第四章 層流、湍流與湍流流動

1、第四章 層流、湍流與湍流流動 4.1 流動的兩種狀態(tài) 4.2 層流流動的定解問題 4.3 流動問題求解方法 4.4 層流流動下幾種特殊情況的解析解 4.5 湍流 4.6 可壓縮流體流動 4.1 流動的兩種狀態(tài) 18831883年雷諾實驗?zāi)昀字Z實驗 結(jié)論：當(dāng)流速不同時，流體質(zhì)點的運(yùn)動可能有兩種完全不同的形式。結(jié)論：當(dāng)流速不同時，流體質(zhì)點的運(yùn)動可能有兩種完全不同的形式。 層流：規(guī)則的層狀流動，流體層與層之間互不相混，質(zhì)點軌跡為平滑層流：規(guī)則的層狀流動，流體層與層之間互不相混，質(zhì)點軌跡為平滑 的隨時間變化較慢的曲線。的隨時間變化較慢的曲線。 湍流：無規(guī)則的運(yùn)動方式，質(zhì)點軌跡雜亂無章而且迅速變化，流體

2、微湍流：無規(guī)則的運(yùn)動方式，質(zhì)點軌跡雜亂無章而且迅速變化，流體微 團(tuán)在向流向運(yùn)動的同時，還作橫向、垂向及局部逆向運(yùn)動，與周圍流團(tuán)在向流向運(yùn)動的同時，還作橫向、垂向及局部逆向運(yùn)動，與周圍流 體混摻，隨機(jī)、非定常、三維有旋流。體混摻，隨機(jī)、非定常、三維有旋流。 層流層流湍流轉(zhuǎn)變：臨界速度。湍流轉(zhuǎn)變：臨界速度。 速度速度 發(fā)生轉(zhuǎn)變，除此之外，發(fā)生轉(zhuǎn)變，除此之外， 、L L、也對轉(zhuǎn)變時機(jī)構(gòu)成影響。也對轉(zhuǎn)變時機(jī)構(gòu)成影響。 所以，定義無量綱特征數(shù)：所以，定義無量綱特征數(shù)： 臨 vv Re 衡量流動狀態(tài)衡量流動狀態(tài) ： 流體粘性對流動狀態(tài)有何影響？流體粘性對流動狀態(tài)有何影響？ 粘性對擾動有耗散的作用，保證低粘

3、性對擾動有耗散的作用，保證低ReRe下層流的穩(wěn)定。下層流的穩(wěn)定。 在邊界層內(nèi)，粘性作用使流體內(nèi)產(chǎn)生較高的速度梯度，產(chǎn)生有旋，粘在邊界層內(nèi)，粘性作用使流體內(nèi)產(chǎn)生較高的速度梯度，產(chǎn)生有旋，粘 性力小于慣性力不能阻止其湍流化。性力小于慣性力不能阻止其湍流化。 uL Re 54 1023106 23002100 . Re 邊界層流： 光滑管流： 臨 4.2 層流流動的定解問題 求解實際流體的流動問題應(yīng)用連續(xù)方程和運(yùn)動方程。對于不可壓縮及求解實際流體的流動問題應(yīng)用連續(xù)方程和運(yùn)動方程。對于不可壓縮及 粘性為常量的情況下方程組封閉。否則，需補(bǔ)充狀態(tài)方程、溫度場方粘性為常量的情況下方程組封閉。否則，需補(bǔ)充狀態(tài)

4、方程、溫度場方 程等。我們首先分析定解條件。程等。我們首先分析定解條件。 1 1 初值問題：初值問題： 非穩(wěn)態(tài)問題需給出初始時刻值：非穩(wěn)態(tài)問題需給出初始時刻值： 2 2 邊值問題（邊界值）：邊值問題（邊界值）： 固體壁面無滲透、無滑移邊界條件貼近固體壁面處一層流體的速固體壁面無滲透、無滑移邊界條件貼近固體壁面處一層流體的速 度與固體壁面保持相對靜止：度與固體壁面保持相對靜止： zyx, 0 zyxtvzyxtv w w t , ：固體壁面的切線速度。：固體壁面的切線速度。 在與固體邊壁垂直方向上，流體不能穿透而進(jìn)入固體之內(nèi)，即：在與固體邊壁垂直方向上，流體不能穿透而進(jìn)入固體之內(nèi)，即： 對稱邊值

5、條件。對稱邊值條件。 對稱面：物理量在對稱面上的變化率為零。對稱面：物理量在對稱面上的變化率為零。 w v 0 w n zyxtv, 如：管道流中坐標(biāo)選在管道中心線上時：如：管道流中坐標(biāo)選在管道中心線上時： 0 0 r r 出入口邊值條件。出入口邊值條件。 入口：入口： （給定）（給定） 出口：已知或單方向無影響。出口：已知或單方向無影響。 zyxtzyxt in , 0 4.3 流動問題求解方法 數(shù)值法，近似逼值 確解解析法，積分變換求精 初值條件 邊值條件 控制方程 4.4 層流流動下幾種特殊情況的解析解 1.1.兩平行平板間的等溫層流流動（兩平行平板間的等溫層流流動（P68P68） 兩無

6、限大平板，其一靜止，其二以兩無限大平板，其一靜止，其二以 速度勻速運(yùn)動，流體為等溫、速度勻速運(yùn)動，流體為等溫、 不可壓層流流動不可壓層流流動( ( = =常數(shù)常數(shù)) )求穩(wěn)定后的速度場分布。求穩(wěn)定后的速度場分布。 定解問題：實際流體定解問題：實際流體 兩平面無限大兩平面無限大穩(wěn)定態(tài)穩(wěn)定態(tài) 0 v 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 ： 運(yùn)動方程運(yùn)動方程 X X方向：方向： Y Y方向：方向： 邊值條件：邊值條件： x v x + y v y =0 22 22 1 xxxx xy vvvvp vv xyxxy 22 yyyy y 22 1 x vvvv p vvg xyyxy 0 0 0 0,0 ,0 xy

7、y y xy y h y h vv vvv 定解問題簡化定解問題簡化 平板無限大，不同平板無限大，不同x x處任意截面上速度分處任意截面上速度分 布相同布相同 2 2 0 xx vv xx xx vdv ydy 據(jù)連續(xù)性方程：據(jù)連續(xù)性方程：0 y v y 設(shè)：設(shè)： 代入邊值：代入邊值： y vfx 00 0 yy yyy h vf xv 0 y v 變動量方程為：變動量方程為： X X方向：方向： Y Y方向：方向： 2 2 1 0 x vp xy 1 p g y 簡化后的方程為：簡化后的方程為： 則得：則得： 由邊界條件：（由邊界條件：（y=0y=0時，時，y=hy=h時）時） ， 代入得：

8、代入得： 2 1 2 1 x d vp C xdy 2 1 2 x C vyDyB 0B 0 1 2 vp Dh hx 2 00 1 2 x vyhp yy vhvx hh 討論：討論： 無壓力下流動無壓力下流動 ，速度分布為一直線，速度分布為一直線 ，壓力梯度使流體加速，壓力梯度使流體加速， 0 0 x vdPy dxvh 0 P d dx 10 y h 第二項為正，第二項為正， 增大，向前突出增大，向前突出 x v ，壓力梯度使流動減速，可能有部分返流。，壓力梯度使流動減速，可能有部分返流。 0 P d dx 圓管內(nèi)的層流流動（圓管內(nèi)的層流流動（P71P71） 不可壓流體，在長為不可壓流體

9、，在長為L L，半徑為，半徑為R R的圓管內(nèi)做充分發(fā)展的穩(wěn)態(tài)層流，的圓管內(nèi)做充分發(fā)展的穩(wěn)態(tài)層流， 求管內(nèi)速度分布及沿程阻力。求管內(nèi)速度分布及沿程阻力。 定解問題：定解問題： 圓管中心對稱圓管中心對稱 二維問題二維問題 連續(xù)方程：連續(xù)方程： 動量方程動量方程： 1 0 z r v rv rrz X X方向：方向： Y Y方向：方向： 邊值條件：邊值條件： 2 2 11 rrr rzr vvvp vvrv rzrr rrz 2 2 11 zzzz rzz vvvvp vvgr rzzrrrz 0 0,0 z z r R r v v r 0 0,0 r r r R r v v r 問題簡化：設(shè)問題簡

10、化：設(shè)L L為足夠長為足夠長無限長，流動達(dá)到穩(wěn)態(tài)后速度分無限長，流動達(dá)到穩(wěn)態(tài)后速度分 布與布與z z無關(guān)無關(guān) 0 z v z 2 2 0 z v z 0 r v r r方向：方向： z z方向：方向： 1 0 p r 11 0 z z vp gr zrrr 11 z z vdp gr dzrrr 1 z z dpv gr dzrrr 0 L dppp dzL 1 z dp gC dz 1 1 () z v Cr rrr 1 z Cdv rr rdr 2 1 2 z Cdv rrA dr 記：記： ， （3）簡化后方程的解：）簡化后方程的解： 由上式由上式 積分一次得：積分一次得： r=0r=0

11、時，時， 00 z dv A dr 1 2 z Cdv r dr 再積分再積分 2 1 4 z C rvB r=Rr=R時，時， =0 ,=0 ,將將 替換替換z v 2 1 4 C BR 1 z dp Cg dz 1 C 0 22 4 L z z pp g L vrR 22 0 2 1 4 L zz ppRr vg LR 討論討論 水平管道：水平管道：gzgz=0,=0, 水平管內(nèi)最大速度：水平管內(nèi)最大速度：r=0r=0時：時： max=max= 截面的平均速度：截面的平均速度： 22 0 2 1 4 L z ppRr v LR 2 0 4 L ppR L 2 0 2 0 11 2max 8

12、2 R L z zz ppR vvrdrv RL 水平管內(nèi)阻力：水平管內(nèi)阻力： 摩擦阻力損失摩擦阻力損失: : 則：則： ：摩擦阻力系數(shù)：摩擦阻力系數(shù) 0 L hpp 22 2 864 22Re zzzLvLvLv h Rdd 250 31640 64 . Re . Re 光滑管湍流 光滑管流層 4.5 湍流 湍流脈動及其時均化湍流脈動及其時均化 流體在做湍流運(yùn)動時，流體質(zhì)點在運(yùn)動中不斷混摻，因此，諸如：速流體在做湍流運(yùn)動時，流體質(zhì)點在運(yùn)動中不斷混摻，因此，諸如：速 度、壓力等物理量都不斷隨時間而變化，發(fā)生不規(guī)則的脈動現(xiàn)象。度、壓力等物理量都不斷隨時間而變化，發(fā)生不規(guī)則的脈動現(xiàn)象。 以速度為例

13、，我們按圖所示，以速度為例，我們按圖所示， 可做如下處理：可做如下處理： 式中：式中： 為某時刻實際速度為某時刻實際速度 為時均速度為時均速度 為瞬態(tài)脈動速度為瞬態(tài)脈動速度 z zz uuu z u zu z u 則：則： 而：而： =0=0 同樣有：同樣有： 0 1 t z z uut dt t 0 1 t zz uut dt t PPP 湍流連續(xù)性方程湍流連續(xù)性方程 湍流流體仍滿足連續(xù)性方程：湍流流體仍滿足連續(xù)性方程： 0u t 如對方程做時均化可得：如對方程做時均化可得： 對于不可壓流體：對于不可壓流體： 上式說明，不可壓湍流體的時均速度仍滿足連續(xù)性方程。上式說明，不可壓湍流體的時均速度

14、仍滿足連續(xù)性方程。 3 3湍流流動的運(yùn)動方程湍流流動的運(yùn)動方程 湍流流動仍滿足實際流體的運(yùn)動方程，但同樣，我們把握不住規(guī)律性。湍流流動仍滿足實際流體的運(yùn)動方程，但同樣，我們把握不住規(guī)律性。 對于不可壓縮流體：對于不可壓縮流體：N NS S方程（以方程（以X X方向為例）取時均：方向為例）取時均： 0 ii i i uu tx 0u 0 y xz u uu xyz 222 222 2 xxxxxxx xyz yx xzx vvvvpvvv vvv txyzxxyz v v vv v xyz 后三項可寫為：后三項可寫為： 對照對流動量通量對照對流動量通量 , ,可以認(rèn)為可以認(rèn)為 是由于流體脈動所附

15、加的動量通量，是由于流體脈動所附加的動量通量， 定義其為雷諾應(yīng)力，并據(jù)此假設(shè)（仿粘性力定義）：定義其為雷諾應(yīng)力，并據(jù)此假設(shè)（仿粘性力定義）： ：湍流粘性系數(shù)：湍流粘性系數(shù) 則可引入有粘度系數(shù)：則可引入有粘度系數(shù)： ，并有，并有N NS S方程：方程： xjj x j xxj v v uu xj i ijijt j v vv x t efft xxxx xyz vvvv vvv txyz 222 222 xxz eff pvvv xxyz lt dv pg dt 4.4.普朗特混合長度模型普朗特混合長度模型 據(jù)分子運(yùn)動論，氣體分子雜亂無章的運(yùn)動會產(chǎn)生粘性：據(jù)分子運(yùn)動論，氣體分子雜亂無章的運(yùn)動會產(chǎn)

16、生粘性： L L：分子運(yùn)動平均自由程，：分子運(yùn)動平均自由程， ：分子運(yùn)動平均速度：分子運(yùn)動平均速度 普朗特?fù)?jù)此提出，湍流粘性是由于雜亂無章的微團(tuán)運(yùn)動引起，形式上普朗特?fù)?jù)此提出，湍流粘性是由于雜亂無章的微團(tuán)運(yùn)動引起，形式上 有：有： ：普朗特混合長度，：普朗特混合長度， ：微團(tuán)脈動速度：微團(tuán)脈動速度 進(jìn)一步假設(shè)：進(jìn)一步假設(shè)： 則，則， 1 3 Lv v tmt L v m L t v i tm j v vL x 2 i tm j v L x 如何求？經(jīng)驗式如何求？經(jīng)驗式 m L 5.5.光滑管中湍流光滑管中湍流 層流底層的流動層流底層的流動 由于厚度很小，假設(shè)速度分布為線性：由于厚度很小，假設(shè)速

17、度分布為線性： s dv dy 則：則： s vy 定義摩擦速度：定義摩擦速度： 則，速度分布方程為：則，速度分布方程為： 引入無量綱速度和距離：引入無量綱速度和距離： ； ，則有：，則有： 實驗測定結(jié)果：實驗測定結(jié)果： 為層流底層。為層流底層。 s v vv y v v v v v y y vy 5y 湍流中心速度分布：湍流中心速度分布： 設(shè)：設(shè)： 雷諾應(yīng)力雷諾應(yīng)力 ：距壁面距離，：距壁面距離， ：常數(shù)：常數(shù) t ts Ll ky m 常量 ： y k 則：則： 2 2 t dv l dy 2 22 ts dv k y dy 則：據(jù)則：據(jù) 定義：定義： 積分得：積分得： 進(jìn)一步令：進(jìn)一步令：

18、 （將（將 變成變成 ） 得：得： 尼古拉茲結(jié)論：尼古拉茲結(jié)論： ，此時，此時， 。 如：如： ，則：，則： v s v dv vky dy 1 ln v yC vk 1 lnCC kv yy 1 ln v vyC vk 2.5ln5.5vy 30y 530y 11 63 2 55 5 . . ln. vy y vy 層流 6311.y 湍流 6311.y 4.6 可壓縮流體流動 流動過程密度變化對運(yùn)動的影響不可忽略。本節(jié)內(nèi)容主要講述氣流動過程密度變化對運(yùn)動的影響不可忽略。本節(jié)內(nèi)容主要講述氣 體一維穩(wěn)態(tài)等熵（可逆絕熱過程）流動。體一維穩(wěn)態(tài)等熵（可逆絕熱過程）流動。 用途：噴槍，噴嘴設(shè)計用途：噴

19、槍，噴嘴設(shè)計 1 1一維等熵流動的運(yùn)動方程一維等熵流動的運(yùn)動方程 如過程阻力不計，如過程阻力不計， 據(jù)：據(jù)： ， 是是 質(zhì)量體積質(zhì)量體積 則：則： 積分得：積分得： 10 pp 2 1 2 v ddpd 1 0gdzdpvdv 1 0,dz 0dpvdv 11 vp vp vdvdp 流股與介質(zhì)換熱不考慮，則視該過程為絕熱過程：流股與介質(zhì)換熱不考慮，則視該過程為絕熱過程： ， ：氣體絕熱指數(shù)：氣體絕熱指數(shù) ，空氣的，空氣的 將其代入積分式可得：將其代入積分式可得： 當(dāng)當(dāng) 時，由連續(xù)性方程，時，由連續(xù)性方程， 說明：說明： 減小，減小， 變大，直到變大，直到 止。止。 1 1 pp P V C

20、C 1.4k 1 2 11 1 1 2 1 1 p vvp p 1 AA 1 0v 1 1 1 1 2 1 1 p vp p p v 0 pp 2 2一維穩(wěn)態(tài)等熵流動的基本特性一維穩(wěn)態(tài)等熵流動的基本特性 由連續(xù)性方程：由連續(xù)性方程： 為截面面積。為截面面積。 將速度式及代入上式：將速度式及代入上式： 1 11xxx GAvA v x xx G A v A 1 1 1 x x p p 21 11 11 2 1 x xx G A pp p pp 分母極大時，分母極大時， 有極小，以有極小，以 為自變量求導(dǎo)可得，分母有極大為自變量求導(dǎo)可得，分母有極大 值的條件是：值的條件是： 此狀態(tài)用下標(biāo)此狀態(tài)用下

21、標(biāo)C C表示，并據(jù)此定義臨界界面和臨界壓力：表示，并據(jù)此定義臨界界面和臨界壓力： ： 將上式代入速度式：將上式代入速度式： 臨界速度臨界速度 x A 1x pp 1 1 2 1 x pp , cc P A 1 1 2 1 c pp 2 11 1 22 11 c vpRT u v cccc vpRT 相等說明壓縮氣體流出時臨界速度為該條件下音速。相等說明壓縮氣體流出時臨界速度為該條件下音速。 可壓縮性氣體流出特點：可壓縮性氣體流出特點： 流出后流出后 為止為止 流出氣體流股截面有極小值流出氣體流股截面有極小值臨界截面，對于空氣臨界截面，對于空氣 ， 此時氣體速度達(dá)到音速此時氣體速度達(dá)到音速 產(chǎn)生音速流速條件，原始?xì)怏w壓力等于或超過外部介質(zhì)壓力兩產(chǎn)生音速流速條件，原始?xì)怏w壓力等于或超過外部介質(zhì)壓力兩 倍以上（空氣）。倍以上（空氣）。 M 287RJ kg K 空氣 s p vpRT , cs v v 0 ,PvP 1.4k 1 11 21 12 cc PPPP 11 p p d dp vs 另據(jù)音速 R M R 1000 -摩爾質(zhì)量摩爾質(zhì)量 3 3。