第四章 相似原理及量綱分析

1、工程流體力學(xué) 第四章第四章 相似原理與量綱分析相似原理與量綱分析 本章主要介紹流體力學(xué)中的本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理相似原理， 模型實驗方法模型實驗方法以及以及量綱分析法量綱分析法。 解決流體解決流體 力學(xué)問題力學(xué)問題 的方法的方法 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實驗研究實驗研究 模型實驗?zāi)Ｐ蛯嶒?解決流體解決流體 力學(xué)問題力學(xué)問題 的方法的方法 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實驗研究實驗研究 模型實驗?zāi)Ｐ蛯嶒?解決流體解決流體 力學(xué)問題力學(xué)問題 的方法的方法 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 實驗研究實驗研究 模型實驗?zāi)Ｐ蛯嶒?表征表征 流動流動 過程過程 的物的物 理量理量 描述幾何形狀的描述幾何形狀的 如長度、面積、體積

2、等 描述運動狀態(tài)的描述運動狀態(tài)的 如速度、加速度、體積流量等 描述動力特征的描述動力特征的 如質(zhì)量力、表面力、動量等 按性 質(zhì)分 應(yīng)應(yīng) 滿滿 足足 的的 條條 件件 一一. . 幾何相似（空間相似）幾何相似（空間相似） 定義：定義： 模型和原型的全部對應(yīng)線形長度的模型和原型的全部對應(yīng)線形長度的 比值為一定常數(shù)比值為一定常數(shù) 。 l C h h l l L L （4-14-1） 以上標以上標“ ”表表 示模型的有關(guān)量示模型的有關(guān)量 : :長度比例尺（相似比例常數(shù)）長度比例尺（相似比例常數(shù)） l C 面積比例尺面積比例尺: : 2 2 2 lA C l l A A C（4-2） 體積比例尺體積比例

3、尺: : 3 3 3 lV C l l V V C（4-3） 圖圖4-1 4-1 幾何相似幾何相似 滿足上述條件，流滿足上述條件，流 動才能幾何相似動才能幾何相似 定義：滿足幾何相似的流場中，對應(yīng)時刻、對應(yīng)定義：滿足幾何相似的流場中，對應(yīng)時刻、對應(yīng) 點流速（加速度）的方向一致，大小的比例相點流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它們的速度場（加速度場）相似。等，即它們的速度場（加速度場）相似。 圖圖4-24-2速度場速度場相似相似 加速度比例尺加速度比例尺: :（4-6） l v t v a C C C C t v t v a a C 2 注：長度比例尺和速度比例尺注：長度比例尺和速度

4、比例尺 確定所有運動學(xué)量的比例尺。確定所有運動學(xué)量的比例尺。 時間比例尺時間比例尺: : 速度比例尺速度比例尺: : 312 123 t ttt C ttt （4-4） t l v C C t l t l v v C （4-5） 運動粘度比例尺運動粘度比例尺: : 體積流量比例尺體積流量比例尺: : （4-7） Vl t l V V qV CC C C t l t l q q C 2 3 3 3 （4-8） vl t l v CC C C t l t l v v C 2 2 2 第一節(jié)第一節(jié) 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似 三三. . 動力相似（時間相似）動力相似（時間相似） 定義：兩個運動相似

5、的流場中，對應(yīng)空間點上、對應(yīng)定義：兩個運動相似的流場中，對應(yīng)空間點上、對應(yīng) 瞬時作用在兩相似幾何微團上的力，作用方向一瞬時作用在兩相似幾何微團上的力，作用方向一 致、大小互成比例，即它們的動力場相似致、大小互成比例，即它們的動力場相似。 圖圖4-34-3 動力場相似動力場相似 （4-104-10） 22 3 3 vlF CCC t v l t v l C 又由牛頓定律可知：又由牛頓定律可知： 其中：其中： 為流體的密度比例尺。為流體的密度比例尺。 C 第一節(jié)第一節(jié) 流動的力學(xué)相似流動的力學(xué)相似 （4-94-9） I I t t p p F F F W W F F F F C 力的比例尺：力的比

6、例尺： 動力粘度比例尺動力粘度比例尺: : 功率比例尺功率比例尺: : （4-13） CCCCC Fv vF P P C vlvFP 32 （4-14） CCCCCC vl 有了模型與原型的密度比例尺，長有了模型與原型的密度比例尺，長 度比例尺和速度比例尺，就可由它度比例尺和速度比例尺，就可由它 們確定所有動力學(xué)量的比例尺。們確定所有動力學(xué)量的比例尺。 壓強（應(yīng)力）比例尺壓強（應(yīng)力）比例尺: : 力力矩（功，能）矩（功，能）比例尺比例尺: : CCCCC Fl lF M M C vllFM 23 （4-11） CC C C A F A F p p C v A F p p p 2 （4-12）

7、定義：在定義：在幾何相似幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)的條件下，兩種物理現(xiàn) 象保證相似的條件或準則象保證相似的條件或準則 。 4-10)4-10) 1 22 vl F CCC C （4-14-15 5） 2222 vl F vl F （4-14-16 6） Ne vl F 22 （4-14-17 7） 當模型與原型的動力相似，則其牛頓數(shù)必定相等，當模型與原型的動力相似，則其牛頓數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是 NeNe 稱為稱為牛頓數(shù)牛頓數(shù)， 它是作用力與慣它是作用力與慣 性力的比值。性力的比值。 Ne 一、重力相似準則一、重力相似準則（弗勞德準則）（弗勞德準則） 二、粘

8、性力相似準則二、粘性力相似準則（雷諾準則）（雷諾準則） 三、壓力相似準則三、壓力相似準則（歐拉準則）（歐拉準則） 四、彈性力相似準則四、彈性力相似準則( (柯西準則柯西準則) ) 五、表面張力相似準則五、表面張力相似準則（韋伯準則）（韋伯準則） 六、非定常性相似準則六、非定常性相似準則（斯特勞哈爾準則）（斯特勞哈爾準則） 流場中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只流場中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只 要兩個流場動力相似，它們都要服從牛頓相似準要兩個流場動力相似，它們都要服從牛頓相似準 則。則。 glF CCC Vg gV W W C 3 將重力比將重力比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)

9、得：得： 1 2 1 gl v CC C 2 1 2 1 gl v lg v Fr gl v 2 1 （4-18） （4-19） （4-20） 稱為稱為弗勞德數(shù)弗勞德數(shù)， 它是慣性力與重力它是慣性力與重力 的比值。的比值。 Fr 當模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦當模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦 然。這就是然。這就是（弗勞德準則）（弗勞德準則） 重力場中重力場中 ，則則： 1, g Cgg 2 1 lv CC （a） 將粘性力之比將粘性力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： （4-21） （4-22） （4-23） （b） Flv CC C

10、C 1 CCCC lv 1 vlv CCC vllv vllv Re vlvl 稱為稱為雷諾數(shù)雷諾數(shù)， 它是慣性力與粘它是慣性力與粘 性力的比值。性力的比值。 Re 當模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦當模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦 然。這就是然。這就是（雷諾準則）（雷諾準則） 模型與原型用同一種流體時，模型與原型用同一種流體時， ，則：，則： 1 CC l v C C 1 （4-24） （4-25） （4-26） 當壓強用壓差代替：當壓強用壓差代替： 將壓力比將壓力比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： 2 lpF CC pA Ap F F C

11、 1 2 v p CC C 22 v p v p Eu v p 2 稱為稱為歐拉數(shù)歐拉數(shù)，它，它 是總壓力與慣性力是總壓力與慣性力 的比值。的比值。 Eu 當模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。當模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。 這就是這就是（歐拉準則）（歐拉準則） 2 v p Eu 22 v p v p （4-27） （4-28） 將彈性力之比將彈性力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： 2 lk e e F CC VdVKA VdVAK dpA Adp F F C （4-29） 1 2 kv CCC （4-30） K v K v 22 （4

12、-31） Ca K v 2 稱為稱為柯西數(shù)柯西數(shù)，它是，它是 慣性力與彈性力的慣性力與彈性力的 比值。比值。 Ca 當模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等，當模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是（柯西準則）（柯西準則） CaaC 若流場中的流體為氣體，由于若流場中的流體為氣體，由于 （ c c 為聲速）為聲速） 則彈性力之比則彈性力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： （4-32） 2 c K 22 lcF CCCC 1 c v C C （4-33） c v c v （4-34） Ma c v 稱為馬赫數(shù)，它稱為馬赫數(shù)，它

13、 是慣性力與彈性力是慣性力與彈性力 的比值。的比值。 Ma 當模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，當模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是（馬赫準則）（馬赫準則） MaMa 稱為稱為馬赫數(shù)馬赫數(shù)，它，它 是慣性力與彈性力是慣性力與彈性力 的比值。的比值。 當模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，反之亦當模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，反之亦 然。這就是然。這就是（馬赫準則）（馬赫準則） 將表面張力之比將表面張力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得得: :lF CC l l F F C （4-35） 1 2 CC

14、CC vl （4-36） lvlv 22 （4-37） We lv 2 稱為稱為韋伯數(shù)韋伯數(shù)，它，它 是慣性力與表面張是慣性力與表面張 力的比值。力的比值。 We 當模型與原型的表面張力相似，則其韋伯數(shù)必定相等，當模型與原型的表面張力相似，則其韋伯數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是（韋伯準則）（韋伯準則） WeWe （4-38） （4-39） （4-40） 將慣性力之比將慣性力之比 帶入式帶入式(4-15)(4-15)得：得： 13 tvl x x It It F CCCC tvV tvV F F C 1 tv l CC C vt l tv l Sr vt l 稱為稱為斯

15、特勞哈爾數(shù)斯特勞哈爾數(shù)， 它是當?shù)貞T性力與遷移慣它是當?shù)貞T性力與遷移慣 性力的比值。性力的比值。 Sr 當模型與原型的非定常流動相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等，當模型與原型的非定常流動相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等， 即即 ；反之亦然。這就是；反之亦然。這就是（斯特勞哈爾準則）（斯特勞哈爾準則） SrSr 以上給出的以上給出的牛頓數(shù)牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)雷諾數(shù)、歐拉歐拉 數(shù)數(shù)、柯西數(shù)柯西數(shù)、馬赫數(shù)馬赫數(shù)、韋伯數(shù)韋伯數(shù)、斯特勞哈爾數(shù)斯特勞哈爾數(shù)均稱均稱 為相似準則數(shù)。為相似準則數(shù)。 如果已經(jīng)有了某種流動的運動微分方程，可由該如果已經(jīng)有了某種流動的運動微分方程，可由該 方程直接導(dǎo)出有關(guān)的

16、相似準則和相似準則數(shù)，方法是方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準則和相似準則數(shù)，方法是 令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。 流動相似：在對應(yīng)點上、對應(yīng)瞬時，所有物理量流動相似：在對應(yīng)點上、對應(yīng)瞬時，所有物理量 都成比例。都成比例。 v1 1任何相似的流動都是屬于同一類的流動，相似流場對應(yīng)任何相似的流動都是屬于同一類的流動，相似流場對應(yīng) 點上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述；點上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述； v2 2相似流場對應(yīng)點上的各種物理量都有唯一確定的解，即相似流場對應(yīng)點上的各種物理量都有唯一確定的解，即 流動滿足單值條件；流動滿足單值條件； v3 3由

17、單值條件中的物理量所確定的相似準則數(shù)相等是流動由單值條件中的物理量所確定的相似準則數(shù)相等是流動 相似也必須滿足的條件。相似也必須滿足的條件。 v1 1根據(jù)物理量所組成的相似準則數(shù)相等的原則去設(shè)計模根據(jù)物理量所組成的相似準則數(shù)相等的原則去設(shè)計模 型，選擇流動介質(zhì)；型，選擇流動介質(zhì)； v2 2在實驗過程中應(yīng)測定各相似準則數(shù)中包含的一切物理量；在實驗過程中應(yīng)測定各相似準則數(shù)中包含的一切物理量； v3 3用數(shù)學(xué)方法找出相似準則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準則方程用數(shù)學(xué)方法找出相似準則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準則方程 式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動中去。式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動中去

18、。 圖圖4-4-4 4 油池模油池模 型型 以相似原理為基礎(chǔ)的模型實驗方法，按照流體流以相似原理為基礎(chǔ)的模型實驗方法，按照流體流 動相似的條件，可設(shè)計模型和安排試驗。這些條件動相似的條件，可設(shè)計模型和安排試驗。這些條件 是是幾何相似幾何相似、運動相似運動相似和和動力相似動力相似。 前兩個相似是第三個相似的充要條件，同時滿足前兩個相似是第三個相似的充要條件，同時滿足 以上條件為流動相似，模型試驗的結(jié)果方可用到原以上條件為流動相似，模型試驗的結(jié)果方可用到原 型設(shè)備中去。型設(shè)備中去。 簡化模型實驗方法中流動相似的條件，除局部相似之外，還可簡化模型實驗方法中流動相似的條件，除局部相似之外，還可 采用采

19、用和和。 在工程實際中的模型試驗，好多只能滿足部分相似準則，即稱在工程實際中的模型試驗，好多只能滿足部分相似準則，即稱 之為之為。如上面的粘性不可壓定常流動的問題，不考慮自。如上面的粘性不可壓定常流動的問題，不考慮自 由面的作用及重力的作用，只考慮粘性的影響，則定性準則只考由面的作用及重力的作用，只考慮粘性的影響，則定性準則只考 慮雷諾數(shù)慮雷諾數(shù)ReRe，因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。，因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。 的概念實質(zhì)是自身模擬的概念。比如在某系統(tǒng)中，有兩的概念實質(zhì)是自身模擬的概念。比如在某系統(tǒng)中，有兩 個數(shù)與其它量比起來都很大，則可認為這兩個數(shù)自模擬了。又比個數(shù)與其它量比起來都很大，則可認為這兩個數(shù)自模擬了。又比 如，在圓管流動中，當如，在圓管流動中，當Re2320Re2320時，管內(nèi)流動的速度分布都是一時，管內(nèi)流動的速度分布都是一 軸對稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當軸對稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當Re4Re4105105管內(nèi)流動狀態(tài)為紊流狀態(tài)，其管內(nèi)流動狀態(tài)為紊流狀態(tài)，其 速度分布基本不隨速度分布基本不隨ReRe變化而變化，故在這一模擬區(qū)域內(nèi)，不必考變化而變化，故在這一模擬區(qū)域