條件，可設(shè)計(jì)模型和安排試驗(yàn)。這些條件動(dòng)相似的條件，可設(shè)計(jì)模型和安排試驗(yàn)。這些條件 是是幾何相似幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似和和動(dòng)力相似動(dòng)力相似。 前兩個(gè)相似是第三個(gè)相似的充要條件，同時(shí)滿足前兩個(gè)相似是第三個(gè)相似的充要條件，同時(shí)滿足 以上條件為流動(dòng)相似，模型試驗(yàn)的結(jié)果方可用到原以上條件為流動(dòng)相似，模型試驗(yàn)的結(jié)果方可用到原 型設(shè)備中去。型設(shè)備中去。 簡化模型實(shí)驗(yàn)方法中流動(dòng)相似的條件，除局部相似之外，還可簡化模型實(shí)驗(yàn)方法中流動(dòng)相似的條件，除局部相似之外，還可 采用采

19、用和和。 在工程實(shí)際中的模型試驗(yàn)，好多只能滿足部分相似準(zhǔn)則，即稱在工程實(shí)際中的模型試驗(yàn)，好多只能滿足部分相似準(zhǔn)則，即稱 之為之為。如上面的粘性不可壓定常流動(dòng)的問題，不考慮自。如上面的粘性不可壓定常流動(dòng)的問題，不考慮自 由面的作用及重力的作用，只考慮粘性的影響，則定性準(zhǔn)則只考由面的作用及重力的作用，只考慮粘性的影響，則定性準(zhǔn)則只考 慮雷諾數(shù)慮雷諾數(shù)ReRe，因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。，因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。 的概念實(shí)質(zhì)是自身模擬的概念。比如在某系統(tǒng)中，有兩的概念實(shí)質(zhì)是自身模擬的概念。比如在某系統(tǒng)中，有兩 個(gè)數(shù)與其它量比起來都很大，則可認(rèn)為這兩個(gè)數(shù)自模擬了。又比個(gè)數(shù)與其它量比起來都很大，則可認(rèn)為這兩個(gè)數(shù)自模擬了。又比 如，在圓管流動(dòng)中，當(dāng)如，在圓管流動(dòng)中，當(dāng)Re2320Re2320時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)的速度分布都是一時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)的速度分布都是一 軸對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當(dāng)軸對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當(dāng)Re4Re4105105管內(nèi)流動(dòng)狀態(tài)為紊流狀態(tài)，其管內(nèi)流動(dòng)狀態(tài)為紊流狀態(tài)，其 速度分布基本不隨速度分布基本不隨ReRe變化而變化，故在這一模擬區(qū)域內(nèi)，不必考變化而變化，故在這一模擬區(qū)域